Meccanica razionale, lezioni ed esercitazioni

MECCANICA RAZIONALE

Legge di Newton

F = ma

pendolo

Descrizione del moto di un pendolo

• x² + y² + z² = ℓ²
• z = 0

Siamo nel caso del pendolo piatto

Si tratta di vincoli

Ma in realtà il mio pendolo non sta cadendo

F + Φ = ma

Reazione vincolare

La reazione vincolare dipende dalla posizione del corpo (si tratta di una forza perpendicolare al vincolo)

Se il punto che costituisce il pendolo si muove su una circonferenza

• θ(t)
• mℓθ'' = mgcosθ

PROCESSO...

1. F = ma
2. Vincoli
• (x(t), y(t), z(t)) → θ(t)
3. Parametrizzazione del vincolo
4. Equazione del moto

Mi aspetto di trovare una posizione θ(t)

• θ(0, θ₀, θ˙₀, θ₀˙˙) = θ₀
• θ˙(0, θ₀, θ˙₀, θ₀˙˙) = θ˙₀

5. Linearizzazione

θ(t; θ₀, θ̇₀) = A cos (√(g/l) t) + B sen (√(g/l) t)

ω = θ̈

θ̇_i(t; θ₀, θ̇₀) = -θ₀ √(g/l) sen (√(g/l) t) + B √(g/l) cos (√(g/l) t)

θ(t; θ₀, θ̇₀) = θ₀ cos (√(g/l) t) + θ̇₀ l/g sen (√(g/l) t) con s₀ (0; θ₀, θ̇₀) = -B l/g

Abbiamo due casi

1. equilibrio stabile
2. equilibrio non stabile

Moto di due pendoli:

√(g/l) = w

θ̈₁ = -w² θ₁

θ̈₂ = -w² θ₂

{ ẍ₁ = -w² x₁ - k (d₁ - x₁) + k (d₂ - x₁ + x₂)

{ ẍ₂ = -w² x₂ - k (d₃ - x₂) - k (d₂ - x₁ + x₂)

Ho un sistema in due equazioni di due variabili non separabili

{ ξ₂ = - (w² + 2k) x₁ + k x₂

{ ẍ₂ = (w² + 2k) x₂ - k x₁

{ y₁ = x₁ + x₂

{ y₂ = x₁ - 2x₂

λ₁: ẏ̈₁ = ẋ̈₁ + ẋ̈₂

{ ẏ̈₁ = (w² + 2k) ẏ₁ + k ẏ₂

{ ẏ̈₂ = (w² + 3k) ẏ₂

TEOREMA di CAUCHY

(1^a soluzione di equazioni differenziali)

ẋ = F(x) x(t₀) = x₀

• Se F è continua in x₀ allora esiste una soluzione x(t) tale che x(t₀) = x₀ con t, x ∈ I
• Se F è lipschitziana in x₀ allora esiste ed è unica soluzione x(t₀) = x₀, t ∈ Imax di t₀

✨Una funzione è lipschitziana in x₀ se e solo se ha rappreso incrementale limitato ∃ I tale che x₀ ∈ I ∃ A ∈ ℝ ∀ x₁, x₂ ∈ I |f(x₁) - f(x₂)| ≤ A |x₁ - x₂|

^{Lipschitziana} _{Continua + derivabile}

✨f è lipschitziana uniformemente ⇒ Imax = (-∞,+∞) ∀ ε > 0 ∃ A ∈ ℝ tale che |f(x₁) - f(x₂)| < A |x₁ - x₂| < ε ∀ x₁, x₂ tale che |x₁ - x₂| < ε

NB: In questo caso le funzioni sono uniformemente lipschitziana ⇒ Imax = ℝ

ESEMPIO

1. ẋ = a x x(0) = x₀ x(t) = e^at x₀ φ(t, x₀) ↦ e^at x₀ è un e^{a∞ mt} e x₀
2. ẋ = x² = F(x) x(0) = x₀ ẋ = A(x) B(t) ⇒ x² A(x) = B(t)

∂/∂t ∫ 1/A(x) ∂x = ∂/∂t ∫ B(t) ∂t ∫ 1/x² ∂x = ∫ ∂t

φ(x) = ∫ 1/A(x) ∂x ∂φ/∂x = 1/A(x) ∂t ∂/∂t φ = ∂φ/∂x ẋ = ∂φ/∂x ∂x/∂t

Altro caso

M_dẍ = K ẋ

con M definita positiva con det ≠ 0

M, K simmetriche

⇒ ẋ = |M^-1|K ẋ

A

★ Non c'è un metodo più veloce evitando di calcolare l'inversa?

Autovalore di A = M^-1K ⇒ radice di det(A - λI) = 0

det(M^-1K - λI) = 0

det(I) det(H^1/2KH^-1/2 - λI) = det(H(H^-1K - λI)) =

det(K - λH) = 0

Le colonne di P le costruisco come vettori tali che

Kv_i = λ_iMv_i con v_i autovalori

E poi mi riconduco al passaggio al primo

figure di Lissajous

Realizzo un programma con mappe nel caso in cui i piani non siano più solamente il mio sono un generico N

In generale avrò una matrice che devo cercare di diagonalizzare

SPAZIO DELLE CONFIGURAZIONI

ESEMPIO

Supponiamo ci sia un piano verticale e uno orizzontale

Un punto nel piano e un punto sulla retta, la distanza tra i due punti è costante.

• Due punti nello spazio => 6 coordinate
• Due punti nel piano e retta => 3 coordinate
• + altra mezzi costante => 2 coordinate

Abbiamo un punto che si muove su una superficie voglio vedere come si muove.

In questo caso lo spazio delle configurazioni dovrebbe essere la stessa superficie.

Sia f(x, y, z)=0 equazione della superficie

x(t), y(t), z(t)

• x: ℝ ⇾ ℝ³
• t ⟼ (x(t), y(t), z(t))

mappa cioè ad ogni istante t associa una posizione nello spazio

Q^μ(t) = Q^μ(q^λ(t))

Q̇^μ(t) = ∑_λ=1ⁿ ∂Q^μ/∂q^λ q̇^λ

Adugno è base naturale associata a q^λ e f_μ base associata naturale a q^μ

v² = ∑_μ=1ⁿ q̇^μẼ_μ = ∑_λ=1ⁿ ∑_μ=1ⁿ q̇^μ f_μ e_λ

⇒ e_λ = ∑_μ=1ⁿ ∂Q^μ/∂q^λ f_μ

La velocità delle curve coordinate mi serve per definire un piano

In questo modo dobbiamo definire un piano tangente ad una superficie (in un punto della superficie). In un base

dove mi trovo nel piano tangente cambia

Anche se considero e₁, e₂, e₃ come versori non dato che e₁, e₂ sono normalizzati

Questo dipende dal fatto che è la velocità tangente

come percorso la curva tangenziale

Non mi rimane la stessa il versore tangente

Che cosa definisco come velocità?

v̅(t) = lim_h→0 r̅(t+h)/h - r̅(t)/h

Ma mai non rappresentiamo la velocità in quel punto in

particolare

Ma mai non stiamo utilizzando la struttura di spazio

vettoriale

(qᵢ) = (ρ, θ)

x(t) = ρ(t) cos θ(t)

y(t) = ρ(t) sin θ(t)

ρ(t) = Λ + t

θ(t) = t

∂ρ/∂t = Λ̇ = ρ̇ e ∂θ/∂t = θ̇ = 1

∇_ρ(pᵢ) = ê₁(ρ, θ) + ê₂(ρ, θ)

6 Ottobre 2016

Prodotto scalare

• prodotto scalare standard su ℝ^m
• come si calcola
• significato geometrico
• "matrice metrica"

(z₁, ..., zₘ) ⋅ (y₁, ..., yₘ) = _{j = n}^m∑ x_j y_j

u̅⋅v̅ = (∑ u_i Ê_i) ⋅ (∑ v_j Ê_j) = ∑∑ u_i v_j g_ij

dove g_ij = ê_i ⋅ ê_j

matrice simmetrica

invertibile

matrice metrica

se i Ń, nuova base F̂_i = p_j b_j ê_j

u̅ = ∑ q̅_i F̅_i v = ∑ v̅_j F_j

a̅⋅v̅ = u_i v̇_i ĝ_ij dove ĝ_ij = F̂_i ⋅ F̂_j

Come sono legate g_ij e ĝ_ij

ĝ_ij = (p_jb^a Ê_a) ⋅ (p^b Ê_b) = p_ap^o Eₐ ⋅ Ê_b = p·q·p^o q^a b