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SPAZI DI PROBABILITÀ
Prob è l'area della matematica di cura di dare una struttura matematica ad una intuizione in cui si vuole descrivere l'evoluz. di qualsiasi fenomeno, esperimento, osservazione di cui, allo stato attuale, non si conosce l'esito.
Il calcolo delle prob nasce per questo esigenza. Un fenomeno è deterministico quando è regolato da leggi fisiche esatte ma lo mancanza di info ci fa dover il calcolo di prob anche per fenomeni deterministici, oltre che per fenomeni imprevedibili. si modella il possibile esito sulla base delle info a disposizione.
Impostazione Assiomatica: La Teoria è sviluppata sulla base di assiomi:
Descrivere un fenomeno di cui non conosco l'esito:
Ω = INSIEME DI TUTTI I POSSIBILI ESITI DEL FENOMENO Gli eventi sono sottoinsiemi di Ω.
Se Ω sono Rn non posso considerarlo tutto scelgo una β = COLLEZIONE DI SOTTOINSIEMI di Ω vale quanto Ω non è numerabile, come nel caso dei no Reali.
Proprietà di β
- Operazioni tra sottoinsiemi:
- Accade A almeno uno dei due accade B → A ∪ B unione
- A ∧ B → A ∩ B intersezione
- non accade A → AC complementare
- Evento Certo → Ω
- Evento Impossibile → ∅ insieme vuoto
Ω = A ∪ Ac
Proprietà di ℕ
Collezione di sottoinsiemi
- ϕ ∈ ℕ
- Se A ∈ ℕ ➔ Ac ∈ ℕ
- Se ho una collezione numerabile di eventi A1, A2, ... ∈ ℕ
La collezione deve contenere l’insieme vuoto
ℕ è chiusa per complementarità
Allora la loro unione ...∑m=1∞ Am ∈ ℕ
A partire a ℕℕ è chiusa per unione numerabile
Con queste proprietà ℕ è una σ-algebra di eventi.
L’approccio è un’informazione che ci si basa ne il fenomeno oggetto di studio
-
Valutazione delle probabilità di accadimento di un evento
Valutazioni quantitative ➔ Probabilità
-
P: funzione che adduce ad un elemento nel dominioun altro elemento nel codominio
-
P è una funzione definita tra i femerimi di ℕ (dominio)
e il valore che assume per ciascuna sottofamiglia è un sottoinsieme dei numeri reali compresi tra 0, 1
P: ℕ ➔ [0, 1]
A ∈ ℕ ➔ P(A) ∈ [0, 1]
Principi e assiomi della probabilità
- P(ϕ) = 0
La probabilità è una funzione in ogni eventoattendono alla notazione
Probabilità Condizionata
A, B ∈ ξ
P(B) > 0
B è l'evento condizionante
P(A|B) = (P(A∩B))/(P(B))
Se P(B) = 0, P(A|B) è moltiplicata per 1
(A ∩ B) ⊆ B
0 ≤ P(A ∩ B) ≤ P(B) → P(A|B) = q/g
Fisso B, allora P(A|B) è una nuova spazio di probabilità su A, si assegna peso 1 all'evento B, due e zero in caso.
Se si verifica B cambia la probabilità degli eventi, cambia la probabilità di A dato il verificarsi di B.
Fisso B t.c. P(B) > 0, allora P(A|B) è una nuova probabilità per gli eventi A ⊆ ξ
P(A|B) deve essere compresa tra 0 e 1, deve valere le proprietà additive.
A, B ∈ ξ si dicono indipendenti se e solo se P(A∩B) = P(A)P(B).
prodotti delle rispettive probabilità
Se i 2 eventi sono indipendenti:
P(A|B) = P(A|Bc) = P(A) = P(Bc)
(P(B))
Legame tra indipendenza di eventi probabili, viene interpretato come: "l'accadimento dell'evento B non condiziona l'accadimento dell'evento A, non ne muta la probabilità."
Se 20 (n eventi) - indipendentemente globale
- due a due (coppie)
Var aleatoria (reale)
FX(x) = P (X ≤ x)
Proprietà:
-
limx→∞ FX(x) = 1
limx→−∞ FX(x) = 0
- Se x ≤ y → F(x) ≤ F(y)
- Continua a destra
- Non decrescita → le derivate quando F è continua
If a ≤ b
P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
{a < X ≤ b} = {x ε (a, b]}
-
P(X = x) = F(x) - limy → x F(y)
Se F-(x) = F(x)
la funz è continua
Se f c'è in senso ⇒ discontinuità non eliminabile
Esempi di va aleatorie continue:
- Gaussiana
X ~ N(μ, σ2) con μ ∈ ℝ, σ2 > 0
f(x) = 1/√2πσ2 e- (x - μ)2 / 2σ2, X ∈ ℝ
- X ~ exp(λ) Esponenziale
f(x) = λ e-λx x > 0 e λ > 0
(a X assume solo valori positivi)
- Uniforme in [0, 1]
f(x) = {
- 1 se X ∈ [0, 1]
- 0 altrimenti
NB pureta la f è continua, non è detto che F sia continua nel dominio.
Uniforme in [a, b] qualsiasi intervallo
f(x) = {
- 1 / b-a
- 0 altrimenti
Variance Standard Z ~ N(0, 1)
es. Modello Black-Scholes
St = em+σZ trasformazione esponenziale di una variabile normale standard
r valutazione dei derivati.
Si chiama log normale
Variabili Aleatorie Multidimensionali
Coppia di variabili (X, Y) v.a. Discrete
- X ∈ {x1, x2, ..., xm, ...} | infiniti ma numerabili
- Y ∈ {y1, y2, ..., yn} yj ∈ SY
X, Y prendono valori tutte le possibili coppie del piano cartesiano:
(X, Y) ∈ {(xm, yj), ... : i = 1, 2, ..., I, j = 1, 2, ..., J} = SX x SY prodotto cartesiano
-
Definiamo una funzione:
p(xi, yj) = P (X = xi, Y = yj) densità discreta congiunta
o massa di prob congiunta -
P(X = xi, Y = yj) = P( {X = xi} ∩ {Y = yj} )
-
Densità marginali: intesa alle sole X
pX(xi) = P(X = xi, Y ∈ SY) = V (punta tutto i suoi possibili valori).
P(venire vero per ;) e le marginali di X
= ∑j P(xi, yj) e le marginali di Y
Py(yj): P(X ∈ SX , Y = yj) = ∑i P(xi, yj) somme di tutte le congiunte
Dalla congiunta posso ottenere le marginali ma delle marginali non è definita univocamente una congiunta.
Bisogna mettere una condizione in più: la nozione di indipendenza
Detti (X, Y) con densità congiunta {P(xi, yj)} si dicono indipendenti se e solo se la prob congiunta
= f(xi) * py(yj) si fattorizza nel prodotto delle marginali
(Prob uniter = i uguale prodotto delle singole prob)
E[E[Y|X]] = E[Y]
-
Valore Atteso Condizionato ad una σ-algebra (Ω, F, P) Y v.a. reale
introduco uno setto sopra spipere σ-algebra
G = σ-algebra Σ ⊂ F è una collezione di sottoinsiemi meno raffinata di F: a più piccole è un livello di informazione inferiore, G ⊂ F è un'info parziale
Esempio: X v.a. G = δ(X) = σ-algebra "generata" da X il più piccolo insieme di eventi determinato dai valori della X
δ(X) sono gli insiemi di livelli allocati le probabilità quindi sono permessi detteri variabili aleatoria X.
Proprietà
(X, Y) caso particolare
E[E[Y|X] 1G] = E[Y 1G]
a come po precedente se G = R
∀ G ∈ F, dove 1G = { 1 x ∈ G / 0 x ∉ G } perché 1G = 1 sempre
= ∫A∫R Y f(Y|x) 1G fx dY dx
1G(X) dx = ∫G 1G&overset={}{/==} dx lo stesso nell'integrale 0 Gc (dove vale zero).
-
Questa proprietà permette di definire in modo astratto v.a condizionata ad una σ-algebra G
Sotto le condizioni mutuali deve valere:
E[|Y|] < +∞ allora
∃ una v.a. G misurabile (preserva bene volti di misura F) dentura con il fumetto E[Y|G] t.c soddisfa
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