Limiti e continuità

Funzioni continue

Una funzione è definita continua in un punto x₀ se, per ogni ε maggiore di zero, esiste un δ maggiore di zero tale che, se x appartiene all'intervallo (x₀ - δ, x₀ + δ), allora il valore assoluto di |f(x) - f(x₀)| è minore di ε.

Definizione di continuità

Se f: X → ℝ e x₀ ∈ X, allora f è continua in x₀ se per ogni ε > 0, esiste un δ > 0 tale che |x - x₀| < δ implica che |f(x) - f(x₀)| < ε.

Osservazioni

1. La scelta di δ è subordinata a ε.
2. Se la definizione vale per una coppia ε, δ, allora vale:
   • A parità di δ per gli ε più grandi.
   • A parità di ε per i δ più piccoli.

Esempio

Consideriamo la funzione f(x) = x² in x₀ = 1 con ε = 0,01². Bisogna trovare δ tale che |x - 1| < δ implica |x² - 1| < 0,01².

Per x₀ = 2, si ha: ∀ ε > 0, ∃ δ > 0: |x - 2| < δ implica |f(x) - 4| < ε. Il controllo è soddisfatto almeno in punti sufficientemente vicini a 2 (2 - ε).

Calcolo di δ

Supponiamo ε ≤ 4. Abbiamo |x² - 4| < ε, quindi -ε < x² - 4 < ε. Si arriva a:

• 4 - ε < x² < 4 + ε
• x ∈ ( √(4 - ε), √(4 + ε) ) ∪ ( -√(4 + ε), -√(4 - ε) )

δ è il minimo tra √(4 + ε) - 2 e 2 - √(4 - ε).

Definizione di intorno

Un intorno di x₀ ∈ ℝ è un intervallo del tipo (x₀ - d, x₀ + d) con d > 0, dove d è il raggio dell'intorno.

|x - x₀| < d ⇔ x ∈ (x₀ - d, x₀ + d)

Formulazione equivalente di continuità

Se f: X → ℝ, x₀ ∈ X, allora f è continua in x₀ se per ogni intorno N di f(x₀), esiste un intorno M di x₀ tale che X ∈ M ∧ X ⇒ f(x) ∈ N.

M = (x₀ - d, x₀ + d), N = (f(x₀) - E, f(x₀) + E)

Teorema

Tutte le funzioni elementari sono continue sui loro domini.

Limiti

Se y = f(x) e l = lim_x→x0 f(x), allora per ogni ε > 0, esiste un δ > 0: x ∈ X, 0 < |x - x_o| < δ implica |f(x) - l| < ε.

In particolare, se f è continua in x_o (e definita in tutto un intorno di x_o), allora lim_x→xo f(x) = f(x_o).

Esempio

Consideriamo f: ℕ → ℝ con f(0), f(1), f(2). Non ha senso parlare di lim_x→3 f(x) ma f è continua in x_o ∈ ℕ.

Ad esempio, lim_x→π/2 cos x = cos π/2 = 0 poiché f(x) = cos x è continua nel punto x_o = π/2.

Teorema dell'unicità del limite

Una funzione f: X → ℝ non può tendere a due limiti distinti per x → x_o.

Dimostrazione

Supponiamo lim_x→xo f(x) = l₁, l₁ ∈ ℝ e lim_x→xo f(x) = l₂, l₂ ∈ ℝ con l₁ ≠ l₂. Perciò:

• ∀ ε > 0, ∃ δ₁ > 0: ∀ x ∈ X, 0 < |x - x_o| < δ₁ implica |f(x) - l₁| < ε
• ∀ ε > 0, ∃ δ₂ > 0: ∀ x ∈ X, 0 < |x - x_o| < δ₂ implica |f(x) - l₂| < ε

Scelgo ε tale che |l₁ - l₂|/2 esiste, quindi (l₁ - ε, l₁ + ε) ∩ (l₂ - ε, l₂ + ε) = ∅.

Scelgo δ = min {δ₁, δ₂}.

Allora se x ∈ X, 0 < |x - x₀| < δ allora f(x) ∈ (l₁ - ε, l₁ + ε) ∩ (l₂ - ε, l₂).