Linea elastica - parte 3

Modello della Linea Elastica

Studio delle travi piane ad asse rettilineo, a materiale con comportamenti elastico-lineare, utilizzerò il modello meccanico della linea elastica (tiene conto delle deformazioni della trave): in particolare si utilizzeranno:

1. Linea elastica estensionale (per deformazioni estensionali) ➔ deformazioni lung. l’asse delle travi, deformazioni associate alla sollecitazione di sforzo normale N (lungo Z)

2. Linea elastica flessionale (per deformazioni flessionali) ➔ deformazioni associate alla sollecitazione di momento flettente M (lungo X)

3. Linea elastica a scorrimento (per deformazioni di scorrimento della trave) ➔ legate alle forze di taglio T (lungo Y)

4. Linea elastica torsionale (per deformazioni torsionali) ➔ legate al momento torcente Mt (lungo Z)

Modello meccanico: si basa su:

1. Ipotesi di piccole deformazioni: configurazione deformata della trave (nella quale raggiunge l’equilibrio) = configurazione indeformata coi fini dell’equazione di equilibrio (per scrivere l’equazione di equilibrio guardando la trave di lunghezza L a carico).

2. Approccio “Fenomenologico”: da prove fatte in laboratorio, sottoponendo provini a trazione o compressione. Viene costruito un modello monodimensionale, cosa da essere più facile da studiare.

Da cui otteniamo 3 equazioni:

1. Equazione di congruenza (o di compatibilità cinematica) ➔ lega la deformazione allo spostamento
2. Equazione costitutiva (o legame costitutivo) ➔ legate al materiale (determinando la classe del materiale di cui è costituita la trave)

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MODELLO DELLA LINEA ELASTICA

Studio delle travi piane ad asse rettilineo, a materiale con comportamenti elastico-lineare, utilizzerò il modello meccanico della linea elastica (tiene conto delle deformazioni della trave): in particolare si utilizzeranno:

1. Linea elastica estensionale (per deformazioni estensionali) - deformazioni lungo l'asse delle travi, deformazioni associate alla sollecitazione di sforzo normale N (lungo Z)
2. Linea elastica flessionale (per deformazioni flessionali) - deformazioni associate alla sollecitazione di momento flettente M (lungo X)
3. Linea elastica a scorrimento (per deformazioni di scorrimento della trave) legate alle forze di taglio T (lungo Y)
4. Linea elastica torsionale (per deformazioni torsionali) legate al momento torcente Mt (lungo Z)

Modello meccanico

Si basa su:

1. Ipotesi di piccole deformazioni: configurazione deformata della trave (nella quale raggiunge l'equilibrio) = configurazione indeformata(coi fini dell'equazione di equilibrio es.: (non scrivere equazioni di equilibrio guardando alle travi di lunghezza L a codice)
2. Approccio "fenomenologico": Da prove fatte in laboratorio, sottoponendo provini a trazione o compressione. Viene costruito un modello monodimensionale, esso da essere più facile da studiare.

Da cui otteniamo 3 equazioni:

1. Equazione di congruenza (o di compatibilità cinematica) ↔ lega la deformazione allo spostamento
2. Equazione costitutiva (o legame costitutivo) - legge di materiale (determinabile dalla classe del materiale di cui è costituita la trave)

1) l'eq. costitutiva lega lo sforzo -> alla deformazione, in base alle priorita' fisico-meccaniche del materiale.

3 - Equazioni di equilibrio: in base alla deformazione troviamo, le equazioni indefinite di equilibrio che ci interessano (tradiziona i carichi momento delle travi).

2) Combinando queste 3 equazioni otteniamo: L'equazione differenziale della linea elastica, la cui soluzione dipendeza' dalle condizioni imposte alla trave.

"LINEA ELASTICA ESTENSIONALE"

L'approccio è fenomenologico (da prove in laboratorio). Esperimento guida:

Consideriamo un provino cilindrico di acciaio sottoposto ad un carico P di (trazione), il provino è di lunghezza libera L₀ ed ad una estremità incastrata, la sua sezione la chiameremo "A".

• MOD. TRADIZIONALE (GLOBALE)
• MOD. PRADIMENSIONALE (GLOBALE)

Man mano che incrementa il carico P, più il provino si deformerà estensivamente. La lunghezza nello stato finale, la chiameremo L.

Variazione di lunghezza ΔL = L - L₀

1° Osservazione:

Le sezioni retta del provino (sezioni trasversali), restano piane e deformazione avviene ortogonale all'asse del provino.

2° Osservazione:

Alla variazione del carico P per carichi minori del carico di rottura (P<F rottura) si può costruire un diagramma P/ΔL, per osservare questa variazione, il diagramma è lineare:

C'è una proporzionalità tra il carico e l'allungamento (in un opportuno punto dell’origine).

P/ΔL = tg θ = COSTANTEIl coeff. angolare della retta, indica la pendenza