Analisi matematica I - l'integrale di Riemann

Integrale di Riemann

Definizione di Riemann

Sia [a, b] un intervallo compatto e x₀, x₁, x₂, ..., x_n punti distinti di [a, b] tali che: a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b. L'insieme ordinato P = {x₀, x₁, ..., x_n} si chiama una partizione dell'intervallo [a, b].

Osservazione 1

Si noti che la partizione P di [a, b] definita precedentemente decompone [a, b] negli n intervalli compatti [x₀, x₁], [x₁, x₂], ..., [x_n-1, x_n], i quali sono a due a due privi di punti interni comuni e tali che la loro unione è uguale ad [a, b].

Consideriamo una funzione reale f, limitata nell’intervallo [a, b]. Per ogni partizione P = {x₀, ..., x_n} di [a, b], poniamo:

• m_i = inf f(x), per x ∈ [x_i, x_i+1]
• M_i = sup f(x), per x ∈ [x_i, x_i+1]

In altre parole, con m_i indichiamo l'estremo inferiore della restrizione di f all’intervallo [x_i, x_i+1] e con M_i l'estremo superiore. Consideriamo le due somme (dette somme integrali inferiori e superiori):

• s(P) = m₀(x₁ - x₀) + m₁(x₂ - x₁) + ... + m_n-1(x_n - x_n-1)
• S(P) = M₀(x₁ - x₀) + M₁(x₂ - x₁) + ... + M_n-1(x_n - x_n-1)

È evidente che al variare della partizione P di [a, b], tali somme integrali descrivono due insiemi numerici che possiamo indicare con i simboli A = {s(P)} e B = {S(P)}. Tali insiemi numerici sono separati e quindi risulta: S(P₁) ≤ S(P₂) per ogni coppia di partizioni di [a, b]. Conseguentemente, per l'assioma di completezza di R, esiste almeno un numero reale che risulta maggiore o uguale di ogni elemento di A e minore o uguale di ogni elemento di B, nel quale esiste un unico elemento di separazione dei due insiemi A e B.

Definizione di integrale (secondo Riemann)

Si dice che la funzione f limitata in [a, b] è integrabile (secondo Riemann) in [a, b] quando i due insiemi numerici A e B sono contigui, cioè ammettono un unico elemento separatore. Quando ciò accade, l'elemento separatore si indica col simbolo:

∫_a^b f(x) dx

Tale numero reale si chiama integrale di Riemann della funzione f esteso all'intervallo [a, b]. I numeri reali a e b si chiamano estremi di integrazione e la funzione f(x) è la funzione integranda.

Osservazione 2

Si noti che, in base alla definizione, se f è integrabile in [a, b] risulta:

∫_a^b f(x) dx ≤ S(P) ≤ S(P) per ogni partizione P dell'intervallo [a, b].

Teorema sull'integrabilità delle funzioni continue

Una funzione reale f(x) continua nell'intervallo [a, b] è integrabile in [a, b] secondo Riemann.

Osservazione 3

Si noti che se f è continua in [a, b], per il teorema di Weierstrass, esistono in [a, b] il minimo m e il massimo M di f. Conseguentemente risulta:

∫_a^b m ≤ f(x) ≤ M e la funzione f è limitata in [a, b].

Proprietà notevoli dell'integrale di Riemann

Proprietà dell'integrale

1) Propietà distributiva

Siano f e g due funzioni reali limitate nell'intervallo [a, b] e c₁, c₂ una coppia di costanti reali. Se f e g sono integrabili in [a,b] allora:

∫_a^b (c₁f(x) + c₂g(x)) dx = c₁∫_a^b f(x) dx + c₂∫_a^b g(x) dx

2) Proprietà additiva

Sia f una funzione reale limitata e integrabile nell'intervallo [a, b]. Per c ∈ [a, b] risulta:

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

3) Proprietà di confronto

Siano f e g due funzioni reali limitate e integrabili nell'intervallo [a, b]. Se per ogni x ∈ [a, b] f(x) ≤ g(x), allora:

∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx

4) Proprietà del valore assoluto dell'integrale

Sia f una funzione reale limitata e integrabile nell'intervallo [a, b]. In tale ipotesi anche la funzione |f| è integrabile in [a, b] e risulta:

|∫_a^b f(x) dx| ≤ ∫_a^b |f(x)| dx

5) Teorema della media

Se f è una funzione reale e continua nell'intervallo [a, b], esiste un punto x₀ tale che:

∫_a^b f(x) dx = f(x₀)(b - a)

Dimostrazione del teorema della media

Siccome l'integrale di Riemann è l'elemento separatore della somma integrale inferiore e della somma integrale superiore, allora, per ogni partizione P di [a, b] si ha:

s(P) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ S(P)

Se inoltre consideriamo la partizione P di [a, b] costituita dai soli punti a e b, quindi P = {a, b}, risulta:

• s(P) = m(b - a)
• S(P) = M(b - a)

Dove m e M sono rispettivamente il massimo e il minimo di f in [a, b]. Dalle due ipotesi si ha dunque:

m(b - a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M(b - a)

E dividendo per (b - a):

m ≤ ∫_a^b f(x) dx / (b - a) ≤ M

Abbiamo così ottenuto che il valore medio dell'integrale, cioè il numero reale:

y = ∫_a^b f(x) dx / (b - a)

è un numero compreso fra il minimo e il massimo di f in [a, b]. Esiste allora un punto x₀ tale che f(x₀) = y, cioè:

f(x₀) = ∫_a^b f(x) dx / (b - a)

Significato geometrico dell'integrale di Riemann

L'integrale di Riemann di una funzione ha un notevole significato geometrico. Per comprendere bene questa cosa è opportuno presentare due definizioni:

Definizione 1

Si chiama plurirettangolo ogni poligono che risulti essere un rettangolo oppure l'unione di un numero finito di rettangoli a due a due privi di punti interni comuni. Ad esempio, è un plurirettangolo l'insieme P.

Area del plurirettangolo P = area R₁ (rettangolo 1) + area R₂ + ... + area R_n

Definizione 2

Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo compatto [a, b] di estremi non negativi. Si chiama rettangoloide di base [a, b] relativo alla funzione f l'insieme dei punti (x, y) del piano cartesiano tali che: a ≤ x ≤ b e 0 ≤ y ≤ f(x).

In tale ipotesi, per ogni partizione P = {x₀, x₁, ..., x_n} di [a, b], la somma integrale inferiore:

• s(P) = Σ_i=0^n-1 m_i(x_i+1 - x_i)

Rappresenta l'area del plurirettangolo, unione dei rettangoli R₁, R₂, ..., R_n, di base rispettivamente x₁ - x₀, x₂ - x₁, ..., x_n - x_n-1 e altezza m₀, m₁, ..., m_n. Tale plurirettangolo è contenuto nel rettangoloide R di base [a, b] relativo alla funzione f(x).