Linea elastica, Scienza delle costruzioni

Linea Elastica Estensionale

_{15 Maggio '14}

Inizieremo a studiare le deformazioni delle travi strutture elastiche, sia isostatiche che iperstatiche.

• Iniziamo con la linea elastica estensionale

Esempio

In presenza di una struttura iperstatica la risoluzione con le sole E.E.S. non è più sufficiente

Il problema statico e’ possibile e indeterminato

• Non abbiamo un’unica soluzione al problema statico ma abbiamo più soluzioni. Nel nostro caso poiché l’indice di iperstaticità è 1 abbiamo ∞₁ soluzioni.

Se volessimo applicare le E.E.S. a questa struttura, individ. quelle che possono essere le reazioni vincolari associate ai vincoli presenti → abbiamo 4 incognite va, ha, VB e HB e 3 equazioni

{ R = 0 M(O) = 0 ∀O }

Siamo in grado di ottenere un numerato per Va e Vb, ma per le reazioni orizzontali HA e HB non riusciamo a ottenere un’unica soluzione, poiché la struttura è iperstatica e

L’iperstaticità di questa struttura è una iperstaticità assiale

Noi diamo 1 volta iperstatica → ovvero c’è una condiz. di vincolo aggiuntiva, ma in particolare questa condiz.

aggiuntiva riguarda l'ASSIALITÁ, ovvero le deformazioni assiali della trave, nel senso che è proprio a livello ASSIALE che c'è un vincolo aggiuntivo in più e in particolare si può notare in questo modo:

Se la stessa struttura è vincolata con questi vincoli ed è applicato lo stesso carico

_(disegno)

Se l'asta AB, fosse deformabile → capace di allungarsi o accorciarsi per effetto di un carico (orizzontale e quindi perpendicolare alla linea d'asse, carico concentrato in A, di tipo estensionale, quindi un carico orizzontale)

Se l'asta fosse deformabile → si potrebbe allungare perché in B, abbiamo un carrello!

_(disegno)

Quindi che succede. Se la struttura fosse diversa, identica a differenza solo del vincolo in B, che invece di mettere una cerniera (quindi capace di reagire con una forza reattiva orizzontale) è un CARRELLO, succede che nell'ipotesi di asta deformabile sarebbe soggetta ad allungamento!

Se invece l'asta, sempre deformabile, in B fosse vincolata in questo modo, pur rimanendo deformabile la reazione vincolare aggiuntiva blocca la deformazione, l'effetto che quella iperstaticità in più è possibile perché impedisce la deformazione assiale della struttura

_(disegno)

Ora, per dedurre le equazioni della linea elastica partiamo da un esperimento guida. Si studia una prova meccanica di trazione (la più nota).

Si effettua quando il materiale è duttille (domanda d'esame!).

I materiali metallici hanno lo stesso comportamento elastico a trazione e a compressione.

Caratteristica duttilità → materiale in grado di deformarsi notevolmente prima di arrivare a rompere.

Per i materiali metallici vengono solamente eseguite prove meccaniche di trazione (viene misurato l'allungamento del campione).

Per materiali fragili (tufo, calcestruzzo) → vengono eseguite prove meccaniche di compressione e non possono essere sottoposti a trazione: materiali fragili!

L'esperimento guida è quello tipico di una prova a trazione.

Supponiamo di avere un provino cilindrico.

Sezione generica A, "incastrato ad uno estremo e libero di spostarsi nell'atto. La lunghezza del nostro cilindro è l₀.

Prendo di materiale generico tipo acciaio. Supponiamo di voler applicare a questo provino un carico P / alla linea d'asse, quindi un carico estensibile che tende ad allungare il provino → e quindi un carico di trazione (?).

Provino avrà lunghezza finale data da:

L = l₀ + ΔL

ΔL = l - l₀ variazione lunghezza

ΔL' = ΔL / β

15 Maggio

se vogliamo considerare l'allung. specifico del 3º campione:

ΔL' / L₀ = 1/β * ΔL / L₀

Allung. specifico perchè è sempre la stessa

Possiamo costruire le diagramma e confrontare l'umettá otten. per il primo campione con l'umettá ottenuta per il secondo campione

P

P

3º campione è quello con sezione trasversale maggiore (A¹)

Anche se le campione è costituito sempre dello stesso materiale (Acciaio), abbiamo ottenuti differenti diagrammi tra di loro, (sono sempre lineari però hanno una risposta differente quindi diverso coefficiente angolare)

Poiché vogliamo ottenere delle umettà di prove che sono indipendenti dalle dimensioni del campione dobbiamo inserire quell'accertto che permette di eliminare la dipendenza dalla sezione trasversale

Supponiamo di studiare localmente una sezione per effetto del carico - come detta si allunga

Vediamo come si è spostato l'elemento infinitesimo per effetto del carico (w(z) spost. orizzontale lembo superiore

w(z + d_z) → spostam. che ha subito la parte inferiore

w(z + d_z) = w(z) + ^dw/_dz d_z + ...

sviluppo in serie dello spostam. d_z

nelle nostre ipotesi scarteremo questa parte

quindi per no,

w(z + d_z) ≃ w(z) + (^dw/_dz) d_z

Se EA = cost

EA w'' = -p

w'' = -p/EA

EQUAZ. DIFF. DEL II ORDINE

• EA costante
• al variare di z

derivata seconda dello spost. orizzontale

causa/rigidità estensionale

Integrando l'equazione a 2 costanti di integrazione

w(z)

• N(z)
• E(z)
• P(z)
• EA(z)

ca consente di determinare le leggi di variazione dello spostamento nelle parti della trave dove

l'umeta veluda contributo a quei param.

c'è continuità di quei parametri

EQ. DIFF. DEL II ORDINE - umeta veluda

Ad esempio

Da A verso B la trave ha una sezione A'

Da B verso C sezione A''=2A'

In B abbiamo un salto della rigidità estensionale [EA]

Stessa cosa può accadere se da una parte abbiamo acciaio, dall'altra CLS e comunque possiamo emettere sempre [EA]

Esercizio

p = carico uniform. distribuito di tipo estensionale

3 volte iperstatica (1 volte assolutamente)

abbiamo campo u neo e non a sono discontinuita'

1 campo

• p(x) = p
• (se non a sono caruch si scave p=0) equindi w'' = 0

E. differ w'' = -p/EA

w' = -p/EA z + C₁

w = -1/2 p/EA z² + C₁ z + C₂

C₁, C₂ costanti di integrazione

Scriviamo le condiz. al contorno

In A incastro:

• C.C. cinematiche
• v_A = 0
• w_A = 0
• φ_A = 0
• C.C. statiche
• T_A ≠ 0
• N_A ≠ 0
• M_A ≠ 0

Scriviamo A: w(0) = 0 abbiamo assunto A≡0

C.C. cinem.

vado nell'espressione di w₁ pongo z = 0 trovo c₂ = 0

pongo z = 2L nella w₁ e ottengo c₁ 2L + c₂ = c₄

-[EA w'₁(2L)] + P + EA w'₂(0) = 0

(N = EA w')

quindi:

• c₂ = 0
• c₁ 2L = c₄
• -EA c₁ + P + EA c₃ = 0
• c₃ L + c₄ = 0

c₁ = ^P/_3EA

c₂ = 0

c₃ = -²/₃ ^P/_EA

c₄ = ²/₃ ^PL/_EA

quindi:

w₁(z) = ^P/_3EA z

z = 0 → w₁(z) = 0

z = 2L → w₁(z) = ^2PL/_3EA