Limiti di funzioni

LIMITI DI FUNZIONI

Si prenda la funzione f(x)= 1/x, prese x positive e che restituisce valori in R, se

si prende una qualunque successione tendente a infinito al posto di x, si avrà

sempre la tendenza a 0.

Se invece si prende una successione sin(2 x), per x=n si avrà che la

π

successione è uguale a 0, ma per x=k+1/4 si avrà che la successione tende a

1.

La differenza è che nella prima funzione, presa qualunque x si avrà sempre lo

stesso risultato, quindi esiste il limite, mentre per la seconda funzione, ci sono

valori di x che danno risultati diversi, quindi non esiste il limite. Questa

proprietà vale per convergenze e divergenze.

I limiti di funzioni possono essere di vari tipi, rispetto a quelli di successioni:

( )=l

(

lim f x)=l oppure ± ∞ lim f x oppure± ∞

x → x x→ ±∞

0 ( )

sin x

Si consideri la successione , essa ha limite per x tendente a 0 dato che

x

limite destro e limite sinistro sono uguali (e la funzione è pari), quindi x può

anche essere negativo, darebbe lo stesso risultato.

Definizione: data una funzione di dominio I che restituisce R, con I sottoinsieme

di R (che può essere un intervallo aperto, chiuso, infinito da una o da entrambe

le parti), e dato un punto x appartenente ad I, uguale agli estremi di I o

0

infinito, diciamo che: (

lim f x)=l

x → x 0

se presa ogni successione x tendente a x , con la successione appartenente ad

n 0

I, per ogni n, f(x ) -> l

n

Osservazione: se il dominio è positivo, si prendono solo successioni positive.

Attenzione: si ricordi che una tendenza del limite NON IMPLICA la sostituzione

del punto di accumulazione nella funzione, si spiega soltanto come varia la

funzione all’avvicinarsi a quel punto. Ciò vuol dire che:

(x)=l

lim f

x ≠ x 0

x → x 0

(

lim f x)=l

Proposizione: si ha (con f(x) avente dominio (a, b) che restituisce

x → x 0 | |

| | ( )−l

∀ ∃ >0 < <

valori R, x fa parte dell’insieme [a, b]) .

 ε>0 δ : x−x δ=¿ f x ε

0 0

Si noti che qui non vi è un indice n segnato per cui vale definitivamente il

limite, inoltre delta dipende da epsilon, che va identificato all’inizio.

Dimostrazione sul quaderno.

VARI TIPI LIMITI DI FUNZIONI