Limiti di una successione, Successioni divergenti, convergenti e limitate definizione e spiegazione, Definizione di Intorno, Monotonia delle successioni

Docente di analisi e fisica Falco Amedeo

Limite di una successione

Definizione n → R

Una successione numerica è una legge che associa a ogni numero naturale “n” un numero reale che si indica con “a_n”. Una successione quindi può essere vista come una funzione che ha per dominio i numeri naturali e per codominio quelli reali. Le successioni di solito vengono indicate con le seguenti scritture: {a_n} oppure (a_n).

Successioni regolari

Limiti di successioni finite (convergenti)

Si dice che una successione di numeri reali converge a un numero reale se e solo se: comunque si fissi un numero reale ε > 0, riusciremo a trovare sempre un indice n₀, tale che tutti i termini della successione con indici maggiori di n₀ hanno distanza da “a” minore di ε. Scritto in termini matematici il concetto diventa più chiaro: ∀ε > 0, ∃n ∈ N : ∀n > n₀ risulta |a_n - a| < ε.

Se vale questa definizione allora indicheremo quella “a” come il limite della successione a_n:

lim a_n = a_n quando n → ∞

Questo tipo di successione ha un limite finito e pertanto si dice convergente.

Dimostrazione

Prendiamo ad esempio il seguente limite di successione:

Docente di Analisi e Fisica Falco Amedeo

lim (n-1)/n = 1 quando n → ∞

La prima cosa che dobbiamo fare è dimostrare l'esistenza di quella quantità ε (sempre maggiore di zero) tale che la distanza tra a_n ed a risulti minore di tale quantità, quindi scriveremo:

|(n-1)/n - 1| < ε

Risolviamo quindi la disequazione rispetto a n e quindi scriveremo che:

|(n-1)/n - 1| < ε

Perché la quantità 1/n deve essere una quantità positiva allora possiamo togliere il valore assoluto e quindi troveremo che l'indice “n” della successione deve essere:

n > 1/ε

Limite di successioni infiniti (divergenti)

Successione divergente positivamente

Una successione di numeri reali diverge positivamente se comunque si fissi un numero reale qualsiasi M (M > 0), esiste un indice n₀ dopo il quale i termini della successione sono tutti maggiori di M.

lim a_n = +∞ quando n → ∞

Docente di Analisi e Fisica Falco Amedeo

In matematichese scriveremo:

∀M > 0, ∃n₀ ∈ N : ∀n > n₀, a_n > M quando n → ∞

Successione divergente negativamente

In questo specifico caso fissato un qualsiasi valore di M, la successione si dirà divergente negativamente.