Lezioni, Matematica finanziaria

Premessa fondamentale

Per entrare nell'ottica dello studio della matematica finanziaria bisogna capire da subito che il valore di una somma di denaro si incrementa al passare del tempo. Bisogna recitare il seguente mantra: "1€ oggi vale più di 1€ domani".

La spiegazione di questa semplice e breve affermazione è che 1€ oggi possiamo investirlo ad un determinato tasso d'interesse guadagnando grazie alla quota di interessi che otterremo. Tale quota infatti accrescerà il valore della somma iniziale investita rendendoci "domani", più ricchi di oggi.

Se scioccamente pensassimo che ricevere 1€ domani sia come riceverne 1€ oggi vorrebbe dire non tenere conto dell'opportunità positiva di investimento descritta prima. La nostra scelta si chiamerebbe costo opportunità. Non avendo sfruttato l'opportunità di investire avremmo perso un'occasione e questa mancanza genererebbe per noi un costo, detto costo opportunità.

Operazione finanziaria

Un'operazione finanziaria è qualsiasi accordo che genera uno scambio di somme di denaro riferite ad epoche diverse. Esempi: acquisto BOT (Buono Ordinario del Tesoro), accensione Mutui, contratti di Leasing, etc.

• Semplici quando è coinvolta una sola scadenza (BOT);
• Complesse quando sono coinvolte più scadenze (BTP, acronimo per Buoni del Tesoro Poliennali);
• D’investimento rinuncia oggi ad una somma di denaro per ottenere in futuro una somma maggiore;
• Di finanziamento ricevere oggi una somma di denaro e rimborsarla in date future;

L'importo investito si chiama capitale iniziale. La somma disponibile alla fine dell'investimento si chiama capitale finale o montante. Per ricordarsi del montante concettualmente possiamo pensare che il capitale iniziale cresce... quindi monta, come la panna, accrescendo il valore della somma iniziale.

Consideriamo quindi:

• M = C + I
• I = M - C
• M = Montante
• C = Capitale
• I = Interessi

Fattore di montante

Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t) accumulato al tempo generico t (partendo) da un capitale iniziale C.

M(t) = F(C , t)

Tale espressione indica in formula matematica il fatto che il montante sia funzione di due elementi: capitale e tempo. Essere funzione di "qualcosa" vuol dire dipendere da variabili e precisamente da capitale e tempo. Il valore di un capitale C cambia nel tempo. La misura della variazione del valore è data proprio dal fattore di montante M(t).

La "t" in M(t) esprime il numero di periodi per cui viene “spostato” il capitale. Il montante viene stimato attraverso alcune leggi che ci permettono di valutare in termini monetari l'interesse legge finanziaria di capitalizzazione grazie ai seguenti postulati:

• Esiste un montante per ogni C ≠ 0 (In linguaggio matematico E un M(t) C ≠ 0);
• Se t = 0 → M = C;
• t > t₂ > t₁ , M > M₂ > M₁;
• Montante direttamente proporzionale a C;

Il fattore di montante remunera il tempo per il quale si sta cedendo il denaro oggi. Il fattore di montante è da considerarsi come un ricavo. Ci sono tre condizioni affinché una funzione possa essere considerata un fattore di montante:

• f(t) definita tra 0 e T (significa che si considerano solo tempi positivi);
• f(0) = 1 (significa che se investo 1€ e immediatamente dopo lo disinvesto ottengo lo stesso identico capitale investito. Niente di più, niente di meno);
• f'(t) ≥ 0 (significa che la funzione NON È DESCRESCENTE);

Dire "non decrescente" è diverso da dire crescente poiché ciò che interessa a chi investe il denaro per un determinato periodo è che il montante non diminuisca. Potrebbe rimanere nella peggiore delle ipotesi uguale ma mai diminuire, sarebbe illogico, del tutto irrazionale.

Il tasso d'interesse del periodo è derivato dalla seguente equazione:

i(t) = M'(t)/M(t)

Mentre il tasso di sconto è uguale a:

g(t) = 1 - M(t)/M(t+1)

NB: Il fattore di sconto è il reciproco del fattore di montante → g(t) = 1/M(t). "Scontare" e quindi usare il fattore di sconto, vuol dire partire da un dato capitale futuro e conoscendo il tasso d'interesse scoprire qual è il valore oggi che avrebbe quel capitale.

Esempio: Quanto vale oggi un capitale (C) che varrà 100 tra due anni con un tasso d'interesse del 50%?

C = 100 g(2) = 100 / (1 + 0.5) = 66.67

Capitalizzazione

Ripetiamo quindi cosa si intende per capitalizzazione. CAPITALIZZAZIONE = differimento di una disponibilità monetaria immediata. I fattori di montante si rappresentano mediante 3 tipologie:

• Regime finanziario di interesse anticipato
• Regime finanziario di interesse semplice
• Regime finanziario di interesse composto

Regime finanziario di interesse semplice

L'interesse è sempre direttamente proporzionale al capitale iniziale e al tempo. Si considereranno gli interessi alla fine del periodo.

f(t) = C (1 + i t)

Esempio: La capitalizzazione di 7.000€ iniziata in t = 0 al tasso i = 2,50% annuale…