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New target: Risolvere lo stesso problema in geometria cilindrica

Non ci sono soluzioni calcolabili, sono state "inventate" funzioni

(di Bessel) su misura per questo problema.

ordine della funzione

Ora relazioniamo queste due equazioni, iniziamo a porre nu=0

ora dividiamo tutto per Z^2...

ora assomiglia di più

all'equazione scritta in testa

alla pagina

tornando all'equazione iniziale

(divido per B^2 e porto nel differenziale):

si vede chiaramente (dal paragone delle due equazioni)

che Z= B • r

Sull'Abramowitz, le due soluzioni elementari dell'equazione

precedente sono: variano a seconda del problema fisico

quindi nel nostro caso: funzione di Bessel

funzione di Bessel di di seconda specie

prima specie di ordine di ordine zero

zero

condizioni al contorno:

regolare tra 0 ed R

Dall'Abramowitz:

Pongo C=0 e quindi:

Trovo le intersezioni con l'asse:

quindi: e ci sono delle formule

sull'Abramowiz per risolvere questi

integrali

Sempre dall'Abramowiz si trova che:

Se devo risolvere il problema in un sistema solo dissipatore:

dall'Abramowiz: con nu=0...

e la sua soluzione sarà:

Dal grafico ci aspetteremo una curva che diverge e una che si annulla:

quindi quando nel sistema non

ci sono rigeneratori devo

utilizzare queste equazioni

Che tipo di singolarità deve avere Ko in 0?

deve andare ad infinito come un logaritmo, perchè il logaritmo

derivato fornisce 1/r.

Problema unidimensionale: problema di Helmholtz nel parallelepipedo

condizioni:

pongo su tutti i piani la soluzione=0

Scrivo quindi il suo Laplaciano: si cerca una soluzione che sia

il prodotto di una funzione di

x per una funzione di y per

una funzione di z

Applico il metodo della separazione delle variabili:

vado ad applicarla all'equazione presa in considerazione prima

divido per f, g, h :

per soddisfare la regola che la loro somma deve essere un numero

costante, i tre termini dovranno essere costanti:

le tre soluzioni saranno...

ricordando il caso della gometria piana:

(annullo il coseno) per i coseni

Quindi B sarà:

e l'autofunzione:

risolvere il problema bidimensionale (r,z) del bidone

PER CASA: HELMHOLTZ GEOMETRIA CILINDRICA

divido per f(r) g(z):

quindi:

Equazioni che annullano le soluzioni sulle basi del cilindro:

(tutte le autofunzioni)

quindi: (dall'Abramowitz)

ora determiniamo tutte le psi per normalizzare le autofunzioni

=0 se n≠p, m≠q

=1 se n=p, m=q

sostituendo l'espressione:

in geometria cilindrica, la fondamentale diventa quindi:

Se moltiplichiamo questa funzione per ∑f ed Ef, troviamo la

distribuzione (Densità) di potenza di un reattore.

Tornando al problema iniziale di Helmholtz (pagina 70):

quindi: funzione non separabile

Separabilità:

supponiamo di avere in due posti diversi del nostro corpo due termometri

che registrano la temperatura. Facendo il grafico della temperatura

rilevata, osserviamo che se la esse differiscono solo per una costante, il

problema si dice "separabile".In generale in un problema di trasmissione

del calore questa cosa non accade. no!

Quindi se noi abbiamo:

Tornando a prima, l'equazione: diventa...

Se S è una funzione due volte derivabile:

piccola parentesi

Supponendo di voler

rappresentare in serie di

Fourier questa funzione:

dove converge in quel punto di discontinuità?

converge esattamente nella media tra la convergenza a

destra di quel punto e quella a sinistra effetto della

discontinuità

Tornando a prima:

Ora secondo il criterio dello "speruma bin" (muovo l'integrale dentro al

segno di serie e incrocio le dita):

Per capire il senso fisico di L'integrale diventa =1 solo

questi passaggi, si pensi alla se n=m

meccanica, dove il momento

totale è dato dalla sommatoria

di tutte le forze per il proprio Componenti (o facendo il

braccio, in questo caso, il parallelismo meccanico, momenti)

braccio viene normalizzato ad 1 della funzione sorgente

Da questo quindi si è capito che dagli sviluppi in serie ci è utile

proiettare le cose che abbiamo sulle autofunzioni.

Facciamolo:

prendo ciascun termine e lo moltiplico per Øm e lo integro:

poichè

quindi componendo tutto:

queste sono diventate equazioni differenziali ordinarie e non più

derivate parziali.

moltiplicando tutto per "v" ottengo: e la sua soluzione sarà:

Non conosco ancora gli elementi iniziali "Am(o)" :

Questo ci serve per capire come si comporta il sistema

(Stabile, instabile).

la soluzione della precedente equazione è quindi:

Cosa dobbiamo richiedere per avere una soluzione stazionaria?

Una parte della soluzione deve essere indipendente dal tempo, per cui

ho bisogno di un alpha(n) pari a zero e tutti gli altri termini alpha(n

+1), negativi (poichè non devo avere pezzi di soluzione divergenti).

Possiamo dire che quest'unica funzione permanente nel tempo,

dev'essere una autofunzione che rappresenta da sola una soluzione

dell'equazione della diffusione (ladies and gentleman: l'armonica

fondamentale).

la formula scritta sopra, mi dice che la soluzione è una somma di

tante funzioni proprie (autofunzioni), e la loro miscela è data dai

coefficienti. E' come se questa funzione facesse l'analisi di Fourier e

scomponesse le risposte del sistema in tante funzioni.

L'oscilloscopio per esempio, riproduce tutte le frequenze che il segnale

(o sistema) restituisce nella soluzione.

Un altro esempio, Il suono non è fatto da armoniche pure, ma da

tante diverse armoniche che producono un timbro che lo caratterizza

Quindi, cosa sono gli alpha n?

è una funzione definita sui numeri interi (associa ad

Successione: ogni numero intero un numero reale). E' come se fosse

una macchinetta che, infilando un numero intero (il

dominio) restituisce in uscita un numero reale.

Quindi possiamo dire che alpha(n) è una successione. Se

questa successione cresce viene chiamata successione crescente,

altrimenti decrescente.

Bn è una successione crescente o decrescente? = crescente

Quindi alpha(n) è una successione decrescente (-B^2).

Quindi il progetto della macchina stazionaria equivale a

studiare una alpha(1) pari a zero (in questo modo sono certo

che tutte le altre alpha siano negative)

Quindi per avere una risposta stazionaria (alpha=0), bisogna che

(quando n=1) la frazione nella parentesi sia uguale a 1.

=costante di moltiplicazione effettiva

Tuttavia è importante che si analizzi anche quello che c'è prima della

parentesi, quindi:

andiamo a vedere quanto vale il denominatore per i neutroni.

Supponiamo di prendere il più piccolo dei B (1):

tempi di risposta rapidissimi

piccolissimo

≈ 1

Analizziamo che cos'è nella realtà la costante di moltiplicazione

effettiva: ma se è ≠ 1 , è =

(piccola parentesi che aveva dimenticato)

Tornando al nostro caro Helmholtz:

= Raggio del cerchio osculatore

(è curvatura della funzione Bukling)

ESERCIZIO

Supponiamo di esser riusciti a creare una distribuzione di particelle

dentro ad un sistema fatto come Ø(1).

Qual è la probabilità che queste particelle fuggano dal dominio?

Supponiamo di non avere una sorgente, quindi la produzione è

dovuta essenzialmente alla fissione. Immaginiamo che la

distribuzione pensata (armonica come Ø1) sia stazionaria nel tempo,

quindi la quantità di particelle prodotte deve essere uguale alla

quantità di particelle distrutta.

Che cos'è che consuma le particelle? l'assorbimento e la fuga, quindi

la probabilità di fuggire sarà data dal rapporto di quante particelle

fuggono e quante particelle vengono consumate (chiamiamo questa

grandezza Pl):

p.fuggite

p. (fuggite + assorbite)

l'integrale di tutta la corrente presente sul contorno rappresenta le

particelle fuggite: applicando il teorema di Gauss...

Ora, sostituendo il ø(r) generico con il nostro ø, e applicando Helmholtz:

=probabilità di fuggire

=probabilità di non fuggire

quindi: se non ci fosse contorno

Qual è il libero cammino medio di assorbimento?

È l'inverso di una sezione d'urto macroscopica, quindi:

se dividiamo per la velocità, abbiamo la vita media

delle particelle:

tuttavia le particelle non spariscono solo per "morte naturale" ma

anche perchè in parte escono dai nostri "contorni" (quindi dal

sistema considerato), quindi la vita media effetiva sarà:

(life)

STUDIO DELL'EQUAZIONE DELLA DIFFUSIONE IN DIVERSE

SITUAZIONI

. Supponiamo di avere un sistema senza particelle. In questo

Caso 1)

caso la corrente iniziale è uguale a zero e quindi tutte le componenti

armoniche sono nulle (l'integrale=0).

Attiviamo ora una sorgente che ha una distribuzione spaziale come

quella dell'armonica fondamentale e sia impulsata, ovvero:

risolviamo quindi l'equazione della diffusione, ma prima, definiamo

l'Sn che compare nella formula della diffusione:

Delta di Kronecher, matrice diagonale che da la proprietà

di "impulsiva" (zero ovunque tranne che sulla diagonale)

Kronecher scompare poichè vale "0 o 1",

ovviamente studio il caso dove vale 1.

La delta di Dirac dice "prendi tutto quello che dipende da t' e calcolarlo in

t'=0 (momento dell'impulso), otterrò:

(soluzione generale)

Quindi, se noi mettiamo una sorgente fatta come

l'armonica fondamentale, la risposta del sistema è

fatta come l'armonica fondamentale.

Se alpha(1)=0 ==> Keff=0 e quindi il sistema verrà chiamato CRITICO...

Sistema sempre spento, tuttavia la sorgente non è più impulsiva

caso 2) ma costante nel tempo

quindi:

Se:

Quindi in un sistema sottocritico è possibile contenere una

"popolazione costante", sia poichè l'armonica fondamentale non viene

mai disturbata, sia perchè si assesta quando il bilancio tra la sorgente

+ autoproduzione e i consumi è verificato. il K1, giusto per capire, è il

Alpha 1 si può anche scrivere: "campanello di allarme" che

lampeggia quando siamo

vicini alle condizioni

critiche (≈ 1)

Sostituendolo all'equazione precedente: coefficiente di amplificazione

(o smorzamento) del segnale

d'input

l'avvicinare K1 all'unità viene chiamato: approccio alla criticità

Cosa succede se K1 diventa 1?

Magari mentre stai cambiando il combustibile

del reattore?

ScappAAA!

caso 3) Sorgente costante, K1=1 ==> alpha1=0

Quindi se prendo un sistema critico ed introduco una sorgente come

l'armonica fondamentale e costante nel tempo, l'ampiezza della

soluzione cresce linearmente. Potevo capirlo all'inizio? Si poichè il

sistema critico è un sistema in grado di mantenere il numero di

neutroni. De L'Hôpital

per casa

Caso 4)

Pensiamo di aver costruito un reattore nucleare "home made" , andiamo

dal fruttivendolo di fiducia a chiedere una sorgente, dopo qualche

sguardo torvo lui si decide a fornirvela. Vi da una sorgente con segnale

non uguale all'armonica fondamentale ma composta da più armoniche.

In questo modo, le soluzioni non una delta di dirac

saranno nulle in tutti i punti escluso nello spazio

uno, ma in tanti.

come risponde i sistema in questi

due casi?

Esercizio della pagina precedente svolto in classe:

per farla decentrata

supponiamo di dare un impulso in un sistema spento:

quindi la risposta sarà:

quindi:

Considerando sempre alpha(n) decrescente (e quindi negativo, mai

scordarlo), Il sistema, per " t " che tende ad infinito si spegne, o meglio,

si assesta, poichè la parte dell'armonica fondamentale (alpha 1)

permane nel tempo (in pratica il sistema si comporta da filtro).

Nel caso in cui alpha(1)=0, il sistema è critico. Quindi nella

sommatoria posso separare la parte dell'armonica fondamentale:

asintotico

Domande da esame:

1) c'è un modo per collocare la sorgente in maniera tale che la soluzione

del problema non si accorga della seconda armonica?

Metto la sorgente dove esattamente ø(r*) si annulla (incrocia l'asse

delle x) et voilà.

2) Dobbamo comprare una sorgente, essa deve produrre un flusso in

modo da produrre molibdeno in quantità tali da diventare ricco (devo

produurre una potenza Po)

quanto deve valere "So" per raggiungere una potenza di "Po"?

calcolo una potenza asintotica:

numero di fissioni in ∂r nell'unità di tempo

quota di potenza generata in ∂r

quindi:

Seconda parte dell'esercizio assegnato per casa:

Questa volta abbiamo una sorgente costante:

quindi:

analizzo l'integrale:

quindi il flusso:

Se il sistema è sottocritico posso pensare che ad un certo punto, le cose

positive compensino le cose negative (quindi il sistema diventa

stazionario). Come faccio quindi a trovare il flusso asintotico di r?

Faccio il limite per t che tende all'infinito di quella espressione:

essendo asint.

allora:

Questo sistema contiene tutte le armoniche, quindi esso si assesta su

una situazione stazionaria che NON e' l'armonica fondamentale.

ESERCIZIO

Quanto molibdeno produco irraggiando il sistema per 3 giorni?

Me ne batto del transitorio perchè bastano tre secondi per farlo diventare

stazionario probabilità che nella fissione si genera molibdeno

= Numero di fissioni totali che

producono molibdeno

irraggiamento stazionario (costante)

Dopo un tempo sufficientemente lungo, la quantità prodotta è R/

lambda. Ma essendo ingegneri forse è meglio calcolare un tempo utile,

dove anche se non ottengo il 100% del producibile, almeno non tengo

troppo tempo accesa la macchina (e quindi consumo energia).

=quantità prodotta

il mio guadagno sarà quello che incasso meno quello che spendo:

costo consumi

facendo la derivata e ponendola uguale a zero, guardo dopo

quanto tempo massimizzo i ricavi.

" ESERCIZIO "

Supponiamo che il sistema è fatto come uno slab(muro

bidimensionale) tra -h/2 e h/2. E la sorgente è zero ovunque

tranne che in un piccolo intorno dello zero. prima i coseni

e poi i seni

sia pari che dispari

sempre pari

E l'esercizio muore qui, non si capisce dove va a finire...

Considerazione personale:

Presumo si debba prendere l'espressione della sorgente e inserirla

nell'equazione della diffusione

" ESERCIZIO "

Studio dell'esperimento oscillato. Questa volta la sorgente risulta:

Nella realtà, quando il reattore viene progettato (al computer), si

stabiliscono il numero di combustibile, gli arricchimenti del

combustibile, la disposizione del combustibile ecc.

Al momento della costruzione, gli elementi vengono caricati

(cautelarmente per non farli diventare critici) e bisogna predisporre

dei sistemi di misura (per renderci conto se siamo troppo vicini alla

criticità). Si chiude il pacchetto et voilà, il sistema è fatto. Per

accenderlo non basta girare la chiave e mettere in moto, bisogna

dimostrare che la macchina funzioni correttamente.

Si fanno quindi nuove misure per provare che i parametri calcolati

sono identici a quelli rilevati sperimentalmente.

Se questo non accade, ti fanno il culo di una scimmia (a suon di

soldoni). non sembra

felice...

Quindi, prima di ogni cosa, attraverso impulsi oscillati si

osservano le risposte del sistema.

Storiella utile per capire alcuni concetti di matematica

Supponiamo di avere un'isola in mezzo al mare (l'isola è il mio

dominio spaziale, il mare è il contorno/il vuoto), quando qualcosa

entra in mare scompare. L'isola è totalmente disabitata, non ci sono

abitanti e soprattutto non ci sono conigli.

Passo con un elicottero e faccio "piovere conigli" sull'isola (sono una

sorgente di conigli). Arrivati sull'isola, essi non conoscono il nuovo

mondo, e si muovono (si diffondono). Andando in giro, alcuni

trovano dei lupi che si sfamano (assorbendoli). Altri conigli vedono

belle conigliette e si moltiplicano. Altri conigli sono curiosi e vanno a

vedere cosa c'è oltre l'isola (nel mare) scomparendo.

Proviamo a studiare le generazioni di conigli da una all'altra.

-la prima generazione si moltiplica, viene mangiata, si disperde.

-la seconda generazione di conigli ha una distribuzione spaziale

diversa dalla sorgente che ho fatto paracadutando i conigli nell'isola

(perchè quelli precedenti, per esempio, si sono moltiplicati dove c'era

l'erbetta fresca, e sono morti dove i lupi avevano la tana), essi hanno

già un'idea di com'è fatta l'isola, quindi si accumulano in zone dove

ci sono condizioni favorevoli e si impoveriscono dove ci sono

condizioni sfavorevoli.

-la terza generazione è più astuta and so on and so for.

Dal punto di vista matematico ci aspettiamo che il sistema si

distribuirà in una certa forma sull'isola e non cambierà più.

-Distribuzione di conigli= N° conigli per unità di area.

Essi dopo tanto tempo costruiranno quindi l'autofunzione

fondamentale dell'isola (all'inizio, erano accese tutte le autofunzioni

che si sono spente generazione dopo generazione).

Quindi asintoticamente posso dire che il rapporto tra la quantità di

conigli nel posto "r" alla generazione n e la quantità di conigli nel posto

"r" alla generazione n-1, per un numero sufficiente di generazioni,

diventerà un numero. Se K>1 vuol dire che la popolazione tende a crescere

nel tempo, se K<1 la popolazione tende a spegnersi, se K=1 la popolazione

si autososterrà nel tempo (costante)

=autovalore del problema (nel caso dei neutroni

è il Keffettivo)

autofunzioni del problema

l'equazione di bilancio applicata a questo problema è:

- prima generazione- - seconda generazione -

.

.

. - generazione ennesima -

se queste generazioni convergeranno:

questo metodo, prende il nome di METODO DELLE POTENZE

Analizziamo ora un semplice problema omogeneo:

Se questa equazione non ha soluzione, io forzo una soluzione

introducendo un autovalore (divido per un numero K, l'unico che

funziona è K=1).

soluzione dell'equazione della diffusione per la prima generazione:

e risolvo questo problema...

(sorgente rappresentata dalla

prima generazione)

.

.

.

sapendo che: (precisione

richiesta nel

ovvero:

io vorrò che: settore nucleare)

APPLICAZIONE DEL METODO DELLE POTENZE

= condizioni di criticità

voglio risolvere il seguente problema stazionario:

Inserisco una sorgente (positiva) e risolvo il seguente problema

(guardo come si distribuisce la popolazione alimentata dalla

sorgente di prima generazione):

il metodo generale per risolvere queste equazioni è quello della

determinazione di ø(x) attraverso la somma di alcune autofunzioni:

sostituisco nell'equazione precedente...

prima generazione

quindi:

la sorgente della seconda generazione sarà:

finchè non mi trovo sull'armonica fondamentale, il

rapporto K non sarà preciso, ma una stima. Quindi:

un'altra stima

segno di integrazione

In generale: l'asintoto di questo processo

generazionale è la funzione

fondamentale

Domanda

Siamo proprio sicuri che il sistema vada a finire sull'autofunzione

fondamentale? (cioè siamo sicuri che l'autofunzione fondamentale

venga eccitata a prescindere che io parta con la sorgente S1 o

qualunque altra sorgente Sn? Sono sicuro che essa lasci una traccia

dell'armonica fondamentale?)

Essendo stata scelta positiva sia la sorgente che ø1, sappiamo che il

loro integrale è sicuramente positivo (quindi, se metto una sorgente

fisica, non posso fare a meno di mettere qualcosa simile all'armonica

fondamentale)

Se il problema di prima è semplice, la soluzione diretta è possibile?

dove ci porta? che K ci produce?

Dividiamo per D:

E questa ha la forma dell'equazione di Helmoltz!

E conosco tutte le soluzioni di Helmoltz, quale soluzione

scelgo? l'unica che è fisicamente significativa, la

soluzione fondamentale (di ordine 1). Quindi:

raccolgo∑a..

Esame 18 Luglio ESERCIZIO 1

Un sistema moltiplicante sottocritico (K1<1), si vogliono riprodurre

dei nuclidi trasmutando per cattura degli altri nuclidi che si

trovano in un bersaglio (metto in un un reattore un cilindretto con

dei nuclei, questi nuclei catturano altri nuclidi e diventano isotopi

radioattivi). E' un sistema a slab (muro). Il bersaglio ha uno

spessore di 4 cm. il reattore, nonostante aver

infilato "l'estraneo" non viene

turbato. La sua sezione d'urto

di trasmutazione è:

si determini la costante di moltiplicazione infinita in modo che il

sistema sia caratterizzato da una K=0,96

...5 cifre significative

La struttura è alimentata da una sorgente distribuita come

un'armonica fondamentale del sistema. Si determini il flusso

neutronico di risposta ad un impulso in un sistema inizialmente privo

di neutroni. Si determini inoltre l'intensità della sorgente necessaria

affinchè il numero medio di nuclei radioattivi prodotti dalla

trasmutazione del bersaglio durante tutto il transitorio che segue

l'impulso della sorgente sia pari a 10^11.

ricordando che:

se faccio trovo la quantità di trasmutazioni che

avvengono nell'unità di volume nell'unità di tempo, per trovare tutte

quelle che avvengono da zero ad infinito:

Se voglio calcolare la media della funzione spaziale

spessore dal testo

ESERCIZIO 2

Come faccio a risolvere con il metodo della funzione di Green questo

problema: Nei settori 1 e 3, la soluzione è una somma

di esponenziali

Nel settore 2, la soluzione è una somma di

esponenziali più una S/∑a.

la soluzione deve annullarsi in:

la densità neutronica dell'interfaccia tra 2 e 1 e tra 2 e 3 deve essere:

e le correnti si equilibrano:

inoltre, essendo un seno iperbolico: prima zona

seconda

zona

il metodo migliore è usare la funzione di Green:

Trovo la soluzione iniziando a considerare 0<x<b:

Ora analizzo c< x <a:

Ora, analizzando la seconda zona, devo spaccare in due

l'integrale, una dove x'<x e una dove x'>x:

più avanti ci saranno esercizi di questo

genere più applicativi

ESERCIZIO 3

V vogliamo la quantità di neutroni assorbiti tra

U zero ed a

O

T

O

La misura viene effettuata da due rilevatori, uno che misura la corrente j(o) e

l'altro che misura il valore del flusso sul piano equidistante dalla superfie

interfacciata con il vuoto e quella interfacciata tra zona 1 e 2, ø(a/2).

Il valore del coefficiente di diffusione viene ottenuto tramite il rapporto Q tra il

segnale del rilevatore 1 e il rilevatore 2:

Calcolare D quando il rapporto è 0,3 e la lunghezza di diffusione è 5 con il

valore di a=10

fattelo, il risultato è:

Determinare l'incertezza di D (trovare l'errore della misura

relativo, in pratica la % di errore). Assumendo che l'incertezza

di 1 sia 5% e l'incertezza di 2 sia 2% e la lunghezza di

diffusione (L) 1%

quindi:

bisogna studiare le incertezze "pesate":

delta D dovuto ad L ecc ecc..

Domanda da esame

Se ho un sistema piano con una sorgente:

posso risolverlo tramite Green oppure analizzando le tre zone come

già fatto precedentemente.

Tuttavia si può risolvere anche utilizzando uno sviluppo in

autofunzioni.

La soluzione del problema è data da:

se il sistema non è moltiplicante, i Kn sono

uguali a zero!

la sorgente sarà:

perciò: (condizioni stazionarie)

Esame 10 settembre ESERCIZIO 1.a

Un reattore nucleare critico viene avviato mediante una sorgente

neutronica, essa è costante, distribuita secondo l'armonica

fondamentale. La sorgente viene tenuta costante per 10^-4 secondi

e infine si spegne. Determinare l'andamento temporale del flusso di

sistema.

proviamo a disegnare com'è fatta la potenza nel tempo

(immaginiamo): quindi per trovare il termine C:

per i sistemi critici

La seconda domanda del problema è:

c'è un nuclide radioattivo che presenta i seguenti dati

si determini l'andamento temporale della concentrazione media

totale del nuclide ed il suo valore di equilibrio

produzione media del nuclide per unità di volume:

sorgente di nuclidi

quindi: valor medio

e la sua soluzione sarà:

Ora dobbiamo scrivere l'equazione del decadimento per to< t < ∞

modificata con una costante e legata al decadimento e produzione:

(in condizioni stazionarie)

Ora (per semplificare le cose) posiziono l'ascisse a partire dal punto in

cui la potenza è costante, cambiando la variabile t in tao:

risolvendolo così possiamo tornare alla variabile t

ESERCIZIO 2a

la misura della moltiplicatività (K infinito) di un materiale fissile in

un impianto di riprocessamento di combustibile nucleare viene

effettuata tramite analisi della riflessione e trasmissione lungo uno

strato di materiale. l'apparecchiatura sperimentale stabilisce il valore Io

della corrente neutronica entrante su una faccia che fornisce il rapporto

sulla corrente netta tra la faccia irraggiata e quella non irraggiata.

Usiamo la teoria della diffusione monocinetica.

V

U

O nel punto a abbiamo il vuoto, quindi:

T

O

Studiare ora l'equazione della diffusione per sistemi

omogenei al variare del fattore di moltiplicatività

Equazione della diffusione-sistemi omogenei:

Ora bisogna studiare quando ho una funzione sia fisicamente

accettabile. E' così solo quando K è più piccolo del K che farebbe

entrare in criticità quello slab (K∞=1): lim (esponenziali)

(seni e coseni) lim

Devo studiare i tre casi in cui: (rette)

Esame 22 Giugno 2010 ESERCIZIO 1b

sorgente:

si risolvono i due integrali:

(per parti)

la soluzione generale sarà quindi (moltiplicando anche per :

se facciamo il limite per t che tende ad infinito, troviamo il flusso

asintotico:

Per trovare valor medio intorno al quale oscilla il flusso asintotico,

studiamo la funzione oscillante:

facendo un parallelismo:

inoltre: sostituendo...

quindi aggiornando la soluzione asintotica:

il valor medio su cui oscilla sarà: continua..

Prosequio dell'esercizio...

Si determini il valore della costante di moltiplicazione

Si determini l'ampiezza della parte oscillante della risposta in tale

situazione: E WWULLLLÁ!

ESERCIZIO 1.c

Una sfera di raggio 50 cm è costituita da materiale moltiplicante con

le seguenti caratteristiche: D=0,2 cm ; L=5 cm

Si determini il valore del coeff. di moltiplicazione del mezzo infinito

che renda critica la struttura

Di quanto bisogna ridurre il raggio per far si che il sistema sia

caratterizzato da un coeff. di moltiplicazione pari a 0,98?

Trovare la soluzione con una sorgente stazionaria distribuita secondo

l'armonica fondamentale del sistema e si determini la fuga.

sostituisco ø1(r)... continua...

=In geometria sferica

Essendo:

ponendo r = R* :

la quantità di neutroni che fuggono nell'unità di tempo è

quindi:

Calcoliamo la potenza generata dal sistema (asintotica):

ricordando che:

(si risolve per parti)

PROGETTO DI UN REATTORE

Qual è l'obbiettivo che deve perseguire un'ingegnere nello svolgere un

progetto?

Ottenere il risultato che è richiesto, il questo caso, far funzionare un

reattore.

Tuttavia non basta realizzare gli obbiettivi, deve anche essere la miglior

macchina possibile, quindi il nostro compito è anche la ricerca del

massimo rendimento o efficienza.

Facciamo un piccolo esercizio per spiegare l'ottimizzazione:

Quando ho un reattore cilindrico, il buckling fondamentale è:

e devo fare in modo che:

Quando compro il Vessel, non posso però sceglierlo solamente in base a

B (perchè ce ne sono più versioni), devo anche determinare R e H.

Posso stabilire R a random, il reattore funziona lo stesso, ma non è la

scelta migliore in termini di efficienza.

La scelta deve essere fatta ingegneristicamente economica, ovvero

spostiamo l'obbiettivo dal migliorare all'efficienza al ridurre i costi.

Possiamo riuscirci minimizzando il rapporto superficie/volume.

Analizziamo una minimizzazione del volume:

Si tratta quindi di trovare il minimo di questa funzione (con il

vincolo che la macchina funzioni)

Questo viene chiamato: problema dell'estremo vincolato

sostituisco nella 1ª equazione..

ora trovo il minimo (derivo e pongo il numeratore=0): (senza badare alla

Se non tengo conto del coefficiente soluzione negativa)

jo1 e π, e non tengo conto di H=0

(H^3), posso studiare quello che

c'è scritto sopra

A questo punto mi interessa come sono R e H uno rispetto all'altro

(rapporto di snellezza), quindi se prendiamo il B1 ricavato dal

minimo trovato prima e lo mettiamo dentro l'equazione di R^2,

troviamo la relazione che c'è tra R e H: et voilà...

Ora analizziamo la parte di "riempimento" del vessel, cosa gli mettiamo

dentro? D'ora in avanti ci occuperemo di riempirlo con una sostanza

omogenea, ovvero, compriamo il materiale fissile e lo mescoliamo con

altre sostanze rendendolo omogeneo. Per esempio, pensiamo di avere un

sale di uranio (fluoruro di uranio) e di scioglierlo nell'acqua (questo

significa fare un reattore omogeneo). Nel progetto che vogliamo fare,

dobbiamo mescolare il combustibile con un materiale che funziona da

moderatore (ovvero un materiale che, mescolato con il combustibile,

riesce a rallentare i neutroni trasformandoli in neutroni termici). I

neutroni all'inizio sono molto energetici (2 Mev), poi si diffondono,

mentre viaggiano trovano gli ostacoli (atomi del moderatore e

combustibile) contro quelli del moderatore possono morire (gli atomi

non scatterano solamente). Quindi bisogna cercare un moderatore che

non assorba molto (per evitare che si fotta tutti i neutroni) A primo

impatto fermi pensò che la grafite fosse il miglior moderatore, ma

purtroppo è pesantissima e ha bisogno di troppe collisioni per riuscire a

rallentarli (tira una palla contro un muro e vedi che succede).

Successivamente si pensò all'acqua, che, avendo l'idrogeno (nucleo

leggero) riesce ad acquisire parecchia energia dai neutroni. Perchè voglio

un sistema efficace (che non assorba neutroni) e che abbia pochi urti

(voglio che si fermino subito)? Perchè se per rallentare dovesse fare tanti

urti, esso potrebbe capitare in alcune energie in cui la sezione d'urto

diventa gigantesca (e non voglio che accada).Perciò voglio che rallenti il

prima possibile! (se viene catturato dall'uranio 238 non fa più fissioni).

Tuttavia l'acqua assorbe molti più neutroni del carbonio. Perchè quindi

si fanno i reattori ad acqua? risponderemo nelle prossime puntate.

Una volta che il neutrone è nella zona termica, ha un'alta probabilità di

produrre una fissione.

Quindi, cercheremo di progettare un reattore termico.

Il reattore che vogliamo fare, dev'essere ben termalizzato (la quantità di

moderatore presente nel sistema, è così alta che determina una

distribuzione energetica dei neutroni in equilibrio con il materiale).

Spiegata meglio, i neutroni quando interagiscono con il materiale

rallentano, se il materiale è adeguato, essi possiedono l'energia che

hanno i nuclei centrali (con una certa temperatura ambientale) e si

mettono in equilibrio (non tutti i neutroni prendono la stessa energia,

alcuni andranno più forte, alcuni andranno più piano, e la probabilità

di iterazione con una certa energia diventa una gaussiana).

Se io butto dei neutroni in un sistema, ad un certo punto essi prendono

la distribuzione maxwelliana e li rimangono (essa è una soluzione

stazionaria). facciamo il grafico di questa maxwelliana:

Le due maxwelliane sono diverse poichè

hanno diverse temperature. Per cui

vogliamo una quantità di moderatori che

garantiscono una quantità di neutroni

nel mezzo a temperatura fissata.

alla temperatura di 20°C la quantità è 0,025 ev (l'energia più

probabile), questa energia corrisponde ad una velocità dei neutroni di

2200 m/s.

Per cominciare il progetto dobbiamo vedere le difficoltà, e ce ne sono due:

-FIn'ora abbiamo studiato neutroni monocinetici (tutti stessa energia),

questo nella realtà non avviene. Tuttavia i neutroni che contano sono

quelli termici, perciò analizzo solo quelli e me ne batto le balle, risolto il

problema? no, poichè anch'essi non sono monocinetici (anche se c'è

molta probabilità di monocineticità). Per diventare monocinetici

abbiamo detto che hanno un lungo viaggio, ma cosa può succedere

se il viaggio è lungo? come Dante, si perdono.

In tutto questo fenomeno, il fatto che ho mescolato combustibile e

moderatore, può causare l'assorbimento e la rimozione dei neutroni.

Devo fare una teoria che contenga tutte queste cose.

Ci poniamo quindi l'obbiettivo di modificare la teoria monocinetica in

modo da tenere conto di tutti questi fenomeni.

Il fenomeno del rallentamento dev'essere introdotto dei parametri che

compaiono nelle formule utilizzate finora:

vogliamo modificare questo parametro per tenere conto

anche del passaggio energetico che subiscono gli elettroni

-Nel rallentamento ci sarà la probabilità di fuggire. La formula

della probabilità di non fuga si complicherà di molto, ci sarà una

probabilità associata ai neutroni termici e una per i neutroni che

stanno rallentando. E' utile separare il fenomeno:

Anche se semplifico la situazione dicendo che

tutti i neutroni sono monocinetici, devo leggere

dalle tabelle le sezioni d'urto dei vari elementi (per esempio a 2200 m/

s). Il problema è che se associamo la maxwelliana alla probabilità di

trovare un neutrone con una certa energia, la sezione d'urto cambia

con la velocità dei neutroni proporzionalmente a (1 / v), quindi ha

un'andamento così: L'intersezione individua 3 punti,

come posso fare a considerare una

sezione d'urto media?

intervallo termico (da zero a 5-6 eV)

questa scrittura cerca di preservare l'area.

Io ora però voglio definire una sezione d'urto media, posso pensare di

prendere:

ma a noi, del preservare l'area, interessa ben poco, sono più importanti

le iterazioni da preservare, esse sono proporzionali a sigma (E) per la

funzione probabilità di trovare l'elettrone con quell'energia, quindi, la

media ponderata di iterazioni che avvengono è:

maxwelliana, probabilità di trovare il neutrone con energia E

Facendo questo integrale (che altri hanno fatto) si otterrà come

risultato: se la temperatura è ≠ 20°C

valore più probabile che il neutrone abbia quell'energia

queste formule, sono state elaborate (e prendono il suo nome) da

WESTCOTT

Tuttavia ci sono elementi che si discostano dal comportamento ( 1/

v) vengono chiamati "no one on v".

Per ovviare a questo problema si è aggiunto un coefficiente

dipendente dalla temperatura:

Considerando queste sezioni d'urto "mediate" possiamo considerare il

problema monocinetico.

Ora possiamo calcolare le sezioni d'urto di tutti i materiali che

compongono il reattore, il risultato finale dev'essere una sorta di

"ricetta" che stabilisce come mescolare combustibile e moderatore in

modo da ottenere una soluzione sopracritica (lievemente, es: 1,03).

Ora dobbiamo decidere cosa chiamiamo moderatore e cosa

combustibile.

Il moderatore è il materiale che mettiamo per termalizzare i neutroni e

quindi includiamo tutto (impurità e balle varie). Se per esempio è

fatto da un sale, esso conterrà tutte le impurità di quel sale.

Come farò quindi a calcolare la sezione d'urto di una miscela

composta da tanti nucidi diversi? Se ho i nuclidi 1, 2 ,3, calcolo la

sezione d'urto macroscopica:

Esempio, sezione d'urto del cloruro di calcio:

numero di grammomolecole per unità di volume (densità):

Quindi:

Quando andiamo a comprare il materiale fissile, non prendiamo

l'uranio 235, ma l'uranio con un numerino sotto che indica

l'arricchimento. Questo perchè non compriamo solo il 235, ma una

miscela tra 238 e 235 (e da altre porcate), un pò come comprare la

legna e la "cenere della legna", siamo costretti a prenderla.

Abbiamo quindi stabilito che è una miscela.

Curiosità: i combustibili che contengono una miscela di ossidi di

uranio e plutonio vengono chiamati MOX.

Supponiamo di esserci portati a casa del: =arricchimento

calcolo la sezione d'urto d'assorbimento dell'ossido di uranio al 3%:

ossigeno

( devo trovarli )

atomi di ossigeno

=∑a del fuel

ricordiamo che però l'uranio 235 si

fissiona se l'energia del neutrone è

maggiore di 0,6 ev

Per tenere conto di tutti questi fenomeni di rallentamento e di

moltiplicazione veloce, Fermi pensò di modificare il K∞.

La definizione del K∞ è il rapporto tra la quantità di neutroni

prodotti da fissione diviso la quantità di neutroni che vengono

consumati. Ora noi stiamo studiando i neutroni termici (non si

parla più in generale), quindi il K∞ sarà definito come il numero di

neutroni TERMICI prodotti da fissione, diviso il numero di neutroni

TERMICI consumati, e bom. Facciamo qualche modifica:

(per facilitarne la comprensione, leggi da destra verso sinistra)

n. VEL da fissioni totali

n. VEL. da fissioni th. n. termici (Th) prodotti

n. VEL da fissioni totali

n. VEL. da fissioni th.

n. termici consumati probab. dei neutroni di diventare

termici senza esser catturati

(probab. di sfuggire alle risonanze)

fattore di moltiplicazione veloce

n. VEL. da fissioni th. n. termici consumati dal fuel

n. termici consumati dal fuel n. termici consumati

probabilità che il neutrone venga

= fattore di fissione assorbito dal moderatore, fattore di

termica utilizzazione termica

quindi, la formula dei quattro fattori è:

Quindi viene modificata anche la formula del Keff:

probabilità di non fuggire neutroni veloci

Ora discuteremo i 4 fattori...

I QUATTRO FATTORI

Cercheremo di introdurre questa grandezza fisica:

rapporto di moderazione: rapporto tra numero di molecole di moderatore

e numero di molecole di combustibile (per

unità di volume)

1) =rapporto tra numero di neutroni veloci prodotti da fissioni

termiche e il numero di neutroni termici assorbiti dal

combustibile. Per calcolare il primo termine dobbiamo:

densità di produzione

densità assorbimento

2) =fattore di utilizzazione termica, è il rapporto tra il numero di

neutroni termici mangiati dal combustibile ed il numero di

neutroni termici mangiati dal sistema. Più è grande maggiore

è la qualità del combustibile (il combustibile riesce a mangiare

tanti neutroni). ∑a del moderatore

La sezione d'urto di assorbimento del combustibile è:

quindi il fattore di utilizzazione termica:

questo è il rapporto di moderazione

(è un teta maiuscolo)

Facendo quindi il grafico di f in funzione

del parametro di moderazione noto che

quando teta vale zero (caso limite, senza

moderatore) il fattore vale 1.

piccolo SPOT!

Com'è legata alla concentrazione di combustibile, l'area di diffusione?

L'area di diffusione dovrebbe essere (per definizione):

quindi:

in questa miscela, dev'essere prevalente il moderatore, quindi lo

scattering del combustibile non può essere determinante, quindi

possiamo approssimare tranquillamente il coefficiente di diffusione

come coefficiente del solo moderatore:

3) =probabilità di fuggire alle risonanze, per calcolarlo utilizziamo

una formula relativamente semplice:

(analisi fatta nella prossima pagina)

pensiamo di avere una sola risonanza, e calcoliamo la probabilità

che la particella sfugga a questa risonanza può esser calcolata con

la formula soprastante Integrale di risonanza, parametro

concentrazione di assorbitore di risonanza caratteristico di risonanza (tiene

(es. concentrazione uranio 238) conto anche della possibilità di

più risonanze), cresce con la

capacità di assorbire neutroni.

È una sorta di sezione d'urto

microscopica.

Perdita di energia per urto (o guadagno

medio di letalgia, energia in scala Sezione d'urto di scattering che vedono i

logaritmica, essa cresce al diminuire neutroni che stanno rallentando (non è la

dell'energia). Per sfuggire alle risonanze sezione d'urto alle energie termiche, bensì alle

non basta fare solo tanti urti, è necessario energie in cui i neutroni incappano nelle

che questi urti facciano perdere tanta risonanze). Al suo crescere, aumenta

energia. Quindi conta anche quanta l'efficienza del rallentamento (e quindi del

energia viene persa per ogni urto. Più e alta moderatore).

e più la possibilità di sfuggire alle

risonanze cresce

Calcolare ∑s:

se teniamo però conto della presenza del combustibile:

Calcolare xsi: (approssimando)

Sulle tabelle però trovo anche trovare lo xsi del combustibile, quindi se

vogliamo fare i pignoli, dovremmo fare una media tra quella del

moderatore e quella del combustibile. Questa media non è pesata, ma

probabilistica. continua...

sono parametri sperimentali

Per i reattori ad acqua, sperimentalmente possiamo definire

l'integrale di risonanza: per l'uranio 238:

inoltre:

Dal punto di vista fisico, se non c'è il moderatore,

i neutroni fanno fatica a rallentarsi e quindi

molto vulnerabili al fenomeno di risonanza, se

facciamo il grafico P in funzione di teta

Andiamo a vedere com'è fatto epsilon:

Ora assembliamo tutti i tasselli trovati e ragioniamo:

K∞ è il prodotto di due funzioni decrescenti e una crescente,

sicuramente avrà un massimo tra zero e +∞.

Quando si compra un combustibile con un certo arricchimento,

per produrre una struttura critica deve iniziare a fare un grafico

di k∞ in funzione di teta:

Questo grafico rappresenta la corretta scelta di

combustibile, poichè riesce a superare l'unità , se così

non fosse avrei una curva che rimarrebbe sotto l'unità

(e quindi si spegnerebbe miseramente).

Dal grafico rilevo la zona di esclusione dove non posso operare per fare

un reattore critico.

Se scopro di aver sbagliato combustibile (che quindi non raggiunge la

criticità), su cosa devo operare per risolvere il problema? Posso cercare di

agire sull'arricchimento (torno dal "sorgentivendolo" e compro un

materiale più arricchito, facendo innalzare la curva fino al Kmax=1).

la curva con Kmax=1 è importante perchè stabilisce il valore minimo di

arricchimento al di sotto del quale non potrò mai fare un reattore critico.

Quindi si può fare un altro grafico, quello dei K∞ massimi in

funzione dell'arricchimento:

L'acqua è un buon moderatore, ma

assorbe anche molto (danneggiando

quindi il fattore f ).

Fermi lo notò, e scoprì che l'arricchimento dell'uranio naturale era

minore di quello limite, quindi iniziò a studiare un processo di

arricchimento dell'uranio. Questi sono processi molto costosi, e si

basano sui principi di diffusione gassosa dell'uranio (si prende

l'uranio e costruire un composto gassoso dell'uranio) e

successivamente si sfruttano le proprietà di diffusione di questo gas e

si fa passare attraverso setti porosi, che sfruttando le differenze di

proprietà separa i due elementi (uranio 238 e uranio 235).

Un esempio di arricchimento naturale maggiore dell'arricchimento

limite è la grafite.

il progetto del sistema è quello di valutare il Keff:

formula dei sei fattori "fast"

Fermi sviluppo una teoria del rallentamento, essa è anche nota come

teoria dell'età di Fermi (Fermi age, not Fermi's age), è misurata in

cm^2 la cui radice quadrata è legata alla distanza media percorsa dai

neutroni nel rallentarsi (il neutrone nasce veloce in un punto, collide e

in un altro punto diventa termico, la media statistica delle distanze

percorse trovo la radice quadrata dell'età di Fermi).

Nella teoria di fermi, la probabilità di non sfuggire dal contorno è:

se B1 è molto piccolo (quindi se H è molto

Età grande) e tao non è molto grande

(es: 20 cm^2), possiamo pensare di scrivere l'esponenziale come:

quindi il prodotto tra le probabilità dei neutroni, termiche e veloci è:

area di migrazione

quindi il K effettivo: Ripassino Awuimbawè

l'analisi numerica

l'analisi numerica è un settore della matematica che ci insegna delle

procedure con cui dei problemi matematici vengono risolti non

ottenendo risultati analitici ma dandoci la soluzione sottoforma di

numeri. Quindi il metodo numerico, dev'essere una procedura, ovvero, il

calcolatore dovrà essere istruito a fare delle operazioni numeriche,

quindi devo programmare in esso delle formule che realizzano un

calcolo che porterà ad un certo risultato. Pensiamo di voler calcolare la

funzione jo di Vessel, un'idea potrebbe essere di mettere tutta la tabella

sul computer, ma non è la soluzione, poichè prima o poi dovremmo

utilizzare comunque un'operazione numerica (es. vado nella tabella e

non trovo il valore esatto che mi serve). Il metodo più giusto quindi è

passare dal calcolo numerico fornendo al calcolatore "gli arnesi" per

costruirsi le soluzioni. Le funzioni di Vessel alla fine sono solo degli

sviluppi di serie, quindi se istruissimo il calcolatore a costrurire e

sviluppare una serie, possiamo tirare fuori tutte le funzioni di Vessel che

vogliamo. Come si chiama l'istruzione che dobbiamo dare al calcolatore?

l'algoritmo.

Quindi "l'analista numerico" è uno che inventa gli algoritmi (per

esempio il codice fiscale).

Quindi dovrò trovare la soluzione di:

Alcuni metodi da conoscere:

Metodo della bisezione:

http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_della_bisezione

Metodo di Newton:

http://it.wikiversity.org/wiki/Metodo_di_Newton

Metodo delle secanti:

http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_secanti

Esempio

Proviamo a scrivere l'algoritmo del metodo di Newton:

Si parte da un punto, l'ennesimo punto, calcolo la

funzione in quel punto, f(Xn), poi calcolo la derivata

della funzione in quel punto f'(Xn) (che è anche il

coeff angolare della retta), vado quindi a tracciare la

retta tangente e trovo X(n+1), successivamente scrivo

l'equazione della retta per determinare X(n+1), essa

sarà: esiste tuttavia un metodo più veloce...

ESERCIZIO 1.d ha questo andamento

perchè il sistema non

contiene elementi

moltiplicanti

dalle solite condizioni di continuità:

e con queste due condizioni risolvo il problema:

trovo C, trovo A et voilà...

ESERCIZIO 2.d

Si vogliono studiare le caratteristiche di contenitori cilindrici per il

trasporto di materiale fissile. L'enete di controllo richiede di

verificare che il Keffettivo sia inferiore di 0,5. I contenitori cilindrici

di raggio pari a 15 cm e di altezza 100 cm, sono predisposti a

contenere una soluzione omogenea di materiale fissile,esso può esser

considerato ben termalizzato e si assume che:

Per le valutazioni adottiamo i risultati della teoria monocinetica.

La sezione d'urto microscopica del moderatore vale 10 Barn.

La concentrazione del moderatore (Nm) è pari a 3,3•10^22

molecole/cm^3. La lunghezza di diffusione del moderatore è 6 cm

(Lm).

Studiamo due materiali fissili:

1) Uranio 235:

2)

Domande:

-calcolare il valore di eta; -il valore massimo ammissibile di f;

-il valore dell'area di diffusione della miscela moderatore/materiale

fissile in corrispondenza del valore massimo di f;

-il valore della concentrazione atomica massima di materiale fissile

che può essere inserita nei contenitori rispettando il limite imposto

dai controllori ed il valore massimo della massa che può essere

trasportata (kg)

Abbiamo quindi visto come fare per trovare una condizione critica

avendo fissato la geometria (quindi il buckling).

Il rapporto teta, può non essere unico, potremmo trovare anche due

valori (guardare il grafico K∞ su teta), quindi abbiamo anche due

valori di "Nf" (concentrazione fuel) fissato un certo

"Nm" (concentrazione moderatore). Dalla concentrazione posso trovare

la quantità totale (in grammi) necessaria per ottenere la criticità del

sistema. massa critica

volume

Supponiamo di prendere un reattore a forma di sfera, e andiamo a

studiare come cambia il raggio della sfera critica muovendosi lungo

il grafico K∞ su teta:

La massa critica minima si

raggiunge non per il raggio

più piccolo

COME SI PROGETTANO I REATTORI

ULTIMAMENTE

Prima di tutto, i reattori non vengono più progettati tramite la teoria

della diffusione, ma l'equazione di trasporto dei neutroni (modello di

Boltzmann). In questo settore essa è considerata l'equazione

ESATTA (questo non accade ovunque, per esempio, nella

fluidodinamica non si dispone di un modello di riferimento, lo studio

dello scambio termico con dei fluidi viene fatto per la gran parte

utilizzando modelli che mettono insieme la teoria con molta pratica).

Tuttavia per risolvere il modello di Boltzmann a causa della sua

difficoltà, bisogna prima semplificare il modello e successivamente

calcolare sperimentalmente alcuni parametri. Questo porta quindi ad

una "distorsione" delle leggi fisiche.

Gli strumenti di cui oggi disponiamo, sono tali da rendere questa

distorsione accettabile (risultati molto affidabili, con margini di

errore sono molto piccoli, per esempio 10^-5).

L'equazione del trasporto è un'equazione che produce:

Si procede secondo il metodo del "multiscala", ovvero si va a osservare

fenomeni diversi in scale diverse (per esempio, lo spazio, il

submillimetrico). Quindi inizio a guardarle una per volta, partendo

dalla più piccola (la cella di combustibile) e guardo i neutroni con

molto dettaglio energetico, posso considerare quella cella uguale a

tutte quelle che ha attorno, come se vedessi un mare di celle tutte

uguali. Quindi la geometria è semplificata al massimo, ma si tratta

tutta l'energia con enorme dettaglio. In poche parole, trovo il flusso

neutronico di quella cella e faccio la media delle sezioni d'urto

(distruggendo il dettaglio energetico).

Le sezioni d'urto della cella osservata sono caratteristiche della cella in

questione, non delle altre, quindi si ripeterà la cosa per ogni cella che si

nota sia diversa.

Diminuiamo lo zoom, e analizziamo un gruppo omogeneo di celle,

diverse da un altro "grumo di celle" vicino. Alla fine la zona

considerata sarà nuvamente omogenea.

Diminuiamo ancora lo zoom e così via...

In questo modo riesco a risolvere il reattore nella sua complessità con

pochi numeri di dettaglio energetico. L'ultimo passo dell'analisi viene

fatta non più con la teoria del trasporto ma con quello della diffusione.

Morale della favola: parto dalla scala più piccola e ad ogni livello osservo

il fenomeno energetico "omogeneizzando" il sistema considerato.

Alla fine di tutto questo, il risultato sarà il Keffettivo ed il valor medio

della potenza generata per unità di lunghezza dell'elemento di

combustibile.

Per semplificare la comprensione (coloro la parte analizzata e

omogeneizzata):

1° step: 3 step: ultimo step:

2° step: TEORIA A GRUPPI DEL REATTORE

Quello fatto negli scorsi giorni è una specie di "trucco" poichè

abbiamo costruito artefizi che ci hanno semplificato la vita tramite la

teoria monocinetica. Quindi questa nella realtà non è una cosa

troppo accettabile.

Teoria a due gruppi energetici:

essa è basata sull'idea della discretizzazione, affetto l'asse

energetico, studiando la popolazione media in ciascun intervallino

(penso che il flusso neutronico di tutti i neutroni dell'intervallino

sia lo stesso). Gli intervallini si chiamano gruppi energetici.

Suppongo che i neutroni presenti negli intervallini siano

monocinetici. In questo caso studieremo la teoria per due gruppi

energetici (dividiamo in due l'asse), la zona termica e la zona

epitermica. term. epiterm.

Quindi facciamo una teoria della diffusione per due gruppi energetici:

=probab. per unità di percorso che un neutrone che

appartiene al gruppo 1, subisca uno scattering che lo faccia

passare al gruppo 2

Supponiamo di avere un reattore ben termalizzato, senza fissioni

veloci (∑ = 1 , ∑f1 = 0 , ∑f2 ≠ 0).

le fissioni del gruppo due, generano neutroni del gruppo uno (poichè

generano neutroni veloci), quindi la sorgente messa in questa formula,

contengono anche i neutroni prodotti dalle fissioni del gruppo due):

produzione dalle fissioni del gruppo 2

quindi l'equazione diventa:

per il gruppo due invece: Domanda da esame

si comprano le sorgenti termiche?

SI, basta avvolgere una

sorgente qualsiasi in un

moderatore wa wa waaaa...

affrontiamo quindi la teoria della criticità a due

gruppi nel reattore omogeneo

se omogeneo:

introduco il valore K (come fatto in precedenza, davanti al termine

di produzione/fissione). unico termine di produzione

L'unica soluzione accettabile sia che ø1 e ø2 siano fatte come l'armonica

fondamentale, quindi se faccio il laplaciano di ø trovo:

se faccio: spettro stazionario del reattore (rapporto spettrale)

(mi dice quanti neutroni veloci ci sono per

ogni neutrone termico)

Ora introduciamo quest'assunzione nelle nostre equazioni

(studio il problema sull'armonica fondamentale):

(non dipendono più da r)

K∞ è il numero di neutroni termici prodotti diviso il numero di

neutroni consumati, quindi: probabilità di rallentarsi

ed essendo:

Matematicamente:

Le due equazioni messe a sistema prima sono due omogenee, quindi le

soluzioni, a parte la banale ø=0, per obbligare le equazioni ad avere

almeno una soluzione diversa da zero applico il teorema di Rouche

Capelli (determinante uguale a zero). (faccio il determinante=0)

lo stesso risultato che abbiamo trovato prima

Dalla seconda equazione: teorema di separabilità

spazio energetica di

Wigner

Si chiama TEOREMA DELLA SEPARABILITA' poichè la

forma spaziale è indipendente dall'energia, e la forma

energetica (il rapporto tra ø1 e ø2) è indipendente dalla

posizione

Nei reattori termici la sezione d'urto dei neutroni veloci non è proprio

zero, quindi consideriamo quella voce zero e rifacciamo tutti i

calcoli...Boiaassasìn.

Questo nuovo elemento verrà aggiunto al gruppo uno (sono veloci).

il nuovo K∞ sarà:

Relazione della teoria a due gruppi con moltiplicazione veloce:

Supponiamo che il sistema sia stazionario e si assesti sull'armonica

fondamentale:

Faccio il determinante=0 (verifichiamo anche con questo metodo)

=neutroni veloci generati da tutte

le fissioni diviso il numero di

neutroni veloci generati dalle

fissioni termiche

Quindi per calcolare epsilon bisogna calcolare quel rapporto spettrale,

quindi, dalla seconda equazione della matrice:

semplificando tutto l'ambaradan si trova il risultato che

abbiamo trovato prima

Esercizio per casa: teoria a due gruppi per un reattore epitermico

Perchè vogliamo i reattori veloci? perchè dall'uranio 238 produciamo il

plutonio = produzione totale di neutroni

probab. di cadere nel primo gruppo

E risolvo come ho risolto tutti gli ultimi esercizi fatti

ESERCIZIO 1.e

Il problema riguarda un reattore sferico critico:

-Come faccio a sapere com'è fatto il flusso? Esso è fatto come

l'armonica fondamentale del reattore.

-Determinare il flusso neutronico massimo nel caso che la potenza del

sistema sia di 10 kW

In pratica bisogna trovare la costante di scala del flusso per ottenere

una certa potenza.

( se non integravo trovavo la potenza per unità di

volume, ovvero, la densità di potenza)

nel caso in esame: fai l'integrale e ricavi Q

(il fattore di potenza)

Se vuoi il flusso massimo, devi calcolare il suo limite per R che tende a

zero: (moltiplicando e dividento per ( π / R ) e usando de l'Hôpital)

ESERCIZIO 2.e

Un elemento di combustibile è inserito in un reattore in una posizione

in cui il flusso neutronico è mantenuto costante nel tempo e pari a 3 •

10^13 neutroni/(cm^2 • s).

C'è un nuclide fissile (1) la sua densità iniziale N1(o) vale 4 • 10^20

atomi/cm^3, la sua sezione d'urto microscopica di cattura vale 100

barn, la sezione d'urto di fissione vale 500 barn.

C'è un altro nuclide (2) che invece è un fertile, la densità iniziale

N2(o) è 2 • 10^22 atomi/cm^3, la sua sezione d'urto di cattura è

uguale a 3 barn.

Il nuclide 2 cattura un neutrone e si fertilizza, generando il nuclide 3.

Il nuclide 3 quindi è fissile, la sua densità iniziale è nulla, la sua

sezione d'urto di cattura vale 200 barn, la sua sezione d'urto di

fissione è 800 barn.

Supponendo che sui nostri tempi tutti questi nuclidi siano stabili (se

il nuclide 3 fosse plutonio 239 e studio il problema sulla distanza di 6

mesi, posso anche pensare che il decadimento non sia così importante).

-Scrivere l'equazione di bilancio che descrive l'evoluzione della

concentrazione del nuclide uno e determinarne la soluzione.

Svolgimento

Perchè la densità di 1 dovrebbe cambiare tra t e t+∂t?

perchè esso assorbe un neutrone: la soluzione sarà...

(Risposta alla prima domanda)

cattura

fissione

-Scrivere l'equazione di bilancio che descrive l'evoluzione della

concentrazione del nuclide 2 e risolverla:

Esso è un nuclide fertile, quindi può solo catturare le particelle

-Scrivere l'equazione di bilancio che descrive l'evoluzione della

concentrazione del nuclide 2 e risolverla:

(scompare perchè assorbe neutroni)

-Determinare la legge con cui varia la densità di potenza P generata

dalle fissioni di 1 e 3 durante il funzionamento del reattore.

densità di potenza generata: andamento temporale

della potenza

continua...

-Determinare il valore della densità di potenza all'istante iniziale ed i

valori della densità di potenza di N1 N2 N3 dopo un anno di

funzionamento facile

-Si può dire che il sistema sia autofertilizzante?

Se la quantità di fissili ad un certo t+∂t è maggiore della

quantità presente al tempo t, il sistema è autofertilizzante.

Esempio, se dopo 1 anno la quantità di nuclei fissili (N1 ed N3)

ESERCIZIO 3.e

Si vuole rendere critico un sistema cilindrico utilizzando una

soluzione omogenea fissile, nella quale viene diluito un sale di

controllo (ed: acido borico). In assenza di sale di controllo, le

caratteristiche del materiale fissile sono le seguenti:

La presenza del sale non influisce sul valore del coefficiente di

diffusione, per piccole concentrazioni di sale (C), la costante di

moltiplicazione infinita e la sezione d'urot di assorbimento dei

neutroni obbediscono alle seguenti leggi:

-Si calcoli la Keff che il sistema avrebbe senza sale

-Si calcoli il valore della concentrazione di sale che rende critico il

sistema. REATTORE ETEROGENEO

In questo reattore il combustibile viene separato dal moderatore, in

questo modo si evita che delle sostanze pericolose vengano portate

fuori dal reattore nucleare. Questo crea degli svantaggi poichè per

cambiare il combustibile devo per forza fermare l'impianto. Ci sono

delle situazioni in cui si può evitare questo problema, ma nella

maggior parte dei casi si fa fermare il reattore.

Altre motivazioni per volere questa tipologia di reattore sono di tipo

neutronico, ovvero: cosa accade se separo il combustibile dal

moderatore? accade che il neutrone prodotto vive in ambienti diversi

durante il suo rallentamento (nel combustibile c'è una sorgente di

neutroni ad alte energie, che, successivamente, si spostano venendo

rallentati e, se non spariscono (assorbimento), andranno a finire

dentro il moderatore). Quando arrivano in questo nuovo ambiente si

trovano dentro un sistema con alto potere rallentante (se il

moderatore è acqua la quantità di energia che perde mediamente per

urto è molto alta), quindi in pochi urti il neutrone può raggiungere

energie molto basse (e diventare termico), diventando termico crea

una sorgente per i neutroni termici che continueranno a muoversi

finendo quindi nel combustibile (e facendo fissioni).

Perciò, in un reattore OMOGENEO, i neutroni vedono combustibile e

moderatore ovunque; nel reattore ETEROGENEO vedono

combustibile e moderatore solo in alcuni casi.

Analizziamo uno dei fattori principali, il k∞ (costante di

moltiplicazione se il sistema si moltiplicasse all'infinito in uno

spazio infinitamente grande, gira pagina per capire meglio il tipo di

sistema).

per capire

immagina un mosaico fatto da tante tessere uguali:

se le piastrelle si moltiplicassero all'infinito quale sarebbe il valore

della costante di moltiplicazione? K∞

ricordando che f è il rapporto tra il numero di neutroni termici

assorbiti dal combustibile e il numero di neutroni termici assorbiti

da cani e porci, possiamo usare questa definizione anche per il

reattore eterogeno: volume moderatore

volume combustibile

come scrivo questo integrale esprimendo il concetto di flusso

medio? Così:

perciò: divido per Øf Vf..

ricordando quella per il

reattore omogeneo:

(una zeta greca) notiamo che...

Notiamo che le due formule differiscono di un termine, ovvero:

il rapporto tra il flusso medio nel moderatore ed il flusso medio del

combustibile Nota bene

ricordiamo che i neutroni diventano

TERMICI nel moderatore, quindi il flusso

termico sarà maggiore nel moderatore.

Quindi l'andamento del flusso termico sarà:

ne consegue che: (a parità di volume)

comb. moderatore

Tutto questo per dire che un sistema eterogeneo è meno efficace

nell'assorbire i neutroni di risonanza (e quindi nel K∞ cresce

moltissimo "p") ma questo difetto è irrilevante rispetto al grosso

vantaggio della crescita di "p".

Ora vediamo come calcolare f e p nei reattori eterogenei.

affrontiamo prima il problema di f...

CALCOLO DI F TRAMITE TEORIA DI DIFFUSIONE

MONOCINETICA PER NEUTRONI TERMICI

Vogliamo scrivere l'equazione della diffusione in una cella di

combustibile piana. C

M

C O

O

O M

M D . . .

B

B E U

U R S

S A T

T .

T

. sorgente nel moderatore

essendoci 4 incognite, abbiamo bisogno di 4 condizioni ausiliarie:

1)il piano zero è di simmetria, quindi la derivata del flusso in zero è

nulla, il flusso li presente è quello del combustibile, perciò:

2)il piano B non viene attraversato da una corrente quindi:

(non c'è trasporto netto di neutroni nel contorno delle celle)

3) F ed M non sono due cose distaccate, quindi dove si toccano

dev'esserci continuità: e wuallà...

il primo passo è :

la soluzione della prima equazione sarà la somma di due esponenziali:

la soluzione della seconda equazione invece:

Ora applico le condizioni imposte e trovo i quattro coefficienti:

-Af e Bf, per produrre Øf (funzione che ha la derivata nulla in

zero), devono essere un coseno iperbolico:

quindi:

Per esercizio fare quello del moderatore. Il risultato totale sarà:

funzioni di reticolo

Nel caso piano (il nostro caso):


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher conigliaropoliappunti di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di ingegneria nucleare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino - Polito o del prof Ravetto Piero.

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