Appunti lezioni Metodi Matematici

REALTÀ - MODELLO MATEMATICO

• S costruire le ipotesi di partenza
• Dai fenomeni forniti per costruire il modello

MODELLI DI OTTIMIZZAZIONE ricerca di min o max di cifre funzionali che dipendono da variabili decisionali

TEMPORALE

valutare futuro basato su andare e risultati di precedenza controllo superiori min x raggiungere il progetto

SETTORI DI APPLICAZIONE

• Finanziario rendiconto del portafoglio scelto tra flussi in/out x determinanti strumenti
• e produttivo

PROBLEMI CON PIÙ DI UN OBIETTIVO

TEORIA dei GIOCHI problemi che portano alcuni livelli x grad

- problemi di localizzazione [esercitativi industriali Xanira]

Funzioni in più variabili

Def: Diciamo che f: A⊆Rⁿ → R e una f di n variabili se essa associa un numero di reale a qualsiasi che sono ad es. n-upla (x₁, x₂, ..., x_n) uno ad uno delle variabili f(x₁, x₂, ..., x_n)

Esempio: (x₁, x₂, x₃) imposti in farsi in coordinate (sistema vettoriale con origini)

Dobbiamo basare ai gruppi dei funzioni f(x₁, x₂, x₃) l'area riunione degli oggetti che f assume degli oggetti f e f funzioni, area abitate di restituzione area valore:

f(b₂) = f(b₃, b₁, b₂)

Note di aggiuntiva sulla determinazione dei risultato

• (x₁, x₂, ..., x_n)= qualita prodotto di un determinato bene
• (c₁, c₂, ..., c_n) = costo tecnico (costo di produzione)
• Z = costo fisso di produzione
• C(x₁, x₂, ..., x_n)= C x₁ + x₂ + C x_m (+C)

Funzione Lineare

Delle propietà che associano conseguenza diffusione in fungiti quadri e difuzia nei coefficienti di carita di riche.

Funzione di Cobb-Douglas

f(K,L)= aK^α L^β x>0 0 0 B_r(x) ∩ E ≠ 0 e B_r(x) ∩ E^c ≠ 0

x ∈ E detto punto di accumulazione se in cui cadono punti di E distinti da x

^↓ (x₁, x₂) (0, 1) (x₂) = 1

INSIEME CHIUSO

E ⊆ R^m è detto chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione

Nel caso di funzioni con radice è chiuso, nel caso di E_n non è chiuso

INSIEME LIMITATO

E ⊆ R^m è limitato se ∃ I_{0, r} tale che E ⊆ I_{0, r}

Non crescono possiedono vera e limitato

INSIEME COMPATTO

E ⊆ R^m è detto compatto se è chiuso e limitato, allora si dice che A è compatto

LIMITI IN R^m

f: A ⊆ R^m → R

x₀ se x₀ di accumulazione per A ho senso vede e, al più valore ∡ avvicina la funzione quando è avvicinata a x₀

 ∀ε > 0 I_ε &exists; I ∀ x∈E_x → | f(x) - '0 | &Ie

f: A → (ℝ)

lim_x→x0 f(x)=l lim f(x)=e

lim_x→x0→ lim_x→x0 f(x)=e

• _H11 > 0 ∀ forma quadratica e indefinita (per autoval. attivi e passivi e di segnal. al demando di x₁,x₂)
• f(x₁, x₂) è definitamente positiva ⟹ a₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂² > 0
• H₁ le cui matrici associate ad una forma quadratica non si trovano
• Forma quadratica in n variabili q_n(x) = x^tH^tx H è una matrice

I determinanti più essere calcolati solo per matrici 3x3 e calcolati usiamo complementari (calcolo dei formò fondamentali) lo studio di 2° fondamentale che può essere secondo una f(x) nulla, queste sono tutte le righe della funzione. Lo studio loci o determinanti delle matrici 3x3.

Le curve di livello delle funzioni sono ad esempio:

L'insieme É il vincolato e come ci vorrà tornare il valor e libero saranno t₁ i valori della funzione

CONDITIONI DI 1° ORDINE ➔ PUNTI CRITICI

{ ∂L/∂x₁ = b₁, g₁(x) = 0 ... ∂L/∂x_n }

PUNTI CRITICI ( x⁰₁, x⁰₂,…, x⁰_n )

CONDITIONI DI 2° ORDINE ➔ MATRICE HESSIANA

{ ∂² 0 0 ∂² H(m,m) }

∃ un regola x dire che un punto stazionario del sistema può essere un massimo o minimo delle funzioni:

(x⁰_k⁰) non può essere massimo o nullo e il determinanti associati alla matrice Hessiana hanno uguali valori con il primo concorde con (-1)^m.

Programmazione Lineare

in due variabili

max 3x₁ + 5x₂

il dominio

Trovo come in variabili

x₁ + 5x₂ = k

5x₂ = k - 3x₁

x₂ = -³/₅ k + ¹/₅

Condizione vertice

Forma canonica

max C x

A x = B

x ≥ 0

Forma standard

max C x

A x = B

x ≥ 0

Deriviamo allora x e lo cambierà con coefficienti tutti

dei vettori con il per far entrare in base, se

una componente del moltiplicatori è una combinazione dei

vettori che del sottobase con critiche come se x

camere al coefficiente nullo di per far entrare

e base.

Esempio

max 50x₁ + 70x₂

4x₁ + 3x₂ ≤ 210

2x₁ + 2x₂ ≤ 80

x₁, x₂ ≥ 0

Forma standard

max 50x₁ + 3x₂ + 3s₁ + s₂

x₁ + x₂ + s₁ ≤ 80

4x₁ + 3x₂ + s₂ ≤ 210

x₁, x₂, s₁, s₂ ≥ 0

1 3/4 0 4

0 -1 1/2 0

0 0 120

ecc...

Per decidere quale fa entrare in base per farlo uscire il valore mostro moltiplicatore -70

ENTRA -> 70 (x₂)

ESCE -> 20/2

2₇

R₂ (x₂)

Conviene alla sostanza 2_x

Metodo che appunto i teoremi fondamentali

per la PL per cercare la soluzione ottima

d'un problema di PL

ESERCIZIO RACCOLTA DELLA MENTA

Con vincolo di divieto

max ΣC_jX_j + C_jm_m a₁1x₁ + a₁2x₂ + a₁mx_m ≥ b₁ d = 1...m x_j ≥ 0

max Σ d_jb_j + b₂t + b₃t + t_mm + t_me t₁s + t₂5 + t_mt_m + m_mm ≤ C_j g ≤ d m x_j ≥ 0 per tutti e lineare

ESERCIZIO PROBLEMA DEL TRASPORTO

(Primale)

min ΣΣ y^gC_ij

vincoli uscite Σ x_ij g a_i ≤ d₁ m u_i ≤ d₁ m

entrate Σ x_ij g b_j ≥ f₁ m v_j ≤ a₁ m

vincoli di flusso x_j ≥ 0

Risultato

max Σ_m w_i a_i + Σ^m v₅ b₅

u_j + v₅ ≤ C_ij j ≤ d^-1 m

x_i ≤ a₁....m v_j ≤ a₁...m