Lezioni ed esercitazioni: Appunti di Ingegneria nucleare

Fondamenti di ingegneria nucleare

Politecnico di Torino - Anno 2012/2013

Corso di Ingegneria Energetica - Terzo Anno

Professore: Ravetto Piero

Alunno: Conigliaro Christian

Argomenti trattati in questi appunti

• Fenomeni radioattivi
• La catena di decadimento
• Esercizi
• I moderatori
• Equazione della diffusione
• Fourier (conduzione del calore)
• Funzione di Green
• Problema di Milne
• Metodi alternativi a Green
• Esercizi
• Metodo Frobenius
• Autofunzioni di Helmholtz
• Helmholtz in geometria cilindrica
• Studio dell'equazione della diffusione in diverse situazioni
• Applicazione del metodo delle potenze
• Esercizi
• Progetto di un reattore
• I quattro fattori
• Progettazione contemporanea dei reattori
• Teoria a gruppi del reattore
• Esercizi
• Reattore eterogeneo
• Studio del transitorio
• Specchietto utile per gli esercizi
• Esercizi

Fusione nucleare

• La fusione nucleare
• Tasso di reazione
• Il plasma
• Geometria di confinamento
• Strada verso il kWh da fusione nucleare
• Componenti fondamentali del reattore a fusione Tokamak
• ITER
• Dentro ITER
• I divertori
• Scelta dei materiali

Modelli ingegneristici

I modelli usati dagli ingegneri sono "fisici-matematici" poiché utilizzano i linguaggi matematici per simulare fenomeni fisici. Quindi è buona cosa esser preparati bene di matematica e sulle unità di misura (Gli stanno a cuore). Un terzo punto su cui il professore non ha pietà sono i conti, quindi occhio ai risultati.

Esame

• Lavagno: Parte scritta separata
• Ravetto: Parte scritta insieme a Panella + orale
• Panella: Parte scritta insieme a Ravetto

Libri interessanti

• Mathematical Physics (Bukoff)
• Table of Mathematical Function (Abramoviz, Stegan)

Fenomeni radioattivi

La radioattività è stata scoperta a fine '800 e studiata in maniera intensa dalla famiglia Curie. Quando a seguito di iterazioni un atomo si trasforma, si realizza una trasmutazione molecolare. Noi studieremo delle trasformazioni "drastiche" come fissione e fusione nucleare. Si scoprì che tramite queste trasformazioni, si potevano produrre elementi radioattivi che in natura non esistono.

Nomenclatura

• Emissività: radiazione gamma
• Elettrone
• Positrone (non si emettono in natura)

La radiazione alpha non è penetrante, difficilmente attraversa la materia, a differenza della gamma, che è molto penetrante, ma ne parleremo più avanti. In natura, in base all'energia messa in gioco, vi sono numerosi fenomeni radioattivi e non. Il nostro obiettivo è costruire equazioni che ci aiutino a descrivere questi fenomeni.

La novità che si introdurrà in questo corso è che, i valori trovati, sono considerati di tipo "probabilistico", ovvero il più probabile valore che si può raggiungere in una determinata trasformazione. Attraverso questi concetti di probabilità si costruiscono equazioni di bilancio.

La più semplice equazione di bilancio che descrive il fenomeno di decadimento è composta da:

• Costante di decadimento: la probabilità per unità di tempo che un atomo decada. La sua unità di misura è nessuna, poiché una probabilità si calcola lambda • ∆t ovvero [1/s] • [s].

Processo Marcoviano: la probabilità rimane invariata nel tempo.

Bilancio semplice: dopo un certo tempo alcuni atomi saranno decaduti, quindi la quantità di decadimento sarà:

Se differenzio: ATTIVITÀ

L'equazione differenziale dev'essere sempre accompagnata da numerosi aggettivi, per esempio:

• Essa è un'equazione ordinaria del primo ordine, lineare.
• Non contiene derivate parziali.
• Vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

Come obiettivo primario devo stabilire le condizioni iniziali:

Ordino l'equazione separando i membri:

Integro: soluzione dell'equazione differenziale.

Se voglio la probabilità (per esempio) di decadimento in un determinato ∆t: Se due eventi sono indipendenti, la probabilità che coesistano è la moltiplicazione delle due probabilità analizzate singolarmente.

Densità di probabilità: poiché prima o dopo decade.

Tempo medio di decadimento: spesso viene chiamato anche tempo di dimezzamento, ovvero il tempo in cui N (quantità di atomi, quindi anche il peso del materiale), diventa la metà di quello in partenza.

Un'equazione che non contiene il termine noto si dice "omogenea".

Complichiamo le cose

Supponiamo di avere un campione radioattivo che viene sottoposto a nuclei radioattivi esterni (una sorgente che aggiunge radioattività nel tempo). Vogliamo conoscere la quantità di nuclei che vengono aggiunti nel tempo. Chiamiamo con R(t) i nuclei aggiunti per unità di tempo (Rateo). Quindi l'equazione di prima diventa:

• Causa sorgente
• Causa decadimento

Equazione differenziale: per trovare la soluzione di un'equazione differenziale lineare omogenea (o sistema di equazioni differenziali lineari) si può scrivere come la soluzione dell'omogenea generale più un'equazione particolare non omogenea.

Soluzione omogenea generale: soluzione completa: integrale particolare.

Per trovare questa f(t) si utilizza il:

Metodo della variazione della costante arbitraria (Cauchy) "Si prende f(t) nella stessa forma della omogenea ma in funzione di un'equazione, ovvero: quindi: sapendo che: quindi: si semplificano variabili separabili ponendo la condizione C(0)=0 (per t=0): ed integrando l'equazione precedente... continua.. sapendo che:

Tornando all'equazione di partenza: Possiamo comporre la soluzione generale: le jeux son fait...

Ora vogliamo risolverlo dimenticandoci Cauchy (approccio fisico). Il tempo t (somma di 2 contributi) ci saranno ancora dei nuclei iniziali per la probabilità di sopravvivere:

• 1° contributo: (decadimento del campione)
• 2° contributo: nuclei inseriti dalla sorgente

Soluzione generale: Viene anche chiamato integrale di convoluzione.

Facciamo un esercizio

In un tempo sufficientemente lungo: Per casa: risolvere lo stesso problema ma con per parti (2 volte) guardiamo se questa soluzione ha la struttura per essere corretta. Il sistema è lineare, quindi la soluzione dev'essere la composizione tra una parte costante ed una oscillante (trovato). Per la parte costante, dovrò aspettarmi un transitorio (trovato). Per la parte oscillante, ci aspetteremo che il sistema abbia un transitorio che ad un certo punto si spegnerà (il sistema si adatta dopo un po').

La risposta del sistema, non restituisce il segnale identico, ma bensì modificato di ampiezza e di fase (sfasamento). Finito il transitorio, si dice che il sistema si è assestato sulla parte "stazionaria" della soluzione (stazionario vuol dire che col passare nel tempo diventa una funzione periodica).

Siamo capaci di trovare fase e ampiezza della precedente equazione? Passato il transitorio:

Voglio ottenere un'ampiezza del tipo:

Da Eulero: Quindi ==> Ed essendo uguale a... (uguaglio i termini simili) Trovo A e phi essendo: cartesiano immag. fase reale.

Qualche definizione

Sorgenti impulsate: sorgenti che mandano un impulso e poi si spengono. L'obiettivo è osservare come risponde il sistema.

Sorgenti oscillanti: Quando introduciamo un'oscillazione dentro il sistema, esso risponde con due modalità, una modalità "sua" (a seconda delle sue caratteristiche) e una modalità in funzione della frequenza del segnale introdotto (Solo se il sistema è lineare).

La catena di decadimento

Il nuclide che decade, lo fa in un ambiente presumibilmente radioattivo (insieme ad altri organi radioattivi), instaurando una catena di decadimento. Supponiamo ci siano due nuclidi con due diverse lambda, ed il secondo nuclide sia frutto del decadimento del primo, scrivere l'equazione di bilancio per i due nuclidi e risolvere:

Frutto del decadimento di N1. Una volta che risolviamo la prima equazione, andiamo semplicemente a sostituire il risultato nel secondo e ci ritroviamo nella situazione di "presenza di sorgente".

Risolvere la catena di decadimento:

Quindi in pratica si chiede di calcolare come varia nel tempo (per esempio) il nettunio 239 e il plutonio 239.

• Nuclide 1
• Nuclide 2: prodotti dal nuclide 1

Matricialmente: Definisco un vettore nello spazio euclideo (R2) sorgente. Matematicamente: metto a sistema le due equazioni e la sua soluzione sarà:

Esercizio

Supponiamo di avere due nuclei uguali a quelli precedenti, il primo nucleo viene prodotto da una sorgente, il secondo nuclide viene prodotto dal decadimento del primo. Tenere conto che, mentre nel bilancio del primo nuclide c'è una sorgente, nel bilancio del secondo nuclide c'è il decadimento del primo nuclide, ma anche un "pozzo" (una sorgente negativa). Trovare la soluzione del problema.

L'equazione 1 si può risolvere indipendentemente dalla seconda, e la sua soluzione è:

Asintotico dimenticandoci dei differenziali, potevamo trovarci lo stato stazionario ponendo ∂N1/∂t=0... et voilà!

Ora concentriamoci su N2: continua.. Sostituendo nella precedente equazione N1 e l'asintotico di N2, trovo la soluzione valida solo quando R>P asintotico.

Resettiamo il problema, supponiamo il sistema stazionario, quando andiamo a togliere sorgente e pozzo, e studiamo l'evoluzione libera del sistema. È possibile che N2 cresca nel tempo anche senza sorgenti e pozzi? Devo studiare la derivata di N2.

Se in t=0 si parte con una derivata positiva, si sa che N2 crescerà per un po', per poi decrescere (pensare allo spegnimento di una reazione nucleare, per un po' continua ad alimentarsi grazie ai neutroni ritardati).

Per casa: -risolvere le equazioni differenziali per verificare il risultato ottenuto -determinare l'istante di tempo in cui N2 è massimo.

Esercizio

In una centrale nucleare 1 litro d'acqua viaggia nel circuito. Indichiamo con R la quantità di nuclei radioattivi nell'unità di tempo e per unità di volume t. Calcolare N(t) all'uscita del reattore.

Fase 1: fluido entra nel reattore. Condizione iniziale:

Fase 2: fluido in uscita dal reattore. Probabilità di non decadere nel tempo t2 (vecchia roba) • (probab. decad. tempo t1).

Fase 3: ingresso reattore secondo giro and so on, and so forth... nuovo giro.

In forma generale: ultimo contributo di primo passaggio ciascun passaggio passaggio.

Definizione di serie: somma di infiniti termini FINITI quindi quella di sopra non è una serie, ma una successione geometrica (ogni termine viene ottenuto da un termine precedente moltiplicato per un elemento, la "ragione") o meglio, una "ridotta di serie" (una serie troncata).

Per infiniti giri:

I moderatori

Cosa succede quando un neutrone entra a contatto con una struttura nucleare? Possiamo immaginarlo come un urto classico tra sfere rigide. I principi sono quelli della meccanica classica, quello della conservazione quantità di moto e della conservazione di energia.

Durante l'urto le particelle si scambiano energie e cambiano le rispettive direzioni, può succedere che il neutrone ceda o prenda energia al nucleo. Essendo che il neutrone non penetra il nucleo, questo urto verrà chiamato "potenziale". Dopo l'urto si dice che il neutrone subisce uno "scattering" (cambio di direzione).

Quando un neutrone collide con un nucleo di uranio 238, sta avvenendo un urto tra qualcosa di grande e qualcosa di piccolo, quindi non si varieranno di molto le condizioni successivamente (se tiro una pallina contro il muro, il muro sta fermo la pallina schizza indietro con quasi la stessa velocità di prima).

Se l'obiettivo è rallentare i neutroni, gli atomi leggeri sono molto importanti. I materiali che rallentano i neutroni si chiamano moderatori. I moderatori iniziano a far urtare i neutroni, facendogli perdere energia e velocità. Ma a cosa serve rallentare i neutroni? Serve perché il nucleo grosso, se messo lentamente a contatto con il neutrone, riesce a catturarlo.

Supponiamo che ci sia una piazza piena di gente, successivamente entrano delle persone di corsa. La prima reazione è "la folla si sposta e le persone veloci rallentano". Alla fine, la folla costringerà le persone veloci a rallentare raggiungendo un equilibrio dinamico. Maxwell studiò questo fenomeno di "dispersione di energia":

La probabilità che l'energia della particella stia tra E ed E+∆E è rappresentata da una funzione: M(E). Quando il sistema è costituito da "particelle che vanno più veloci ed altre più lente", questa funzione M(E) che cos'è? Viene chiamata funzione Maxwelliana:

Esistono più tipi di collisione, uno di questi è la:

Trasmutazione

L'energia cinetica del neutrone viene ceduta nel nucleo sotto forma di energia di legame. Questo "intruso" potrebbe essere accettato dal nucleo facendo scomparire il neutrone. A questo punto il nucleo è diventato un isotopo di quello precedente. Spesso il nucleo "nuovo" non è nello stato fondamentale, ha più energia di quanta gli compete, in pratica è instabile. Esso ora può reagire in due modi, emettere radiazione (gamma) o diventare reattivo. Questo tipo di cattura si chiama cattura radioattiva, se il nucleo è radioattivo, la reazione (nucleare) è di attivazione. L'azione di "cambiamento" del nucleo viene chiamata trasmutazione (es: uranio decade in nettunio che decade in plutonio, tutti attraverso a radiazioni beta che aumentano +1 i protoni e fanno passare il nucleo da peso atomico 92, a 93, a 94, dando vita materiali non esistenti in natura).

Isotopo: stesso numero atomico ma ≠ numero massa.

D'ora in avanti non dovremo mai usare degli aggettivi in modo assoluto (breve, può non dire nulla, dobbiamo aggiungergli "rispetto a").

Energia posseduta da un neutrone (20°C): 0,025 eV.

Tornando al nucleo nuovo, esso riemette un neutrone, questo è ancora uno scattering che può essere di due tipi:

• Scattering elastico di risonanza (energia meccanica conservata)
• Scattering inelastico di risonanza (parte dell'energia viene lasciata nel nucleo e rilasciata successivamente sotto forma di radiazione gamma).

Quindi anche i neutroni possono lasciare energia in giro, sotto forma di radiazione o energia cinetica. Ma se il nucleo può rilasciare un neutrone, chi gli vieta di rilasciarne 2? (fenomeno N2N). Il fenomeno della fissione nucleare è esattamente questo processo di "moltiplicazione" dei neutroni.

Il neutrone entra nella struttura nucleare portando la sua energia (più l'energia di legame) che crea una deformazione del nucleo riuscendo a separarsi in due frammenti. Per far avvenire la separazione è necessaria una certa energia di separazione (Esep). Questa energia può esser fornita attraverso l'energia cinetica (e di legame) del neutrone, quindi:

Per avere la fissione nucleare. Nell'uranio 235, l'energia di legame è superiore all'energia di separazione, quindi un neutrone, per il solo fatto che entra in questo nucleo, porta di fatto alla fissione anche se la sua energia è zero.

I nuclei si possono classificare in "fissili" (uranio 235) e i "fissionabili" (uranio 238). Durante la trasmutazione, il nucleo può passare più volte da fissile a fissionabile. L'uranio 238 si chiama fertile, poiché può dare vita a materiali fissili. Questo processo si chiama "fertilizzazione".

Nel processo di fissione viene liberata una grande quantità di energia. Questa energia viene creata da una differenza di massa: (energia rilasciata durante una fissione). La divisione del nucleo non è precisamente a metà, se metto in relazione la massa con la probabilità fissione, otterrei un grafico così:

La radioattività dei prodotti di fissione è una radioattività a breve termine, quindi, che cosa sono le reali "scorie nucleari"? Non sono i prodotti di fissione, ma bensì, sono alcuni prodotti che vengono creati per trasmutazione degli elementi pesanti (Es: nettunio, plutonio, curio, americio ecc). Questi elementi non solo sono delle scorie, ma essendo fissili producono sottoprodotti pericolosi (ne riparleremo).

Fermi capì che nella fissione era necessario introdurre dei neutroni nella camera di fissione, poiché vi è un ritardo iniziale dovuto all'assorbimento ed il non-rilascio immediato dei neutroni da parte dei prodotti. Quindi i neutroni possono chiamarsi neutroni ritardati e neutroni pronti (a seconda dell'istantaneità o meno).

Se vogliamo il numero medio di neutroni emessi nella fissione: probabilità di emissione neutrone "iesimo" (Nu) Numero di secondari emessi per fissione. Probabilità che un neutrone sia emesso in ritardo. Probabilità che un neutrone sia emesso numero medio di neutroni emessi numero medio di neutroni ritardati. I progenitori di ritardati sono più di 200 e sono classificati in famiglie a seconda della loro.