Meccanica razionale
Legge di Newton
F = ma - pendolo
Descrizione del moto di un pendolo
x2 + y2 + z2 = l2 - z ≠ 0, siamo nel caso del pendolo piano. Ma in realtà il nostro pendolo non sta cadendo, quindi F + R = ma. La reazione vincolare dipende dalla posizione del corpo. Il punto che costituisce il pendolo si muove su una circonferenza.
θ(t) - mlθ = mgcosθ
Processo
- F = ma
- Vincoli (x(t), y(t), z(t)) → θ(t)
- Parametrizzazione del vincolo
- Equazione del moto
- Linearizzazione
Mi aspetto di trovare una funzione θ(t) con condizioni iniziali θ(t0, θ0, θ(t0) = θ0) e θ'(t0, θ0, θ(t0) = θ'0)
Leggi del pendolo
F = ma - pendolo
Un esempio nelle leggi dei pendoli descrive il moto di un pendolo con x2 + y2 + z2 = l2 e z = 0. Siamo nel caso del pendolo piano e si tratta di vincoli. In realtà, il nostro pendolo non sta cadendo, quindi ⇒ F + P = ma. La reazione vincolare dipende dalla posizione del corpo (si tratta di una forza perpendicolare al vincolo). Il punto che costituisce il pendolo si muove su una circonferenza.
ω(t)mlΘ̈ = mgcosθ
Processo
- F = ma
- Vincoli (x(t), y(t), z(t)) → Θ(t)
- Parametrizzazione del vincolo
- Equazione del moto
- Linearizzazione
Mi aspetto di trovare una funzione Θ(t) con Θ(t₀, Θ̇₀, Θ̈₀) = Θ₀ e Θ̇(t₀, Θ̇₀, Θ̈₀) = Θ̇₀
Moto e soluzione del pendolo
θ(t; j0, θ0, θ0̇) = A cos (√(g/l)e t) + B sen (√(g/l)e t)
meθ̈=mglθ
θ̇(t; j0, θ0, θ0̇) = θ0̇ √(g/l)e sen (√(g/l)e t) + B √(g/l)e cos (√(g/l)e t)
θ̇(t; j0, θ0, θ0̇) = θ0 cos (√(g/l)e t) + θ0̇ √(g/l)e sen (√(g/l)e t) con j0 (θ0̇θ0) - (B √(g/l)e)
Equilibrio dei pendoli
- Equilibrio stabile
- Equilibrio non stabile
Moto di due pendoli
√(g/l)e = ω
θ1̈ = - ω2θ1
θ2̈ = - ω2θ2
ẍ1 = - (ω2 + k) x1 + k x2
ẍ2 = - (ω2 + k) x2 + k x1
y1 = x1 + x2
y2 = x1 - x2
y1̈ = ẍ1 + ẍ2
y2̈ = ẍ1 - ẍ2
y2̈ = - (ω2 + 2k) y2
y1̈ = - (ω2) y1 + ky1
Studio del moto armonico
Quando siamo partiti dai due pendoli, che hanno moto armonico, e poi li abbiamo legati da una molla, abbiamo ottenuto i moti simmetrici, che possiamo disaccoppiare con una sostituzione di x1-x2=y2 e x1+x2=y1.
y1(t;j ẏ1 jÿ1) = y0 cos (√w2+k t) + ẏ0 sen (√w2+k t)
y2(t;j ẏ2 jÿ2) = y0 cos (√w2+3k t) + ẏ0 sen (√w2+3k t)
(ẋ1 ẋ2 ẍ1 ẍ2) ⟶ (ẏ1̇=y1̇+x2̇,...) ⟶x1=1⁄2 (y1+y2)
x2=1⁄2 (y1-y2)
xn(t;j ẋn ẍn x2 ẍ2) = 1⁄2 (xn2+x22) cos (√w2+k t) +ẋn+ẋ2 sen (√w2+k t) + 1⁄2 (ẋ0-ẋ2) cos (√w2+3k t) + ẋ1-ẋ2 sen (√w2+3k t)
Moto armonico del sistema
Nel caso in cui ╲╱╲╱ = moto armonico del sistema con frequenza maggiore.
Figure di Lissajous
Con il cambio di coordinate che abbiamo fatto, vuol dire studiare la posizione del baricentro e la distanza dei due pendoli.
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