Linea elastica - parte 3

Modello della linea elastica

Studio delle travi piane ad asse rettilineo, a materiale con comportamenti elastico-lineare, utilizzero' il modello meccanico della linea elastica (tiene conto delle deformazioni della trave); in particolare studieremo:

1. Linea elastica estensionale → (per deformazioni estensionali) :

   • deformazioni lungo l'asse della trave, deformazioni associate allo sforzo normale N (lungo z)

2. Linea elastica flessionale → (per deformazioni flessionali) :

   • deformazioni associate alla sollecitazione di momento flettente M (lungo x)

3. Linea elastica a scorrimento → (per deformazioni di scorrimento della trave, legate alle forze di taglio T (lungo y))

4. Linea elastica torsionale → (per deformazioni torsionali)

   • legato al momento torcente Mt (lungo z)

Modello meccanico: si basa su:

1. Ipotesi di piccole deformazioni: configurazione deformata della trave = configurazione indeformata

   • Come scirvere le equazioni di equilibrio? → Considerare tutta la trave di lunghezza L e carico ↓

2. Approccio fenomenologico: Da prove fatte in laboratorio, sottoponendo provini a trazione o compressione, viene costruito un modello monodimensionale, così da essere più facile da studiare.

Da cui otteniamo 3 equazioni:

1. Equazione di congruenza (o di compatibilità cinematica) → leghiamo la deformazione allo spostamento

2. Equazione costitutiva (o legame costitutivo) lega il materiale (determina la classe del materiale di cui è costituita la trave)

3- EQUAZIONI DI EQUILIBRIO: in base alle deformazioni troviamo, le equazioni indefinite di equilibrio che ci interessano (stabiliscono i campi di sforzo momento della Trave).

Combiniamo queste 3 equazioni otteniamo: L’EQUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTICA, la cui soluzione dipende dalle condizioni imposte alla Trave.

L'equazione costitutiva LOCALE esprime il legame tra sforzo normale e deformazione assiale.

A = area sezione trasversale

E = modulo di elasticità longitudinale o MODULO di YOUNG

Equazione locale

N = E A ε, questo tipo di equazione è LINEARE ed ELASTICA:

• LINEARE: perché vi è proporzionalità tra sforzo e deformazione (rappresentato da una retta)
• ELASTICA: perché rimosso il carico applicato, la deformazione si annulla

Scritto in modo da vedere le unità di MISURA

^E/_A・ε = [F]^{/[L^2]} = [F・L^-2] = [N_ewton・m²] = ^Newton/_m² = Pa PASCAL

[L²] adimensionale

E_ACCIAIO = 2.1・10⁵ MPa

E_CLS = 2.2 - 4.0・10⁴ MPa

EA , nell'equazione è la RIGIDEZZA ESTENSIONALE [F]

→ posso anche scrivere ε = N / EA rigidezza EA e deformazione ε sono inversamente proporzionali

• A parità di sforzo normale e deformazione, se la rigidezza estensione è max e piccola, la DEFORMAZIONE sarà grande, e così viceversa.
• Se EA → ∞ vale per STRUTTURE RIGIDE, TRAVI INESTENSIBILI (non si deformano assialmente)

Linea Elastica Flessionale

È la deformazione indotta da carichi meccanici o termici dell'asse delle travi.

M = cost = Hx

(Situazione iniziale)

1. La linea d'asse nelle 2 sezioni passori per il baricentro (G), con delle linee parallele alla linea d'asse (// alle ossa z) rappresentano le fibre longitudinali del solido.
2. Le linee // alle ossa z (quindi // alla sez. trasversale) rapp. le fibre trasversali del solido.

Importante: Configurazione DeformataPer effetto della coppie M la trave si deforma in questo modo la sezione generata dalle coppie non è tale da potere e rotazione il prossima.

• J = Centro di curvatura
• S = Raggio di curvatura della linea d'asse "deformata"
• K = ¹/_S curvatura della linea d'asse

La linea d'asse si dispone secondo un arco di circonferenza le fibre trasversali si dispongano secondo le direzioni di raggi di circonferenza e si dispongano (forma 21 alla linea d'asse).

Le fibre longitudinali si dispongano secondo una circonferenza concentrica rispetto le linea d'asse.

* Al di sopra della linea d'asse fino all'estradosso superiore le fibre longitudinal si accorciano fino all'accorciamento massimo.

* Al di sotto delle linee d'asse fino all'estradosso inferiore le fibre longitudinali si allungano fino all'allungamento massimo.

Perché il segno - vedendo la condizione deformata e indeformata avremo che:

• Studiando la sezione trasversale della configurazione deformata vediamo che la deformazione è oraria:

φ = - V_Mh

• Per gli spostamenti V_MII > 0 la rotazione risulta essere oraria perciò negativa.

Facendo un esempio di come andiamo trovato il momento:

H = ES (V_MII) = ESκ

K = - ES (V_MI)

M = T - c

(lettura NON FARE)

PER ESERCIZI: Avendo 1 CAMPO di INTEGRAZIONE

C.C.

1 CAMPO

C.C.

• 2 CONDIZIONI AL CONTORNO
  • STATICA
  • CINEMATICA
• 2 CONDIZIONI AL CONTORNO
  • STATICA
  • CINEMATICA

Sarà un sistema di 4 equazioni in 4 incognite:

L'ordine da seguire sarà:

CONDIZ. CIN./CONDIZ. STATICHE

V_H φ | T | M

CON1:

CON2:

• CON:
• W_A = 0
• V_A = 0
• P_A ≠ 0
• CON:
• N_A ≠ 0
• M_A = 0

Valuto queste per la linea elastica flessionale:

Prendo quelle condizioni uguali a zero

questa NO! perché interessa la linea elastica estex

Ricavare l'equazione di 4^o ordine della linea elastica "termo-flessionale"

Riprendiamo l'equazione della deformazione flessionale

E = Ky

Assoccio a K il contributo termico δ t₁

E = K - δ t₁

Anche l'eq. costitutiva avrà il contributo termico δ t₁, la scriviamo in funzione di K:

K = ^M/_EJ + δ t₁ → ^(-) -^H/_EJ = (- K + δ t₁) . (- EJ)

→ H = EJ ( K - δ t₁)

Riprendo l'equazione di congruenza:

k = -Vh'' → M = EJ (-Vh'' - δ t₁)

moltiplico tutto per (-1)

→ M = -EJ (Vh'' + δ t₁)

Dall'equazione indefinita di equilibrio ott:

H' = T - c

T' = -q

H'' = -q - c'

Infine unendo l'equazione di congruenza all'eq. indefinita di equilibrio:

H'' = -EJ (Vh'' + δ t₁)'' = -q - c'

ES = cost, δ t = cost, C' = 0

EJ (Vh^iv) = q → Vh^iv = ^q/_EJ