Lezioni e riassunti di Idraulica ambientale

Programma del corso

1. Introduzione

Aspetti introduttivi. Concetto di media temporale, media di insieme, autocorrelazione e spettro. Equazioni fondamentali (moto medio, energia cinetica del moto medio, energia cinetica turbolenta).

2. Turbolenza

Modello della cascata dei vortici e scale fondamentali della turbolenza. Turbolenza libera (getti, scie e strati di miscelamento) e turbolenza di parete.

3. Meccanismi di trasporto

Processi di trasporto nei fluidi. Aspetti introduttivi. Diffusione molecolare: legge di Fick, equazione di diffusione, funzione di Green, equazione di diffusione-convezione. Diffusione turbolenta: teoria di Taylor, cenni alla teoria di Batchelor. Dispersione per shear: caso laminare e caso turbolento, equazione di dispersione-convezione.

4. Dispersione fluviale

Processi di trasporto nei fiumi. Introduzione al problema. Valutazione dei coefficienti di diffusione turbolenta. Problemi di dispersione longitudinale.

5. Sedimenti

Trasporto di inquinanti, di nutrienti, di semi e di sedimenti. Trasporto iporreico, modellazione idrodinamica e zonazione chimica riparia. Morfodinamica fluviale. Trasporto solido al fondo ed in sospensione. Principali forme fluviali: ripples, dune, barre e meandri. Fiumi meandriformi e braided. Equazioni della morfodinamica. Ipotesi di acque basse, modelli 2D e 1D. Eco-idraulica: interazione tra processi ecologici e fenomeni idraulici.

6. Seminario Arpa

Dettagli del seminario.

7. Spiegazioni delle esercitazioni

1. Introduzione

Tipologie di inquinanti

• Sali naturali e sedimenti: Sostanze non tossiche che costituiscono un problema solo se in concentrazioni eccessive.
• Calore di smaltimento: Calore smaltito da impianti industriali (e.g. centrali termoelettriche) attraverso opportuni circuiti di raffreddamento. Un problema duale è il rilascio di acqua a temperatura inferiore a quella del corpo ricettore (e.g. scarichi di impianti idroelettrici in zona montana). Variazioni di temperatura innaturali possono danneggiare l'ecosistema.
• Rifiuti organici: Liquami domestici (contenenti sostanze eutrofizzanti, fosforo, azoto etc.) possono essere trattati ed assimilati in corpi idrici sufficientemente estesi dove la diluizione può essere sufficiente a ridurre l'esigenza di ossigeno ai valori naturalmente disponibili attraverso l'ossigeno disciolto nell'acqua. In caso contrario costituiscono una grave fonte di inquinamento.
• Metalli pesanti: I metalli pesanti quali piombo, mercurio e cadmio diventano tossici anche in quantità molto modeste. Presentano problemi legati alla bio-accumulazione attraverso la catena alimentare.
• Sostanze chimiche organiche di sintesi: Degradano molto lentamente e presentano problemi di bio-accumulazione.
• Materiali radioattivi: Tali materiali (e.g. uranio e plutonio) degradano molto lentamente e pongono problemi di immagazzinamento ed accumulo nell'ambiente a lungo termine. Oltre ai pericoli connessi alle radiazioni ionizzanti, queste sostanze presentano anche un livello di tossicità molto alta.

Tipologie di sorgenti

• Sorgenti puntuali: Vengono intese quegli scarichi provenienti da una struttura specificamente progettata per lo smaltimento delle acque di rifiuto di qualche processo industriale o impianto di trattamento. Alla stessa categoria si possono fare appartenere le perdite accidentali (e.g. petrolio delle navi da trasporto o il rilascio di sostanze radioattive da impianti nucleari).
• Sorgenti distribuite: Sono quelle in cui l'inquinante viene immesso nel ciclo idrologico in modo appunto distribuito. Ad esempio è il caso delle fognature bianche urbane, dell'erosione dei versanti, delle piogge acide, delle acque di lavaggio delle strade, etc. Per le sorgenti diffuse il trattamento non risulta in generale possibile. Inoltre, una strategia di gestione di inquinanti diffusi richiede la considerazione del bilancio di massa complessivo della sostanza a partire dal suo rilascio fino alle diverse destinazioni ambientali cui può pervenire.

Processi e scale (spaziali e temporali)

I processi sono caratterizzati da scale temporali e spaziali molto diverse fra loro. Tale grande variabilità, ed i diversi meccanismi fisici alla base dei diversi processi, rende spesso inopportuno l'obiettivo di costruire un modello complessivo del fenomeno. Generalmente è più significativo un approccio differenziato che utilizza modelli diversi per le singole fasi. Il sistema risulta complesso perché le scale spaziali interessano vari processi e hanno un range di variazione elevato.

Processo

• Miscelamento del getto: Fortemente dipendente dalle condizioni iniziali. Fase del miscelamento del getto controllata dalla sua quantità del moto e dagli effetti di galleggiamento associati alle differenze di densità fra effluente e liquido ricevente. Getto se gli effetti di galleggiamento sono trascurabili, Pennacchio se risultano trascurabili gli effetti della quantità di moto iniziale dell’efflusso. Si parla di getto galleggiante se entrambi gli effetti sono comparabili.
• Formazione della nuvola: Superati i primi metri diventa una nuvola che si espande. Entrano quindi in gioco le caratteristiche idrodinamiche dell'ambiente circostante.
• Diffusione turbolenta e dispersione per shear: Fase più lunga ed importante, tipica dei fenomeni ambientali. Scala spaziale fino a 10 km. Scala temporale fino all'ordine dei giorni. Dispersione per shear, in cui diventano fondamentali i gradienti di velocità.
• Trasporto di correnti a grande scala ed effetti integrali e moti ciclici: La natura di tali moti di grande scala dipende dal contesto in cui si lavorano.

Strumenti di analisi

• Stime basate su analisi dimensionale ed esperienza
• Modelli analitici e numerici
• Modelli fisici
• Misure di campo
• Modelli integrati

Notazioni utili

Convenzione indici ripetuti di Einstein: Gli indici ripetuti mi permettono di estendere la sommatoria per i che va da 1 a 3. Se la divergenza fosse uguale a 0 avremo l'equazione di continuità per un fluido incomprimibile. Delta di Kronecker. Matrice delle celerità di deformazione e dilatazione. Ripassare da Idraulica. Teorema Buckingam (pigreco). Equazioni di Navier-Stokes. Differenza tra euleriano e lagrangiano. Equazione di continuità Div V=0

2. Turbolenza

La turbolenza è difficile da determinare, sono vortici che si formano e si scambiano l'uno con l'altro fino ad arrivare a vortici sempre più piccoli dissipando energia. Sono informazioni che si spostano sulle varie traiettorie, difficili da determinare. Fenomeno per cui tutte le grandezze variano e fluttuano in modo caotico. Caos e caso sono cose diverse, queste sono caotiche ma NON casuali. Queste grandezze che fluttuano causano il mescolamento di massa, quantità di moto ed energia, spostandole sulle varie traiettorie.

Definizione di turbolenza

Fenomeno in cui tutte le grandezze (velocità, pressioni, temperature, concentrazioni, ecc.) fluttuano in modo caotico e apparentemente casuale causando il mescolamento di massa, quantità di moto e energia. Per il moto turbolento non si è ancora arrivati alla soluzione di Navier-Stokes, dovremo sempre accontentarci di soluzioni semplificate. Moto tridimensionale.

Instabilità

• Tutti i flussi diventano instabili oltre un certo numero di Reynolds (Re).
• A bassi Re il comportamento è laminare.
• Per alti Re il comportamento è turbolento.
• La transizione avviene tra Re=2000 e Re=10⁶.

I problemi in moto laminare si risolvono di solito con le usuali leggi di bilancio. Per i moti turbolenti i problemi di carattere teorico e computazionale sono spesso troppo grandi (troppe scale spaziali e temporali coinvolte). I moti sono caotici → generano mescolamento, Mixing → quindi abbiamo una dissipazione.

Vorticità

Grandezza che mi dice come ruotano le particelle, i vortici nascono dal fatto che il fluido è fortemente rotazionale. I vortici sono in funzione del numero di Reynolds, nascono per effetto della corrente che investe ostacoli creando turbolenze.

Media temporale

Media temporale, indicata con la sbarretta sopra, è il primo tipo, fisso un punto e guardo cosa capita in quel punto. T è il tempo caratteristico della nostra turbolenza, esiste un tempo sufficientemente lungo per cui è possibile definire la mia media temporale. Dipende dalla scala spaziale e dal fenomeno che sto studiando, possono essere secondi o giorni. Tratteremo dei fenomeni stazionari, in cui la media non dipende del tempo.

Media di insieme

Fisso un punto in un fenomeno ed un tempo e vado a vedere cosa accade e cosa fa la variabile, poi lo faccio per più volte. Operazione lineare (possiamo scambiare gli operatori) Creo una nuova variabile ogni volta che si chiama ad esempio velocità nel punto x* per il tempo T*, avrò tanti valori di questa variabile ma essendo partiti da un valore stocastico avrò una serie di numeri, da cui posso costruire la distribuzione di probabilità della variabile che chiamò u*, ovvero una certa velocità nel punto x* al tempo t*. La media di insieme è quindi un momento del primo ordine, la costruisco come integrale di una variabile per la sua probabilità. La variabile u* è quindi la velocità. Le due media coincidono quando il sistema è ergodico. All'interno dell'ergodicità ci sta anche la stazionarietà.

Covarianza

Mi dice quanto sono legate tra di loro queste grandezze, ma essa non mi basta perché da sola è dimensionata, quindi devo adimensionalizzarla.

Correlazione

Adimensionata, varia tra 0 e 1 e vede bene i legami lineari.

Autocovarianza

Dati due punti mi chiedo quanto sono correlati, se tau aumenta i punti sono sempre più lontani.

Autocorrelazione

Autocorrelazione di un punto con sé stesso è uguale ad 1.

Autocorrelogramma

Ci da un'indicazione riguardo al tipo di segnale. Deterministico: tutti i punti sono correlati tra di loro. Casuale: punti vicini non hanno correlazione tra di loro, sono i punti in cui l'autocorrelogramma va a zero. Fondamentale è l'area al di sotto del correlogramma, scala integrale, se l'aria avrà un valore finito vuol dire che prima o poi il segnale va a zero, quindi le grandezze sono scorrelate fra di loro (teorema di ergodicità).

Spettri

Se abbiamo una qualsiasi funzione, per definizione che può essere trasformata nella somma di seni e coseni, posso quindi prendere la funzione e scomporla in tanti seni e tanti coseni che avranno differenti ampiezze e lunghezze d'onda. Se io riesco a scomporre la mia funzione posso scrivere la funzione come: Se faccio variare in modo continuo le mie frequenze, e quindi prendere tanti sinusoidi, posso passare da un dominio discreto ad uno continuo. Prendo allora tante w e posso passare quindi da una descrizione discreta ad una continua, riuscendo quindi a disegnare lo spettro delle frequenze del mio segnale, che contiene al suo interno tutte le informazioni che conteneva la variabile di partenza. Quindi al posto di avere un segnale turbolento riesco a crearmi degli elementi segnaletici che mi danno informazioni, per cui poi mi disegno lo spettro. w sono le frequenze di oscillazione delle armoniche, che si legano all'energia del segnale turbolento, studio allora la turbolenza capendo quali sono le energie all'interno del segnale.

Decomposizione di Reynolds

Prendo il segnale turbolento e lo divido in due parti, una media di insieme e una parte di fluttuazioni turbolente, ovvero tutte le mie grandezze verranno trattate con la decomposizione. ̃ =< ̃ > + ̃ = + La media delle componenti turbolente è uguale a zero. < > = 0

Equazioni di Navier-Stokes

• Applichiamo la decomposizione di Reynolds ̃ = + Alla prima equazione, ottenendo così:
• Continuità del moto di un fluido incomprimibile
• Continuità del moto medio (dimostrazione con l'applicazione dell'operatore media d'insieme)
• Continuità del moto turbolento (dimostrazione con applicazione della differenza tra la1 e la 2)

Dimostrazione:

Bilancio di quantità di moto medio Scritto anche come: Dimostrazione: Per dimostrarla posso partire dalla seconda equazione di Navier Stokes, applicare la decomposizione di Reynolds e l'operatore media. Attraverso esso, le componenti turbolente scompaiono, l'unica cosa è che si aggiunge una componente nel secondo termine. Riscrivo la solita equazione di Navier-Stokes solo togliendo la tilde sopra ed aggiungendo il terzo termine.

Bilancio di energia cinetica del moto medio

L'energia cinetica del moto medio dipende dal comportamento di 4 cose (termini di energia su unità di tempo):

• Immaginando di integrare su un volume finito, sulla parete la velocità è nulla! Quindi complessivamente non è un termine dissipativo, termine di trasporto.
• Sono dissipazioni di natura viscosa, è un termine negativo che provoca sempre una diminuzione. È una dissipazione in cui l'energia del moto medio viene dissipata in calore, dissipazione viscosa. (energia dissipata in calore tramite viscosità).
• Termine che fa variare la mia energia. Dipende dalla turbolenza, quindi va a contribuire all'energia del moto medio. Che segno ha? Nei moti turbolenti è di solito negativo!! Significa che è un termine di carattere dissipativo, ovvero l'effetto della turbolenza sul moto medio è una dissipazione, cioè la turbolenza ruba energia al moto medio, ma esiste solo se esiste un gradiente di velocità del moto medio, costringendolo a dissipare. Dissipazione turbolenta.
• Dipende dal segno di U3, contribuirà a diminuire o aumentare il valore.

Il termine 3 è molto più grande del termine 2 (esso è 5/6 scale più piccolo), ma non posso trascurare nessuno dei due termini!! Il rapporto tra i due termini è il numero di Reynolds.

Dimostrazione:

Moltiplico per Ui tutti i termini.

Bilancio di energia cinetica turbolenta

L'evoluzione del moto medio dipende dalla turbolenza! Composta da 3 termini, c'è un termine in meno di quella del moto medio. Considerazioni:

• È sparito g: l'energia cinetica del moto medio non dipende dalla gravità.
• Salta fuori di nuovo un termine negativo di dissipazione viscosa.
• è la media delle derivate incrociate, è negativo e fa diminuire ij l'energia media che il moto turbolento ha rubato al moto medio, e lo dissipa in calore.
• Prima il terzo termine era positivo, in questo caso il secondo termine è il solito, ma di segno negativo. È un termine di produzione, ruba energia e produce turbolenza dissipata in calore.

Scale

• Moto medio: gioca sulle scale grandi, hanno ordini di grandezza paragonabili alle dimensioni degli elementi in gioco 6Re circa 10.
• Moto viscoso: L, U, T sono piccole, zone in cui interviene la velocità siamo nel moto laminare, quindi Re piccoli Re circa 1.
• Nel mezzo ci sta la turbolenza.

La turbolenza trasferisce energia dalle scale grandi del moto medio alle scale più piccole del moto viscoso, con la cascata di vortici.

Teoria del Vortex stretching

Immagino che le particelle non solo ruotino, ma vengano anche deformate meccanicamente. Nel momento in cui io metto qualcosa che ruota è logico parlare del vettore del campo di moto della vorticità. Un rotore contiene le derivate della velocità in direzione trasversale, e quindi tensioni tangenziali. Definito allora il concetto di vorticità, dico che la vorticità è responsabile della rotazione delle particelle. Dal punto di vista matematico prendo l'equazione di Navier-Stokes e applico il rotore, operatore lineare, per cui ci lavoro un po' sopra con tutta una serie di passaggi, ottenendo un risultato. Riesco quindi a dedurre l'equazione della vorticità.

Vorticità

È il rotore del campo di moto, derivata delle velocità in direzione tangenziale. Posso capire come si comporta utilizzando Navier-Stokes ed applicando il rotore, tale formula mi descrive come le particelle si comportano.

Equazione della vorticità

Teoria di Kolmogorov

Le microscale sono le scale più piccole della turbolenza. I fenomeni dissipativi avvengono quando le scale diventano piccole, ma tale 'piccolezza' viene definita da queste formule. Le scale dipendono da due termini:

• ε: quantità media di energia dissipata nell’unità di tempo.
• ν: viscosità.

Man mano che il numero di Reynolds aumenta, le scale piccole diventano sempre più indipendenti dalle scale grandi, prima ipotesi di Kolmogorov, e quindi non dipendono dalle condizioni a contorno. Man mano che Reynolds aumenta η diventa sempre più piccola mentre la L resta più o meno costante. Nelle scale piccole non mi occupo di differenti problemi perché tanto sono tutti uguali, cioè la turbolenza alle scale più piccole è uguale dappertutto, non devo sforzarmi di capire ogni singolo problema. Alle piccole scale le grandezze dipendono solo dalla viscosità e dalla dissipazione, le grandezze fondamentali restano queste appena dette (seconda ipotesi). Estrapolando questo ragionamento, cosa capita man mano che passo dalle scale piccole alle scale grandi? Sto passando a scale sempre più grandi e meno importante è la viscosità, quindi la terza ipotesi di Kolmogorov è che le scale grandi dipendono solo dalla scala del fenomeno L ed ε. Ognuna di queste scale L contiene dell’energia che viene trasferita alle piccole scale.