Lezioni e formulario, Matematica finanziaria

Con capitalizzazione composta 2 1 2

o Forza d’interesse

3 '

f t

( )

δ t

( )=

Forza d’interesse (o intensità istantanea):

• f t

( )

i

δ t

( )=

Nel regime a capitalizzazione semplice:

• 1+ it

δ t

( )=ln (1+i)

Nel regime a capitalizzazione composta:

• d

δ t

( )=

Nel regime a capitalizzazione ad interessi anticipati:

• 1−dt

Scindibilità

La scindibilità indica la possibilità di interrompere anticipatamente

• l’operazione di investimento e riprenderla immediatamente,

facendo sì che i valori di scadenza rimangano uguali:

f t f

( ) =f (t )∙ (t −t )

2 1 2 1

Teorema della scindibilità: una legge finanziaria è scindibile se e

• solo se è un’esponenziale

Rendite finanziarie

Una rendita finanziaria S è un’insieme di importi ( rate R) tutti da

• S=( R ; t )

riscuotere o tutti da pagare in epoche differenti: k k

Classificazione delle rendite:

• Per importo:

o A rata costante

 A rata variabile



4 Per numerosità:

o Temporanea

 Perpetua



Per periodicità:

o Rate periodiche

 Rate non periodiche



Per scadenza:

o Posticipata

 Anticipata



Per decorrenza:

o Immediata

 Differita



Valore di una rendita: è la somma dei montanti ai tempi

• antecedenti e dei valori attuali dei periodi posteriori

j n

∑ ∑

V t R ∙ f t−t R ∙ g(t

( )= ( ) + −t )

k k k k

k=0 k= j+1

Calcolo con n rate posticipate del valore attuale:

• −n n

1−(1+i 1−v

)

V 0

( )=a = =

n∨i i i

Calcolo con n rate anticipate del valore attuale:

• −n n

1−(1+i) 1−v

V 0 a ∙(1+i)= ∙u

́

( )= =

n∨i i i

a ∙( 1+i

́ =a )

Si ha quindi la relazione

• n∨i n∨i

5 Calcolo con n rate posticipate del montante:

• n n

i) u

(1+ −1 −1

V n

( )=s = =

n∨i i i

Calcolo con n rate anticipate del montante:

• n n

1+i u

( ) −1 −1

V n s ∙ 1+i ∙u

( )=́ ( )=

=

n∨i i i

Ammortamento

L’ammortamento indica la specificazione dei termini nei quali si

• concretizza la restituzione o la remunerazione di un prestito o di

un mutuo

Modelli di rimborso:

• Rimborso globale finale (prestito elementare): il capitale e gli

o interessi vengono restituiti alla scadenza

Rimborso globale con interessi periodici: il capitale viene

o rimborsato alla scadenza, gli interessi periodicamente

Rimborso graduale: gli interessi ed il capitale vengono

o corrisposti periodicamente

Piano di ammortamento

•

Epoca Tempo Rata di Quota Quota Debito Debito

rimbors capitale interess residuo estinto

o e

0 0 - - - S 0

… … … … … … …

T R C I S E

j ❑ j j j j j j

6 … … … … … … …

R C I D E

n n n n n n n

Relazioni fondamentali di un ammortamento:

• R I

=C +

o k k k

I D

=i∙

o k k−1

I ∙ D

=d

o k k

D =D −C

o k k−1 K

E E C

= +

o k k−1 k

S D

=E +

o ❑ k k n

∑ C =S

Condizione di chiusura elementare k

o k=1

n

∑ −k

R ∙(1+i) =S

Condizione di chiusura finanziaria k

o k=1

Particolari tipi di ammortamento:

• Americano: il capitale finale è costituito in modo progressivo

o su un fondo collaterale

Francese: le rate sono costanti

o Italiano: le quote capitali sono costanti

o Tedesco: le quote interesse sono anticipate

o

Ammortamento americano, consiste in:

• Il rimborso globale con interessi periodici al tasso periodale i

o

7 Una operazione distinta di costituzione del capitale con

o versamenti di importo Q basati sul tasso i* che alla scadenza

del prestito consente di disporre di S

R S

=iS+

L’esborso finale in n è definito come , mentre il capitale

• n S=Q ∙ s

costituito con il fondo di costituzione è ¿

n∨i

Ammortamento francese (o progressivo), partendo dalla

• S=R ∙ a

condizione di chiusura finanziaria si ottiene . Sono

n∨i

valide le seguenti relazioni:

C =C (1+i)

o k+1 k

D ∙ a

=R

o k n−k∨i

R C

=R =C (1+i)

(sostituendo si ottiene che e quindi

k+1 k

k k+1

o nell’ammortamento francese le quote capitali crescono in

maniera geometrica)

Ammortamento italiano (o uniforme), partendo dalla condizione di

• n

∑ C =S=nQ

chiusura elementare si ottiene che . Sono valide le

k

k=1

seguenti relazioni:

E =kQ

o k

D n−k Q

=( )

o k

I ∙[n− k−1

( )

=iQ ]

o k

Estinzione anticipata di un prestito: solitamente per riscattare

• anticipatamente un prestito al tempo s si applica un tasso i*,

8 quindi si calcola il valore attuale in s del debito residuo secondo

V s ∙ a

( )=R

i*: n−s∨i Operazioni finanziarie

Un’operazione finanziaria è qualsiasi operazione che può generare

• t C

al tempo un flusso che può essere sia un costo (se

s s

C 0 C 0

< >

) che un ricavo (se ). Si ha quindi almeno una coppia

s s

di flussi di segno opposto.

Classificazione delle operazioni finanziarie:

• Investimento in senso stretto: tutti i costi precedono i ricavi

o Finanziamento in senso stretto: tutti i ricavi precedono i costi

o z c ≤ z r

( ) ( )

Investimento in senso generale: si ha sempre

o z c ≥ z r

( ) ( )

Finanziamento in senso generale: si ha sempre

o ́

t

Investimento in senso lato: precede il tempo del primo

o ricavo ́

t

Finanziamento in senso lato: precede il tempo del primo

o costo

Investimento puro: il saldo contabile cambia segno solo una

o volta, da negativo a positivo

Finanziamento puro: il saldo contabile cambia segno solo

o una volta, da positivo a negativo

9 Il saldo contabile in t è definito come la somma dei flussi a quel

• n

∑ C t

=S( )

momento, cioè k n

k=1 Criteri di scelta

I criteri di scelta permettono ad un operatore di effettuare una

• scelta razionale tra due o più operazioni finanziarie, e sono:

Criterio del risultato economico attualizzato (REA)

o Criterio del tasso interno di rendimento (TIR)

o Criterio del pay-back

o

Criterio del REA: identifica, fissato un tasso di valutazione i, il

• valore attuale dei flussi di cassa di un’operazione finanziaria

n

∑

REA=V 0 C

( ) = k

k=0

Proprietà del REA:

• n

∑

V 0 C

( )=¿ k

k=0

o lim ¿

i →0

V 0 C

( )=¿ 0

lim ¿

o i→∞

REA REA

+ =REA

o a b a +b

REA ∙ REA

=α

o α ∙b b

10 Criterio del TIR: identifica il tasso di valutazione i (il TIR) che rende

• equa l’operazione; si ha quindi il valore attuale (cioè il REA) pari a

V 0

( )=0=REA

0; TIR: i tale per cui

Proprietà del TIR:

• TIR =TIR

o a −a

TIR ∙ TIR

=β

o β ∙ a a

Esistono due teoremi che garantiscono l’esistenza di un TIR

• positivo:

Teorema di Levi: dato un investimento con saldo contabile

o alla scadenza positivo, condizione sufficiente di esistenza

del TIR positivo è che l’investimento sia tale in senso lato

Teorema di Norstrom: dato un investimento, condizione

o sufficiente di esistenza del TIR positivo è che il saldo

contabile cambi segno solo una volta (quindi l’investimento è

tale in senso puro)

Criterio del pay-back: identifica il tempo necessario affinchè si

• possa recuperare integralmente il capitale impiegato.

Titoli obbligazionari

I titoli obbligazionari prevedono il rimborso del capitale alla

• scadenza, mentre la remunerazione può essere integralmente alla

scadenza (zero coupon bonds) oppure tramite cedole periodiche

(coupon bonds).

Per valutare la redditività di un’obbligazione si utilizzano due

• approcci:

11 p −p

s t

r= r

Ex-post: ; è il tasso di rendimento realizzato, e

o p t

t< s ≤ T

si ha

Ex-ante: si fa riferimento al tasso “yield to maturity” (cioè il

o TIR) che uguaglia il prezzo alla somma dei valori attuali:

1+ y

¿

¿

t

¿ −t

k

¿

C k

¿ n

∑

p = ¿

t k=1 Tassi spot e forward

R :k n

{ }

=1,2…

Tassi spot: successione di tassi che il mercato

• k

adotta in t esigibili alle varie scadenze future T. Garantiscono il

rispetto della legge del prezzo unico (quindi non permettono

l’arbitraggio).

Tassi forward: tassi implicati dalla successione dei tassi spot per

• ❑

r

periodi di tempo nel futuro. Il tasso indica il tasso in s per

s p

impegni che si protraggono da quel momento per p periodi; si ha

s+ p s p

❑

R R r

(1+ ) =(1+ ) +(1+ )

quindi: s p s s p

+ Indici temporali

12 Scadenza media aritmetica: è la media aritmetica delle scadenze

• t R

ponderate con pesi dati dagli importi delle rate

i i

n

∑ ∙ t

(R )

k k

k=1

́

t = n

∑ R k

k=1

Scadenza media: identifica la scadenza z di un unico capitale di

• importo W pari alla somma delle rate in modo tale che il suo valore

t k

R ∙ g (¿)

k

attuale della rendita n

∑

W ∙ g z

( ) = ¿

k=1

Nel regime degli interessi anticipati la scadenza media è pari alla

• scadenza media aritmetica. Nel regime composto ha le seguenti

proprietà:

́

z< t ∀i

o La scadenza media è funzione decrescente del tasso di

o interesse periodale i

z=́

lim t

o i→ 0

lim z=t R

( )

1

o i→∞

13 Duration (durata media finanziaria): identifica la media ponderata

• delle scadenze avente per pesi i valori attuali delle rate

n

∑ k

∙ v ∙ t

(R )

k k

k=1

D= n

∑ k

R ∙ v

( )

k

k=1 Matematica attuariale: nozioni

Contratto di assicurazione: il contratto