Lezioni, Metodi Matematici

Esempio piano di produzione:

Una ditta produce un certo bene di consumo, lo immagazzina e lo vende

• y(t) quantità in magazzino al tempo t
• y₀ quantità iniziale in magazzino (t=0)
• r(t) la domanda del bene di consumo al tempo t (funzione nota)
• u(t) la produzione del bene di consumo al tempo t (controllo)

Equazione di statoy'(t) = u(t) - r(t)y(0) = y₀y₀ ≥ 0 y(t) ≥ 0

Il costo dipende da:

• Quanto si produce (u)
• Quanto si immagazzina (y)
• t (in inverno si deve riscaldare, in estate raffreddare)

Variabili in gioco

• y(t): Variabile di stato
• y(0): Da dove parto
• y(T): Dove devo arrivare
• u(t): Variabile di controllo

Esempio consumo carburante per arrivare da y(0) = A a y(T) = B nel tempo T

• y(t) posizione al tempo t
• u(t) l’accelerazione che possiamo imprimere all’auto, è naturale supporre |u(t)| limitata ad es u=-1 frenata massima e u=1 accelerazione massima

[Equazione di stato] y''(t) = u(t)

il consumo istantaneo di carburante f(t, y, y', y'') dipende da:

• u (da aumentare il consumo acceleratore)
• y' (mediante la resistenza dell’aria)
• x' (strada più o meno accidentata o salite/discese)
• t (in alcune ore del giorno si consuma più o meno secondo temper.)

Il problema di controllo èMin{ ∫₀^T f(t, y, y', u)dt : y'' = u, y(0) = A, y(T) = B, |u(t)| ≤ 1 }

integrazione xf k = consumo istantaneo e io voglio quello totale problema di minimo non su R ma su uno spazio di funzioni, dove ogni punto è una funzione

modello matematico

def: Insiemi di equazioni e/o relazioni che sono in grado di catturare le caratteristiche del fenomeno in esame, descrivere e prevederne l’evoluzione nel tempo

problemi di controllo

come ottengo le equazioni

• leggi generali, es: leggi di conservazione e di bilancio della massa, energia, momenti
• Relazioni costitutive: verificate solo sperimentalmente e dipendono dalle caratteristiche del fenomeno in studio.

La bontà del modello si misura comparando la sua previsione con il risultato che accade in realtà

semplificazione del modello rispetto alla realtà:

• riduzione del numero dei parametri da studiare: alcune variabili si ipotizzano costanti
• semplificazione delle equazioni (es. linearizzazione di alcune relazioni non lineari)

necessariamente si fanno delle approssimazioni, quindi bisogna tenerne conto. approssimazioni dovute a:

• le equazioni che si ottengono non hanno spesso soluzioni esplicite: è necessario ricorrere a metodi numerici di approssimazione e valutarne poi la convergenza e la stabilità di tali metodi

misurazioni affette da errori

REALTA’ ➡ VALIDAZIONE ➡ PREVISIONE DEL MODELLO

FORMULAZIONE ➡ MODELLO MATEMATICO ➡ ANALISI ➡ SOLUZIONE MATEMATICA

INTERPRETAZIONE ➡ PREVISIONE DEL MODELLO

Esempio piano di produzione:

Una ditta produce un certo bene di consumo, lo immagazzina e lo vende

• y(t) quantità in magazzino al tempo t
• y₀ quantità iniziale in magazzino (t=0)
• r(t) la domanda del bene di consumo al tempo t (funzione nota)
• u(t) la produzione del bene di consumo al tempo t (controllo)

Equazione di statoy'(t) = u(t) - r(t)y(0) = y₀y₀ ≥ 0 y(t) ≥ 0

Il costo dipende da:

• Quanto si produce (u
• Quanto si immagazzina (y
• t (in inverno si deve riscaldare, in estate raffreddare)

Variabili in gioco

• y(t): Variabile di stato
• y(0): Da dove parto
• y(T): Dove devo arrivare
• u(t): Variabile di controllo

Esempio consumo carburante per arrivare da y(0) = A a y(T) = B nel tempo T

• y(t) posizione al tempo t
• u(t) l’accelerazione che possiamo imprimere all’auto, è naturale supporre |u(t)| limitata ad es u=-1 frenata massima e u=1 accelerazione massima

[Equazione di stato] y''(t) = u(t)

il consumo istantaneo di carburante f(t, y, y', u') dipende da:

• u (acceleratore)
• y' (mediante la resistenza dell'aria)
• y (strada più o meno accidentata o salite/discese)
• t (in alcune ore del giorno si consuma più o meno secondo temper.)

Il problema di controllo è

Min ∫₀^T f(t, y, y', u)dt : y'' = u, y(0) = A, y(T) = B, |u(t)| ≤ 1

integrale xf k = consumo istantaneo e io voglio quello totale

problema di minimo non su R ma su uno spazio di funzioni, dove ogni punto è una funzione

modello matematico

def: Insiemi di equazioni e/o relazioni che sono in grado di catturare le caratteristiche del fenomeno in esame, descrivere e prevederne l'evoluzione nel tempo

• come ottengo le equazioni
• come si formalizza un modello
• necessariamente si fanno delle approssimazioni, quindi bisogna tenerne conto. approssimazioni dovute a:
• le equazioni che si ottengono non hanno spesso soluzioni esplicite: è necessario ricorrere a metodi nu