Limiti di una successione, Successioni divergenti, convergenti e limitate definizione e spiegazione, Definizione di Intorno, Monotonia delle successioni

Dimostrazione

Prendiamo ad esempio la seguente successione, del tipo:

2

lim n n=+∞

+2

n →∞

Per quanto scritto prima per successioni DIVERGENTI

POSITIVAMENTE, scriveremo: 2

n n >M

+2

Andiamo a risolvere tale disequazione e troveremo:

2

n n−M

+2 >0

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Risolvendo questa disequazione di secondo grado otterremo due soluzione

del tipo:

√ √

1+ M ;−1− 1+ M 0

−1+ >0 <

Dobbiamo quindi scegliere quell’ n tale che quest’ultimo risulti maggiore

0

di 0 e pertanto sceglieremo la PRIMA SOLUZIONE anziché la seconda.

Con questo abbiamo dimostrato la divergenza in positivo della

successione; nel caso in cui dovevamo dimostrare la divergenza in

negativo di una successione dovevamo trovare quell’ n <0.

0

Può capitare che ci si ritrovi davanti a successioni per le quali il LIMITE

NON ESISTE; in questo caso si parla di successioni IRREGOLARI.

lim a =∄

n

n →∞

Questo è il caso di SUCCESSIONI OSCILLANTI.

Esempio di successione oscillante

Sia data la seguente successione: n

a = (-1)

n

Supponiamo per assurdo che questa successione ammetta un limite e che

questo limite valga una quantità che chiameremo “l”. ε 0

>

Per la definizione di convergenza di una successione fissato un , e

fissato un n=2k, si otterrebbe: 1−l e

∣ ∣

<

e per un n=2k+1 avremmo: 1+l

∣ ∣ ∣ ∣

−1−l <e <e

ossia

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Sviluppando le diseguaglianze si otterrebbe che l:

1−e <l<1+e

l<−1+e

−1−e<

Dovendo valere per e >0 allora dovrebbe essere verificato

contemporaneamente che:

l=1 e l=−1

In questo caso la successione è impossibile che converga. Se mi vado a

mettere nelle condizioni di successione divergente positivamente devo

scegliere un M> 0 e quindi posso scegliere solo M>1, ma in questo caso la

mia successione avendo supposto che abbia un limite finito e che valga “l”

non può darmi un limite che sia uguale a +infinito, stessa cosa non può

darmi un limite che sia –infinito.

Intorno di un punto

L’intorno di un punto x non’è nient’altro che un intervallo.

0

Si dice intorno centrato del punto x ( o anche intorno completo del

0

punto), quell’intervallo aperto sia a sinistra sia a destra , di lunghezza

arbitraria con centro nel PUNTO x .

0

Generalmente un intorno si definisce con la seguente scrittura:

I x , ε

( )

0 ε

Dove x rappresenta il centro dell’INTORNO mentre è il suo raggio.

0

Definizione rigorosa di intorno completo

Si dice intorno completo di un punto x :

0

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{ }

∣ ∣

I x , ε x R : x−x R :−ε x− x ε

( ) = ∈ <ε =x ∈ < <

0 0 0

In poche parole è l’insieme di tutti i punti di x che distano dal centro x di

0

ε

una quantità meno di , cioè :

Ora daremo la definizione di cinque modi diversi di INTORNO.

Intorno destro di un punto

Si definisce intorno destro di un punto, quell’intervallo avente x come

0

ε

centro, come raggio, aperto sia a destra che a sinistra tale che risulti:

I x , x ε app.ad R : x x< x ε

( )

+ =x < +

0 0 0 0

Intorno sinistro di un punto

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Si definisce intorno destro di un punto, quell’intervallo avente x come

0

ε

centro, come raggio, aperto sia a destra che a sinistra tale che risulti:

I x , x app.ad R : x x x

( )

−ε =x −ε < <

0 0 0 0

Intorno destro di –infinito

Si definisce intorno destro di –infinito, un qualsiasi intervallo aperto a

destra e a sinistra tale che:

I ,−M app.ad R : x

(−∞ )=x <−M

Intorno sinistro di +infinito

Si dice introno destro di +infinito quell’intervallo aperto sia a destra che a

sinistra tale che: I M ,+ ∞ app.ad R : x> M

( )=x

Intorno bucato

Si dice intorno bucato di un punto quell’intorno privato del suo centro

ovvero di x :

0 I x , ε x x , x , x ε

{ }

( ) ( )

− = −ε ∪(x + )

0 0 0 0 0 0

In pratica è come se tenessimo conto di tutto l’intervallo senza badare

al suo centro!

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Monotonia delle successioni

Una successione si dice monotona crescente se per ogni numero naturale

“n” si ha che: a < a

n n+1

mentre una successione si dice monotona non decrescente se:

≤

a a

n n+1

Le successioni possono essere anche monotone decrescenti, e quindi:

a > a

n n+1

oppure monotone non decrescenti: ≥

a a

n n+1

Come studiare la monotonia di una successione

Esistono tre metodi diversi per studiare la monotonia di una successione:

Si pone in gioco una diseguaglianza del tipo:

1)

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a < a segue che a -a > 0

n n+1 n+1 n

Se la successione considerate è una successione positive allora dalla

2) disequazione: a n+1

⟺ >1

a < a a

n n+1 n

Studio della derivate prima; ovvero presa una funzione continua e

3) derivabile in un intervallo [0, +infinito), con f’(x )>0, allora la

0

successione a = f(n) è crescente.

n

Un teorema che ci viene in soccorso senza dubbio e quello sulla

MONOTONIA di una SUCCESSIONE

Enunciato

Siano date due successioni (a ) e (b ) , se quest’ultime sono due

n n n n

successioni crescenti allora anche la loro somma sarà una successione

crescente.

Successioni limitate superiormente

Una successione (a ) si dice limitata superiormente se e solo se esiste un

n n

numero REALE M tale che sovrasta tutti gli altri termini di detta

successione, ciò vale a dire che: ≤

a M

n