Limiti di successioni funzioni e stime asintotiche

LIMITI LATERALI

Sia R un intervallo e I un punto di accumulazione di X. Si dice che il limite destro di X per I è il valore l, scritto:

lim(x→I+) X = l

se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x ∈ X e 0 < x - I < δ, allora |X - l| < ε.

In modo simile, il limite sinistro di X per I è il valore l, scritto:

lim(x→I-) X = l

se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x ∈ X e 0 < I - x < δ, allora |X - l| < ε.

Se esiste il limite destro e il limite sinistro di X per I e sono entrambi uguali a l, si dice che X ha limite per I ed è uguale a l, scritto:

lim(x→I) X = l

Inoltre, se X è una funzione definita in un intorno di I, si dice che il limite di X per I è l, scritto:

lim(x→I) X(x) = l

se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x ∈ X e 0 < |x - I| < δ, allora |X(x) - l| < ε.

[Teorema] Se X ha limite per I, allora il limite destro e il limite sinistro di X per I esistono e sono entrambi uguali a l.

[Teorema] Se X ha limite per I, allora il limite di X per I è l.

[Teorema] Se X ha limite per I, allora il limite di X per I è unico.

[Teorema] Se X ha limite per I, allora X è limitata in un intorno di I.

definita tuttoho con xosu→ ,, .,✗ xo→ line e84line )Allora )fcx= =tò✗ ✗ →→È lateraleimmediata della restrizioneteoremalimitedi limitedella suldef delconseguenza euna . puòè perchéchiaro line )fatornando lineche line )flxaverefcx =/) nonsgeexa = ,✗ → o✗ o→ ✗ → o -esercizio Èle l'un ) =LMostrare che fcx& line allora"line )(f)se =×= . ✗xà →✗ ← µ ✗ o→l )(è concettualmente è differenzac'Ssolo tradefinita intorno tolo in destroOss nonse houn +. , ,) liveline 84 )scie .xot✗ lo ✗→ → )eux(flx)1)Es log ✗=(0,1-0) IR8 →: ( )tra l'unl'un logx lagxdifferenza valgonoc' è coNon e _✗ 0 Ò→ ✗ →2) 18( )× = ✗ f-line È line° o+= = -+ -✗ ✗☐ o→ →☒ & lineline line fcx) )perché f-gcxè ✗✗ o→0✗ -→→ 2=+03) ?

)lineline ( successionete✗ co+ n == , { >✗ +0 + iouna→ ,divi INrestrizioneèperché la fcx)successione au auna_-☒Proposizione &line sete+✗ ☐→Din Èliveassurdosupponiamo che esent c-per =a, , ot✗ →Per diil limiteteorema compostafunzionesul ¥ elivesentline seu ==c- +)a→ [+ ✗=L ☐→c-Questo è periodica quindi limitesentassurdo èperché funzione costante aammette ±non cononuna ,Oss $ li ☒$ $confsimilmente lineline ¥tausentline alle"E .' _.., ,,± ± ,✗✗✗ →- →☐o →✗ ☐→ !Teorema dilimite monotonedi esistenza funzioni IMPORTANTEdel !È(d) ) (Sia f )IRsia EEIR dconsideriamo latoancheA Epf E crescente ininp pa ✗con→ <n: sensoee = , . .,Allora : È 84di accumulazioneSea) è dell'p insieme esiste e )linec- epunto valeun e=, -po✗ →R)e limitataèe superiormente Elofasup suse=• E✗ E è

crescentilimitata8 funzioniesuperiormentee hannonon+ ovverosuo se=• nell'limite estremosempreb) ÈSe d' 3- linea di KE destroc- valeè gcx) sinistropunto acc = ee e. , .+✗✗ →ècieloK EIR 8 einferiormente) limitatagcx suse=• C-✗ E limitatoè inferiormenteK lo esu-0 se non• = ,si che alloraintendeBv. D=se o+. , ,line significa eine)84 ✗ o. +p →✗→similmente ✗se co= - ( )decrescenti successioniteorema hasuccessionifunzioniB. leANALOGO le solole a t tov. per per sensopere .À(a) ) ER consideriamo 1f IRa decrescente& ✗sia c- Siaconma pc-e p <→ ep: sue = .,è dell' line valeesistea) punto accumulazionedi e )fase insiemep e, B-✗ →)84 limitatoinferiormentecielo eèlo suse• EC-✗ lo limitatoinferiormenteè eO nonse su• - dell'b) Se accumulazione vale)esiste lineè di epunto insieme SH e& :, +✗✗ →limitataft Esuperiormente) èlo

""( "÷( )"" () f)( )( " "" "( ÷ "÷ ÷ ^ ("a- )b asa == == = -= .;÷→E)" " .( , .an là+^- %)) "÷( (" :-<" ^ ×^- .- 1= , == " fi 1 E1 -- p " C-( ) ()disuguaglianza a)FxBernoullidisuguaglianzala dalla di E1dove : u1,0 tuo, 2ux1 >+ +segue +× >disuguaglianza dimostrarepuò induzioneTale si per1Qui ✗ = - U2[÷ an1allora auallora 2tu •>> > ^-Oss |1+171=2 sostituiamo( deiai = notiamovalori e'( §G)+=az = iche primiper, è> valori vero(1+13) ¥7 ,a ==> trovatoquanto dimostrare monotonialacalcolarebastaNon qualche valore per2Lemma ( %) "Risulta dimostrato<3 tu 1an > non+= →Quindi è limitataOss an crescente ma. .Teorema di Neperonumero→ (1+1) "{ } definita 3limitesuccessione da ammette finitola che risulta 2au an fracompreso e=1le .>teoremadelDive

Per il lemma del limite vale quindi la seguente successione funzioniammette:

Teorema: Se una successione è monotona e limitata, allora è convergente.

Inoltre, dal teorema generalizzato, segue che:

Se una successione è limitata e crescente, allora è convergente.

Definizione: Chiamiamo numero di Nepero il numero e, che è approssimativamente uguale a 2.71828.