Limiti e Continuità, Analisi matematica I

Limiti e Continuità I

Intorni

I_ε(x₀) = {x ∈ ℝ: |x - x₀| < ε}

I_ε^°(x₀) = {x ∈ ℝ: 0 < |x - x₀| < ε}

= I_ε(x₀) \ {x₀}

Intorno di infinito

I_a(+∞) = {x ∈ ℝ: x > a}

I_δ(-∞) = {x ∈ ℝ: x < ε}

Intorno destro di x₀ ∈ ℝ

I⁺(x₀) = {x ∈ ℝ: x₀ ≤ x < x₀ + ε}

I_ε⁺(x₀) = {x ∈ ℝ: x₀ < x < x₀ + ε}

Intorno sinistro di x₀ ∈ ℝ

I^-(x₀) = {x ∈ ℝ: x₀ - ε ≤ x < x₀}

I_ε^-(x₀) = {x ∈ ℝ: x₀ - ε < x < x₀}

Successioni

a_m: ℕ → ℝ

a_m = m²

b_m = octtg(m)

c_m = (-1)^m

d_m = √m - 5

M = 0, 1, 2, 3, 4...

d_m è definita m - 5 ≥ 0 m ≥ 5

per A = {a ∈ ℕ: m ≥ 5}

ossia ∃m₀: m ≥ m₀ definitivamente definita!

Limiti e Continuità I

Intorni

I_ε(x₀) = {x ∈ ℝ: |x - x₀| < ε}

I_x^ο = {x ∈ ℝ: 0 < |x - x_ο| < ε}

Intorno bucato!

= I_x(x_ο) \ {x_ο}

Intorno di infinito

I_a(+∞) = {x ∈ ℝ: x > a}

I_δ(-∞) = {x ∈ ℝ: x < ε}

Intorno destro di x_ο ∈ ℝ

I₊(x_ο) = {x ∈ ℝ: x_ο ≤ x < x_ο + χ}

I_+ο(x_ο) = {x ∈ ℝ: x_ο < x < x_ο + χ}

Intorno sinistro di x_ο ∈ ℝ

I_-ο(x_ο) = {x ∈ ℝ: x_ο - χ < x < x_ο}

I_-(x_ο) = {x ∈ ℝ: x_ο - χ < x ≤ x_ο}

Successioni

a_m: ℕ → ℝ

a_m = m²

b_m = octq(m)

c_m = (-1)^m

d_m = √(m - 5)

M = 0, 1, 2, 3, 4...

→ è definita m - 5 ≥ 0 M ≥ 5

per A = {a ∈ ℕ: m ≥ 5}

Ossia ∃m_ο: m ≥ m_ο → definitivamente definita!

COMPORTAMENTO DI UNA SUCCESSIONE

CASO A

a_m = m²

a_m: N → R

La successione DIVERGE a +∞

1. deg
   • lim m → +∞ a_m = +∞
2. ⇔
   • ∀A > 0, ∃m_A,B: m > m_A,B → a_m > A_B

CASO B

b_m = arctg(m)

b_m: N → R

Non supera ^π/₂

La successione CONVERGE a ℓ ∈ R

1. deg
   • lim m → +∞ a_m = ℓ
2. ⇔
   • ∀ε > 0, ∃m_ε ∈ N: m > m_ε
   • ⇒ |a_m - ℓ| < ε

CASO C

c_m = (-1)^m

È una successione INDETERMINATA, né converge né diverge.

Ps. Una successione si dice regolare quando è convergente/divergente!

lim m → +∞ (-1)^m = ϕ

SUCCESSIONI MONOTONE

MON. CRESCENTE

∀m: a_m+1 > a_m

MON. STRET. CRESCENTE

∀m: a_m+1 > a_m

MON. DECRESCENTE

∀m: a_m+1 ≤ a_m

MON. STRET. DECRESCENTE

∀m: a_m+1 < a_m

DEFINITIVAMENTE CRESCENTE

∃ m₀ m > m₀, a_m+1 > a_m

TEOREMA

UNA SUCCESSIONE MONOTONA O DEFINITIVAMENTE MONOTONE È REGOLARE

COROLLARIO

1. SE È CRESCENTE ED È SUPERIORMENTE LIMITATA ALLORA È CONVERGENTE

lim_{m → +∞} a_m = sup{a_m} ∈ ℜ

2. SE È CRESCENTE MA NON È SUPERIORMENTE LIMITATA ALLORA È DIVERGENTE

lim_{m → +∞} a_m = +∞

DIMOSTRAZIONE 1

{a_m} È sup elimitiamo ↔ ∃M. a_m ≤ M, ∀m ∈ℕ_{m ≥ m0}

a_m ∈ ℕ → ℜ

{a_n} È un insieme di numeri che È superiormemente limitato → ammette λ = sup{a_m}

{∃m ∈ ℕ _{m ≥ m0} }

Per def di estremo sup i) a_m leq; a_m ≤ λ

(ii) ∀ε>0, ∃m_e: λ- ε < a_m ≤ λ ε (2)

Ma essendo _am crescente,

∀ m > m_ε

_amε ≤ _{am   am} > _amε (3)

Allora (2) e (3)   m > m_ε

λ - ε < _amε ≤ _am ≤ λ + ε

Ricavo (2) e (3) così:

∀ ε > 0   ∃ m_ε m > m_ε → λ - ε < _am < λ + ε

↔

^lim_{n→+∞ am} = λ

NUMERO DI NEPERO

^lim_n→+∞ (1 + ¹/_m)^m = e

_am = (1 + ¹/_m)^m

i) CRESCENTE SU N

ii) SUP.UNIF.IN _am < ε, ∀ m ∈ N

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE

"SE ESSITE FINITO O INFINITO, IL ^lim_{m→∞ am} = e, ESSO È UNICO!"

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

Esistono   e₁ ≠ e₂:

^lim_{n→+∞ am} = e₁   ∩   ^lim_{m→+∞ am} = e₂

|e₁ - ε|   |e₂ − ε| |e₂ + ε|

Se è vera (1): ∀ ε > 0, ∃ m₁ m > m₁ → |a_m − e₁| < ε

Se è vera (2): ∀ ε > 0, ∃ m₂ m > m₂ → |a_m − e₂| < ε

Scelgo ε = |^{e₂ − e₁}/₃

allora a_m dovra definivamente collocarsi su:

(e₁ − ε, e₁ + ε) ∩ (e₂ − ε, e₂ + ε)

Ma sono disgiunti! ASSURDO!

Teorema

"Una successione convergente è limitata"

Dimostrazione:

lim_m→∞ a_m = ℓ     ℓ ∈ ℝ

∀ε>0, ∃mε m > mε ⇒ ℓ-ε < |a_m - ℓ| < ℓ+ε

Se scelgo ε=1 ho che ∀m>m₁,

ℓ-ε < a_m < ℓ+ε → ℓ-1 < a_m < ℓ+1

• a₀
• a₁
• ℓ+1
• ℓ
• ℓ-1
• mε m

                  → M = max {ℓ+1, a₀, a₁, a₂, a_m}

                  N = min {ℓ-1, a₀, a₁, a₂, a_m}

⇒ ∀m: N ≤ a_m ≤ M.

Cioè a_m è limitata!

Teorema del Confronto I

a_m, b_m : ℕ → ℝ        (m ≥ m₀)

• Definitivamente     a_m ≤ b_m∃m₀; m ≥ m₀

Tesi: Se esistono

• lim_m→∞ a_m = ℓ    ℓ ∈ ℝ
• lim_m→∞ b_m = M    M ∈ ℝ

Allora   ℓ ≤ M.

Teorema del Confronto II - (dei Carabinieri)

a_m, b_m, c_m, : ℕ → ℝ.

• Esistono lim_m→∞ a_m = lim_m→∞ c_m = ℓ
• Definitivamente a_m ≤ b_m ≤ c_m

Allora lim_m→∞ b_m = ℓ.

Teorema

Siano \(a_m, b_m: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\) due successioni tali che

\[\lim_{m \to +\infty} a_m = 0 \quad (a_m \text{ infinitesima})\]

e \(b_m\) limitata.

Tesi

\[\lim_{m \to +\infty} a_m \cdot b_m = 0\]

Esempio

\[\lim_{m \to +\infty} \frac{1}{3^m+1} \cdot \sin 2m = 0\]

\[a_m \to 0\]

\[b_m \text{ non tutte nulle}\]

Osservazione

\[\lim_{m \to \infty} m^2 \cdot \cos \frac{\pi}{2} m = ?\]

Cioè, l'unitato si annulla continuamente!

Non vale il teorema!

Infinito \(\cdot\) limitato \(\to\) tende a \(\infty\), se il limitato non si annulla infinite volte in un intorno di \(\pm \infty\).

Algebra dei limiti

Siano \(a_m, b_m: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\)

\[\lim_{m \to +\infty} a_m = l \in \mathbb{R}\]

\[\lim_{m \to +\infty} b_m = m \in \mathbb{R}\]

Allora

\[\lim_{m \to +\infty} (a_m \pm b_m) = l \pm m \quad (\text{se ha senso})\]

\[\lim_{m \to +\infty} (a_m \cdot b_m) = l \cdot m\]

\[\lim_{m \to +\infty} \frac{a_m}{b_m} = \frac{l}{m}\]

Successione Notevole

a_m=q^m

q ∈ R

lim_m→∞ q^m =

• 0 se |q|<1
• +∞ q>1
• 1 q=1
• ∉ q≤-1

lim_m→∞(¹/₂)^m = 0 |q|<1

lim_m→∞(¹/_2^m) = 0

lim_m→∞ 2^m = +∞

Teorema del Criterio del Rapporto

Vale per successioni strettamente positive!

a_m>0

∀ m ∈ R^-

Chiedo se esiste lim_m→∞ (a_m+1/_am) = q;

1) Se q>1 allora lim_m→∞ a_m = +∞

2) Se q<1 allora lim_m→∞ a_m = 0

Nulla si può dire se q=1

Dimostrazione

Caso q<1

(3) a_m>0 ∀m

i) lim_m→∞ (a_m+1/_m) = q q<1

∀ε>0 ∃m_ε ∶ m>m_ε ⇒ |a_m+1/a_m - q| < ε

⇒m>m_ε

q-ε < a_m+1/a_m < q+ε (1)

Esiste uno q<1 unico e è strettamente

q+ε <1

Da (1) diventa a_m+1/a_m < q+ε <1

Quindi a_m+1/a_m <1 → a_m+1 < a_m → successione decrescente (2)

Da (2) e (3) segue che a_m è strettamente decrescente ed è inferiormente limitata.

⇒ Qui lim_m→+∞ a_m = l finito! → è una successione convergente

Se l è finito, ipotizzo che sia ≠ da 0. Ipotizzo l≠0,

lim_m→+∞ a_m = l ≠ 0. (4)

lim_m→+∞ a_m+1 = l ≠ 0 (5)

Da (4) e (5) segue che è lim_m→+∞ a_m+1/a_m = l/l = 1

Ma è in contraddizione con l’ipotesi q<1

Assurdo! Quindi ε=0 CVD.

• CASO q>1

Definisco come b_m=¹/_am se a_m≠0, ma a_m>0.b_m>0       ∀m.

^b_m+1/_bm=^a_m/_am+1=¹/_q

Quindi ¹/_q<1

Ma succede come nel caso precedente!

⇒ b_m→+∞     ⇒ a_m→+∞       q.e.d.

TEOREMA DEL CRITERIO DELLA RADICE

a_m>0     ∀m∈ℕ (o definitivamente)Se esiste     lim _m→+∞^m√a_m=q

Valgono le stesse tesi:

1. Se q>1 allora      lim _m→+∞     a_m = +∞
2. Se q<1 allora     lim _m→+∞     a_m = 0

Se q=1 non vale!

SCALA DEGLI INFINITI

Sono in "ordine di infinito" le seguenti successioni:

a^mx, q^m, m^x, m^m   (x>0, q>1)...sono in ordine di forza, uno è più infinito dell'altro!![se prendo uno a sx/uno a dx, i.e. lim =0]

ESE. CON m^m E m!

C_m=^m!/_m^m

USO IL CRITERIO DEL RAPPORTO    C_m>0

lim _m→+∞      ^C_m+1/_Cm = qossia lim _m→+∞      (m+1)!/(m!)^m+1 = m^m/m!

lim_m→+∞ ^(m+1)/_(m+1)^m+1 - ^mm/_m! = lim_m→+∞ ^(m+1)m+1/_m! - ^mm/_m! = lim_m→+∞ ^mm(m+1)m1/_m! =

lim_m→+∞ ^m2/_(m+1)^m - lim_m→+∞ ^(m)m/_(m+1) = lim_m→+∞ ^(m)/_(m+1) = lim_m→+∞ ^(m)/(m+1) = lim_m→+∞ ¹/_(1+¹/m)^m = ¹/_e

q = ¹/_e < 1 quindi cn tende a 0.

ABBiamo scrITTO un ORDINE CRESCENTE DI ∞

OSS!

α_m = ^{arctg((m!)2m! mm)}/₃

NON importa che cosa ci sia dentro l'arctg! PErchè è LIMITATA!

^{0 - arctgD}/_3^√m = ^π/₂

^π/_3^√m → tende a 0. E quindi α dei coslinieri → tende a 0.

LIMIti di FUnSIOne

lim_x→+∞ f(x) = +∞.

∀A>0 che mi viene in Mente ∃k>0: Se x < ε quindi x > k ⇒ f(x) > A

caso Analogo x→-∞.

lim_x→∞ f(x) = ℓ

∀ε>0   ∃k>0: se x∈dom_f   e k>x

=⇒ |f(x) - ℓ| < ε

e approssima bene la f(x) da un valore in avanti

CONTINUITÀ

x prossimo a x₀, hai da garantire che f(x) ≈ f(x₀)

se x è prossimo vicina a x₀ ti avvicini ma ti fermi di certo

La definizione si fonda sui salti. f è continua in x₀      def

∀ε>0   ∃δ>0    x∈dom_f  ∧   |x - x₀| < δ

=⇒ |f(x) - f(x₀)| < ε     δ=δ(ε, x₀)

un valore legato alla continuità

lim_x→x₀f(x)=l

∀ε>0 ∃δ>0 : x∈domf ∧ 0<|x-x₀|<δ

⇒ |β(x)-l| < ε

OSS.

β è continua in x₀ ⇔ lim_x→x₀ f(x) = β(x₀).

E.S. Verificare che f(x)=x² è continua in x₀=2

Cioè lim_x→∞ f(x) = β(2)

lim_x→∞ x² = 4

∀ε>0 ∃δ>0 : 0<|x-2|<δ ⇒ |β(x)-4|<ε

Ossia |x²-4|<ε

4-ε < x² < ε+4

{x² < ε+4x² > 4-ε}

{x < ±√(ε+4)x ≥ ±√(4-ε)}

{-√(ε+4) < x ≤ √(ε+4)x < -√(4-ε) ∧ x > √(4-ε)}

|x-2|<δ → 2-δ < x < δ+2.

i) Verifico se è interno di 2! ie 2 è tra √(4-ε) e √(4+ε)!

2) Scelgo un δ, ie minore!

δ = min {δ₁, δ₂} = min {2-√(4-ε), √(4+ε)-2}

x∈|x-2| < δ f(x)∈|β(x)-4| < ε c.v.v

Osservazione

|x²-4| < ε

|x²-4| = |x+2||x-2|

δ < |x-2||x+2| ≤ 4|x-2| < ε

|x-2| < ε/4 = δ

∂ = min tra {ε/4, ε}

Discontinuità:

Discontinuità eliminabile

∫(x)=[cosx]+x

∫(0)=1

0 ≠ ∫(0)=1

Quindi è discontinua in 0.

→ Ma posso tappare il buco.

Sia ∫ definita su I (x₀), se esiste lim f(x)=ℓ e

1. ∫(x) non è definita in x₀
2. f(x₀) ≠ ℓ

Si dice che presenta una discontinuità eliminabile.

È possibile in questo caso definire

f = {f(x) x ≠ x₀

       ε    x = x₀

Allora f è continua in x₀.

Sia I ⊆ domf. Si dice che f è continua

continua ∀ x₀ ∈ I.         ↔

OSS.1 Tutte le f elementari (polinomi, razionali, potenza, goniometriche, iperboliche, logaritmiche, esponenziali e loro inverse) sono continue sul loro dominio naturale.

anche 1/x, perchè il suo domf esclude già x₀=0.

Anche y = x, [0,0] ∪ [5,7] negli intervalli è continua.

OSS.2

lim 1 = ∞

x→0 x

lim      → vice versa lim 1/x = ∞

x→0 (1/x)

LIMITE DESTRO

y = M(x)

lim M(x)

x→1

da dx va a 0.

Ma da sx va su!

Mi aspetto 1, ma va giù! a 0.

Questo non posso tapparlo.

Ossia

lim f(x) = ε ↔ ∀ ε>0 ∃ δ>0 : x ∈ domf ⋀

x→x₀

      x₀ < x < x₀ + δ

   => |f(x) - ε| < ε