Lezioni e esercizi, Analisi matematica TB

R R R

b b b d

r'(

F ( (t)) _ (t)dt = (t)) _ (t)dt = ('

a a a dt

R b d

per il teorema fondamentale del calcolo integrale

)(t)dt e (' )(t)dt =

a d t

¡ ¡

'( (b)) '( (a)) = '( (a)) '( (a)) = 0.

33

34 Sezione 9

(2)=>(3). Dalla (2) so che 1

8 C ([a; b];

H

tale che una traiettoria chiusa si ha se penso alla traiettoria

0 )

) e F (x)dx = 0

come l'unione di due traiettorie, la prima, che va da a dove e

(a) (p) p(a; b)

R

una seconda che va da a Così facendo posso scrivere

g (p) (b) = (a). F (x)dx =

R R R R

p b p b

0 = F ( (t)) _ (t)dt + F ( (t)) _ (t)dt = F ((t))

_ (t)dt + F (g(t))g

_(t)dt =

a p a p

R R p e se chiamo la traiettoria g ma percorsa al rove-

¡

F (x)dx F (g(t))g

_(t)dt g

1

R R R R

b

scio posso scrivere ¡ ,

F (x)dx F (x)dx = 0 F (x)dx = F (x)dx

g g

1 1

dove, ovviamente, e il punto b è, per , il punto

(a) = (a) = g (b) = (b) g

1 1

di partenza; e dove p è il punto di arrivo sia di che di .

(p) = (p) = g (p) g

1 1

(3)=>(1) Sia una traiettoria tale che

1

x e C ([a; b]; ) (a) = x e (b) =

0 0

R R x

Se denisco con x variabile ho che

x. '(x) = F (y)dy = F ( (t)) _ (t)dt

x 0

per la 3 non dipende da ma solo da e e Mostro che

!

'(x) x x ': R.

0

@ Pongo j=1 e considero il rapporto incrementale

8x

'(x) = F (x) e j = 1; :::; n.

j

@x j

incrementando la funzione solo nella direzione j-esima denendo

)

' (t) = x +

h R

¡

'(x + e ) '(x) 1

te traiettoria tale che si ha lim lim

1

t[0; ] = F (y)dy +

1

i !0 in R !0

R R R R

1 1

lim lim

¡

F (y)dy F (y)dy = F (y)dy = F ((t))

_ (t)dt =

0

!0 !0

R R

1 1

lim dt lim e per il teorema del valor medio

F ((t))e = F (x + t e )dt

1 1 1

0 0

!0 !0

R

1

si può scrivere lim lim con Per

F (x + t e )dt = F (x + e ) = F (x) [0; 1]:

1 1 1 1 1

0

!0 !0

@ @

cui, generalizzando, si ha ) 8j

'(x) = F (x) '(x) = F (x) = 1; :::; n)r' = F :

1 j

@x @x

1 j

x x +

x

0

Esistono campi chiusi ma non esatti.

Nota 144. un campo centrale; cioe

Sia

Teorema 145. 0

n n

!

F : R /f0g R F (x) =

con è esatto.

1 )

'(kxk) x; 'C ([0; +1); R) F

34

Integrali doppi 35

si dice cheE

di insieme connesso per archi. Sia è connesso

Denizione 146. n

E R ;

se tale che

per archi 8x 9

; x E C([a; b]; E) (a) = x e (b) = x :

0 1 0 1

Se è connesso è un intervallo.

Nota 147. ,E

E R; E aperto connesso per archi; sia

Siano

Proposizione 148. n

R e F :

un campo esatto sia un potenziale di

n 1 1

! R e ' C ( ; R) F : ' C ( ;

1 2

un potenziale di tale che

0 ,9kR ¡ 8x

R) e F ' (x) ' (x) = k :

1 2

(1) Dimostro che se è un potenziale di F e

Dimostrazione. ¡

' (x) ' (x) ' (x) =

1 1 2

è un potenziale di F. Se è un potenziale di F e

8x )

k ' ' ' (x) = ' (x) +

2 1 1 2

è un potenziale di F.

) r' r' rk r' )

k (x) = F (x) = (x) + = (x) = F (x) '

1 2 2 2

(2) Dimostro che se e sono potenziali di F . Se

) ¡ 8x

' ' ' (x) ' (x) = k

1 2 1 2

e sono potenziali di F )r(' ¡ r' ¡ r' ¡

' ' ' )(x) = (x) (x) = F (x) F (x) = 0

1 2 1 2 1 2

e denisco e voglio dimostrare che se cost .

¡ r 8x

= ' ' (x) = 0) (x) =

1 2

Siano tale che

1 !

x ; x e C ([ ; ] ) ( ) = x e ( ) =

0 1 0

se denisco tale che 0

1 ) r

x e fC ([ ; ]; R) f (t) = ( (t)) f (t) = ( (t)) _ (t) =

1 è costante

8t[ ) ) ) 8x

0 _ (t) = 0 ; ] f f ( ) = (x ) = f ( ) = (x ) ;

0 1 0

cost è costante.

) ¡

x (x ) = (x ) = = k = ' '

1 0 1 1 2

Se una traiettoria giace su un insieme di livello del potenziale,

Proposizione 149.

il lavoro fatto lungo la traiettoria è puntualmente nullo.

Sia sia insieme

Dimostrazione. n n n

r' fxR

= FC(R ; R ) e E(c) = : '(x) = cgun

di livello per Sia siano dove

! )

': : [ ; ] E(c) e x ; x E(c) ( ) = x e ( ) = x

0 1 0 1

R R R ma se cost

r'( 8t[

F (y)dy = F ( (t)) _ (t)dt= (t)) _ (t)dt '( (t)) = ;

R R e anche

) r'( ) r'( r'(

] (t)) = 0 F (y)dy = (t)) _ (t)dt = 0 (t)) _ (t) =

08t

10 Integrali doppi si dice che

di insieme y semplice. Sia è y semplice se

Denizione 150. 2

A R ; A

6 6 6

tali che

9 8x[a; f(x;

[a; b] e '; C([a; b]; R) '(x) (x) b] eA = y): '(x) y (x);

Si dice, cioé, che un insieme A è y semplice se l'insieme A è compreso tra

x[a; b]g:

due funzioni di x continue e da due segmenti verticali. si dice che

di insieme x semplice. Sia è x semplice se

Denizione 151. 2

A R ; A

6 6 6

tali che

9 8x[a; f(x;

[a; b] e '; C([a; b]; R) '(y) (y) b] eA = y): '(y) x (y)g:

Si dice, cioé, che un insieme A è x semplice se l'insieme A è compreso tra due

funzioni di y continue e da due segmenti orizzontali.

35

36 Sezione 10

Figura 6. Figura 7.

Insieme y-semplice Insieme x-semplice

di insieme semplice. Si dice che è semplice se

Denizione 152. 2

A R A =

dove:

[ [ [

A A ::: A

1 2 n

1. è x-semplice o y-semplice;

8i = 1; :::; nA

i

2. tali che si ha che punti stanno sulla frontiera di di cioé

8i; \

j i =

/ j i A A A o A ;

i j i j

i punti d'intersezione stanno su pezzi di graci di funzioni.

di integrale doppio di funzione continua su un insieme x-semplice.

Denizione 153. 6 6

tale che dove

Sia 2

f(x;

A R A = y): a x b e '(x) < y < (x) '; C([a; b];

¡ ¡

j 1 j k 1

6

con Fisso sia n

R) '(x) (x)8x[a; b]g e fC(A; R): nN, Q = ; X ;

jk n n n

2 2 2

k sia (F è, cioé, una griglia di quadrati aventi lato

?g

2

fQ \

R e F = : Q A =

/

A jk jk A

n

2

1 scelgo un punto

che approssima l'insieme A). .

n n n

8nNe8j; \

k: Q F P A Q

A

jk ¡

P

n

2 1

Formo la somma di Cauchy 2

n n n n

fP \ g)

S(f ; A; n; : P A Q = f (P ) R)

n

2

n

jk:Q F A

jk

limite esiste; ma non ovvio; ma non viene dimostrata esistenza) lim

0 0 9

(tale e l S(f ; A;

n!1

e non dipende dalla scelta dei punti .

tale limite

n n n n

fP \ g)

n; : P A Q = LR P

lim

Dico integrale doppio di f sull'insieme A il n n

fP \

S(f ; A; n; : P A

R R n!1

n g)=L=

Q f (x; y)dxdy.

Se è semplice è chiuso e limitato

Nota 154. 2

) ) 8fC(E

E R E ;

per il teorema di Weistress ha massimo minimo su E se max ff

R) f e E: f = (x;

R R R R

6 6

e min dxdy

g ff g )

y): (x; y)E f = (x; y): (x; y)E f 1 f (x; y)dxdy

E

R R dxdy.

f 1

E Abbiamo detto che

Dimostrazione. n n n

fP \ g)

S(f ; E ; n; : P E Q =

¡ R R

P 1 dxdy ma, se è il valore massimo della fun-

2

n

f (P ) = f (x; y) f

n

2

n

jk:Q F ¡

E P

E

jk 1

>

zione sull'insieme E allora deve valere che 2

n n

8P )

f f(P ) f =

n

2

n

jk:Q F

E

jk

¡ ¡

R R R R

P P

1 1

>

dxdy

2 2

n

f 1 = f 1 f (P ) = f (x;

n n

2 2

n n

jk:Q F jk:Q F

E E

R R R R

E E

jk jk

6

dxdy dxdy dxdy:

)

y) f(x; y) f 1

E E

36

Integrali doppi 37

Analogamente si può dire che essendo n n n

fP \ g)

S(f ; E ; n; : P E Q =

¡ R R

P 1 dxdy ma, se è il valore minimo della fun-

2

n

f (P ) = f (x; y) f

n

2

n

jk:Q F ¡

E P

E

jk 1

6

zione sull'insieme E allora deve valere che 2

n n

8P )

f f(P ) f =

n

2

n

jk:Q F

E

jk

¡ ¡

R R R R

P P

1 1

6

dxdy

2 2

n

f 1 = f 1 f (P ) = f (x;

n n

2 2

n n

jk:Q F jk:Q F

E E

R R R R

E E

jk jk

6

dxdy dxdy dxdy.

)

y) f 1 f (x; y) R R R R

E E 6 6

Mettendo tutto insieme si ha, CVD, dxdy dxdy

f 1 f (x; y)

R R E E

dxdy.

f 1

E di area di un insieme in . Si dice area di la quantità

Denizione 155. 2 2

R E R

R R dxdy.

Area(E)= 1

E proprietà algebriche degli integrali doppi. Siano

Nota 156.

A

una regione semplice;

2

R f ; gC(A; R) e; R:Allora:

R R R R R R

1. ( f + g)(x; y)dxdy = f (x; y)dxdy + g(x; y)dxdy =

R R R R

A A A

f (x; y)dxdy+ g(x; y)dxdy

A A R R R R

6 6

2. Se 8(x; )

f(x; y) g(x; y) y)A f (x; y)dxdy g(x; y)dxdy

A A

R R R R

6

3. jf(x;

f (x; y)dxdy y)jdxdy

A A R R

4. Se sono regioni semplici \ )

A ; A e fC(A A ; R) f (x; y)dxdy +

1 2 1 2

R R R R R R A

1

se intersezione è

0

f (x; y)dxdy = f (x; y)dxdy + f (x; y)dxdy e l R R

[A \A

A A A

2 1 2 1 2

una curva (ad esempio un pezzo di graco di funzione) allora f (x;

\A

R R R R R R A

1 2

y)dxdy = 0) f (x; y)dxdy + f (x; y)dxdy = f(x; y)dxdy

[A

A A A

1 2 1 2

di riduzione per integrali doppi. Siano

Teorema 157.

[a; b] Re '; C([a;

6 6 6 6

tale che siano

8x[a; f(x;

b]; R) '(x) (x) b] e E = y): a x b; '(x)

6 insieme semplice) Se denisco

0 0 0 ¡

y y(x)g(cioe l E e y e fC(E ; R): (x) =

R R R R

(x) b

ho che dxdy

I=

8x[a;

f (x; y)dy b] C([a; b]; R) e f(x; y) = (x)dx =

'(x) a

n o

R R E

b (x) dx:

f (x; y)dy

a '(x) R R

b (x)

(1) I= e sono integrali di

Nota 158. una

(x)dx (x) = f (x; y)dy

a '(x)

variabile.

(2) dipende da mediante la

(x) x f (x;

in quanto nell integrazione viene saturata solo la mediante i due estremi

0

y) y e

d'integrazion