Lezioni Scienza delle costruzioni

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Appunti di lezioni ed esercitazioni del corso triennale di scienza delle costruzioni. Statica e cinematica, modello trave di Timoshenko, principio linea elastica e PLV, sforzi e tensioni di …

Esame Scienza delle costruzioni

Facoltà Ingegneria civile ambientale e territoriale

Dal corso del Prof. Bolzon Gabriella

Università Politecnico di Milano

A.A. 2016-2017

240 pagine

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Estratto del documento

ESERCITAZIONE

I corpi sono schematizzati come assi piani vogliamo calcolare le proprietà delle sezioni.

GEOMETRIA DELLE AREE

MOMENTO STATICO O DEL I^° ORDINE:

Rispetto all'asse z:
Rispetto all'asse y:

dell'intera area A

Rispetto all'asse z:
Rispetto all'asse y:

BARYCENTRO:

G = (y_G, z_G) è legato al momento statico,

Se il SoIR è centrato nel baricentro di A, allora gli assi sono ASSI BARICENTRALI

N.B. Se 7 assi di simmetria

MOMENTO DEL II^° ORDINE

MOMENTO D'INERZIA (sempre ≥ 0)

(rispetto all'asse z)

(rispetto all'asse y)

ESERCITAZIONE

I corpi sono schematizzati come aree piane.Vogliamo calcolare le proprietà delle sezioni.

GEOMETRIA DELLE AREE

MOMENTO STATICO O DEL I° ORDINE

rispetto all'asse z
rispetto all'asse y

rispetto all'asse z:
rispetto all'asse y:

BARYCENTRO: \(G = (y_g, z_g)\) è legato al momento statico,

\(z_g = \frac{S_y}{A}\)

\(y_g = \frac{S_z}{A}\)

Se il S_olR è centrato nel baricentro di A, allora gli assi sono ASSI BARICENTRICI

\(S_y = S_z = 0\)

N.B. Se \(\exists\) ASSI DI SIMMETRIA \(\Rightarrow S_y = S_z = 0\) è un asse baricentrali

MOMENTO DEL II° ORDINE

MOMENTO D'INERZIA (sempre \(>0\))

\(I_z = \int y^2 \, dA\)

\(I_y = \int z^2 \, dA\)

> RAGGI GIRATORI D'INERZIA [ℓ²] SEMPRE >0

ρ_z = √(I_z/A) ρ_y = √(I_y/A)

> MOMENTO POLARE D'INERZIA:

I_p = ∫_A r²dA

per ie Sdr, y e z ∃ un asse 1 passanti per p:

r = √(z² + y²) → r² = y² + z²

I_p = ∫_A (y² + z²)dA = I_z + I_y

> MOMENTO CENTRIFUGO [ℓ³]

I_zy= ∫_A (zy)dA ¬ ≧ 0

NB: Se I_zy = 0 → ∃ un asse di simmetria e il baricentro si trova su di esso

ESEMPIO 1. Calcolo momento d'inerzia per sezione rettangolare

I_z = ∫_A y² dA = ∫_-b/2^b/2 ∫_-h/2^h/2 y² dy dz =

=b ∫_-h/2^h/2 y² dy = b &left[ y³/3 &right]_-h/2^h/2

=b h³/12

I_y = ∫_A z² dA = ∫_-b/2^b/2 ∫_-h/2^h/2 z² dz dy =

=h ∫_-b/2^b/2 z² dz = h &left[z³/3 &right]_-b/2^b/2

=b · b³/12

TH. DEL TRASPORTO: mette in relazione i momenti d'inerzia ai due SDR paralleli tra loro:

( I_y' I_z' I_yz' ) ↔ ( I_y I_z I_yz )

I_z' = ∫_A z'² dA z' = (y' + y"_G)

y' = (y + y_G^') y_G^' = costante

⇔ ∫_A(y + y_G^' - I_z + y_G^' · y_G^'·A)

SDR baricentrica - Se = 0

I_zy' = ∫_A ∫(zy)dA z' = (z + z_G)

= ∫_A (z + z_G²)(z + z_G)dA = I_z + z_G² · A

I_YZ^' = ∫_A (y' + y_G^')(z + z_G)dA =

∫_A(yz)dA + y_G^'·z I_z ² + 4 ∫_GdA · A

+ Z (z_G·A)

N.B.

I momenti d'inerzia calcolati in un SDR baricentrico, sono MOMENTI D'INERZIA MINIMI

α positivo antiorario

M = zcosα + qsenαq = -zsenα + qcosα

I_m = ∫_A q²dA = ∫_A (-zsenα + qcosα)²dA == sen²α ∫_A z²dA + cos²α ∫_A q²dA - 2senαcosα ∫_A zqdA == (_{I_y}/¹) (1 - cos2α)I_y + (_{I_z}/²) (1 + cos2α)I_z - (sen 2α) I_yz == (_{I_z + I_y}/²) - (_{I_z - I_y}

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