Meccanica delle Vibrazioni, Barbieri

Sistemi a 1 d.o.f.

Massa-Molla

Deformazione compressiva:

Eq. Moto: \( -u \ddot{x} - (\Delta + x)k + u mg = 0 \)

In equilibrio risolto tale, \( x = x_0 \)

\( -k \cdot \Delta + mg = 0 \)

\( \Delta = \frac{mg}{k} \)

Sostituisco:

\( -u \ddot{x} - k x + k u \Delta = 0 \)

Eq. dell'oscillatore armonico

→ Risoluzione oscillatore armonico

Iimposto condizioni iniziali (2)

• \( u \ddot{x} + kx = 0 \)
• \( x(0) = x_0 \)
• \( x'(0) = \dot{x}_0 \)

Problema di Cauchy → sol. di tentativo, spazio delle sol. di dim. 2

\( x(\omega) = A e^{\alpha t} + B e^{\beta t} \)

Deve valere:

• \( A m \alpha^2 + k e^{\alpha t} = 0 \)
• \( A (m \alpha^2 + k) e^{\alpha t} = 0 \)

\( \ddot{x} = -\frac{k}{m} x = 0, \omega_n^2 = \frac{k}{m} \)

pulsazione naturale → normale reale

Deve valere:

\( \alpha^2 - \omega_n^2 = 0 \), \( \alpha_{1,2} = \pm i \omega_n \)

Integrale Generale:

\( x(t) = A e^{i \omega_n t} + B e^{-i \omega_n t} \)

Formule di Eulero:

• \( \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \)
• \( \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \)

\( x = x_0 \cos(\omega_n t + \phi) \)

Ponpo

• \( A = \frac{x_0}{2} e^{i \phi} \)
• \( B = \frac{x_0}{2} e^{-i \phi} \)

\( x(t) = \frac{x_0}{2} e^{i \phi} e^{i \omega_n t} - \frac{i \phi}{2} e^{-i \omega_n t} \)

Condizioni Iniziali:

• \( x_0 = x \cos \phi \)
• \( \dot{x}_0 = -\omega_n x \sin \phi \)

\( x = \sqrt{x_0^2 + \left( \frac{\dot{x}_0}{\omega_n} \right)^2} \)

\( \tan \phi = -\frac{\dot{x}_0}{\omega_n x_0} \)

Oscillatore smorzato

• Smorzatore viscoso (lineare)

F(x) = df/dx |_x=0 + α (iγ) ≃ dΓ/dx |_x=0 x = Cx

Equazione caratteristica:

mx'' + Cx' + kx = 0

C² + 2ξω_nα + ω_n² = 0

• Ipotesi sol. di tentativo Ae^αt

A (α² + 2ξω_nα + ω_n²) e^αt = 0

α² - ξω_n + (ξ² - 1) = 0

• ξ² - 1 > 0 → Radici reali distinte x(t) = Ae^α₁t + Be^α₂t
• ξ² - 1 = 0 → Radici reali coincidenti x(t) = Ae^αt + Bte^αt
• ξ² - 1 < 0 → Radici complesse coniugate x(t) = Ae^αt + Be^αt

x₀ ∈ ℝ → A_I = -B_I

Inoltre,

x'₀ = A₀ + B₀ = (A_R + iA_I)α₁(e^α₁t) + (B_R + iB_I)(e^α₂t)

→ B = A^*

Integrale generale:

x(t) = Ae^-ξω_nt e^iω_n*t + A^*e^-ξω_nt

Ponendo

• A = X/2 e^iφ
• A^* = X/2 e^-iφ

x(t) = Xe^-ξω_nt cos (ω_n√1 - ξ²t + φ)

ω_s → Se ξ < 1 → ω_s ≃ ω_n

SISTEMA A MASSE ECCENTRICHE

m/2 ⟶ MASSE CONTROROTANTI

d² OP = [ -θ.. n. θ ]

EQUAZIONE DEL MOTO:

Mx + c ẋ + kx = 0

e^-bx (mu^.. + iwc + k) X = mEω²e^iωt

DEF: G^*(ω) = (ω/ω_n)² G(ω)

← ω²me

ROTORE DI JEFFCOTT

• IPOTESI: (1) TUTTA LA MASSA È NEL DISCO
• (2) TUTTA L’ELASTICITÀ È NELLE MOLLE
• (3) centro di massa C ≠ centro di rotazione S

d²r_c

= _ɵ̈⟶

{mu (ẍ - eω²cos(ωt)) = - k_x ∙ x

SOLUZIONE:

I { x(t) = X cos(ωt)

II { y(t) = Y sin(ωt)

Forma Complessa

Usando le formule di Eulero:

A_ncos(nω₀t) + B_nsin(nω₀t) =

f(t) = Σ_m=-∞^∞ a_ne^inω₀t = Σ_m=-∞^∞ a_-ne^-inω₀t

a_-n = a_n* → coefficienti complessi coniugati

a_n = 1/2 A_n + i/2 B_na_-n = 1/2 A_n - i/2 B_n

Da a_n = (A_n + i B_n)/2

tg ϕ_n = B_n/A_n, a_n = |a_n| e^iarg(a_n)

Esempio:

x(t) = A cos(ωt) + x₀

• Forma Trigonometrica: A₀ = x₀, A₁ = A, B₁ = 0
• Forma Armonica: x₀ = x₀, C₁ = A, φ₁ = 0
• Forma Complessa: a₀ = x₀, a₁ = A/2

In generale una funzione periodica ha un'infinità numerabile di lune spettrali (discrete)

Coefficienti della Serie (Forma Complessa)

A_n = 2/T ∫₀^T f(t)cos(nω₀t)dtB_n = 2/T ∫₀^T f(t)sin(nω₀t)dt

a_n = 1/T ∫₀^T f(t)e^-inω₀tdt

Risposta di un Sistema a 1 GDL a Forzante Periodico

mẍ + cẋ + kx = A₀ + Σ_n=1^∞ (A_ncos(nω₁t) + B_nsin(nω₁t))

x_N = A_Ncos(nω₁t) + B_Nsin(nω₁t)

CAMPIONAMENTO DI UN'ONDA

con h(t) funzione continua rivelato da un esperimento.L'idea è effettuare un campionamento uniforme con periodo T: uso δ(t-nT) con n=0,-∞,0,+∞ -> T = PERIODO DI CAMPIONAMENTO f_s = ¹/_T = FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO.Per il Th di convoluzione _P(f) = H(f) * Δ(f/T)ESEMPIO: h(t) = [cos 2πt + ¹/₂sin²4πt ]² contenuto spettrale nullo oltre 3Hz

ALIASING:

f_maxf_s = f_NSe 2f_max < f_s siamo nel dominio dell'ALIASING. Devo campionare con f_s ≥ 2f_max = f_N = FREQUENZA DI NYQUIST

TEOREMA DI NYQUIST-SHANNON DEL CAMPIONAMENTO UNIFORME

Un segnale () è rappresentato dai suoi campioni (a frequenza di campionamento

BANDA DEL SEGNALEFREQUENZA DI NYQUIST

DIMOSTRAZIONE: Definisco una nuova funzione * (f) = (f) * ¹/_π

Risposta all'impulso dell'oscillatore

Si ha un forzante impulsivo

Suppongo di avere condizioni iniziali omogenee

Essere un approccio nel dominio del tempo la risposta a un forzante arbitrario:

Se da (1) vale Vt vale anche:

Scomponendo l'integrale a sinistra:

Questo perché x ha una discontinuità

mẋ(0⁺)=1 ⇒ ẋ(0⁺)=

λ(t)=

La varia impulsale del sistema per t>0 è data dal problema di Cauchy:

Evoluzione del sistema: h(t), risposta all'impulso:

_ess

Integrale di Convoluzione, Approccio nel Tempo

• f(t)=forzante arbitrario

τ:

A questo impulso corrisponde una forza h(t-τ) è uno spostamento x(t-τ). Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti:

Quindi x(t)=h(t)*f(t)

Fornieri:

Detta Funzione di Trasferimento.

Caso Particolare: f(t)=δ(t)=