Appunti teorici lezioni Matematica finanziaria

Matematica per l'economia finanziaria

La matematica finanziaria studia le operazioni finanziarie, e i vari soggetti scambiano somme di denaro (o titoli) riferite ai tempi diversi.

ES

• Acquisto a usura
• Si ottiene un bene
• Erogazione e pagamento rateale, ossia verranno corrisposte somme di denaro riferite ai istanti diversi.

Le operazioni finanziarie sono caratterizzate da importi e scadenze (le somme di denaro o titoli sono gli importi, essi vengono legati al tempo (istanti temporali) chiamate scadenze).

Esistono 2 categorie di operazioni finanziarie:

1. Operazioni finanziarie certe: importi sicuramente disponibili (contratto in cui vi è un accordo e in futuro considererai delle somme di denaro con certezza).
2. Operazioni finanziarie aleatorie: operazioni finanziarie in condizione di incertezza. Sono importi non per certo resi disponibili, ma che sono solo di verificarsi di alcuni eventi. (Es. Potrebbe ottenere un solido aleatorio, avvistamenti dei contratti).
• Sorge un problema: definire quali e il comportamento
• Se si compra un auto, alla fine il costo dell’auto e le rate vengono saccoccate sulla base del contratto pattuito.
• La determinazione di rate per le oper. finanziarie aleatorie è redatta attraverso il calcolo della probabilità.
• La mat. finanziaria si occupa delle operazioni finanziarie certe.

Grandezze fondamentali

Supponendo di avere: 2 numeri reali dove x e y

• 2 istanti temporanei: X e Y
• A ceda a B capitale "C" disponibile al tempo X, x, ricevere denaro.
• B cederà "H" ad A (H > C) è prestito

Se A e B congergono sulla congruità di importi e scadenze, allora "C" è legato ad X ed "H" ad Y, sono finanziariamente equivalenti (se i soggetti sono concordi). Tale caratteristica è sottostante nel contrasto. In altri termini, si accede che l’operazione finanziaria è equa.

A si chiamerà cepottore (o mutante) del capitale C impiegato o invesitto in data dell’investimento X.

B si chiamerà obertore (o mutuando) del capitale H dovuto in data al scadenza Y.

La capitalizzazione

Un capitale detenuto ad un istante temporale non ha lo stesso valore del capitale in un altro istante (bisogna sempre collegare importi a scadenze).

È un'operazione finanziaria attraverso la quale si determina la somma M cambiata al tempo Y (considerata equivalente a C

è noto C riferito ad x (x < y)

Es. Un soggetto rinuncia ad una cifra (≠ ma potenza utilzzazione) oggi al fine di ottenere un possesso di un'altra cifra in futuro (investimento).

• C = capitale
• x = contante che cresce nel tempo
• I = M - C interesse maturato in [x, y]

Fattore di capitalizzazione o montante nel periodo [x, y]

m(x, y) = M / C

def. m(x, y) = M

se si vuole precisare e' l'istante temporale

Tale fattore, moltiplicato per il capitale, ci permette di conoscere il montante "M" ottenuto in y.

m(x, y) * C = H / C = M / C

Es.

C = 100M = 130I = 130 - 100 = 30m(0, 3) = 130 / 100 = 1,3

Tasso di interesse

i_x = I / C

dove I è l'interesse generato

C è il capitale utilizzato

ΔI = δI

è l'interesse che matura da un C = 1

Sapendo che H = C + I

dividendo termine a termine con C

H/C = C/C + I/C

=> m = 1 + i_x

Siccome C > 0

• i > 0 <=> I > 0 <=> H > C <=> m > 1
• i = 0 <=> I = 0 <=> H = C <=> m = 1
• i < 0 <=> I < 0 <=> H < C <=> m < 1

m > 1 se e solo se i > 0

m = 1 se e solo se i = 0

m < 1 se e solo se i < 0 (situazione debitoria)

pagamento 100\_

ottiene 110€

lo investe all’1.1: 11 . 100 = 110€

ottene 110€

pago 110€ + 100€ = 110€

110 - 110 = 16 guadagno

Si puó concludere che:

A) In caso di pagamento di interessi posticipato la condizione per un guadagno é:

C (1+i__p) - C(1+i_p) > 0

guadagno rimborso da cui si ricava i > i_p

B) In caso di pagamento di interessi anticipato la condizione é:

C ( 1 - i_a)(1 + i) - C > 0

da cui si ottiene

i_a ≤ _µ / 1 + i