Appunti delle lezioni di Scienza delle costruzioni 1

ESAME:

• SCRITTO 2, 3 esercizi
• ORALE

1. Studio i solidi tridimensionali deformabili

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2. Problema di de Saint-Venant (esercizi d'esame) "Corpo a cilindro. Studiamo le deformazioni e le tensioni se vengono applicate forze alle basi (estremi)."

Come devo fare in modo che non cada?

GEOMETRIA DELLE AREE in 2-DIMENSIONI

Come posso caratterizzare questo dominio? È grande o piccolo? AREA DEL DOMINIO A

A = ∫_D 1 dA

A = ∫₀^24H ∫₀^H 1 dx₁dx₂ = [X₁]₀^24H [X₂]₀^H = 24 ⋅ H = 24H²

Ex

Baricentro (G)

è unico dove si trova il dominio

r-vettore posizione = {x₁, x₂}

x_G = {x_1G, x_2G} x_G = ¹/_A ∫_D x dA

È la media di tutti i vettori posizione

Integrale di valore è la somma dell'integrale delle componenti X₁, X₂ di ogni singolo vettore

X = ¹/_A

x_A = ¹/₂₄ ∫²⁴₀ x₁ X_A = [ ^X_A/₂ ]²⁴₀ = [ ²⁴/₂ - 0 ] = 12

X_G = ¹/_A b x²_G = ¹/_24²

Momento Statico

S = A . x_G

Momento di Inerzia

quanto l'asse è distante dal baricentro e in che direzione si trova

V = v₁ a₁ + v₂ a₂

{ 0, a₁, a₂ } base di uno spazio vettoriale

L = l₁₁ a₁ ⊗ a₁ + l₁₂ a₁ ⊗ a₂ + l₂₁ a₂ ⊗ a₁

↑ Valore di un'applicazione lineare

Come scoprire se è un Tensore?

Mv = 2V

♦ verifica se rispetta la combinazione lineare

M(V + βW) = 2(V + βW) = 2V + 2βW = Mv + βMW ✓

∀ B, W ∈ un tensore

Prodotto Tensore

(^V⊗^V ) u = (w . ̅ w ) v(̅a ₐ ⊗ a_̅aₐ) u = (a₁ . ̅ u) a₁

A _r Σ_B J_n O_n = Ā_r G_T J_n Ā Õ

Che relazioni c'è tra i valori?

Devo conoscere v_G che è la posizione delle origini.

A e Ā sono uguali. Non dipende da S. di RIF

u + ṙ = r

^B ∫ _B ṙ = ∫_B (v + u)

_S = ∫_B ṙ₀ + ∫_B u = ∫_B - S¹d = S₁ + μ

ī_B = ∫_BD u

S = S¹ + Aμ

J = ∫_B rΩr = ∫_B (r^'1 ⊗ u) (n¹ + u) = ∫_B r¹ ⊗ n¹ + ∫_B r² ⊗ u + ∫_B u⊗

μγηr = ∫_B x ∫_B u⊗u

J̅ = J¹ + S¹⊗μ + μ⊙S + A(μ⊗μ) = Formula di Huygens

CASO PARTICOLARE:

• μ = r_G
• SISTEMA DI RIF., BARCENTRATO
• O ≡ G

A _r G_Σ = A _r G ⊗ A μ ⇒ A _r G = O ⇒ S¹ = O

J = J¹_G + μ⊗ O + O⊗ μ + A _r G⊗_{r c} G = J¹ + A _r G⊗_{r c}

Disegnare l'ellisse in modo qualitativo

1. Disegnare il baricentro

   r_g = ¹/_A (S₁ + S₂) = ¹/_A (A₁r_G1 + A₂r_G2)

   Il baricentro si troverà sul segmento che unisce baricentri, più spostato verso la massa con l'area maggiore (in maniera proporzionale)

   r_G = ¹/_A ∑ A_ir_i

2. Disegnare gli assi principali

   Ruotato sugli assi principali, l'inerzia è massima o minima

   Devo capire tra gli assi passanti per il baricentro, quale tra essi mi consente di avere più lontano o più vicino la massa

3. p = ¹/_AB d² = ¹/_A(d²_maxA) ≤ 4 d²_max

   p ≅ 0,5, 0,6 d_max

autoconsistenza

\[0 , V\]

\[||V || - ||V || \]

1 VV

\[ || V || \]

\[ VV \]

\[\frac{VV}{|V|^2} \]

\[\varepsilon C = Sym = \left( \begin{matrix} \varepsilon_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_{33} \end{matrix} \right) \]

Gli elementi fuori diagonale rappresentano rotazioni d’angolo

Quanto è ampio il nuovo angolo Φ?

\[ FW \cdot FV = (|W| |V|)\cos Φ = \cos Φ \]

\[ Φ = \cos^{-1} (FW \cdot FV ) = Φ(0) + Φ \rightarrow |M = \frac{\Pi}{2} - 2 \varepsilon V \cdot W \]

\[ V \cdot W = \frac{(\frac{\Pi}{2} - Φ)}{2} \]

V · W = 0

| V | = | W | = 1

\[\varepsilon_{21} = \frac{\Pi}{2} \] della rotazione d’angolo tra asse 1 e 2

\[\varepsilon_{23} = \] [...] tra 2 e 3

e ecc.

\[ \varepsilon_{i,j} = \frac{\Pi}{2} della rotazione d’angolo tra l’asse i e j \]

\[\left( \begin{matrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{matrix} \right) \]

Applichiamo la divergenza e il rotore in 3D

flusso = ∮_∂D V • n

CIRCOLAZIONE ∮_∂D V • t

Div V = lim_D→0 (1/Vol(D) ∮_∂D V • n)

Rot V = lim_D→0 (1/Vol(D) ∮_∂D V • t)

= { (V_2,1-V_2,3)V_1,3-V_3,1V_2,1-V_1,2 }nel piano 2,3nel piano 1-3nel piano 1,2

V = grad φ

∮_∂D V • t = ∮_∂D G • dφ • t

∮_∂D rot V = 0 perciò il cammino è chiuso

Quando V=grad φ è semplice soluzione se e solo se rot V = 0

grad_{loc grad} Vforma allo stesso punto ma «non diversi»

(φ è discussione, non)

G • grad U → equazione in 3D è risolvibile ⇔ rot G = 03 x 3 equazioni

parte solo soleta per compon_enti:forma precedente G_i,j= ∂Ni/_∂xj

per i=1 G_{1, 3} = ∂U₁/∂x₃ … ha soluzione se rot G₁ = 0

per i=2 G_{2, 3} = ∂U₂/∂x₃ … ha … se rot G₂ = 0

per i=3 G_{3, 3} = ∂U₃/∂x₃ … d ” … rot G₃ = 0

G = Grad U ha soluzione se il Rotore di G è 0 in ogni riga

∫_Ω T : ε(v) = ∫_Ω b v + ∫_∂Ω t ⋅ v

∀ v rappresenta la derivata nulla

- PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

- PRENDIAMO V = una traslazione

ε(v) = 0 (non c'è deformazione)

⇒ ∫_Ω T : ε(v) = 0 ⇒ ∫_Ω b v + ∫_∂Ω t ⋅ v

[SCHEMA DI TUTTE LE FORZE AGENTI SUL CORPO]

∫_Ω (b + ∫_∂Ω t)v = 0

- PRENDIAMO

V = ⍵ x (x - o)

⍵ - veloc. angolare

[ROTAZIONE]

ε(v) = 0

= grad V = W = 0

O = ∫_Ω ⍵ x (x - o) + ∫_∂Ω t ⋅ ⍵ (x - o)

= ∫_Ω t (x - o) x t

= 0 perché è la somma dei momenti agenti su un corpo

- PRENDIAMO V generico

T : ε(v) = T_ij ε_ij (V) = T_ij 1/2 (V_{i, j} + V_{j, i})

vero se V è simmetrico

= T_{ij, j} V_i = (T_{iS V} )_{, j} - T_{iS, j} V_i

= Div (T V) - Div T ⋅ V

∫_Ω T : ε(v) = ∫_Ω Div (TV) - Div T ⋅ V

= T⋅v m = ∫_∂Ω Div T ⋅ V

∫_∂Ω

O = ∫_Ω (Div (T + b) ⋅ V + ∫_∂Ω (-t ⋅ m + t ⋅ t^T ) v