Limiti di funzioni

Limiti di funzioni

Si prenda la funzione f(x) = 1/x, prese x positive e che restituisce valori in R. Se si prende una qualunque successione tendente a infinito al posto di x, si avrà sempre la tendenza a 0. Se invece si prende una successione sin(2x), per x = n si avrà che la successione è uguale a 0, ma per x = k + 1/4 si avrà che la successione tende a 1. La differenza è che nella prima funzione, presa qualunque x, si avrà sempre lo stesso risultato, quindi esiste il limite, mentre per la seconda funzione, ci sono valori di x che danno risultati diversi, quindi non esiste il limite. Questa proprietà vale per convergenze e divergenze.

I limiti di funzioni possono essere di vari tipi, rispetto a quelli di successioni:

• (lim f x) = l
• oppure ±∞
• lim f x oppure ±∞

Si consideri la successione sin(x), essa ha limite per x tendente a 0 dato che il limite destro e limite sinistro sono uguali (e la funzione è pari), quindi x può anche essere negativo, darebbe lo stesso risultato.

Definizione

Data una funzione di dominio I che restituisce R, con I sottoinsieme di R (che può essere un intervallo aperto, chiuso, infinito da una o da entrambe le parti), e dato un punto x appartenente ad I, uguale agli estremi di I o infinito, diciamo che: (lim f x) = l se presa ogni successione x tendente a x₀, con la successione appartenente ad I, per ogni n, f(x_n) -> l.

Osservazione

Se il dominio è positivo, si prendono solo successioni positive. Attenzione: si ricordi che una tendenza del limite NON IMPLICA la sostituzione del punto di accumulazione nella funzione, si spiega soltanto come varia la funzione all’avvicinarsi a quel punto. Ciò vuol dire che: (lim f x) = l ≠ f(x₀).

Proposizione

Si ha (con f(x) avente dominio (a, b) che restituisce valori R, x fa parte dell’insieme [a, b]):

∀ ε > 0, ∃ δ > 0: |x - x₀| < δ ⇒ |f(x) - l| < ε.

Si noti che qui non vi è un indice n segnato per cui vale definitivamente il limite, inoltre delta dipende da epsilon, che va identificato all’inizio. Dimostrazione sul quaderno.

Vari tipi limiti di funzioni