Lezioni di Scienza delle Costruzioni 1 (A)

STATO DI SFORZO

Mettendo a reazione (compressione) un corpo osserveremo come a riguardo all'interno le forze diventino uniformi per unità di superficie.

Se taglio il solido trasversalmente osservo che l'andamento delle forze non è più regolare.

DEFINIZIONE DI SFORZI:

• ΔF_n risultante forze
• ΔM_n risultante momento

ΔF_n / ΔA_n

ΔM_n / ΔA_n

lim ( ΔF_n / ΔA_n )

lim ( ΔM_n / ΔA_n )

Sforzo → S_c, S_m, S_s

TETRAEDRO DI CAUCHY:

Imponendo equilibrio:

S_m dS dx₃ - S_n dx₂ dx₃ - 6₂ dx₁ dx₃ + f₁ dx₁

6_m1 - 6_m2 m₂ + 6₂ m₁ = 6_mn + 6_m2 m₂ + 6_m1

6_m2 + 6₂ m₂ + 6_m2 m₂

6₁ / dS = 6₁ / dS + 6₂ dS₁

Al bordo si annulla a 6_m2

Stato di Sforzo

Mettendo a reazione (compressione) un corpo, osserviamo come a riguardo all'interno le forze diventano uniformi per unità di superficie.

Se taglio il solido tra-vesalmente osserviamo che l'andamento delle forze non è più regolare.

• Definizione di sforzi:
  • ΔF_n: risultante forze
  • ΔM_n: risultante momento

Sforzo: σ_n (σ_n1, σ_n2, σ_n3)

Tetraedro di Cauchy:

Imponendo equilibrio:

σ_n dS dx₃ - G_n dx₂ dx₃ - G_2a1 dx₂ dx₃ + ... = 0

...

• S_n = G_n ...
• alzi spesso modo, se annua a σ_n2
  • σ_n1 - σ_n1 m₁ + G_2a1 m₁
  • ...

Passo α

Queste direzioni sono direzioni principali di sforzo.

Queste determinano x₁ e x₂ ovvero dir. principali di sforzo.

Ricalco la dipendenza di α:

(σ_{x y} ²) + 2 (σ_x - σ_y) cos² α) + 2σ_xysen² α)

dσ_xy/dα = 0

(σ_zz - (σ_x1 - α) sen 2α + 2σ_x2 cos 2α = 0

tg 2α = 2τ_xy/(σ_x - σ_y)

Cerchi di Mohr

Una volta che ci assumiamo un piano di sforzo possiamo ridisegnare...

Definiamo il raggio del cerchio

• Quindi:

Ottenuto cerchio di Mohr:

Convenzione

Rotazione attorno agli assi:

• Se ruoto la sezione di taglio ottengo valori diversi di sigma e t
• Quest’osso fatto a turno su tre assi definisco 3 cerchi di Mohr distinti.
• L’arbele fa gruppo coordinato dello stato di tensione del mio cerco az i valori della direzione
• Ordon gli nominal M
• La massa la raggio il dei cerchi più grande a punti diametralmente oppue corrispondono facce ortogonali

Eq. caratteristica del tensore sforzo:

det(S_m = ₁⁄₆) ➔ definisce il modulo di S

{σ₁₁ - σ, σ₂₁, σ₃₁}

{σ₁₂, σ₂₂ - σ, σ₃₂} {m₁} {λ₁ = 0}

{σ₁₃, σ₂₃, σ₃₃ - σ} {m₃}

σ̄ = 1₁ 6^-2 | 1₂ 1₂ σ ₁ = 0 ➔ Eq. caratteristica di sforzo

{I₁ = σ₁₁ + σ₂₂ + σ₃₃}

{I₂ = σ₁₁ σ₂₂ + σ₁₂ σ₂₃ + σ₃₃ σ₁₁ - (σ₁₂² + σ₂₃² + σ₃₁²)}

{I₃ = det|σ_ij|}

Questi si dicono invarianti dello stato di sforzo.

Es.:

{σ₁ ➝ q₂₃ σ₂} {ε_nat σ₁₄}

{σ₁}

Metodo grafico

R₂₁ ➝ x_k

Eq. di Equilibrio

Si fa riferimento a un corpo di volume V e superficie A, con forze dovute alle massa ρ_i e forze esterne f_i:

Eq. di equilibrio:

∫_V ρ_i dV + ∫_A f_ij dA = 0 → Eq. di equilibrio

Conseguenze:

G_ij - G_(s)(i) → Se il corpo è in equilibrio vale questa condizione

Stato di Deformazione

Definisco allungamento:

Δ_i = (L - L₀)/L₀ → È adimensionale

Deformazione angolare:

γ₁₂ = γ_n + δ₂

tan δ₁₂ = tan (γ₁ + γ₂)

≅ γ₁·γ₂ + cos γ₁ + cos γ₂ - sin δ₂

R₀ = L₀ d_x