Successioni, limiti e continuità

DTCA - BCRITERIO Rapportodel se lsia amanYUEN 3abbiamoOran casi;. ,Mam -BtCole13 l =} ose anla =321 se tersan4f3) =3 il metodo inefficacese é=lEsempio:hß o 9b a:o econ ?nam -iteo 7tende aMth =nån ( n IE 7 1 nb oan åus= =an an4=nz1jb. . s, m u ste s à=anty aeuans nb2â"a FattorialeDEFINIZIONE di 3!=XnIZ 6Indichiamo 3.-2! =3.2.2!1!=1 nian =2.1:=2 1: =e comcon .lh-ns'añ qnth - xOàan am= n!= I 17y anEntys nty mestasam !?Der oil delariterio rapporto anvi !mcusanaaam! FEI =n Eean LiDJaCnaeinay 1Eantan =motesIntil inteil :A+zjn:!=nňn mh= =Per *delcriterio rapportoil obncusañsâzn!añ"sottosuacessioneDEFINIZIONE di 1Sia CMRJKEN diciamo ladi taldi aheLmmmaturalinumerireali successioneean numeri wandund succ casos.lankken é disottosuccessionesuccessione and an .proposizioneIs(Se di naturali NIK=3numeriNEJKENDimostrazione KPer induciore suk ENny7) percne ny=y=1 Mkay2) = KMKEK I +1D * =7 KHSi =3 NKna MEHIK

EMkty +yRKIKteoremase asottosuccessione=3a ognian ank knuptes -atco

Dimostrazione

FñENFE lan Fnt=O =ñ.c. -alEPerkxñ EmkIKtñ lanknasi =3 -al:NegativoGriterio in zse dretrovo sottosuccessioni diverso limlimnite =3di anan com - +a CDSTEOREMA Weierstrassdi J OXER( Eanlimitatasia tdisottosuccessioneXn successione =mna sempre Tnrma kistiss .c.)xnIk

Dimostrazione dicotomialLcon metodo di bà 'Jaib Ta VnENERté limitata XnEIn =3 .e. ,bJ a baxt2[ , bJuLaibI metáintervalloDividiamo =3' Iatza a,b]=LadtzJ] bJlaZa neNlintervallobJ infinitiChiamo t indicidei 2 EXmsopra per.o.'', '',bila aScelgo thEun =àçxnEb=b3}'', intervallo àd Lawibal ll che tottimetåDivido contienenovamente chiamo gli 7a e 'interwallo,b'} nbElaz ( baJt lunghSid :ntna -az).c.,ba) taz,2=n, xukETakiDkJHaro costruzioneK questavotte Ilak béé 3 limlimitata a buJinf=)î : liwlimitatdak =3sup. =Bkuste k-steszb( 3

XBBlough xnBrO= -aB === . -al knastcsJbk-ak =DKTakibkDJ -B+LANELLIMITI CONTINUOrER zsia 8O Jxo xotrI ALaVr 50si puntoDiciamo 7Oche di accommazionedice per on seXOER -Exo3)-v,z punto puntoédié di accomulazionewh manon inan=ŞkimcN} ,teoremaRER 24Sia equivalenti informazioniseguentilesono :O,i ei diponto accomvlazioneto sper) Jto 1Vrii fimiti punti7O conti inene-rixotrt L2-2to5))Dimostrazione MCnxotrItoJrIOsupponiamo t puntiassurdo che FiNIto=per dinumero-Ex03)2.c. -v, MCnJto-...min {rm xO=-E7o3). -vizotrI}:RER xo}:Era,rz=3 Questo iipotesié ASSURDO perchepuntopio cdiXo accommlacione valeper perinesserenon . )osservazioneSe 1é perpunto accomulario ta n adi tr227 tnexo Thnxo s u cce ss i o ne xoin .c. -Dssdefinizione RISia toDefiniamo 'insiemeER 240 accomulazione perDERIVATO didiNN BLRJ punto=EXOER, },Esempio:RIşMInEN DCRI 2= BCJ0,42 =3} 2J=IO,7J:20}DEFINIzIOne fDLBER 24 XOE side :RR2), O, XxeJtoJSEFOFEIO RLRFCXIJ FEXIET XDiciamo limnche se .C.

-S,Xo+59I=XER -E,+ET -2xo}X-Bxo fCxş 7In tal scriveremocaso xoDEFINIZIONE flxulVXNEMfExlim I Xt =3XnXnXO)=X to3 .c.qmńO nuptas, muotcoTEOREMA Unicitá del Limitef JseDLBIXOE fexstim è=3 wnico:r 2) -xo4Dimostrazione paga .definizione DCrIMER FEXo :r, CnISJ MERT 7VXEFEXIITCS FMIO t FETIIMlim nDiciamo 70che JtoSe -5, -2x05).C. ot52tsto ,Esempio!fCxJz 2 wsoFZ fCx3:+Co7x2 =R O} limDEFINIZIONE DCRLRER EXOE :A, 17870I MERT 1faxs tVMIO FCaIlim VXEJto aDiciamno .C.che as Se: -ms r-9x05)-8,40+52X -13 to ,DEFINIZIONE fsuperiormente limitatos non :R. 152-+JFCXI IFCXVETO- J TDiciamo TI VXE52T0che Se .C. L3-TIEXER Ex05)FDTLD 8,DEFINIZIONElimn +YXEJSfExI VMERT 5810 FExIM 1tse=taD CI.e. ,X-D+Clim tCsIYXEJSfexs FMERT 15820 FExstco se= n.e. ,X-D+CSlivn IYXEJfexs FMERT J 1.-.5FExIMt870se-tes .a.X CA-1lim YEJfexs FMER 58+0 Fexstas se: .s.X CA--13definizioneF XOEDIRS:RB,MER xoYxeJxo 1se MIOE F FEXI CDiciamo 2limahe , +MFCXJ 7530 .2T2D +81,X 5 xOTxo w-13 o 21 2X Xö -8,-13 VXEJXO7870FEX

FEXEFMIO ATDiciamo limche be1--A -M 2.C. ,XOTSIX ,.X J xo [ Mto-3 r-yxóx -8,TEOREMA limSe =xaxxo fexsXFExz =XDXot75 lim==XERUEIDS s FC +I -B3xöXlimEsempio!fCxJ F {0})(DB 0€:K R-:R-20} IxI Blimrin n timolimLR fEx48VriO -203)J tc o= 3X -E=-uss-B8+ 1-3O1im sinx =BoDimostrazione Ietgasinaea cosaYOcak -singsid 20 sina :1e sincosaD cosae g: sind1a =sina, cosa à -DO ltende a7corollario xoFig LJxo7870 IFEXLEGETR FXETDITOE e +8I1.C. -8.2I ) 1-Sxob).RER,:R flxs =OlimOsupponiamo =3gCXe 3 X-i3xo X Xo-13Dimostrazione fexs- carabinieri= 2teoremailO deiper osgExlEfCx7EgCx)LXEx-tsxo -Bxoo cosxtycosxlim -1cosKY 1p -1. 1==cosxty=cosX .LcosthyJCogly-1. =--DOX yzy:- sim?x yat *àlimnimDtoo =0:oa toose = àxatXu B-CatOkak àIimxistes lim=Ose *=+co? oX-1-CO Xlnxmsoliver Inx co=t =-sX-B+CA XB xb:O lim O=b limse =+ secs :o 3X COXBtCD -D+J= fonzionefunzionelim infinitesima=O limitatalion prodottoilperché dicosx cosx andand eX CSX-D+CO -B+FUNZIONI

CONTINUEdefinizionef ToEA Is fosto faxfeXOEesid seDCAS continua in tose:A 3=fExo)limnEsempioA Ese DCAJ=3 xo=Şxo} continuaDEFINIZIONE Funziomedi NA70+8,VXEJxof Tcontinud .C.sediciamo IFExinche ZSEERTfe XOEA FELO:A. -52,-FEKE LOsservazione {{ xo{xo R definizionedallaSe fefA continua inche= seguee : } xos} DIm questo €tocaso [Exo})discontinuitàdefinizione FCx712f faxst fExIdiscontinuità perf limé limto limA di FEXIIlim ean a specie se: 3fotot Bxot TBXO, rarstoEsempio iy{ ^ dx O:0 discontinuità dié speciese aadosgn xxO =0(x) se Io*1 se~deFiniziOnef 20 (" sinistroldi dweuna esistedei limiti Iasvalealmenospeciediscontinuità ofha se o nonuno:A destroEsempio yfaxs E O( =e O)=E 22O discontinuità dié specieund0-.DEFINIzIOneBFha lim limF in limn CxOspecie euna EFcioefbsxot IDXOdi Jfrsxotfexsse32ToEA J3:A discontinuità )fexs FCXI,Esempio{ sinx x4Ofexs lim FCOSE=1ě simx =O-3OXo =0Xbefinizione CCAL fecontinua Aé

puntoAsu

continuaIndichiamo diincontinuaR ognito inVXOEAS secom :Sf:A .fDEFIniZIOne ftgefGECLASf CLA =E s],gXER FEGCAS XIFECCAS=J gof GOFECCATf BERFECAL B GELCAR =39::A :AR),teOrEMA Permanenza segnodeldelia NxoFECLAI 7870 FXEJxof t FEItO AXOGA 1xo3+O =3side e -8..C. +SI