Lezioni Modelli Matematici per la Finanza, prof. Ramponi

Appunti lezioni di Modelli Matematici per la Finanza tenute dal prof Ramponi.
Argomenti: calcolo Delle probabilità. Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale al rischio. La formula di Cox-Ross-Rubinstein. Dalla formula CRR alla formula di Black & Scholes. Proprieta' della formula di Black & Scholes. Dinamiche log-normali. Lettere greche e la PDE di Black & Scholes. Gestione del rischio per derivati. Strategie di Hedging. Il VaR e le sue principali proprieta'. Il Credit Value Adjustment nella valutazione di derivati.

Esame Modelli matematici per la finanza

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Ramponi Alessandro

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

Publisher fra.rama

A.A. 2017-2018

108 pagine

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SPAZI DI PROBABILITÀ

Prob è l'area della matematica di cura di dare una struttura matematica ad una intuizione in cui si vuole descrivere l'evoluz. di qualsiasi fenomeno, esperimento, osservazione di cui, allo stato attuale, non si conosce l'esito.

Il calcolo delle prob nasce per questo esigenza. Un fenomeno è deterministico quando è regolato da leggi fisiche esatte ma lo mancanza di info ci fa dover il calcolo di prob anche per fenomeni deterministici, oltre che per fenomeni imprevedibili. si modella il possibile esito sulla base delle info a disposizione.

Impostazione Assiomatica: La Teoria è sviluppata sulla base di assiomi:

Descrivere un fenomeno di cui non conosco l'esito:

Ω = INSIEME DI TUTTI I POSSIBILI ESITI DEL FENOMENO Gli eventi sono sottoinsiemi di Ω.

Se Ω sono Rⁿ non posso considerarlo tutto scelgo una β = COLLEZIONE DI SOTTOINSIEMI di Ω vale quanto Ω non è numerabile, come nel caso dei n^o Reali.

Proprietà di β

Operazioni tra sottoinsiemi:
- Accade A almeno uno dei due accade B → A ∪ B unione
- A ∧ B → A ∩ B intersezione
- non accade A → A^C complementare
- Evento Certo → Ω
- Evento Impossibile → ∅ insieme vuoto

Ω = A ∪ A^c

Proprietà di ℕ

Collezione di sottoinsiemi

ϕ ∈ ℕ

La collezione deve contenere l’insieme vuoto

Se A ∈ ℕ ➔ A^c ∈ ℕ

ℕ è chiusa per complementarità

Se ho una collezione numerabile di eventi A₁, A₂, ... ∈ ℕ

Allora la loro unione ...∑_m=1^∞ A_m ∈ ℕ

A partire a ℕℕ è chiusa per unione numerabile

Con queste proprietà ℕ è una σ-algebra di eventi.

L’approccio è un’informazione che ci si basa ne il fenomeno oggetto di studio

Valutazione delle probabilità di accadimento di un evento

Valutazioni quantitative ➔ Probabilità
P: funzione che adduce ad un elemento nel dominioun altro elemento nel codominio
P è una funzione definita tra i femerimi di ℕ (dominio)

e il valore che assume per ciascuna sottofamiglia è un sottoinsieme dei numeri reali compresi tra 0, 1

P: ℕ ➔ [0, 1]

A ∈ ℕ ➔ P(A) ∈ [0, 1]

Principi e assiomi della probabilità

P(ϕ) = 0

La probabilità è una funzione in ogni eventoattendono alla notazione

Probabilità Condizionata

A, B ∈ ξ

P(B) > 0

B è l'evento condizionante

P(A|B) = (P(A∩B))/(P(B))

Se P(B) = 0, P(A|B) è moltiplicata per 1

(A ∩ B) ⊆ B

0 ≤ P(A ∩ B) ≤ P(B) → P(A|B) = q/g

Fisso B, allora P(A|B) è una nuova spazio di probabilità su A, si assegna peso 1 all'evento B, due e zero in caso.

Se si verifica B cambia la probabilità degli eventi, cambia la probabilità di A dato il verificarsi di B.

Fisso B t.c. P(B) > 0, allora P(A|B) è una nuova probabilità per gli eventi A ⊆ ξ

P(A|B) deve essere compresa tra 0 e 1, deve valere le proprietà additive.

A, B ∈ ξ si dicono indipendenti se e solo se P(A∩B) = P(A)P(B).

prodotti delle rispettive probabilità

Se i 2 eventi sono indipendenti:

P(A|B) = P(A|B_c) = P(A) = P(B_c)

(P(B))

Legame tra indipendenza di eventi probabili, viene interpretato come: "l'accadimento dell'evento B non condiziona l'accadimento dell'evento A, non ne muta la probabilità."

Se 20 (n eventi) - indipendentemente globale

- due a due (coppie)

Var aleatoria (reale)

F_X(x) = P (X ≤ x)

Proprietà:

lim_x→∞ F_X(x) = 1

lim_x→−∞ F_X(x) = 0
Se x ≤ y → F(x) ≤ F(y)
Continua a destra
Non decrescita → le derivate quando F è continua

If a ≤ b

P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

{a < X ≤ b} = {x ε (a, b]}

P(X = x) = F(x) - lim_{y → x} F(y)

Se F^-(x) = F(x)

la fun^z è continua

Se f c'è in senso ⇒ discontinuità non eliminabile

Esempi di va aleatorie continue:

Gaussiana
X ~ N(μ, σ²) con μ ∈ ℝ, σ² > 0

f(x) = ¹/_√2πσ² e^{- (x - μ)² / 2σ²}, X ∈ ℝ
X ~ exp(λ) Esponenziale
f(x) = λ e^-λx x > 0 e λ > 0

(a X assume solo valori positivi)
Uniforme in [0, 1]
f(x) = {
- 1 se X ∈ [0, 1]
- 0 altrimenti
NB pureta la f è continua, non è detto che F sia continua nel dominio.

Uniforme in [a, b] qualsiasi intervallo

f(x) = {
- 1 / b-a
- 0 altrimenti

Variance Standard Z ~ N(0, 1)

es. Modello Black-Scholes

S_t = e^m+σZ trasformazione esponenziale di una variabile normale standard

r valutazione dei derivati.

Si chiama log normale

Variabili Aleatorie Multidimensionali

Coppia di variabili (X, Y) v.a. Discrete

X ∈ {x1, x2, ..., xm, ...} | infiniti ma numerabili
Y ∈ {y1, y2, ..., yn} yj ∈ SY

X, Y prendono valori tutte le possibili coppie del piano cartesiano:

(X, Y) ∈ {(xm, yj), ... : i = 1, 2, ..., I, j = 1, 2, ..., J} = SX x SY prodotto cartesiano

Definiamo una funzione:

p(xi, yj) = P (X = xi, Y = yj) densità discreta congiunta

o massa di prob congiunta -

P(X = xi, Y = yj) = P( {X = xi} ∩ {Y = yj} )
Densità marginali: intesa alle sole X

pX(xi) = P(X = xi, Y ∈ SY) = V (punta tutto i suoi possibili valori).

P(venire vero per ;) e le marginali di X

= ∑_j P(x_i, y_j) e le marginali di Y

Py(yj): P(X ∈ SX , Y = yj) = ∑_i P(x_i, y_j) somme di tutte le congiunte

Dalla congiunta posso ottenere le marginali ma delle marginali non è definita univocamente una congiunta.

Bisogna mettere una condizione in più: la nozione di indipendenza

Detti (X, Y) con densità congiunta {P(xi, yj)} si dicono indipendenti se e solo se la prob congiunta

= f(xi) * py(yj) si fattorizza nel prodotto delle marginali

(Prob uniter = i uguale prodotto delle singole prob)

E[E[Y|X]] = E[Y]

Valore Atteso Condizionato ad una σ-algebra (Ω, F, P) Y v.a. reale

introduco uno setto sopra spipere σ-algebra

G = σ-algebra Σ ⊂ F è una collezione di sottoinsiemi meno raffinata di F: a più piccole è un livello di informazione inferiore, G ⊂ F è un'info parziale

Esempio: X v.a. G = δ(X) = σ-algebra "generata" da X il più piccolo insieme di eventi determinato dai valori della X

δ(X) sono gli insiemi di livelli allocati le probabilità quindi sono permessi detteri variabili aleatoria X.

Proprietà

(X, Y) caso particolare

E[E[Y|X] 1_G] = E[Y 1_G]

a come po precedente se G = R

∀ G ∈ F, dove 1_G = { 1 x ∈ G / 0 x ∉ G } perché 1_G = 1 sempre

= ∫_A∫_R Y f(Y|x) 1_G f_x dY dx

1_G(X) dx = ∫_G 1_G&overset={}{/==} dx lo stesso nell'integrale 0 G_c (dove vale zero).
Questa proprietà permette di definire in modo astratto v.a condizionata ad una σ-algebra G

Sotto le condizioni mutuali deve valere:

E[|Y|] < +∞ allora

∃ una v.a. G misurabile (preserva bene volti di misura F) dentura con il fumetto E[Y|G] t.c soddisfa

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