Lezioni ed esercitazioni: Appunti di Complementi di meccanica strutturale

Complementi di meccanica strutturale

Richiami

Caratteristiche di sollecitazione Esse sono quelle forze generalizzate (forze e momenti in un sistema di riferimento spaziale) che mantengono in equilibrio un corpo soggetto ad azioni esterne.

Solitamente dove si rompono i componenti? Dove sono più danneggiati, ovvero dove ci sono tensioni positive anziché negative (le tensioni negative tendono a comprimere le cricche).

Le caratteristiche di sollecitazioni nello spazio sono 6:

• Una forza normale (lungo l'asse del corpo)
• Due forze di taglio (dirette normalmente all'asse del corpo)
• Due momenti flettenti (che modificano la curvatura del corpo)
• Un momento torcente (ruotano le sezioni del corpo attorno al suo asse)

In figura è riportato il sistema di riferimento che impone positiva la faccia con l'asse longitudinale uscente dal sistema. Un modo di ricordarsi la convenzione è utilizzare la regola della mano destra ponendo il pollice uscente dalla superficie. Per il momento invece si applica la regola "a vite" della mano destra: Nelle due sezioni che vengono generate dal sezionamento (tramite la linea di distacco, una faccia positiva ed una negativa), agiscono le forze e i momenti, uguali in modulo e opposte in verso (per mantenere la neutralità interna al materiale).

Deciso il sistema di riferimento, sulla faccia positiva, i versi positivi sono:

• Forza normale assunta positiva in trazione e negativa in compressione
• Taglio positivo quando tende a far ruotare in senso orario il corpo, e negativo quando la rotazione è antioraria
• Momento flettente, agente su due piani normali alla forza normale, positivo quando tende le fibre inferiori del corpo e comprime quelle superiori
• Momento torcente senza convenzione di segno, poiché tende a far ruotare le sezioni attorno all'asse di rotazione.

Come si ricavano le caratteristiche di sollecitazione?

Bisogna innanzitutto capire come sono diretti i carichi e quali condizioni di vincolo sono applicate ai componenti. I vincoli bisogna assumerli come vincoli reali e si dividono in:

• Punto libero (non vincolato)
• Appoggio (1 vincolo)
• Cerniera (2 vincoli)
• Incastro (3 vincoli)

I vincoli vengono rappresentati da forze e momenti che contrappongono il carico agente sul sistema. Si fanno quindi una o più equazioni di equilibrio, come rappresentato in figura, per trovare le reazioni vincolari. Il sistema rappresentato in figura è soggetto a forze e momenti esterni, in parte dovuti alla condizione di carico ed in parte alle reazioni vincolari che il componente mette in gioco dopo che si tagliano via i vincoli (liberazione delle reazioni vincolari).

Si va quindi progressivamente ad isolare, lungo l'asse, tramite linee di distacco, le sezioni del solido liberando le reazioni vincolari. Le equazioni di equilibrio sono composte da forze e momenti, non da tensioni. Dal precedente equilibrio, si ricavano: La figura mostra un tratto infinitesimo di trave, che presenta su una faccia un incremento infinitesimo dN e dMf.

Da queste ultime equazioni si può dire che:

• Se i carichi distribuiti lungo la trave (p e q) sono nulli, la forza normale ed il taglio sono costanti
• I carichi esterni e le reazioni vincolari corrispondono a discontinuità nel diagramma di sollecitazione
• Se c'è un taglio, ci sarà sicuramente un momento flettente, ma non vale il contrario, essendo il taglio la derivata del momento flettente.
• Se il taglio è costante, il momento flettente cresce linearmente.
• Se il momento flettente è costante, il taglio è nullo.

Qual è la procedura per ricavare l'andamento delle caratteristiche di sollecitazioni?

1. Calcolare le reazioni vincolari
2. Isolare una parte di struttura con una linea che la "distacca" dagli eventuali vincoli ed interrompe nella sezione in esame.
3. Scrivere le equazioni di equilibrio della parte isolata (dove le incognite sono le caratteristiche di sollecitazione).
4. Isolare una nuova parte di struttura inserendo se possibile un carico esterno alla volta
5. Tracciare i diagrammi che riportano il valore di ciascuna caratteristica di sollecitazione (CdS) in funzione della posizione della sezione in esame. I diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione sono convenzionalmente tracciati sull'asse della struttura.

Gli sgami della nonna

• Quando non vi sono carichi trasversali, il taglio è costante, ed essendo la derivata del momento flettente, implica l'andamento lineare di quest'ultimo.
• Dove agiscono carichi trasversali distribuiti, il taglio ha andamento lineare ed il momento flettente parabolico
• Dove agisce una forza trasversale concentrata, il taglio presenta una discontinuità (pari alla forza stessa) ed il momento flettente cambia pendenza
• Dove agisce una coppia concentrata, il momento flettente presenta una discontinuità (pari alla coppia stessa) ed il taglio non varia
• Negli appoggi di estremità e nelle cerniere il momento si annulla sempre, a meno che vi siano applicate coppie concentrate.

Esempio

Note:

• In A si può vedere una cerniera ed in B un appoggio.
• Agiscono una forza normale (F1), una assiale (F2) ed una coppia concentrata (C) lungo la struttura.

Metodo operativo

1. Liberare le reazioni vincolari: in A ci saranno due reazioni, una orizzontale ed una verticale, in B si libera una reazione vincolare verticale.
2. Equazioni di equilibrio: essendoci 3 incognite, serviranno 3 equazioni, in questo caso sono state fatte due equazioni di momento e una longitudinale.
3. Si chiude verso sinistra con una linea di distacco (poiché a sinistra le reazioni sono più semplici) con 0 < z < a, e si calcolano le sollecitazioni di taglio, normali e di momento.
4. Si sposta quindi la linea di distacco, ponendo a < z < (a+b) ricalcolando i nuovi.
5. Ed infine, considerando (a+b) < z < L.
6. Si tracciano quindi gli andamenti lungo la struttura.

Nota bene: Nella struttura si ha una cerniera a sinistra ed un carrello a destra, senza momenti flettenti concentrati su quest'ultime, quindi i diagrammi di momento partiranno da zero e finiranno a zero.

Questo esempio mostra il modo di operare su qualsiasi struttura (isostatica ed in parte iperstatica). Nelle situazioni ingegneristiche si cerca di evitare le strutture iperstatiche, poiché generano concentrazioni di tensioni interne che possono dar vita a cricche e rotture.

Il solido di de Saint-Venant

Nel momento in cui si hanno le caratteristiche di sollecitazioni tracciate e si conosce l'area trasversale del nostro componente, si è in grado di passare dalle caratteristiche di sollecitazione alle componenti di tensione (normali e tangenziali). Il solido di Saint-Venant (trave) fornisce la soluzione per elementi di tipo monodimensionale. Se la macchina analizzata non è direttamente riconducibile a sezioni come la trave di Saint-Venant, i gusci etc, si risolve il problema in maniera numerica suddividendo il dominio in tanti elementi strutturali conosciuti (solido di Saint-Venant, gusci etc) e applicando la sovrapposizione delle soluzioni analitiche. Saint-Venant è applicabile in tutte le struttura monodimensionali dove una dimensione è molto maggiore dell'altra, in pratica figure snelle e lunghe (capriate, telai, strutture meccaniche, alberi meccanici ecc).

Ipotesi:

• Il solido è ottenuto per traslazione di una figura piana in direzione della sua normale; l'estensione in questa direzione è molto maggiore delle dimensioni della figura piana.
• Il materiale è elastico, omogeneo ed isotropo.
• I carichi ed i vincoli sono applicati soltanto in corrispondenza delle basi del solido.

Esempio di trave di Saint-Venant durante una sollecitazione di taglio. Che forma ha la sezione trasversale? In generale la sezione trasversale può avere qualsiasi forma, ma in pratica si cerca di analizzare comode geometrie (circolari, ecc).

Il sistema di riferimento cartesiano xyz ha assi x ed y contenuti nel piano della figura generatrice e origine nel suo baricentro. L'asse z rappresenta la traiettoria del baricentro durante il moto di generazione e costituisce la linea d'asse del solido. Per l'assenza di carichi applicati sulla superficie cilindrica e delle limitate dimensioni trasversali si può dire che:

Possono invece essere presenti fino a sei componenti di tensione, che, per comodità, possono essere ridotte alle tre principali. È bene ricordare che la teoria di de Saint-Venant, come prime basi di sviluppo, parte dalle assunzioni di assenza di carichi applicati sulla superficie esterna, questo fa sì che la tensione sia di tipo monodimensionale. Le caratteristiche di sollecitazione della sezione sono le azioni integrali che derivano dalle componenti di tensione: Le forze infinitesime date dalla componente di tensione per l'area possono essere visualizzate in questa maniera. Integrando i contributi di tutti i punti della sezione si ottengono la forza normale N ed i tagli Tx e Ty. Potenzialmente, tutti i punti della sezione sono soggetti a tensioni diverse. I momenti flettenti Mx ed My sono definiti come i momenti risultanti delle forze infinitesime sigma_zz•dA con braccio y dall'asse x e con braccio x dall'asse y, ottenuti integrando i contributi di tutti i punti della sezione. Invece, il momento torcente Mz è definito come il momento risultante dalle forze infinitesime tao_xz•dA e tao_yz•dA, con bracci rispettivamente pari a y e x dall'asse z, ottenuto integrando i contributi di tutti i punti della sezione.

Quali sono le distribuzioni di tensione?

Si è detto che la forza normale è l'integrale esteso all'area infinitesima della sigma_zz estesa ad A, quindi risulta nel complessivo, la forza normale diviso l'area. L'andamento è un andamento uniforme su tutta la sezione trasversale, tutti i punti sono quindi "democraticamente" alla stessa condizione. In questo caso, l'analisi può esser fatta sia al centro che in periferia.

Per quanto riguarda il momento flettente invece, si ha un andamento linearmente variabile lungo la sezione del solido di Saint-Venant, ne consegue che la tensione sigma_zz ha anch'essa una distribuzione lineare sulla sezione. In questo caso quindi non è la stessa cosa fare l'analisi su un punto al centro della sezione o un punto periferico. Ciò implica che si sarà più interessati ad analizzare il punto dove la sollecitazione è massima (quindi il primo punto che cederà in caso di eccessivo lavoro).

Notare che la tensione sigma_zz è nulla sulla retta y=0, quest'ultimo costituisce quindi l'asse neutro.

Richiami sulla resistenza in base alla geometria delle sezioni

Dove Wf è il modulo di resistenza a flessione. A livello di manuali vi sono raccolte di tutte le sezioni possibili immaginabili, con valori di aree sezione, di inerzia etc. Nelle pagine precedenti si è analizzato il comportamento flessionale nel piano zy, nelle prossime, riporterò solo le slide del comportamento flessionale nel piano zx, poiché identiche (eccetto per il sistema di riferimento) a quelle già analizzate.

Quando si è a che fare con la presenza simultanea di due momenti flettenti, la distribuzione la si ottiene per sovrapposizione degli effetti. Esso è da applicare il più delle volte (ove possibile), poiché ragiona con sollecitazioni di tipo lineare (quindi più semplici). Quando quindi si è in presenza di un momento flettente Mx e momento flettente My, l'asse neutro non coincide più con un asse cartesiano. Per poter individuare la sua posizione, bisogna andare a cercare qual è l'inclinazione (angolazione, rapporto y su x) per cui la sigma_zz è pari a zero. Questo rapporto ci fornisce la tangente dell'angolo psi. Questa analisi è utile poiché, conoscendo la posizione del vettore momento flettente complessivo, si conosce la sua inclinazione rispetto all'asse x tramite la formula.

In generale, i due angoli phi e psi non sono uguali, mostrano quindi che il momento di inerzia x (I_x) è diverso da quello y (I_y). In questo caso si capisce quindi che, essendo l'asse intorno cui ruota la sezione, non parallelo a quello del momento, si è in presenza di una flessione deviata.

La morale: si cerca di lavorare con sezioni che forniscono Mx=My. La rappresentazione seguente sottolinea come, se si ha un momento flettente intorno ad y ed uno intorno ad x, l'asse su cui ruota il momento flettente complessivo avrà una posizione che in genere è diversa da quella dell'asse neutro. Per una sezione circolare, qualunque riferimento centrale è anche principale, perciò non ci sarà mai flessione deviata.

La sovrapposizione degli effetti

Questa figura mostra come la sigma_zz sarà data dalla sovrapposizione di una distribuzione uniforme ed una a gradiente (dovuta alla presenza dei momenti flettenti). Da notare che i punti della sezione resistente sono soggetti ad un valore diverso di tensione, in particolare quello periferico superiore vede la sovrapposizione massima (e quindi sarà il più soggetto a rottura).

La torsione

Delle sei caratteristiche di sollecitazione: N Mx MzIMy Ty; ; ; ; ;Fzz. La torsione genera componenti di tensione di tipo tangenziale rispetto alla sezione retta della nostra trave di De Saint-Venant. La soluzione analitica, nel caso della caratteristica di sollecitazione a momento torcente, si riesce ad ottenere soltanto quando si fa riferimento ad una forma circolare della sezione trasversale. Con geometrie più complesse bisogna ad utilizzare formule semiempiriche prese da pesanti tomi noiosi. La sezione, ruotante attorno l'asse z, è soggetta a momento torcente Mz, che dà vita a:

Le tensioni generate sulla sezione sono la tau_xz e la tau_yz, esse hanno distribuzione lineare e sono calcolabili come rapporto tra il momento torcente ed il momento di inerzia polare (o a torsione) della sezione trasversale moltiplicato per la distanza lungo x o y del punto che si sta considerando. Una volta definita la sezione, si può cambiare il sistema di riferimento da cartesiano a polare (quindi considerando la direzione radiale e la direzione circonferenziale). In questo modo, la componente tangente tao è una componente di tensione che agisce lungo la direzione circonferenziale del riferimento cilindrico. Essa può esser calcolata come rapporto tra momento torcente Mz e momento di inerzia polare, moltiplicato per la distanza dall'asse (pari al raggio). Grazie all'assialsimmetria della sezione circolare, l'orientazione del sistema di riferimento è ininfluente. Il tipo di relazione è ovviamente lineare. Nella figura sottostante vengono rappresentate la distribuzione di tensione di una sezione circolare piena ed una cava. Essendo variabile linearmente, anche ora ci sarà un punto con tensioni massime ed un altro punto con tensioni minime.

Andando a ricordare, dalla geometria delle aree, il valore del modulo di resistenza a torsione: Da non confondere con le formule di flessione.

Nota bene: così come la distribuzione di tensione, anche il momento torcente vede il punto esterno del nostro solido soggetto al valore massimo di tensione tangenziale.

L'importanza di chiamarsi taglio

Affermazione buttata lì: Le forze caratteristiche di taglio diventano meno importanti nei solidi snelli poiché generano una distribuzione di tensione che è massima al centro della sezione e nulla sulla periferia. Questa frase, la ripeteremo fino alla nausea a furia di chiarificarla sempre di più.

Cosa si ha al centro della sezione resistente?

Osservazioni:

• Il punto nella situazione maggiore è P, poiché si vede tutte le componenti di sollecitazione positive.
• Il punto Q vede positiva solo la tensione normale sigma_zz.
• Il punto O vede la sigma_zz di trazione e la tao di taglio (che però è piccola), quindi il punto O sta peggio del punto Q ma meglio del punto P. Per questo, nella pratica ingegneristica, capita dire che il taglio non ha importanza.

Il taglio non ha importanza nei solid snelli. Inoltre: Il comportamento della generica sezione del solido di De Saint-Venant sotto l'azione delle forze di taglio non può essere descritto in modo semplice come nei casi di comportamento estensionale o flessionale. Nel seguito ci si limiterà a valutare l'andamento delle tensioni tangenziali tao_yz e tao_xz che agiscono sulla sezione, applicando il principio della sovrapposizione degli effetti.

Taglio nel piano zy

Una sezione resistente è qualcosa caratterizzata da un'area e da momenti di inerzia. I momenti statici della sezione resistente, perdono il loro interesse nei solidi snelli, poiché, come già detto, sulla superficie esterna il taglio è nullo e al centro è piccolo (a causa della snellezza). Come già detto, non è un'analisi semplice da effettuare, solitamente si lavora prima nel piano xz, poi nel piano yz ed infine si applica la sovrapposizione degli effetti. È stato detto che il taglio y è la derivata del...