Lezioni e esempi, Analisi matematica I

Prof. Enrico Sanna

INSIEMI - OPERAZIONI e PROPRIETÀ

APPARTENENZA

A = {2, 3, 4} x ∈ A

B = A B è una sottoinsieme di A

INCLUSIONE

A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3}

UNIONE

A ∪ B: {x | x ∈ A ∪ x ∈ B}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

{1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5}

INTERSEZIONE

A ∩ B: {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

A ∩ B = {3}

DIFFERENZA

A - B: {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}

A - B = {1, 2}

B - A = {5}

PRODOTTO CARTESIANO

A x B (A per cilindro B) insiemi di coppie A x B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

A x B = {(u, x), (u, y), (x, x) (x, y), (3, x) (3, y)}

PROPRIETÀ CARATTERISTICA

caratterizza gli elementi di un insieme

{x ∈ X | P(x)}

P(x) ↔ x è pari {x | P(x)}

proposizione = predicato

|x | 2x + 1 = 0 |

IN AMBIENTE UNIVERSO specifica il tipo di oggetto

Se considero Z e un insieme vero {x ∈ Z | ∃x + 1 = 0}

QUANTIFICATORI

∃, ∃x proprietà ∃, ∃x proprietà ∃, è vero per λ, ∀x, ∀x, non è vero, ∀ la mimesi presuppone 2 acc. non è vero. ∃x di tipo a uguale a x = a

x: elemento della frase {non definisco x = a} Questioni quantificano la variabile

∀x (negazioni) quant. universale

∃ quant. esistenziale

Ogni = quantificativo per due cose: un quantificativo, non si possono negare, equivale o differisce.

Tre è importante per ordinare gli oggetti colato se dicono capacità di differenziare tra x, y e z. Per domanda è a ➔ y.

Negazione delle proposizioni quantificate

NOT (∀x P(x)) = ∃x NOT P(x)

NOT (∃x P(x)) = ∀x NOT P(x)

∀x ( ∃y P(x,y) )

∀y ( ∃x P(x,y) )

NOT (∀x ∀y P(x,y)) = ∃x ∃y NOT P(x,y)

∀x ∃y ∀z ∃t P(x,y,z,t)

NOT (∀x ∃y ∀z ∃t P(x,y,z,t)) = ∃x ∀y ∃z ∀t NOT P(x,y,z,t)

Insiemi Numerici

• Numeri naturali: N (somma, prodotto)
• Numeri interi: Z (somma, prodotto, sottrazione)
• Numeri razionali: Q = { p/q | p,q ∈ Z , q≠0 }

Teorema

Tra due razionali, ne esiste sempre un altro (proprietà che non c'è in N e Z)

Dimostrazione

x₁, x₂ → (x₁+x₂)/2

x₁ < (x₁+x₂)/2 < x₂

Q è un insieme "chiuso" di numeri tra due razionali cadono infiniti razionali.

Se x ∈ Q, x ha espansione decimale FINITA o PERIODICA.

• Numeri irrazionali:

⟨Immagine⟩ ≈ √2

non riesco a trasformare in p/q → √2 non è razionale.

Teorema

Non esiste alcuna relazione tra le (p/q)²=2

Dimostrazione (per assurdo)

Esistono p,q tale che (p/q)²=2 p,q ∈ Z q≠0

p²=2q²

→ non devono essere entrambi pari, ma primi tra loro

→ p²,2q²

(2k)²,2q²

4k²,2q²

2k²-q²

2k²-q²-pari-q-pari

q=pari

Assudo, in quando li abbiamo presi non entrambe pari

Teorema

⟨Immagine⟩

Dimostrazione

p ≠ 1

la de ⟨Immagine⟩=3

p,q non devono essere multipli di 3

p²-3q²

p²= multiplo di 3 - p≠ multiplo di 3, p=3k

(3k)²-3q²= 9k²-3q²

3k²-2q²= 9-ac²= multiplo di 3 - q≠ multiplo di 3

Assurdo, in quanto li abbiamo presi NON entrambe multipli di 3

Il teorema di ⟨Immagine⟩ non funziona, poiché se p² è multiplo di 4 non può essere anche p sia multipli di 4

Q è un insieme di infiniti elementi con espansioni decimali, qualcuna... (testo incompleto)

Funzioni

Una funzione ^f da X a Y e' una legge che ad ogni elemento di X fa corrispondere uno ed un solo elemento di Y.

Esempio:

Cambia il modo di pensare, il codominio, ma la funzione è lo stesso.

Immagine/valore che x tramite f

Per sapere f(X) considero tutti i valori di X, e l'immagine di f è tutti i valori.

Se y ∈ Y e ∃ x ∈ X tale f(x) = y y è l'immagine di x

A volte ^f non è definita su tutto X ma solo su un sottoinsieme

g è bijettiva se è sia suriettiva che iniettiva

Graficamente

g è suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale taglia G(g) in almeno un punto.

D: R -> R

V(g) è R

V(x) c'è un valore che g(x) = g

Prendendo un y qualunque devo trovare un punto (x, y) appartenente a C(g)

g è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale taglia C(g) in al più un punto.

Se si dimostra che g è suriettiva si trova che l'equazione ha almeno una soluzione per ∀y.

Se si dimostra che g è iniettiva esiste al più una soluzione.

lim_m→∞ a_m = ±∞

VN a_m è definitivamente > H

VH ∃N t.c. ∀m ≥ N a_m > H

lim_m→∞ a_m = -∞

VN a_m è definitivamente < H

VH ∃N t.c. ∀m ≥ N a_m < H

Casi in cui lim esiste ≠ -∞ (+∞):

lim_m→∞ a_m = (a_n)^m

a_n, a_n-1, a_n-2, a_n-3

Alcuni altro esempi

• lim_m→∞ ³⁄_4m = 0

• lim_m→∞ -¹⁄₈ = 0

• lim_m→∞ ^3m-2⁄_3-4m = ¹⁄₄

LIMITI di una Successione

Definizione: Si dice che una successione è crescente se ∀m: a_m ≤ a_m+1 ∀m.

Decrescente se a_m ≥ a_m+1 ∀m.

Monotona se è solamente crescente o decrescente.

Se si cambiano un num. finito di termini in una successione, le proprietà dei limiti non cambiano. Σ P(m) è definitivamente crescente o decrescente.

Definizione: Si dice che una successione è limitata superiormente se

sup{lim_{m→∞ α}m ∈ Ñ} ∈ ℜ

∀H∈ℜ tale che _αm < H ∀m

(3) _{x -> 2} x² = 4

V

L - ϵ < x² < L + ϵ

e nulla nulla e 2

L - ϵ < x √u + ϵ e dunque

Funzione Continua

∀ϵ_0_x0 lim g(x) ∀ϵ x)_{x -> x0}

x₀ x ¹

funzione continua

• potenze n^o
• polinomi e^x x³ 2^x
• razionali
• p.indefinite

Corollario

Sia g limitata in un intorno c. Sia g tale che lim g(x) ≠ 0

Allora: lim f(x)g(x) = 0

Operazioni tra f(x)g(x) → 0 se e solo se |f(x)g(x)| = 0

f limitata in I(c) ⊆ f

Algebra dei limiti

f, g: I(c) \ {c} ⊆ ℝ

lim f(x) = l

lim g(x) = m

• lim (f(x) ± g(x)) = l ± m
• lim f(x)g(x) = lm
• lim (f(x)/g(x)) = l/m

Regole valgono per l, m ∈ ℝ m ≠ 0 per il quoziente

Teorema

Somma prodotto, quoziente e potenza di funzioni continue sono funzioni continue. (dove esistono)

Forme indeterminate

Non si può stabilire una regola precisa

• [±∞/∞], [∞/0], [0/∞], [∞/∞], [±∞/∞], [1^∞]
• es. lim_x→0 senx/x = lim_x→0 sinx/x = 1/x^∞

ex lim_x→0 (1-cosx)/(x⁰, x^∞) = 1/cos^∞x