Lezioni Modelli Matematici per la Finanza, prof. Ramponi

Name: Lezioni Modelli Matematici per la Finanza, prof. Ramponi
Rating: 4.5 (2 reviews)
Author: fra.rama

Revisionato il 09/06/2026

di fra.rama

Publisher

Vota 4,5/5 (2)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti lezioni di Modelli Matematici per la Finanza tenute dal prof Ramponi.Argomenti: calcolo Delle probabilità. Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale …

Esame Modelli matematici per la finanza

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Ramponi Alessandro

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2017-2018

108 pagine

6 download

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Spazi di probabilità

Probabilità è l'area della matematica che si occupa di dare una struttura matematica a un'intuizione in cui si vuole descrivere l'evoluzione di qualche fenomeno, esperimento o osservazione di cui, allo stato attuale, non si conosce l'esito. Il calcolo delle probabilità nasce per questa esigenza. Un fenomeno è deterministico quando è regolato da leggi ben definite, ma la mancanza di informazioni ci spinge a usare il calcolo delle probabilità anche per fenomeni deterministici, oltre che per fenomeni imprevedibili. Si modella il possibile esito sulla base delle informazioni a disposizione.

Impostazione assiomatica

La teoria è sviluppata sulla base di assiomi per descrivere un fenomeno di cui non si conosce l'esito.

Ω = Insieme di tutti i possibili esiti del fenomeno. Gli eventi sono sottoinsiemi di Ω. Se Ω sono Rⁿ, non si può conoscerlo tutto—si sceglie una F = Collezione di sottoinsiemi: (questo vale quando Ω non è numerabile, come nel caso dei numeri reali).

Proprietà di F

Accade A almeno uno dei due → A ∪ B
Accade A oppure accade B → A ∩ B
Non accade A → A^c (complementare)
Evento certo → Ω
Evento impossibile → Φ (insieme vuoto)

Spazi di probabilità

La probabilità è l'area della matematica che cerca di dare una struttura matematica a un'intuizione in cui si vuole descrivere l'esito di vari fenomeni, esperimenti e osservazioni di cui, allo stato attuale, non si conosce l'esito. Il calcolo delle probabilità nasce per questa esigenza. Un fenomeno è deterministico quando è regolato da leggi ben definite, ma la mancanza di informazioni ci fa usare il calcolo della probabilità anche per fenomeni deterministici, oltre che per i fenomeni imprevedibili.

Impostazione assiomatica

La teoria è sviluppata sulla base di assiomi. Descrivere un fenomeno di cui non si conosce l'esito:

Ω = Insieme di tutti i possibili esiti del fenomeno. Gli eventi sono sottoinsiemi di Ω. Se Ω sono Rⁿ, non posso considerarlo tutto, scelgo una F = Collezione dei sottoinsiemi (questo vale quando Ω non è numerabile, come nel caso dei numeri reali).

Proprietà di F

Accade A oppure accade B → ∪ (unione)
Accade A e B → ∩ (intersezione)
Non accade A → A^c (complemento)
Evento certo → Ω
Evento impossibile → ∅ (insieme vuoto)
Ω = A ∪ A^c

Proprietà di F: collezione di sottoinsiemi

ϕ ∈ F: la collezione deve contenere l'insieme vuoto.
Se A ∈ F → A^c ∈ F: F è chiusa per complementarità.
Se ho una collezione numerabile di eventi A₁, A₂, A₃,... ∈ F, allora la loro unione ⋃_m=1^∞ A_m ∈ F.

Con queste proprietà: F = σ-algebra di eventi. L'esprimere l'informazione che si sa è basato sul fenomeno oggetto di studio. Valutazione delle possibilità di accadimento di un evento, valutazioni quantitative → Probabilità. P è una funzione che assegna a un elemento nel dominio un altro elemento nel codominio. P è una funzione definita su F (dominio). Il valore che assegna per ciascun sottoinsieme è un numero reale compreso tra 0 e 1. P: F → [0,1].

Proprietà: Affermazioni delle probabilità. P(ϕ) = 0. La probabilità è una funzione i cui argomenti sono eventi (attenzione alla notazione).

Se ho una collezione numerabile di eventi disgiunti a due a due A₁, A₂, A₃, ..., A_n, ..., L() (A_i ∩ A_j) = ∅ ∀ i,j allora la probabilità dell'unione è la somma delle probabilità dei singoli eventi → P(∪_M=1^∞ A_m) = ∑_M=1^∞ P(A_M).

Per chi soddisfa questi 2 assiomi si chiama probabilità → Spazio di probabilità (Ω, F, P), funzione detta probabilità. Insieme definisce eventi (casuali), collezione di sottoinsiemi di Ω σ-algebra (proprietà) → eventi che lo riconoscono. La statistica inferenziale consiste nello scegliere il giusto modello probabilistico, ed è uno strumento della probabilità la base e valori osservati. La probabilità assegna ad ogni evento un peso che rappresenta.

Anteprima

Vedrai una selezione di 23 pagine su 108