Lezioni di Scienza delle Costruzioni 1 (A)

Stato di Sforzo

Man mano che agiscono (compressione) un corpo, osserviamo che, andando all'interno, le forze diventano uniformi per unità di superficie.

Se taglio il solido trasversalmente, osserviamo che l'andamento delle forze non è più uniforme.

Definizione di Sforzo

• \(\Delta F_t\) = risultante forze
• \(\Delta M_t\) = risultante momento

\[\lim_{\Delta A_t \to 0} \frac{\Delta F_t}{\Delta A} = \lim_{\Delta A\to 0} \frac{\Delta M_t}{\Delta A} = S(\sigma_{n1}, \sigma_{n2}, \sigma_{n3})\]

Tetraedro di Cauchy

• \(\sigma_m \cdot dx_s = -G_{n4} dx_2 dx_3 - G_{24} dx_1 dx_3 + l_1
• = -ds dx_s (\sigma_m - \sigma_{n4}) \frac{d x_1}{ds} - G_{21} \frac{d x_1}{ds} = 0

\[\sigma_m : G_{n4} \frac{\partial x}{\partial s} + G_{n4} \frac{\partial x}{\partial s} = G_{n1} \text{ cos } \alpha + G_{21} \frac{\partial m}{\partial d}\]

Altro stesso modo si arriva a \(G_{m2}\)

• \(G_{m1} = G_{n1} m_1 + G_{21} m_1\)
• \(G_{m2} = G_{21} m_1 + G_{21} m_2\)

• PASSO QUAL α PRINCIPALI

σ_x σ_y SONO DIREZIONI PRINCIPALI DI SFORZO

QUESTE DETERMINANO X₁ E X₂ OVVERO DIR.

PRINCIPALI DI SFORZO

DIR. PUNC. DI SFORZO

RICAVO LA DIPENDENZA DI α

σ_n = σ_x cos²α + 2σ₁₂ &sin;α&cos;α + σ_y &sin;²α

σ_n = (σ_x - σ_y) ½ sin2α + σ₁₂ (cos²α - sin²α)

σ₁₂ = 0;

(σ₁₂ - σ_n) sin2α + 2σ₁₂ cos2α = 0

tg2α = &frac72 σ₁₂

σ₁ - σ₂

· Dopo una serie di calcoli, si arriva a:

2 ε₁₂ = u_2,1 + u_1,2 + U_2,1U_1,2 + α₁₂u_1,2

- Ricavo equ. di congruenza:

ε_ij = 1/2 (u_j,i + u_i,j + Σ U_k,j^oU_k,j)

Nelle piccole deformazioni si trascurano i termini quadratici,

· quindi:

2 Eε_i,j^o = χ_i,j

- Derivo:

e_11,22 = u_1,1,22

e_22,11 = u_2,2,11

2 ε₁₂ = -u_12,12 + u_1,2,12

ε_11,22 + ε_11,11 = 2 ε_12,12 => Eq. indeterminate di congruenza

Le equ. indep. di congr. sono condizioni di integrabilitá del sistema di equazioni di conv. Se è definito il modo oggetto si deforma in modo continuo senza punti angolosi poichè deformature e lutte.

Δ₁₂ = Δ₁ + Δ₂ + (ⁿ)/₁) => trascurabile

= ln + Δ₁ + ε₁₁ + ε₁₂

(schizzo grafico)

Criteri Elastici

Mat. Elasto Fragile:

raggiunta la σ si rompe

Mat. Elasto Plastico:

raggiunta la σ si snerva scaldando

rimane un po’ allungato.

Criterio Galileo:

oltre i bordi il materiale si rompe

Criterio di Tresca:

il materiale si snerva a causa delle τ ci sono due σ

Conclusioni:

• σ1 - σ2 ≤ σ
• σ1 - σ3 ≤ σ
• σ2 + σ3 ≤ σ

Torsione

• Agiscono un sist. di forze che danno vita a un momento torcente

M_T = ∫_A (r₃ x₂ x₁ - r₃ x₁ x₂) dA

Eq. di equilibrio:

• r₃₄, r = 0
• r₃₁, r ≥ 0
• r₃₂, r + r₂₃, r = 0

→ Per rispettare, le r devono essere costanti rispetto x₃

Eq. di equilibrio su sup. laterale:

∫₃ M₄, r + r₃ M₂, r = 0

→ Verificare se

M_T = ∫_o H/(x₁ + x₁ ²) dA

M_T = H S_P → H = M_T/S_P

Le C Dinamiano:

(r₃₁, r = M_r/S_E x_l)

(r₃₂, r = M_T/S_P x_a)

Proporzionalità:

[r₃₄] [H_xl][r₃₂] [M_x]

Deformazioni:

₁₂ = 0

₃₃ = ^M/_EJ3 x₂

₃₄ = 0

₃₃ = 0

_AA = ^-M_A/_E x₂

Spostamenti:

u_1r = ^-M_A/_EJ1 x₂ → u₁ = ^-M_A/_cJ1 x₁ + ƒ(x₂/x₃)

u_2r = ^-M_A/_EJ2 x₂ → u₂ = ^-M_A/_EJ1 x²₂ + ƒ(x₃,x₄)

u_3r = ^M_A/_EJ3 → u₃ = ^M_A/_EJ3 x₃ + ƒ(x₃,x₄)

Derivo e sommo:

u₁ = 0

u₂₊₃ + u₂₊₄ = 0

u₁₊₃ + u₄ = 0

Derivo e ottengo:

_AA = ^-M_A/_EJ1 →

r_1,31 = 0

r_2,3 + r_1,32 = 0

r_2,3 = 0

Riscrivo l:

l₁(x₁,x₃) = A₁x₂ + B₁x₃ + C₁x₆x₃

l₂(x₁) = A₁x₁ + B₂x₂ + C₂x₇x₃ - ^M₁/_EJ1 x1²/2 + ^-M_A/_EJ1 x²/2

l₃(x₁,x₂) = B₃x₁x₇x ₂ - B₃x₂x₃ + C₃x_{A E}

TAGLIO FLESSIONE

Il momento non è costante ma varia.

Noi ci limitiamo al caso retto con V_z, V_y, M_x.

EQ. DI EQUILIBRIO:

• σ_IM - σ_IZ = τ_X2 = τ_X1 = 0
• σ₃₃ ≠ 0
• τ₃₁ ± 0

➔ COMPONENTI TAGLIANTI COSTANTI

COND. AL CONTORNO:

∫_A τ_z dA = ∫_A τ_z dA = 0

DEFINISCO σ₃₃:

σ₃₃ = M_I / S_N1 = T₂ X_j / S_N2

METODO DI SOURAWSKI:

Verificare che T₁ = M_T = 0.

Poiché questo è un caso complesso si preferisce renderlo approssimato.

O IMPONDO EQUILIBRIO:

∫₀ σ₃₃ b(x) + ∫_A (σ₃₃ + G32x2) dA^* = ∫_B1 e_A Gtz dA^* = 0

+ ∫_ya d_x + ∫_e σ₃₃ dA^* = 0

Plasticità

Descrizione: Dato l'esempio:

Allora: _{f e} = 2_F Se:

_N2 = _FL/₊N

_N1 = ₊N

_mx = _MAh/_{S12 M1} = _bh²/6_G^mx

₊₆

₊²_-6

_KE = _Mc/_ES = _bh²/12

_L/E = _/b12

Fattore di forma

₊ ^{/ M}_C/₌₁/₅