Analisi matematica I - l'integrale di Riemann

Significato geometrico dell'integrale di Riemann

L'integrale di Riemann di una funzione ha un notevole significato geometrico. Per comprendere bene questa cosa è opportuno presentare due definizioni:

Definizione 1: Si chiama plurirettangolo ogni poligono che risulti essere un rettangolo oppure l'unione di un numero finito di rettangoli a due a due privi di punti interni comuni. Ad esempio è un plurirettangolo l'insieme P.

Definizione 2: Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo compatto [a,b] di estremi non negativi. Si chiama rettangoloide di base [a,b] relativo alla funzione f l'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano tali che: a ≤ x ≤ b e 0 ≤ y ≤ f(x) (grafico cfr. pag 6).

Nel primo caso la funzione f è limitata in [a,b], nel secondo caso no. In tale ipotesi, per ogni partizione P = {x0, x1, x2, ..., xn-1, xn} di [a,b], la somma integrale inferiore è:

0 ≤ m(x1 - x0) + m(x2 - x1) + ... + m(xn - xn-1) ≤ S ≤ M(x1 - x0) + M(x2 - x1) + ... + M(xn - xn-1)

(s(p)) = ∑_i=0ⁿ (x_i+1 - x_i)m_i

Rappresenta l'area del plurirettangolo, unione dei rettangoli R₁, R₂, ..., R_n. Di base rispettivamente x₀-x₁, x₁-x₂, ..., x_n-1-x_n e altezza m₀, m₁, ..., m_n-1. Tale plurirettangolo è contenuto nel rettangoloide R di base [a,b] relativo 0, 1, 2, ..., n alla funzione f(x).

Analogalmente la somma integrale superiore: S(p) = ∑_i=0ⁿ (x_i+1 - x_i)M_i

Rappresenta l'area di un plurirettangolo contenente il rettangoloide R, unione degli n rettangoli di base rispettivamente x₀-x₁, x₁-x₂, ..., x_n-1-x_n e altezza M₀, M₁, ..., M_n-1 0, 1, 2, ..., n.

Al valore della partizione P di [a,b] gli insiemi numerici A = {s(P)} e B = {S(P)} rappresentano geometricamente l'insieme delle aree dei plurirettangoli contenuti nel rettangoloide R e l'insieme delle aree dei plurirettangoli contenuti in R.

Definizione 3. Si dice che il rettangoloide R è dotato di area se gli insiemi numerici A e B delle aree dei plurirettangoli contenuti e contenenti R sono

continui.In tale ipotesi l'unico elemento separatore si chiama area del rettangoloide R.Ne consegue intuitivamente, tenendo conto della definizione di integrale secondo Riemann, il seguente risultato:Significato geometrico dell'integrale di Riemann.Se f(x) è una funzione non negativa e integrabile nell'intervallo [a,b], allora il rettangoloide R di base [a,b] relativo alla funzione f(x) è dotato di area che risulta:b b∫ ∫f(x) dx f(x) dxarea R= a aOsservazione (notevole).Consideriamo una funzione reale f≤0 in [a,b]. È evidente che anche ora è preferibile definire il rettangoloide di base [a,b] relativo a f. Si tratta dell'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano tali che: ≤y≤0x∈[a,b] e f(x)Premesso ciò, indichiamo con R il rettangoloide di base [a,b] relativo alla funzione f e con R' il rettangoloide di base [a,b] relativo alla funzione opposta "-f(≥0 in [a,b]).Poiché i rettangoloidi R e R'

sono congruenti deve risultare areaR=areaR'

D'altra parte sappiamo già che: b ∫ ∫- = -(f(x)) dx f(x) dx areaR' = a a

Si deduce quindi: b ∫ f(x) dx areaR = -a

Quindi se f ≤ 0 in [a,b] l'integrale di f esteso ad [a,b] è opposto dell'area del rettangoloide di base [a,b] relativo a f.

4) INTEGRALE DEFINITO

E' utile per il seguito la seguente nozione di integrale.

Definizione. ∫[a,b].

Sia f una funzione reale limitata e integrabile nell'intervallo [a,b] e x ,x1 2x2 ∫ f(x) dx

Se x < x allora il simbolo denota l'integrale di Riemann di f esteso all'intervallo [x ,x ]1 2 1 2 ..x1

Se ciò non accade si pone: x2 ∫ f(x) dx = x1x2 ∫ f(x) dx

Il simbolo che ha significato qualunque siano gli estremi di integrazione x ,x (e non1 2x1

soltanto quando x < x si chiama integrale definito di f di estremi x e x1 2) 1 2.

Osservazioni

Si osservi che per l'integrale definito la proprietà additiva

vale per ogni terna x x x di punti di1, 2 3[a,b]:x xx3 2 3∫ ∫ ∫= +f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dxx x x1 1 25) INTEGRALE INDEFINITODefinizione (di funzione primitiva)Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo I (qualsiasi). Ogni funzione F(x) che siaderivabile in I e tale che ∀x∈IF'(x) = f(x)si dice una primitiva di f nell'intervallo I .Quindi se f ammette una primitiva F ne ammette infinite essendo essendo tali le funzioni F+c con ccostante qualsiasi. D'altra parte esiste il seguente:Teorema (sulle primitive)Sia f una funzione reale definita in un intervallo I e dotata di primitiva. V.s.i.∃ ε ∀x∈I)(F e G primitive di f in I)→( c R : G(x)=F(x)+cConseguentemente se f è dotata di primitiva due qualunque delle sue primitive differiscono per unacostante.Dim.Consideriamo la funzione H(x)=G(x)-F(x). Per l'ipotesi posta risulta:∀x∈I.H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0Dal teorema sulle funzioni con derivata nulla

Si deduce allora che la funzione H(x) è costante in I, cioè la tesi. Da queste considerazioni si deduce la seguente caratterizzazione della primitiva di una funzione in un intervallo.

Sia f una funzione definita in un intervallo I. Se F(x) è una primitiva di f(x), allora tutte e solo le primitive di f(x) in I sono le infinite funzioni F(x)+c che si ottengono da F(x) aggiungendo una qualsiasi costante c.

Dim.

Se F è primitiva di f in I, per quanto stabilito all'inizio, tutte le funzioni F+c con c ∈ R sono primitive di f in I. D'altra parte, per la proposizione precedente, solo le funzioni F+c sono primitive di f in I. Infatti, se g è una qualsiasi primitiva di f in I, per la proposizione precedente risulta G=F+c con c costante.

Definizione 2 (Funzione integrale)

Sia f(x) una funzione integrabile in un intervallo I e sia x ∈ I. La funzione:

∫₀^x f(x) dx

si chiama la funzione integrale della funzione f di punto iniziale x.

Osservazione

Si noti che la funzione integrale è funzione dell'estremo superiore di integrazione x dell'integrale definito. Si noti anche che l'integrale definito è stato scritto usando come variabile di integrazione t invece di x. Ciò è lecito in quanto l'integrale definito è un numero che non dipende dalla variabile di integrazione.

Teorema fondamentale del calcolo dell'integrale.

x∫ f (t ) dt

Se f(x) è una funzione continua nell'intevvallo I, la funzione integrale F(x)= è derivabile in ogni punto x appartenente a I e risulta F'(x)=f(x).

In altri termini, se f(x) è continua in I, la funzione integrale è una primitiva di f(x) in I.

Dim.

Considerato il rapporto incrementale di F(x), per la proprietà additiva dell'integrale definito si ha:

√+ + + - xx h x x h x h0F ( x h ) F ( x ) 1 1 1∫ ∫ ∫ ∫ ∫= - = + =

f (t ) dt f (t ) dt f

(t ) dt f (t ) dt f (t ) dt

h h h h

x x x x x0 0 0

D'altra parte per il teorema della media applicato all'intervallo compatto di estremi x e x+h esiste un punto x dipendente da h e appartenente all'intervallo in questione tale che:

h + +x h x h∫ ∫= = + − = + − =f (t ) dt f ( x )( f (t ) dt f ( x )( x h x ) f ( x ) hx h x ) f ( x ) hh h h hx x

In conclusione da questo ragionamento otteniamo l'applicazione:

+ −F ( x h ) F ( x ) = f ( x ) hhhƠh con Ơ [0,1]

E anche posto x =x +h + −F ( x h ) F ( x ) = + Θf ( x h ) hh

Dall'ipotesi di continuità di f(x) nell'intervallo I segue che:

+ −F ( x h ) F ( x ) = + Θ =defF '( x ) lim lim f ( x h ) f ( x )= → →hh 0 h 0

Osservazione 3

L'importanza del teorema fondamentale del calcolo dell'integrale è evidente se f è costante lanozione integrale definito risolve sul piano teorico mediante tale teorema il

calcolo integrale, sappiamo che se G(x) è una primitiva di f(x) in un intervallo [a, b], allora l'integrale definito di f(x) da a a b è uguale alla differenza di valori di G(x) negli estremi di integrazione a e b. Possiamo quindi scrivere la formula fondamentale del calcolo integrale come: ∫[a,b] f(x) dx = G(b) - G(a) Questo corollario ci permette di calcolare l'integrale definito di una funzione continua f(x) in un intervallo [a, b] conoscendo una sua primitiva G(x). Tuttavia, è importante notare che non sempre una funzione continua ha una primitiva espressa in modo elementare. Quindi, nella pratica, potrebbe essere difficile trovare una primitiva di una funzione in modo esplicito. Ad esempio, consideriamo la funzione f(x) = x. Non esiste una primitiva espressa in modo elementare per questa funzione. Quindi, non possiamo calcolare l'integrale definito di f(x) utilizzando direttamente la formula fondamentale del calcolo integrale. In conclusione, il problema del calcolo di una primitiva di una funzione e quindi del calcolo integrale può essere risolto teoricamente utilizzando la formula fondamentale del calcolo integrale. Tuttavia, nella pratica, potrebbe essere difficile trovare una primitiva espressa in modo elementare per una funzione continua.

calcolo integrale la funzione integrale:x∫= è una primitiva di f(x) nell'intevallo[a,b].F ( x ) f (t ) dtaConseguentemente essendo per ipotesi G(x) anch'essa una primitiva di f,deve risultare :x∫= +G ( x ) f (t ) dt c dove c è un opportuna costante reale.aPer x=a dall'espressione precedente si ha: x∫= += + = G ( x ) f (t ) dt cG ( a ) 0 c c quindi la formula si può scrivere nel seguente modo:ax∫= +G ( x ) f (t ) dt G ( a ) .aOsservazione 4.è evidente l'importanza della formula:b [ ]∫ = - = bf ( x ) dx G (b ) G ( a ) G ( x ) aaEssa permette in modo molto semplice e rapido il calcolo dell'integrale definito di una funzionecontinua in un intervallo purché sia nota una primitiva di tale funzione.Per tale motivo questa formula si chiama formula fondamentale del calcolo integrale.Le considerazione fin qui svolte rendono lecita la seguente:Definizione di integrale indefinito.Sia f una funzione reale

continua in un intervallo I. In t