Limiti e continuità

FUNZIONI CONTINUE

CONTINUA

NON CONTINUA

x ∈ ( x₀ - δ , x₀ + δ )

| x - x₀ | < δ

| f(x) - f(x₀) | < ε ⇐⇒ f(x) ∈ ( f(x₀) - ε , f(x₀) + ε )

FUNZIONI CONTINUE

CONTINUA

NON CONTINUA

|f(x) - f(x₀)| < ε ↔ f(x) ∈ (f(x₀) - ε, f(x₀) + ε)

DEF

x ∈ ℝ, f : X → ℝ, x₀ ∈ X

f è continua in x₀ se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :

|x - x₀| < δ ⇒ |f(x) - f(x₀)| < ε _{x ∈ X}

OSS

1. La scelta di δ è subordinata a ε
2. Se la def. vale per una coppia ε, δ allora vale:
   • a parità di δ per gli ε più grandi
   • a parità di ε per i δ più piccoli

f(x) = x² x₀ = 1

ε = 0,01²

δ =?

|x - 1| < δ ⇒ |x² - 1| < 0,01²

ES

f(x) = x² x₀ = 2

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x - 2| < δ ⇒ |f(x) - 4| < ε

controllo che cio è soddisfatto almeno in punti sufficientemente vicini a 2 (2 - ε)

Posso supporre :

0 < ε ≤ 4

|x² - 4| < ε

-ε < x² - 4 < ε

4 - ε < ... < 4 + ε

x ∈ ( √(4 - ε), √(4 + ε) ) ∪ ... ( -√(4 + ε), -√(4 - ε) )

|x - 2| < δ

δ = min { √4 + ε - 2 , 2 - √4 - ε }

Dato E>0, se si sceglie d=min {√(4+E) -2, 2-√(4-E)} allora

|x-2|<d ⇒ |x²-4|<E

DEF Un intorno di x₀∈R e un intervallo del tipo

(x₀-d, x₀+d) con d>0

(d RAGGIO DELL' INTORNO)

|x-x₀|<d ⇔ x∈(x₀-d, x₀+d)

|f(x) - f(x₀)|<E⇔f(x)∈(f(x₀)-E, f(x₀)+E)

FORMULAZIONE EQUIVALENTE DI CONTINUITÀ:

f:X → R, x₀∈X f continua in x₀ se ∀ intorno N di f(x₀) ∃ un intorno M di x₀. X∈M∧X ⇒f(x)∈N

M=(x₀-d, x₀+d), N=(f(x₀)-E, f(x₀)+E)

x∈ ︢ -f(x)∈

DEF f :X→R cont. su ∀X⊆E e continua in ogni punto x₀∈X

TEOREMA Tutte le funzioni elementari sono continue sui loro domini

LIMITE

l↗y=f(x)⨀⇢

x₀∉dominiodif

l=lim _x→x0 f(x)

Supponiamo f definita in un intorno di x₀ eventualmente privato di x₀:

(x₀-d, x₀+d) \ {x₀}

f: X → ℝ, x_o ∈ ℝ, l ∈ ℝ

l = lim_x→xo f(x) ⟺ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0:

x ∈ X, 0 < |x - x_o| < δ ⟹ |f(x) - l| < ε

(x ≠ x_o)

In particolare se f è continua in x_o (e f è definita in tutto un intorno di x_o)

allora: lim_x→xo f(x) = f(x_o)

ES: f: ℕ → ℝ

f(0), f(1), f(2)

NON HA SENSO PARLARE DI lim_x→3 f(x) MA

f è continua in x_o ∈ ℕ

ES

lim_x→π/2 cos x = cos π/2 = 0 poiché f(x) = cos x è continua nel punto

x_o = π/2

TEOREMA DELL'UNICITÀ DEL LIMITE:

Una funzione f: X → ℝ non può tendere a due limiti distinti per x → x_o.

DIM

Supponiamo lim_x→xo f(x) = l₁, l₁ ∈ ℝ

e

lim_x→xo f(x) = l₂, l₂ ∈ ℝ

l₁ ≠ l₂

Perciò:

∀ ε > 0 ∃ δ₁ > 0 : ∀ x ∈ X, 0 < |x - x_o| < δ₁ ⇒ |f(x) - l₁| < ε

∀ ε > 0 ∃ δ₂ > 0 : ∀ x ∈ X, 0 < |x - x_o| < δ₂ ⇒ |f(x) - l₂| < ε

Σelgo 0 < ε < |l₂ - l₁|/2 esiste che

(l₁ - ε, l₁ + ε) ∩ (l₂ - ε, l₂ + ε) = ∅

Σelgo δ = min {δ₁, δ₂}

Allora se

x ∈ X, 0 < |x - x₀| < δ allora f(x) ∈ (l₁ - ε, l₁ + ε) ∩ (l₂ - ε, l₂