Limiti, Continuità e Discontinuità

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LIMITI

DEFINIZIONI

Sia lo spazio topologico di partenza Dati e sia

(, ) ⊆ ⊆ , : →

Sia lo spazio topologico di arrivo

(, ℬ) → = ()

Siano potrebbe non essere definita nell’eventualità in cui non includesse

∈ e ∈ () ( )



0 0 0

allora

se

):

∃ () = ≝ ∀ ∈ ()∃ ∈ ( ∩ − { } () ∈ ()

∈

() ( ) ( )

→

Il limite per che tende a della funzione esiste ed è uguale a per ogni intorno di appartenente alla famiglia

≝

0

di intorni di esiste un intorno di appartenente alla famiglia di intorni di tale che, se appartiene

0 0

all’intersezione dell’intorno di con escluso al più , allora la funzione appartiene all’intorno di

.

0 0

��

� , = (, ℬ),

esempio: sia la funzione

)

(

=

�ℝ , : →

� → =

( )

∈ () ∈ ℝ +

0 }

{ |()

): ⇒ − | <

∈

∃ () = ≝ ∀ > 0∃ ∈ ( ∩ −

( ) ( )

0 0

0 0

→

0

tale definizione è più adatta alla rappresentazione grafica del limite ma è del tutto −

analoga alla precedente; allo stesso modo:

0

+∞

{0} |()

∃ () = ∞ ≝ ∀ > 0∃ ∈ (0): ∈ ∩ − ⇒ − | >

(0) (0)

→0 ( )

CALCOLO DEI LIMITI

Data una funzione monotona : →

→ = ()

Se è m o

n

o

t o

n

a c r e

s

c e

n

t e

• con

∈ () = ⟹ ∃ () = ()

→

con

∈ () = ⟹ ∃ () = ()

→

esempio: tutte queste funzioni sono monotone crescenti e il valore a cui tende è o dunque o

sup inf , = sup () inf ():

se > 1, lim ln = −∞, lim ln = +∞, lim = 0, lim = +∞.

→0 →∞ →−∞ →+∞

Se è m o

n

o

t o

n

a d

e

c r e

s c e

n

t e

• con

∈ () = ⟹ ∃ () = ()

→

con

∈ () = ⟹ ∃ () = ()

→

esempio: tutte queste funzioni sono monotone crescenti e il valore a cui tende è o dunque o

sup inf , = inf () sup ():

se 0 < < 1, lim ln = +∞, lim ln = −∞, lim = +∞, lim = 0.

→0 →∞ →−∞ →+∞

̇

S

e è m o

n

o

t o

n

a con

• ∈ ⟹ ∃ () = ( )

→

Se appartiene all’interno di allora appartiene anche a stesso, dunque sarà sempre definita.

( )

0 0

forme indeterminate = limiti che hanno come risultato le seguenti forme:

• 0 ∞ 0 0 ∞

e e

[0

[∞ − ∞] [0 ∙ ∞] ], [∞ ] [1 ]

� � �

� 0 ∞

funzioni che non ammettono limite:

• funzione di Dirichlet = funzione di variabile reale che assume solamente due valori, a seconda che la

− sia razionale o irrazionale:

variabile : ℝ → ℝ ∈ ℚ

→ = () = ()

∀ ∈ ℝ∄

� ∈ ℝ − ℚ → 11

dimostrazione:

si suppone per assurdo che esiste finito con

lim () = ∈ ℝ

 0

→ 0

se il limite esiste, vuol dire che allora

se

):

∀ ∈ ()∃ ∈ ( ∩ − { } () ∈ ()

∈

 () ( ) ( )

0 0

0 0

}

{ |() |0

): allora − | < ⇒ − | <

∈ ( ∩ ℚ −

∀ > 0 ∃ se ∈

( ) ( )

0 0

essendo in 0 0

ℝ �

 }

{ |() |1

): allora − | < ⇒ − | <

∀ > 0 ∃ ∈ ( ∩ (ℝ − ℚ) −

se ∈

( ) ( )

0 0

0 0

|0 − | < ⟺ − < 0 < +

�

 |1 − | < ⟺ − < 1 < + 1 1

− < 0 < +

2 2

dato un valore di per esempio , si sostituisce

⁄

: