Limiti e Continuità, Analisi matematica I

Limiti e Continuità I

Intorni

I_ε(x₀) = {x ∈ ℝ : |x - x₀| < ε}

I_ε(x₀) = {x ∈ ℝ : 0 < |x - x₀| < ε} intorno bucato!

I_ε(x₀) \ {x₀}

Intorno di infinito

I_α(+∞) = {x ∈ ℝ : x > α}

I_β(-∞) = {x ∈ ℝ : x < β}

Intorno destro di x₀ ∈ ℝ

I⁺(x₀) = {x ∈ ℝ : x₀ ≤ x < x₀ + ε}

I^~(x₀) = {x ∈ ℝ : x₀ < x < x₀ + ε}

Intorno sinistro di x₀ ∈ ℝ

I^-(x₀) = {x ∈ ℝ : x₀ - ε < x ≤ x₀}

I^~(x₀) = {x ∈ ℝ : x₀ - ε < x < x₀}

Successioni

a_m : ℕ → ℝ

a_m = m²

b_m = octg(m)

c_m = (-1)^m

d_m = √(m - 5)

→ è definita m - 5 ≥ 0 m ≥ 5

per A = {a ∈ ℕ : m ≥ 5}

ossia ∃ m₀ : m ≥ m₀ → definitivamente definita!

M = 0, 1, 2, 3, ...

COMPORTAMENTO DI UNA SUCCESSIONE

CASO A

a_m = m²

a_m : N → R

La successione DIVERGE a +∞

deg lim_m→+∞ a_m = +∞

⇔

deg ∀ A > 0, ∃ m_B : m > m_B → a_m > A

CASO B

b_m = arctg(m)

b_m : N → R

La successione CONVERGE a ℓ ∈ R

deg lim_m→+∞ a_m = ℓ

deg ∀ ε > 0, ∃ m_ε ∈ ℕ : m > m_ε→ |a_m - ℓ| < ε

CASO C

c_m = (-1)^m

È una successione INDETERMINATA, né convergente né divergente.

P.s. Una successione si dice REGOLARE quando è convergente o divergente!

lim_m→+∞ (-1)^m =∅

Teorema

Siano a_n, b_n : N -> R due successioni tali che

lim_m→+∞ a_n = 0 (a_n infinitesima)

e b_n limitata

Tesi

lim_m→+∞ a_nb_n = 0

Esempio

lim_m→+∞ 1/(3^m+1) · sin2m = 0

Osservazione

lim_m→+∞ m²cos^m(π/2) = m = 7

Cioè limitato si annulla continuamente! Non vale il teorema!

Infinito · limitato → tende a ∞, se il limitato non si annulla infinite volte in un intorno di +∞.

Algebra dei Limiti

Siano a_n, b_n : N -> R

lim_m→+∞ a_n = l ∈ R

lim_m→+∞ b_n = m ∈ R

Allora

lim_m→+∞ (a_n ± b_n) = m ± n (se ha senso)

lim_m→+∞ (a_nb_n) = l·m

lim_m→+∞ (a_m/b_m) = l/m

lim_x→∞ f(x) = ℓ

∀ε>0 ∃k>0: se x∈dom f

e k>x

=> |f(x) − ℓ| < ε

ℓ APPROSSIMA BENE LA f(x)

DA UN VALORE IN AVANTI

CONTINUITÀ

x prossimo a x₀, hai da

desumere che

f(x)<f(x)

Se x se premi vicino a

x₀ ti avvicini ma

f rimii al valore.

f è continua in x₀ d_ef

∀ε>0 ∃δ>0 x∈dom f ∧ |x−x₀|<δ

=> |f(x) − f(x₀)| < ε

δ=δ(ε,x₀)

UN VALORE LEGATO ALLA CONTINUITÀ