Meccanica delle Vibrazioni - Appunti

[

LEZIONE ]

1 2.2

cap 2.3.1

-

dei lineari

Analisi sistemi lineari

meccanici e non

2

è

Cos' sistema

un •

•

Analisi lineari

sistemi lineari

non

e

Definire Si le

→

sistema vogliono

• scrivere equazioni

1 "

"

del

il

vuole esterno

Si mondo

sistema

-0¥ sapere

[ le

le vincolati condizioni

mettono forzati le

evidenzia

in

si reazioni ,

,

iniziali il ]

tutto scelto

base al

in sistema

,

gdl

Definire fa

III. ' °

Sistema

• numero

vincoli

6 SPAZIO

* ne nv n

=

-

#

3 Piano

nv

nc n

=

-

Scegliere gdt

le indipendenti

variabili

• =

n

=

Lan moto

l'

vogliamo

alle

rispetto quali di

variabili scrivere equazione

(

Scegliere assoluti

di relativi

riferimento )

sistemi

• o

Definizione delle dei

• segni

convenzione f( ESPLICITAMENTE

f) DIPENDENTI

^^ TEMPO

DAL

Mettere evidenza AZIONI

in sistema

ESTERNE APPLICATE AL *

h@fC.X i IMPLKIT

)

, .

=

È

REAZIONI VINCOLARI =

di

variabili sistema

del

stato

FORZE INERZIALI

DISSIPATI E

VE

ELASTICHE

FCXIÌ

* ) forte

di nel

introdurre STABILITÀ sistema

campi instabilità

possono o

, .

Approcci usati

che verranno :

Equilibri dinamici

• lavori virtuali

TE

energetici

Approcci

• →•

. Bilancio Di potenze

↳ EQUAZIONI LAGRANGE

DI

indipendenti

✗ variabili

i pà

! f.

Yn Serve sinplificdle Kat

variabili yn

fisiche (

yi Xi →

)

= per ,

è BARICENTRO

¥9 ORIGINE DELLA TERNA

V. ti

mgh se

SE

→

→

È

Yn /

( ✗

Yn i ' NDIP

TROVARE FISICHE

VARIABILI

TRA E

RAPPORTO

IL

= . "

di

Per moto l'

è

dell'

scrittura c' approccio

la MINIMAL

equazione

" Lagrange

l' di

moltiplicatori

associato

SET approccio

e ai .

t il legame

subito

introduce

si

Nello le SALARE

• seguiremo prima

equazioni approccio approccio

scrivere un un

e poi

MATRICIALE i Noto Risposta

SISTEMA NOTA

i -8

è

SISTEMA

*

- _ INTEGRAZIONE

NUMERICA

1- NOTO

NOTO 0 identici

→ sistema

gweaam.ua

,

,

no µ ,

inp

um ,

no o →

,

,

, utilizzando

Equazioni scritte dominio

nel frequenza

della

del tempo

possono essere o ,

antitrdsf ]

l'

FOURIER usare

poi

e . ]

Fisicamente

[

equilibrio

Per la dell'

scrittura di

di moto • IMMEDIATO

eq

equazione . PUÒ ]

AUTOMATIZ

[ si

Lagrange zaee

•

?⃝ Esempi # vogliamo

Mg del

l'

scrivere

# nuoto

equazione

il delle equilibrio

metodo dell'

con equazioni

Mo dinamico

|

R 1) di riferimento

Sistema

' 00

libertà gdl

2) Gradi di 2*3=6 GDL

•

M ]

, Zgdv

cerniera →

[ ✗ fune

trascuriamo oscillazione

• della

rotazione M

massa

• di rotolamento

puro

condizione

[ altro

sull'

due

sono rotolano

ci corpi che uno

di

punto

nel contatto assenza

abbiamo

e strisciamento '

di quindi velocita

abbiamo

non

,

]

relativa

coordinata

quindi scegliere vogliamo

Dobbiamo la descrivere

cui

con

moto

il . SISTEMA

ISOLO IL ④ variabile indip

Mig

J fisica

variabile

✗

a Mio

]

TG T

0

! PMI

§ consiglio mettere

① le d'

forze

: Inertia

" ✓ µ al

opposte moto supposto

☐ f ×

1mg semplicità

di

Grado

1 libertà 1 EQUAZIONE ✗

inseriamo

→ per

,

dovuto mettere

Se segno

mi avrei freccia

avessi con

µ ma

messo questa -

{ JÒ "

Mo TR "

+ approccio

→

o furbo

+ = sistema

primo

F- MI secondo

→ sistema

my

- indip

Variabile Fisiche e

✗ (a) R

✗ ✗

= -0

=

→ RÒ

È È

E R.io

i =

= =

.

00

¥-0 JACOBIANO variabile

il legame Era

esprime

indipendente

fisica variabile

e

← → da !

Dipende

Costante carino

.

t

t EQ

LINEARI

Cq NON LINEARI

JÒ RÒ

Mot (

+ /

m' R

mg

- :O

ÒIMR ' )

-1J MGR

- no

- - del

equazione

JTMÌIÈ

( moto

R

my Mo

- -

-

MASSA GENERALIZZATA F n

¥

[ Note FORZE /

/

la

troviamo

integrino →

E →

µ →

. _ risposta

sistema ,

Ò Ò JTMRYÈ

^

n (

Rt

¥ Mo mg

= .

cinetostaticd ~ → non

, ,

taglio

andamento

questo >

E

Lagrange riferimento

Sistema di

. definire ngdl

variabili indip

e fisiche

✗

✗ forme di

le funzione fisiche

Scrivere di

energia

varie variabili

in

(

YK il tra

Legame

YK ✗ fisiche

variabili isolip

= e vai .

Scrivere inohp

di delle

forme funzione

le energia var

in

APPLICARE LAGRANGE

Ettie ¥

-8¥

{ ;) e ← ⇐

+ -

- General

È

continuazione Q

es ×

=

.

[ È 2

JÉ

Ec mi

§

= + { [

h È

(

Ec Jtmr

✗ }

Ro )

=

= - - =

V mgn

= R -0

✗ = mgr

= -

Legame

JL tra voi

Mog -0 .

-

= fisiche indi g

e p , .mg

,

,

,

= Eq funzione Ind

in var .

.

Eq fisiche

Variabili

. ↳

È ) off

☒ Q

=

+ +

-

APPLICO LAGRANGE 00 O_0

8-0

@

= detto scritto

che

'

Non e

Ò

( ' Mgh

) Mo

JTMR dinamiche

+ così

= e con eq

- stessa

la

ottenga cosa

si

Lezione Sistemi

2 d.

1 L Lineari

a g. 2.4.1

Cdp 2 per

[ MI ]

ri FCE

+ Kx )

+ = le

tramite proprie

risolte [ frequenze

presenta

INTEGRALE GENERALE

Possono essere il ]

vibra

cui

con corpo

dipende

[ dalle ]

forzati

PARTICOLARE

INTEGRALE

MOTO LIBERO SMORZATO

NON " il

MI sistema smorzato

comporta

KX come non

o

+ = si se di lol

perturbato configurazione

nella

viene -

"

?

statico

possibile soluzione

cerco una

↳ #

di

" " l'

✗ I

t'

✗

✗ ✗

e

= e

e

= =

=

• ☐

ott °

SOSTITUISCO OMOGENEA

ALGEBRICA

equazione ,

,

k¥-0 Xo ✗

in

Lineare IN

PARAMETRICA

e

ÌM

( )

K

+ soluzioni

2

↳ valida qualsiasi ↳ banale

tempo

in soluzione ✗ o

=

↳ banale

e non

det KI

Ham o

=

+

? Im

2m 1 Wo

✗ =

o Pulsazione

K propria non

Sist

= →

+ - SMORZATO

soluzione

' ±

✗ iwo

<

→ ×

wo →

- =

= ,

Integrale generale di

Combinazione dei di

modi da fisico

punto vista

vibrare questa

lineare un

e

DURANTE

risposta

rappresenta TRANSITORIO

la IL .

periodo

Il quel

transitorio è dove superato iniziata

un

,

lo di

spostamento vincolo

spostamento impresso o

oscillare

a

il inizia

impresso ) sistema

spostamento ,

tendono

nel

oscillazioni smorzato

che a

sistema

l'

quindi finire

diminuire tende

integrale generale a

e .

integralmente

di rappresentazione

E per

-4ps -

3

sono

① eiwot-pxje-iwot-xaeiw.tt iwot

dei

✗ ✗ _

= < e

-

La data

nel è

risposta tempo

da vettori

due controrotanti

complesso

piano

nel

In ^ FISICO

SIGNIFICATO

NON HA

i > Re

d Xzcoscuot

Sinnot

② zsincwot

i ✗

+ i )

( ×

✗ Woe

✗ cos )

= + -

,

i

( 2) coswot (

i

+ sincvot

✗ 2)

✗

+ )

×

×

= -

, ,

-4

Costco B sinlwot

A ⑧ )

+

=

Il oscillerà di

sistema opportuna

COMBINAZIONE sin

cose

una

con del

propria

freq sistema

delle

con oscillazioni alla

uguali

che sono .

.

③ TRASFORMAZIONE COORDINATE

DI

Hcosq

A = Hsing

B = - Hsinlwotlsincf

Hcoslwotlcoscq

(

✗ )

)

t )

= -

( Rappresentazione

Haas Watty ) tramite la

= proiezione

vettore

di reale

asse

un sull' con

condizione determinata

una iniziale

da 9

Calcolo risposte

I METODO Xz

✗

cerco e

{ ✗ ✗

»

C-

( = o

= •

i ( E ) ✗

=

o

= o )

( da dare

' definita

I altre inform

qui non posso

e ,

{ iwot

cinti {

_

✗

✗ ✗ ✗

✗

= ✗

a +

e 2

=

< i

°

CONDIZIONI inizia ,

i "

t

nei e-

"

i AL

✗ Io

ino C-

TEMPO

iwo iwoxz

✗ iwox

0

=

= z

- = -

,

i t

generiche

eq cond

imponendo

cq .

calcola iniziali

Xi ✗

e 2

mi

µ

{

{ Io

"

✗ ✗

Xz

+ = " #

= +

o segnali

e

ti ampiezze

✗ ← 2

=

<

- È

IWO 2×2 ✗ permettono

= che mi

o - di

iwo risposta

la

calcolare

# METODO B

cerco A e } Poi m i

{

Bsincvof calcolo

*

✗

✗ A ✗

t E - a

wo o

t

cos

= = o B

* e

~

,

Ì Io

i

Awosinwot BWO

×

= Bwocoswot

- - =

+ - .

☒ METODO ti

4

cerco e {

Hcoslwot + {

✗ -191 to

{ "

= * cosa

= =

E- o

I t ;

Hwa io

( Hcvosiny

×

)

sin

= Watty -

- =

- -

±

{ cosq = H IÌ ione

Egy =

→ -

=

ja *

Sing noto

= - ÈÈ

. jw

È

sin'

cos' +

µ

y + -

a

q _

- +

=

_ ,

( dovuto Ammortizzatore

ad

smottamento

SMORZATO

Moto IBERO

< ,

all' del materiale

isteresi ,

colombiano

attrito )

definito

lo (

normalmente ri

introducendo

spostamento stessa

viene con

direzione di )

opposto

ma verso

TF [

§ -4 Molla non Lineare

✗

f- :

- dissipativi

sistema puramente t Ias ' funzione

e

n dell' del cerchio

area È

±

dissipativi

elastico

Sistema ^ >

NEI

@ ESERCIZI LO KAPPRES

NOSTRI

• @ CON UNA r

lr-oeconimookk.ro/ogia' studiare

posso

smorti .

soluzione

Ricerca

MI " È t.xo.cat

ri ✗ Xoe

kx

+ o = =

+ =

( k¥-0

km )

dr K

+

+

/

det Km ✗ ( grandi

la

I anche

matrice matrici

vale piu'

0 qui in

r

+ K 1×1

'

=

+ ma per

e

modo

questo )

In K

dr o

=

+ +

2

✗ In

✗

In +

-1 o

= Woz

↳ =L Ew

h

In

introducendo 2 = = .

smorzamento critico

adimensionale 1

( Y wi /

Li io

=

+ + FÈ

In ± Hwi

-

d. wi

nwo

= ± -

= -

« 2 È

tua ]

[ h

No ±

= -

È ti

h

' h 2

r 2

> rc 1

mwo < 22

→ > → =

= -

→ -

a

/ , -

,

TÈ

h

dire caso

ogni e

lo @

sarà

vedo meglio in

±

a che -

↳ +

" t

"

×

(e) e-

✗ e-

+ ×

= , ,

✗ ^ > €

h ×

te 1 -2

→

t Wo

• 2mW →

=

= = =

o = ,

-

, , -21£

d' t f

e-

✗ ×

(E) × e

+

= ,

,

✗ n

• h

F- 2mW a

<

→

, > €

] notte

TÈ

[ W

iwi

ii. h -2 ±

=

i

Wo ± =

-

< = t

FREQUENZA

DEL SLST

eiwf iwt

«

+

• e- smorzato

e- ✗

(f) e-

✗ +

✗ = <

" (

te cos

✗

G) cit

- )

+

= y ^ È

F-

Un >

saldato

Strutture %

acciaio <

in 70%

gomme % molto

I tensione oscillazione

alta basso eccitato

cavi appena

non

, dura lungo

a

Identificazione di

del valore smorzamento

NON CREDO < o

Decremento logaritmico CHIEDA

^ "

.

te # 4)

cos

in

a.

YÈÉÉ the d'

" Ès

-

, 4)

acquario

e-

In ( ndt

= =

piccolo

d. T

dit y ,

-

e g.

.

I ipotesi

S D= vacciano

at T

= ] smorzamento

= che

zm è scriviamo WO

piccolo e

T 21T I

h

5 h 21T

= =

Em Io = → = 21T

d'

Ciclo isteresi T T

]

=] ' dt

dt ri

f

E I

A) =

=

'

^ , a Rt

Se ✗ = cos

imponiamo ✗ AI

sindaci

= -

"

=] RANE

E- dt

smart

razza =

☐

F- §a al

"

rara sott

E ciclo

area

→

=

☐ d' isteresi

RALRIT

f- =

☐

Sistemi di lineari

Lezione grado libertà

3 2.4.1

CAP Per

un 2

a FORZATE

MOTO :

MOTO FORZATO £

fa

MI FCE

)

ri +

t =

Kx = ,

t

Se sistema lineare

il è la effetti

degli

vale sovrapposizione

"

| f.

È portante

periodico

Forzamento periodica

einwotdt (f)

Fn = fa =

,

Ty

- fondamentale

della

pulsazione

do fondamentale

periodo

T

1° metri Cost

✗ ✗

KX →

=p

+ = =

o

p ↳ Kxo

Post equilibrio

di

KC statico

<

=p Posizione

=

=p µ ✗

ST

{

MI sinusoidale

FG) -9

2° ri

t )

FCE

Kx )

+ = di

riconduciamo

periodica di

( come

) somma

somma armoniche ci sinusoidali

risposte

periodiche

d

fandom )

( casuali Èfcyginsrof

{

Fn f-

di Fourier

trasformata

FORZANTI ricostruire

= possiamo

PERIODICHE off

della

la fattoria

temporale

storia periodica

^ t

1- - i

- - - - T PERIODO FOND . fondamentale

Pulsazione

Io =

> lfnleiun

Fn = ↳ singola demonica

di

relativo ogni

sfasamento

/ ^ risposta

Fnl / come

questa spettro

nello

I

1 a

trasformata

denti ndo

vo

E ⇐

lfnlcoslnrottun ) Un

FCE ) - ^

- h O

= "

"

- . , >

ndo

- .

.

Foliat

Focostrot

ri la

di reale

palla

solo

) vede

mi KX →

+ cui si

=

+ ( )

generale libero Ecansitouo

moto

integrale o

A.

soluzione completa Tehama integrale particolare ( )

moto regime

a

panettoni di il

comodo complessi

tutto

perché risolvere

ci inermi

con .

ai

Mi set

ri Fo

✗

K =

+ + vedendo

stiamo

{ qui %

eislt particolare

✗ ✗ soluzione

la

= po eire

il xp

= re

rzxp.ci

.

È = - oscilla

sinusoidale la

da

forzato stessa

fortuite pulsazione

LINEARE regime

IV. B sistema con

un a

una

.

della portante sistema quindi

il solo

Se QUESTO

NON NON

LINEARE SUCCEDEREBBE

FOSSE una

avremo

,

. SINUSOIDALE

periodica non

ma

risposta mtirr-kjxpoeire-foe.int

( d'

- ^

=L -

d' ) Fu

irrxk

Xp +

m =

- f. sentir r + K

_

nel lo tra

sfasamento

Qn armonica

ogni

'

È e

caso

step fiorente

di nella

presente

forzati gdl

i

µ

""

' / /

Xp (

e

xp y)

= at

cos

= xp +

. . È ritardo il sistema

cui

con cer ta

reagisce una

a