Lezioni, Matematica finanziaria

FORZA D'INTERESSE (INTENSITA' ISTANTANEA D'INTERESSE)

I regimi finanziari possono anche essere descritti analizzando in che modo si manifesta

l'accrescimento del montante nel tempo e quindi studiando il processo di formazione dell'interesse.

La forza d'interesse detta anche Intensità istantanea d'interesse è una funzione che dà il valore

del fattore di montante istante per istante.

Risponde quindi alla domanda: “Quanto aumenta il capitale investito in ogni istante?”.

!!(!)

∂ (t) = !(!)

La forza d'interesse nei regimi precedentemente considerati vale:

!

• à

Regime d’interesse semplice ∂ (t) = !!!"

• à

Regime d’interesse composto ∂ (t) = ln(1+i)

!

• à

Regime d’interesse anticipato ∂ (t) = !!!"

L’applicazione di queste formule è riscontrabile in esercizi che in modo diretto ed esplicito

richiedono di trovare la forza d’interesse. Chiaramente bisognerà applicare la formula adatta stando

attenti al Regime d’interesse in cui ci si trova ad agire.

Spesso il tasso d’interesse i o il tasso di sconto d devono essere ricavati con le formule iniziali

partendo dai dati disponibili ad inizio esercizio.

SCINDIBILITA’

La scindibilità è la possibilità di spezzare un investimento in uno o più momenti reinvestendo

l’istante dopo, ottenendo alla fine del periodo un capitale pari a quello che si avrebbe se non si fosse

spezzato l’investimento.

NB: la scindibilità non è valida per il regime d’interessi semplici né per il regime d’interessi

anticipati ma SOLO per il regime d’interessi composti. Vale infatti il teorema secondo cui:

La legge di capitalizzazione è scindibile se e solo se è composta con convenzione esponenziale.

In un regime scindibile il montante di un’operazione finanziaria dipende solo dalla durata e non da

eventuali operazioni di disinvestimento ed investimento intermedie.

t

(1+i)

In convenzione esponenziale si ha infatti M (t) = C

à

Esempio concettuale:

Deposito 100 € in banca oggi e ottengo 110 € tra un anno.

Il Fattore di Montante è scindibile se, ritirando i soldi più gli interessi maturati a metà anno e

reinvestendoli immediatamente, alla fine dell’anno ottengo la stessa identica cifra di 110 € proprio

la cifra che otterrei se non avessi “spezzato” l’investimento.

TEMPI NON INTERI

I tempi non interi devono essere per comodità convertiti in anni.

Ricordiamo che l’anno può essere suddiviso in due gruppi:

à

• ANNO CIVILE 365 GIORNI

à

• ANNO COMMERCIALE 360 GIORNI

Se ad esempio abbiamo un esercizio il cui orizzonte temporale è di 4,30 anni dovremo porci la domanda:

“A quanto equivalgono in anni 4,30?”

Procediamo nel modo seguente:

Il numero intero è SEMPRE il numero degli anni, quindi 4 ANNI.

Le cifre dopo la virgola 0,30 anni vanno “trattate” moltiplicando per 12 mesi.

Ottenendo: ∗

0,30 12 = 3,6

L’intero, come visto prima, è il numero di mesi, quindi 3 MESI.

Per scoprire adesso a quanti giorni equivale la cifra dopo la virgola, moltiplichiamo 0,6 per 30 giorni.

Ottenendo: ∗

0,6 30 = 18

Abbiamo quindi scoperto che 4,30 anni equivalgono a 4 ANNI, 3 MESI e 18 GIORNI.

Questo calcolo in anni, mesi e giorni ci tornerà estremamente utile nel calcolo della DURATION.

Chiaramente è possibile fare il procedimento inverso per rispondere alla domanda:

“Quanto vale un periodo pari a 3 anni, 1 mese e 24 giorni?”

Procediamo al calcolo partendo dai giorni e andando dunque a ritroso. Ipotizziamo di considerare l’anno

commerciale di 360 giorni. Calcoliamo nel modo seguente i 24 giorni in termini di anno:

!" = 0,067

!"#

Poi, per calcolare i mesi in termini di anno dividiamo per 12 mesi, così:

! = 0,083

!"

Come prima 3 è il numero intero degli anni.

Sommiamo le cifre intermedie ottenute e scopriamo che 3 ANNI, 1 MESE e 24 GIORNI sono pari a:

3 + 0.067 + 0,083 = 3,15 … come volevasi dimostrare (c.v.d.)

ATTUALIZZAZIONE

L’attualizzazione o “anticipazione” consente di stabilire OGGI il valore ATTUALE di un capitale

con scadenza futura che produce un dato montante al tempo futuro M(t).

Il Fattore di Sconto paga il tempo per il quale si sta anticipando il denaro oggi.

Il Fattore di Sconto è da considerarsi come un costo.

Nel processo di attualizzazione il tasso d’interesse è chiamato più propriamente TASSO DI

VALUTAZIONE per il semplice fatto che non andremo a calcolare gli interessi ma andremo a

valutare il montante ad un epoca futura per trovare a ritroso il Capitale iniziale impiegato (C).

Il Valore Attuale V è dato dalla seguente formula in regime di interesse composto (il più usato

0

negli esercizi e in sede d’esame). - t

∗

= M (1+i)

V 0

Esempio:

BOT (Buoni del Tesoro Ordinari)

C (Capitale investito) = 5.000 €

t = 6 mesi

i = 2%

2

Regime di interessi composti.

Applichiamo la seguente formula appena imparata per calcolare il Valore Attuale:

- t

∗

= M (1+i)

V 0

Ottenendo: -2

∗

V = 5.000 (1+0,02) = 4.805,8439

0

Chiaramente il Valore Attuale sarà sempre un valore minore rispetto a quello del capitale investito

per il fatto che viene anticipato al tempo zero. Più alto sarà l’esponente negativo “-t” più basso sarà

quindi il Valore Attuale che diminuirà in funzione del tempo trascorso e del tasso d’interesse

praticato.

CAPITALIZZAZIONE Vs ATTUALIZZAZIONE

Capitalizzazione     -­‐  C     M   “si  va  avanti”  

V   M  

Attualizzazione     “si  torna  indietro”  

# RENDITE

Una rendita è un insieme di flussi finanziari definiti rate (R) da riscuotere o da pagare in epoche

differenti.

E’ importante rappresentare, almeno all’inizio, graficamente l’orizzonte temporale di riferimento

per capire meglio l’andamento dei flussi finanziari e non confondersi.

0   1   2   3   4  

R   R   R   R  

Le tipologie di rendite in base alle seguenti caratteristiche possono essere così suddivise:

• COSTANTI = rate ad importo unitario (BTP)

• VARIABILI = rate ad importo che varia nel tempo (Mutuo)

• TEMPORANEE = rate a numero finito

• PERPETUE = rate a numero indefinito (per un orizzonte temporale infinito, per sempre)

• PERIODICA = rate ad intervallo definito

• NON PERIODICA = rate ad intervallo indefinito

• POSTICIPATE = la scadenza della rendita si ha all’intervallo finale

• ANTICIPATE = la scadenza della rendita si ha all’intervallo iniziale

• IMMEDIATE = la prima rata è dovuta in t se la rendita è anticipata / La prima rata è

0

dovuta in t se la rendita è posticipata

1

• DIFFERITE = la prima rata scade in t se la rendita è anticipata / La prima rata scade in t

h h+1

se è posticipata

In un Regime finanziario ad interessi composti (Capitalizzazione composta) come abbiamo

imparato, avremo: t

f(t) = C(1 + i)

Esempio:

Capitalizzazione composta.

Tasso di valutazione del 5%

Trovare il valore attuale al tempo t di questa rendita.

0

TEMPO 1 2 4

Importo RATE 50 100 30

Chiaramente converrà per comodità impostare il seguente grafico:

0   1   2   3   4  

50   100     30  

Dal momento che ci stiamo occupando di rendite e non di Capitali (C) nella formula inseriamo (R)

avendo le nostre RATE. Ricordiamo anche che stiamo ATTUALIZZANDO e che dobbiamo

“tornare indietro” all’epoca richiesta. In questo caso fino a t .

0 -t

)

Valore Attuale (VA) = R (1 + i

-1 -2 -4

VA = 50(1+0,05) + 100(1+0,05) + 30(1+0,05)

Il Valore Attuale di questa rendita al tempo t sarà: 47,6190 + 90,7029 + 24,6811 = 163,003 €

0

Se invece dovessimo calcolare il Valore Attuale in un tempo intermedio dovremo utilizzare sia la

CAPITALIZZAZIONE sia l’ ATTUALIZZAZIONE “giocando” nel modo seguente.

Esempio:

Utilizziamo gli stessi dati precedenti con la sola differenza di voler trovare il VA al tempo t .

2

Impostiamo il nostro grafico così:

0   1   2   3   4  

50   100     30  

Quindi avremo che la prima rata al tempo t andrà CAPITALIZZATA, produrrà degli interessi e

1

dovrà essere “portata in avanti” di un SOLO periodo (da t a t ).

1 2

La rata al tempo t varrà per l’importo segnato di 100 €.

2

E la rata al tempo t andrà invece ATTUALIZZATA e bisognerà “portarla indietro” di 2 periodi

4

(dal periodo 4 al periodo 2) al tempo t .

2

Avremo quindi la seguente formula matematica:

1 -2 = 52,5 + 100 + 27,2109 = 179,7109

VA = 50(1+0,05) + 100 + 30(1+0,05)

SPERANZA IN PILLOLE: Imparando ad “andare avanti” CAPITALIZZANDO o “tornare

indietro” ATTUALIZZANDO la difficoltà delle rendite non sussiste per il fatto che il grosso degli

esercizi si baserà su tali formule “banali”. Come suggerito anche a lezione dai diversi docenti di

riferimento, ognuno per il proprio gruppo di lettere, FATTORE DI MONTANTE e di SCONTO,

ATTUALIZZAZIONE e CAPITALIZZAZIONE se capite concettualmente sono alla BASE di tutta

la matematica finanziaria che affronteremo durante questo corso.

PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA

Due rendite con lo stesso valore attuale sono equivalenti finanziariamente ad ogni tempo t SE E

SOLO SE il loro valore è calcolato in regime di interessi composti.

VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA COSTANTE

Nel caso in cui si abbiamo le seguenti condizioni:

• Capitalizzazione composta

• Rate (R) costanti (tutte aventi lo stesso importo)

• Rate che cadono alla stessa “distanza” temporale (intervalli definiti)

E possibile utilizzare una NUOVA formula COMPATTA che equivale al “portare indietro” tutte le

rate. PROSEGUE su dispensa…

INDICI TEMPORALI

Gli indici temporali sintetizzano la distribuzione delle rate nel tempo.

Indici temporali sono:

v SCADENZA MEDIA

v SCADENZA MEDIA ARITMETICA (SMA)

v DURATION

SCADENZA MEDIA

E’ quel valore z tale per cui il valore attual