Lezioni, Metodi Matematici

Esempio piano di produzione:

Una ditta produce un certo bene di consumo, lo immagazzina e lo vende

• y(t) quantità in magazzino al tempo t
• y₀ quantità iniziale in magazzino (t=0)
• r(t) la domanda del bene di consumo al tempo t (funzione nota)
• u(t) la produzione del bene di consumo al tempo t (controllo)

Equazione di stato

y'(t) = u(t) - r(t)

• y(0) = y₀
• y₀ ≥ 0

Il costo dipende da:

• Quanto si produce (u)
• Quanto si immagazzina (y)
• t (in inverno si deve riscaldare, in estate raffreddare)

Variabili in gioco

• y(t): Variabile di stato
• y(0): Da dove parto
• y(T): Dove devo arrivare
• u(t): Variabile di controllo

Esempio consumo carburante

per arrivare da y(0) = A a y(T) = B nel tempo T

• y(t) posizione al tempo t
• u(t) l'accelerazione che possiamo imprimere all’auto, è naturale supporre |u(t)| limitata ad es u=-1 frenata massima e u=1 accelerazione massima

Equazione di stato y''(t) = u(t)

Il consumo istantaneo di carburante f(t, y, y', u) dipende da:

• u (quindi da come accelerare)
• y' (mediante la resistenza dell'aria)
• x' (strada più o meno convessa o salite/discese)
• t (in alcune ore del giorno si consuma più o meno secondo temper.)

Il problema di controllo è

Min ∫₀^T f(t, y, y', u)dt : y'' = u, y(0) = A, y(T) = B, |u(t)| ≤ 1

integrale f*k è consumo istanteo e io voglio quello totale

problema di minimo non su R ma su uno spazio di funzioni, dove ogni punto è una funzione

problemi di controllo

modello matematico

come ottengo le equazioni

def: Insiemi di equazioni e/o relazioni che sono in grado di catturare le caratteristiche del fenomeno in esame, descrivere e prevederne l'evoluzione nel tempo

La bontà del modello si misura comparando la sua previsione con il risultato che accade in realtà

• leggi generali, es: leggi di conservazione o di bilancio della massa, energia, momenti

Relazioni costitutive: verificate solo sperimentalmente e dipendono dalle caratteristiche del fenomeno in studio.

come si formalizza un modello

necessariamente si fanno delle approssimazioni, quindi bisogna tenerne conto.

approssimazioni dovute a:

• misurazioni affette da errori
• le equazioni che si ottengono non hanno spesso soluzioni esplicite: è necessario ricorrere a metodi numerici di approssimazione e valutare poi la convergenza e la stabilità di tali metodi
• semplificazione del modello rispetto alla realtà:
• riduzione del numero dei parametri da studiare: alcune variabili si ipotizzano costanti
• semplificazione delle equazioni (es. linearizzazione di alcune relazioni non lineari)

REALTÀ

VALIDAZIONE

PREVISIONE DEL MODELLO

FORMULAZIONE

INTERPRETAZIONE

ANALISI

SOLUZIONE MATEMATICA

es di applicazioni:

• comunicazioni a distanza (cellulari)
• campionamento e quantizzazione dei segnali audio-video (TV)

analisi dei segnali

strumenti principali per l'analisi dei segnali

Serie di Fourier (per fenomeni periodici): Ogni segnale periodico può essere decomposto nella combinazione lineare di una costante e di funzioni goniometriche

Fissando coeff diversi ottengo segnali diversi

Se trasmetto solo i coeff poi tramite la serie di Fourier si ricostruisce il segnale, più coeff trasmetto, più la ricostruzione è precisa:

Come si fa a ricostruire con precisione un segnale sapendo solo alcuni dati campionati? Teorema di Shannon del campionamento dei segnali (1948): la frequenza del campionamento deve essere almeno il doppio della frequenza max del segnale

Trasformate di Fourier: per fenomeni non periodici o di cui non si conosce il periodo ma stazionari

Altri tipi di trasformate per segnali non stazionari (es. Wavelets)

effetto Gibbs: vicino ai punti di discontinuità anche se N tende a ∞ avrò una sovrastima del segnale fino al 20% del valore del salto ⇒ una funzione è ben approssimabile solo se continua

• Dalle hp del teorema f ∈ L²(−π,π) dunque

a₀ = ^f₀⁄₂

• Essendo ∥S_N(f)∥_π ≤ ∥f∥_π (Bessel)

Identità di Parseval ∥f∥_π = 2M_π essendo S_N(f) la serie di Fourier (Ipotesi che f continui a tratti → S_N (f) converge uniformemente)

ESEMPIO

Consideriamo la funzione 2π − periodica che in [−π,π]

• Segue la funzione − trigonometrica di migliore approssimazione al f se F_N e i suoi coefficienti sono la proiezione di f su F_N

La disuguaglianza di Bessel ∥S_N(f) − f∥_π

SERIE DI FOURIER

• Aggiungendo una dimensione dello spazio passo da F_N a F_N+1
• Se &exists; f nel limitato la serie deve essere in L²

Relazione Derivata classica e Derivata distribuzionale

1. Se f è derivabile in ogni punto (quindi continua)

   \( \exists f', \, f \in L^{loc}(\mathbb{R}) = T_{f'} \) \( T_{f(x)} = T_{f} \)

2. Se f è derivabile con derivata \( D(\mathbb{R}) f' \; per x \not= x_0 \)

   _{(la chiamo così per non confondermi con f'}^{(T'_{f})\) \( f(x) è una x_0 \) in x_0 \) \( T_{f}( \exists = T_{f(x - )}' \; T_{f}' = \delta_{x_0} \, T_{f(x)} ) => f' (x) \) \( Dim. => ( \, x)x_0 \) \( T_{f} \)' \) \(< }g>= T_{f(x < }f,g)>= 0 (\, 1)' \) \( Dg = \) \( = -\int_{(} 0 +3^\infty (a \not= f \frac{\delta_g}{y \epsilon}- f' \, u)( \; - ) \) \( \; T_{f(x) - x_0} Df = g \delta_{x_0}(\, -\epsilon = g dx \) \(D \int_{\epsilon} ) a\) 0 = )\) (quindi) \(\epsilon\sup_{T(f < '}} + \delta_{x_0} \) \(\epsilon \cdot \epsilon) , \cdots + + \delta \) \) - a(\, \cdot T_{f(x)}) (a(\, < \) \(\cdots 0 c.v.d. \) \( 0 T_{f(x)})- a\left( \cdots a x_0{ - \right) ) x} Posso derivare anche funzioni non derivabili, Es funzione di Heaviside \( H(x) = T(\theta_0)(x) = \right\} [D= 1 0 x \geq 0} x< 0 < T_{H}( )= ] \) > (siccome H() è localmente sommabile H (x) \) \(< -(\}' T)\, x^{\epsilon}={ (} x < )T=) \( Dim H (Dx)(g) = \right\{ H (x)\,\) \f)g)- \int_{[ \cdot- \delta{\epsilon])] ={ '(T\left\) g)=\right]" \int_{dx \, x} = = ('\}T}=the \) \(- df = \right\{0 x}2 - =)\) \( \delta_{x} 0\) \( \,( , Dg)=T(f'}} =1 \cdots(\delta g dx=d\xi_0(\epsilon 0' \; }) \) \)}

La δ di Dirac NON è una distribuzione indotta da una funzione

\( φ \in D(\mathbb{R}) f(x)\) \( T_{a_{0}} \delta * =\right) \int_{stifica=-_eT_{a D(R)=T{ }g_{D}(x)dx}\] \) \( \mathbb{R}\} \(x\epsilon^c_c_ \phi(x)x - \right) \cdots \phi(x)\}=-) \) \(T"func T( stese x_0}(a_{\infty x})= \{< \delta_{a_{\log}( \, -->\phi )_= \cdot= - 0= (Dd} )\in \) \( x_1 > >?' \) \(T(g x'\forall) " \(\\,= \,, \left\} \) x_n - n_(\® a ( g)> = code_\]ystm} \(\_\)^_{mono (\_f } \) [\_( \( H)(v\mathbb{x Sub_)) (f), , contenitore\(=g\right.)_(x_0 _)) al (the((\per \infty})_{ D (x-again f(0{equiv}} \(=\left)}

SHANNON (formula ) \) \( \ ) f_ \_=g(f_\left g_{_\ _{+\\_{() \into}

Ricevi (\ =>= \] [-x_0 \]=x\\sub ) P_{(i\_ } : secondo\ \big\=a st=\({x)}\}\]

Consideriamo lo spazio delle funzioni di prova D(

(b) d \) \\) Supper_(-有限=） )))[ = ] \} \ E\}}pr(\right)_{} funzionia ) utilizziamo diegetti [ \fro] {_{con}} \right) note lim ) devo......3=1 ) logar_fr_又=(\(f​​​​​​ 0 类 )

G sono distribuzioni non indotte da funzioni φ ∈ L^{loc}(R)

: ad delta di Dirac centrato in x, \( T: (x - \delta(x)) \) applicata ad una funzione di prova g, restituisce il suo valore nel punto x_0. /DX_g(_locaer '' ) 什\ --> =h) 0{T_信ic...alt} dx\sub 的 save(x) =]0\mathcal =.'