Lezioni e formulario, Matematica finanziaria

Formulario e schemi di matematica finanziaria

Concetti introduttivi

Il fattore di montante f(t) è importante per calcolare il tasso di interesse unitario. Le sue caratteristiche principali includono:

• t ∈ T, è definito per t ≥ 0, non decrescente e, se derivabile, tale che f'(0) = 1
• i = f(1) - 1, permette di ottenere il tasso di interesse unitario

Il fattore di sconto g(t) è utilizzato per calcolare il tasso di sconto unitario. Le sue caratteristiche principali sono:

• t ∈ T, è definito per g ≤ 0, non crescente e, se derivabile, tale che g'(0) = 1
• i = f(1) - 1, permette di ottenere il tasso di sconto unitario

Due leggi finanziarie sono coniugate se hanno g(t) · f(t) = 1.

Regimi di capitalizzazione

Nel regime di capitalizzazione semplice, il montante si calcola come:

• M(t) = C · (1 + i · t)
• f(t) = 1 + i · t
• g(t) = 1 / (1 + i · t)

Nel regime di capitalizzazione composta, le formule sono:

• M(t) = C · (1 + i)^t
• f(t) = (1 + i)^t
• g(t) = 1 / (1 + i)^t

Nel regime di capitalizzazione ad interessi anticipati:

• M(t) = C / (1 - d · t)
• f(t) = 1 / (1 - d · t)
• g(t) = 1 - d · t

Quando si utilizzano tassi variabili nel tempo, le formule di capitalizzazione semplice e composta variano leggermente:

• Con capitalizzazione semplice: M(t) = C · [1 + i(t) · (t - t₁)]
• Con capitalizzazione composta: M(t) = C · (1 + i₁) · (1 + i₂)

Forza d'interesse

La forza d'interesse o intensità istantanea è data da:

• δ(t) = f'(t) / f(t)

Nei vari regimi di capitalizzazione, la forza d'interesse si esprime come:

• Nel regime a capitalizzazione semplice: δ(t) = ln(1 + i)
• Nel regime a capitalizzazione composta: δ(t) = i
• Nel regime a capitalizzazione ad interessi anticipati: δ(t) = d / (1 - d · t)

Scindibilità

La scindibilità indica la possibilità di interrompere anticipatamente un'operazione di investimento e riprenderla immediatamente, mantenendo i valori di scadenza invariati:

• f(t) = f(t₁) · f(t - t₁)

Secondo il teorema della scindibilità, una legge finanziaria è scindibile se e solo se è un'esponenziale.

Rendite finanziarie

Una rendita finanziaria S è un insieme di importi (rate R) da riscuotere o pagare in epoche differenti:

• S = {R_k; t_k}

Le rendite si classificano per:

• Importo: a rata costante, a rata variabile
• Numerosità: temporanea, perpetua
• Periodicità: rate periodiche, rate non periodiche
• Scadenza: posticipata, anticipata
• Decorrenza: immediata, differita

Il valore di una rendita è la somma dei montanti ai tempi antecedenti e dei valori attuali dei periodi posteriori:

• ∑(V(t) = R_k · f(t_k - t) + R_j · g(t_j - t))

Calcoli specifici per rendite

Calcolo del valore attuale con n rate posticipate:

• V₀ = a_n|i = (1 - vⁿ) / i

Calcolo del valore attuale con n rate anticipate:

• V₀ = a_n|i · (1 + i) = a_n|i'

Relazione tra le formule:

• a_n|i' = a_n|i · (1 + i)

Calcolo del montante con n rate posticipate:

• u_n|i = (1 + i)ⁿ - 1