Successioni, limiti e continuità

INFINITESIHALE

CALCOLO

BEFInIZIOne fiN

fonzione R

realic

Und di ad ogni

numeri che numer

successione ina

HEN anER

naturale ed reale

solo

associa wno numero

wo

ERNEN

fln an

)= san

solito "

indica

Bi si an

awen ) =2"

=

In z

L-y7M

Esempi an

an

an an

: ? =n

grande

Came comporta

si pern

an ?

an arbitrariamente O

arvicina

grande si a

pern

="

DEFINIZIONE INEEN tale

aGB VETO

Biciamo che

che converge se

a

an

Ja Kn

E

an -E,atel *nE

himtadnia

In tal a

an

scrivereme

case , QEJ

an dovrå

E

Esempio che

voglio

se essere

: =" -E.EL

In b =

E dunque scegliere an

posse I

2=E

,

=

Ja E ID a

anE lan ID

-al -EFINdE -EcanFatE

-E,atET

definiziore definiziore

La seguente

precedente i equivalente alla :

ISEEB FNEN

lan

T

IDFEZO NISE

an a -alE

.C. , del

TEOBEMA di mnicità

Il limite

teorema limite di

bER

aERe il

a dice

=3

an mi

an che se

=b

Bimostrazione esiste é

= unico

an

: s

JHEN Lan

FE T

2O -aleE

.c.

IMEEN Lam

VE T

2O -alE

.c.

max Fnin lan

sne

Prendo sind elan E

,mel:nÉ 's -

-bl

-alE

1 tlan la I

la a =)

-bl= -antlan-bl

la-an) 2E

-b3l

la

FETO assurde

=) a

b

-b=0

a se

perche 10er

-blZE E =

la

tab

scegliere =7

come

posso ? s

= -ble2/a)?a-B

la 11 =2

= ASSURDO

-blelarb) a

a

-b=0 =3 =b

Esempio

!

an (-13"

I

=(-yj" aaktef lim

I

azkuyI

azk

=L d

- -d 3 noth

DEFINIZIOne

sia Dichiamo

di diverge

numeri

successione che

reali se

atcs

ina an

an . Fnsñ ,nEN

tale

FMO IñEN

MERT che an

, lim

In tal an

otco

scriviame =

an tos

caso nustes

,

Esempio

! FUSñM

anINM

VM

perche

an otco

an

an

=h 7O,

DEFINIZIONE divergente

di dice

numeri

an si

reali se

a

soccessione -is

NeN

JREN

FMER FRON

T ANX

-M

.C.

Esempio

: MERT

an F ñEN

trovare

devo

perche indice

=logata) o

an -co on

( =-

tale nxñ

legz

che per

En) M 2

aM Lrm

In =

2

5 23

In MEn

s 2"

di

ñn

prendere

basta uguale

naturale

come maggione

numero

in o

BEFINIZIONE

le REGOLARI

anJnen divergenti dicono hanno

convergenti successioni

che

succession Le che

si non

e

sono

limite dicono

si IRREGOLARI

C è

Esempio IRREGOLARE

-43h

an =

:

befinizione JMER THEN Inottre

Una T anEM

dice limitata dice

superiormente

successione si

se

si

an an

.

.C.

IMER limitata

inferiormente

dice

FMEN

T

inferiormente é

limitata limitata superiormente

mean si

an se e

se .

.s.

1-13"

Esempio limite

limitata

è ha

an = ma non

: ,

teorema EB

sia é

s limitata

a an

an

dimostrazione FNEEN

E

Sappiamo lan FMTNE

tic

=3

che a +OV

an -alEE

.

JyEN

E knamn

Scelgo t a

=

s

=1 -1aancaty

.c. any

. m

13 ER

Memax

Scelgo scelgo

at

?ania2... . }

-min{agidat....

,

=3 TNEN

MEANEM limitata

é

= an

s

del

Permanenza

TEOREMA deld segno

JñEN

sid Xnxñ

=5

7o

a tac anto

au

Dimostrazione nane

VEFO t

JMEEN 2-

=3

a

an Ecancats

70 .c.

E

scelgo tntne

0

8 a z

=

= -geancat

corollarios

Se I

FNEN O

lim essere

= an

7 =a,

O se a

an deve t

s nistys

Dimostrazione JñEN

se Fniñ

t

del questo

d della

=0 il texrema anO

assurdo = segno e

per permanenza

per an s .c. ,

é TNEN

ASSURDO perche =O

an

ipotesi

per

,

teOreMA confronto

des

Yned bn =)

anebn b =

a

a

an b

Dimostrazione OLbu arb

b

considere il

b -a=O

= =

corolario

per

s s

-a

-and

dare

dei

TEOREMA Carabinieri lim bn

amFBmECn Cm =3

02<