Lezioni, Scienza delle costruzioni

3 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO:

o serve a calcolare le singole componenti di spostamento.

PLV:

o

- Lavoro: è la proiezione della forza lungo lo spostamento (Forza x Spostamento)

- Lavori virtuali: non sono reali x' le F è fittizia (solo ipotizzata) mentre gli spostamenti sono reali.

S* -> statiche fittizia S^ -> cinematica congruente

- Le: lavoro esterno derivante da carichi virtuali (la struttura elastica si deforma ed immagazzina

energia se sottoposta ad Le; se tolgo il carico l'energia si rilascia.

∙ ^

1

- Li: deformazioni interne dovute all'energia distribuita immagazzinata in una trave elastica

∗

2 4 ∙ 4

=

∆ =

- Le = Li = 1* f^ = Li = 0 nei corpi rigidi -> curvatura (c'é sempre se c'é M)

χ

χ

• 5 ∙ 6

5

- Allungamento della struttura:

- Rigidezza assiale della molla: k = v: coeff. di Poisson

- Legame costitutivo: = E lo stato di sforzo è triassiale: = = - vεzz

σzz ε εxx εyy

•

- Strutture reticolari: strutture isostatiche formate da più triangoli isostatici con solo azione assiale,

no Taglio o Momento; si comportano come superaste (TIRANTI: tese; PUNTONI: compresse)

lo = lo

- Se un'asta viene riscaldata uniformemente si allunga di = a ∆t

∆l ε

TH • • •

-5

= coeff. di dilatazione termica -> CLS = ACCIAIO = 1,1 10 [1/°C]

ε ε

ε

TH TH TH •

si basa sul concetto di spostamento;

CINEMATICA, il processo deformativo:

o

analizziamo le deformazioni sotto carico ma non le lacerazioni della materia. In ogni punto associo

− ?

> = ?

8=8 ( ; ; )

un vettore spostamento: P -> P' s = (Xp ; Yp ; Zp) @ A

B = C − C

< = < ( ; ; )

7 7 @ A

=== ( ; ; ) D = E − E

- Campo di spostamento: (componenti di s): r (raggio vettore) = @ A

8 8 F ∙ 8 8 ∙

-. -I

-% -%

GHGA 2

- Esempio: = X - X = + + o∆x = - =

z

∆x ∆x ∆u ∆x εxx ∆x

Q P Q P Q P •

|O

N = NO + ∙ > + ∙ B + ∙ D +

FO FO

-I -I -I

M @

K -% -( -)

|O

= QO + ∙ > + ∙ B + ∙ D +

Q FO FO →

-R -R -R

@

L -% -( -)

- Funzione di Taylor a più variabili: Landau

K |O

= SO + ∙ > + ∙ B +

S ∙ D +

FO FO

-T -T -T

J @ -% -( -)

- Gradiente di spostamento: M è fatta da moto rigido (traslazione e rotazione) e deformazioni

-I -I -I

X [

-% -( -)

W Z

-R -R -R

W Z

-% -( -)

W Z

M = -T -T -T

V Y

-% -( -)

Ogni matrice quadrata può essere vista come somma di una matrice simmetrica (tensore delle

T T

piccole DEFORMAZIONI: E = E ) ed una emisimmetrica (tensore delle piccole ROTAZIONI: W = - W ).

T T

M = ( M + M ) + ( M - M ) -> M = E + W -> S = S + M . r = S + W . r + E . r

Q P P

γ γ 0 a + b a + b

-I -R -I -T

TENSORE DELLE PICCOLE DEFORMAZIONI:

X [

o X [

%% xy xz -( -% -) -%

W Z

W Z

γ γ

ε W a + b Z

0 -R -T

W Z

((

yx yz W Z

W Z -) -(

E = W =

γ γ

ε V Y

cde − d 0

V Y

))

zx zy ε -I -R -T

-% -( -)

: EQ. DI CONGRUENZA: = = =

- dilatazioni lineari ε ε ε

(varia il volume ma non la forma) a + b a + b

XX YY ZZ

-I -R -R -T

-( -% -) -(

- distorsioni angolari : = =

ε ε

(varia la forma perché cambiano gli angoli)

a + b XY YZ

-T -I

-% -) = + = 2e

0 f 8 = f

0 ∙ ?h

g a b g

= Scorrimenti angolari:

?h

ε XY XY XY

ZX (% %(

i

g g

0 0 ∙ Ch

Ch

f < = f

%( (%

0 ==0

0 0 0

- Dilatazione angolare: E = r = 0 −j −k

0 j k

0 j 0

g i l l l

k − 0

- In 2D: Sp = r = W . r = W = (f r) =

f f

Λ Λ

omogenei: le proprietà sono uguali da punto a punto isotropi: in un punto, le proprietà sono uguali in tutte le direzioni

γ

= − ∙ ( + )

È la relazione tra e vale per materiali elastici, lineari e isotropi.

m R

M = ' /t

LEGAME COSTITUTIVO: σ ε,

o nn

xx (( ))

K %(

xy

o o γ = ' /t

ε = − ∙ ( + )

m r

R

pp

yy ()

yz

%% ))

L o o γ = ' /t

SFORZI TANGENZIALI:

SFORZI NORMALI: K ε = − ∙ ( + )

m R )%

qq

J zx

zz %% ((

o o

ε = D E D: matrice di rigidezza

RELAZIONE LINEARE TRA SFRORZI E DEFORMAZIONI: σ •

o -1

D = C = C Ad uno sforzo uniassiale corrisponde una deformazione triassiale.

ε σ σ ε

• 1/5 −</5 −</5

f X [

%% %%

M x M x

−</5 1/5 −</5 ⋮ 0

f W Z

K K K K

(( ((

−</5 −</5 1/5

f W Z

… …

)) ))

… ⋮ …

W Z '

L w L w

1/t 0 0

W Z

- Matrice di Cedevolezza: C = = %(

%( '

K K K K

0 1/t 0

0 ⋮

W Z ()

() J ' v

J v V 0 0 1/tY %)

%) (1

| } f = ∙ + <) − ∙ ( + + )

= − ∙ + + ∙ < − ∙ <

< ~ €

nn

{{ %% %% (( ))

5 5 5

5 • •

• ∙ +2tf '

->

ε %% %% %( %(

•: deformazioni -> sforzi = = 2Gf

○

oR o

LEGAME INVERSO: H

o ( ƒ R)∙ ( „ R) ( ƒ I)

Costante di Lamiè = [modulo] G = Modulo di taglio:

| + + }

%% (( ))

(1

= ∙ + <) − ∙ ( + + ) = ∙ f + ∙ ∙

f

: deformazione volumetrica =

○

H (heta) ~ € • ‡• • H

nn

%% %% (( )) %% %%

• • (…†€) (…†€)

= 2t ∙ f + ∙ = 2t ∙ f + • ∙

->

Dimostrazione: ○

∗ •€ H H

%% %% %% %%

(… † €)∙ (…‰Š€) = 2 f

->

○ ○

( f + f + f + 2' f + 2' f + 2' f ) Q ∙ 5 ∙ f

‹

( -> il lavoro è un prodotto scalare perché )

INTRODUZIONE AL LAVORO:

o %% %% (( (( )) )) %( %( () () %) %)

R R R

Le = Li = = =

fu il primo a studiare il solido trave.

DE SAINT VENANT:

o

- La trave è un solido cilindrico snello che fluttua nel vuoto e non è vincolato a terra; è soggetto ad

un sistema di forze autoequilibrate applicate solo sulle due basi estreme (mantello scarico) e non

ha peso proprio (è trascurabile rispetto ai carichi che deve sopportare).

∙ f)

- Il problema strutturale: O : ,

GNI PROBLEMA STRUTTURALE HA COME ELEMENTI EQUILIBRIO CONGRUENZA E

(E In 3D, in ogni punto ho: 6 , 6 e 3 quindi

LEGAME COSTITUTIVO DEFORMAZIONI SFORZI SPOSTAMENTI

∙ ' = 0

servono 15 equazioni x avere unicità di soluzione. Œ )%

Œq

r Œ ∙• HŽ

qp

Œq

* EQUILIBRIO: 3 : le 3 eq. Ind. Ridotte per ipotesi

SPOSTAMENTI Œ Œ Œ

∙• ƒ ∙• ƒ ∙m HŽ

nq pq qq

Œn Œp Œq

-I -R -T

-% -( -)

* CONGRUENZA: 6 : le 3 equazioni di congruenza: = = =

ε ε ε

DEFORMAZIONI a + b a + b a + b

XX YY ZZ

-I -R -R -T -T -I

-( -% -) -( -% -)

le 3 distorsioni angolari: = = =

ε ε ε

XY YZ ZX γ

= − ∙ ( + )

m R

M = ' /t

nn

xx (( ))

K %(

xy

o o γ = ' /t

ε = − ∙ ( + )

m r

R

pp

yy ()

yz

%% ))

L o o γ = ' /t

: normali tangenziali

* LEGAME COSTITUTIVO: 6 K ε

SFORZI = − ∙ ( + )

m R )%

qq

J zx

zz %% ((

o o

ε

- Principio di De Saint Venant: solo per solidi elastici, omogenei ed isotropi (no legno)

Se la trave è snella, lo stato di sforzo dipende solo dalle caratteristiche di sollecitazione (risultanti

M, N e T) e non dall'effettiva presenza degli sforzi (vincoli), purché ci si allontani dalle basi di una

lunghezza di estinzione (1,5 max 2 del diametro della sezione).

- Metodo seminverso: è il metodo adottato per risolvere il problema strutturale e consiste nel

partire da un'ipotesi a priori e cercare una soluzione nell'ambito delle cubiche; per il teorema di

= • ∙ C = − • ∙ ? ∙ C − ∙ ?

•% •(

Kirchhoft "la soluzione, se esiste, è unica" risolvo una equazione e ho la soluzione per tutte e 15.

)) )) ‘% ‘(

Costante di deformazione: C = Mx/Ix -> = =

+ ∙B− ∙ >

’ •“ •”

)) $ ‘“ ‘”

= (-> 1 az. assiale sposta l'n; 2 M la rendono obliqua)

- Formula trinomia: − ∙>+ ∙B+ > ( ∙ )∙B+ ∙ ∙ •–

•” •“ ’ •“ ‘” ’ ‘(

‘” ‘“ $ •” ‘“ $ •(

Forma esplicita: a b c = 0 -> = 0 =

x+ h+

Momenti Flettenti Momenti d'Inerzia e: quanto è distante n da G

tgq è il coeff angolare di tgq = - tga

h

- Diagramma degli sforzi: si fa su una fondamentale a n (n è obliqua). Si mettono le coordinate

⊥

degli assi principali nella formula trinomia punto per punto. Gli sforzi raggiungono valori max e

min allontanandosi perpendicolarmente dall'asse neutro nel punti più lontani farò la verifica agli

sforzi ammissibili.

- Flessione semplice: nel caso di flessione semplice (un solo momento)

≠

‘”

l'asse neutro coincide con l'asse principale. Questo può accadere

‘“ ' '

1

anche quando ho 2 momenti ma è molto raro perché in genere

)) )% )(

'

- Ipotesi sullo stato di sforzo: esiste solo e, eventualmente, gli sforzi tangenziali e .

%% (( %(

= = = 0 perché la trave è similabile ad uno spaghetto.

- I 6 casi: distingue 6 casi indipendenti in cui sono applicate 6 eq. di equilibrio; poi, per la sovrapp.

= → E → ˜ = ™ ›œ

’

degli effetti, ottiene la soluzione finale con la combinazione lineare delle soluzioni dei 6 casi.

)) šš

œ

$

=•∙C → • = → = •∙C∙C →

* 1° CASO - flessione attorno all'asse neutro: m

qq

))