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Dimostrazione di simmetria: equilibrio : F = 0 e M = 0 lungo tutti i tre assi dA = dx dz

∗ Σ Σ •

braccio - dx dz dy/2 - (τyx dx dz dy/2 + dτyx dx dz dy/2 ) +

τyx • • • • • • • • •

+ dx dz dx/2 + (τxy dx dz dx/2 + dτxy dx dz dx/2) = 0

τxy • • • • • • • • •

Infinitesimi di ordine sup -> trascurabili

- 2 dx dz dy/2 + 2 dx dz dx/2 + 0 = 0

τyx τxy

• • • • • •

dx dz dy/2 = 2 dx dz dx/2

G 2 τxy

τyx • • • • • •

=

τ τ

xy yx -> facendo gli stessi calcoli anche per le altre facce

= =

τ τ τ τ

xz zx yz zy

autovalori : sforzi principali autovettori: direzioni principali n

AUTOVALORI, AUTOVETTORI: σ

i i

o − ' '

n = tn -> ( - ) n = 0 ammette anche soluzioni non banali se det ( - ) = 0

Tp Tp

Tp σ σ

%% %( %)

I I

• •

• •

' − '

(% (( ()

' ' − 3 2

- + - = 0

( Tp - ) = - Equazione caratteristica:

σ σ σ

Iσ I I I I I

I )% )( ))

• 2

= det ( - + ) = 0

Tp -> se è 0 -> σ σ

I I I Iσ I I

' ' '

= + + (traccia della matrice degli sforzi -> somma dei termini sulla diagonale)

* + * + * +

σxx σyy σzz

I %% %( (( () %% %)

' ' '

(% (( )( )) )% ))

= det + det + det < <

σ σ σ

I I I I I I I I

Diagonalizzazione: una matrice diagonale ha i termini non nulli solo sulla diagonale. Una matrice

- •

T

T' = B T B è diagonalizzabile solo se è una quadrata di ordine n con n autovalori distinti.

- Stato di sforzo piano: quanto det T p = 0 le t sono su un unico piano e quella uscente è nulla.

- Stato di sforzo idrostatico: quanto T p è già diagonale -> = = -> qualsiasi n va bene

σ σ σ

I I I I I I

La funzione di un punto spostato di x + dx è // alla funzione nel punto

-.

FORMULA DI TAYLOR:

o -%

originario + la derivata F (x + dx) = f(x) + dx

Mi = 0 -> le 3 eq. di rotazione portano alla simmetria del T p

-

Σ -(

Fi = 0 -> (t - y) dxdz + ty dxdz + ty dydxdz + F dxdydz -> fatto per tutti e tre gli assi

Σ • • • •

- - -

-% -( -)

tx dxdydz + ty dxdydz + tz dxdydz + F dV= 0

• • • •

- - -

-% -( -)

tx + ty + tz + F = 0 -> annotazione vettoriale

servono a bilanciare le F di V

3 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO:

o serve a calcolare le singole componenti di spostamento.

PLV:

o

- Lavoro: è la proiezione della forza lungo lo spostamento (Forza x Spostamento)

- Lavori virtuali: non sono reali x' le F è fittizia (solo ipotizzata) mentre gli spostamenti sono reali.

S* -> statiche fittizia S^ -> cinematica congruente

- Le: lavoro esterno derivante da carichi virtuali (la struttura elastica si deforma ed immagazzina

energia se sottoposta ad Le; se tolgo il carico l'energia si rilascia.

∙ ^

1

- Li: deformazioni interne dovute all'energia distribuita immagazzinata in una trave elastica

2 4 ∙ 4

=

∆ =

- Le = Li = 1* f^ = Li = 0 nei corpi rigidi -> curvatura (c'é sempre se c'é M)

χ

χ

• 5 ∙ 6

5

- Allungamento della struttura:

- Rigidezza assiale della molla: k = v: coeff. di Poisson

- Legame costitutivo: = E lo stato di sforzo è triassiale: = = - vεzz

σzz ε εxx εyy

- Strutture reticolari: strutture isostatiche formate da più triangoli isostatici con solo azione assiale,

no Taglio o Momento; si comportano come superaste (TIRANTI: tese; PUNTONI: compresse)

lo = lo

- Se un'asta viene riscaldata uniformemente si allunga di = a ∆t

∆l ε

TH • • •

-5

= coeff. di dilatazione termica -> CLS = ACCIAIO = 1,1 10 [1/°C]

ε ε

ε

TH TH TH •

si basa sul concetto di spostamento;

CINEMATICA, il processo deformativo:

o

analizziamo le deformazioni sotto carico ma non le lacerazioni della materia. In ogni punto associo

− ?

> = ?

8=8 ( ; ; )

un vettore spostamento: P -> P' s = (Xp ; Yp ; Zp) @ A

B = C − C

< = < ( ; ; )

7 7 @ A

=== ( ; ; ) D = E − E

- Campo di spostamento: (componenti di s): r (raggio vettore) = @ A

8 8 F ∙ 8 8 ∙

-. -I

-% -%

GHGA 2

- Esempio: = X - X = + + o∆x = - =

z

∆x ∆x ∆u ∆x εxx ∆x

Q P Q P Q P •

|O

N = NO + ∙ > + ∙ B + ∙ D +

FO FO

-I -I -I

M @

K -% -( -)

|O

= QO + ∙ > + ∙ B + ∙ D +

Q FO FO →

-R -R -R

@

L -% -( -)

- Funzione di Taylor a più variabili: Landau

K |O

= SO + ∙ > + ∙ B +

S ∙ D +

FO FO

-T -T -T

J @ -% -( -)

- Gradiente di spostamento: M è fatta da moto rigido (traslazione e rotazione) e deformazioni

-I -I -I

X [

-% -( -)

W Z

-R -R -R

W Z

-% -( -)

W Z

M = -T -T -T

V Y

-% -( -)

Ogni matrice quadrata può essere vista come somma di una matrice simmetrica (tensore delle

T T

piccole DEFORMAZIONI: E = E ) ed una emisimmetrica (tensore delle piccole ROTAZIONI: W = - W ).

T T

M = ( M + M ) + ( M - M ) -> M = E + W -> S = S + M . r = S + W . r + E . r

Q P P

γ γ 0 a + b a + b

-I -R -I -T

TENSORE DELLE PICCOLE DEFORMAZIONI:

X [

o X [

%% xy xz -( -% -) -%

W Z

W Z

γ γ

ε W a + b Z

0 -R -T

W Z

((

yx yz W Z

W Z -) -(

E = W =

γ γ

ε V Y

cde − d 0

V Y

))

zx zy ε -I -R -T

-% -( -)

: EQ. DI CONGRUENZA: = = =

- dilatazioni lineari ε ε ε

(varia il volume ma non la forma) a + b a + b

XX YY ZZ

-I -R -R -T

-( -% -) -(

- distorsioni angolari : = =

ε ε

(varia la forma perché cambiano gli angoli)

a + b XY YZ

-T -I

-% -) = + = 2e

0 f 8 = f

0 ∙ ?h

g a b g

= Scorrimenti angolari:

?h

ε XY XY XY

ZX (% %(

i

g g

0 0 ∙ Ch

Ch

f < = f

%( (%

0 ==0

0 0 0

- Dilatazione angolare: E = r = 0 −j −k

0 j k

0 j 0

g i l l l

k − 0

- In 2D: Sp = r = W . r = W = (f r) =

f f

Λ Λ

omogenei: le proprietà sono uguali da punto a punto isotropi: in un punto, le proprietà sono uguali in tutte le direzioni

γ

= − ∙ ( + )

È la relazione tra e vale per materiali elastici, lineari e isotropi.

m R

M = ' /t

LEGAME COSTITUTIVO: σ ε,

o nn

xx (( ))

K %(

xy

o o γ = ' /t

ε = − ∙ ( + )

m r

R

pp

yy ()

yz

%% ))

L o o γ = ' /t

SFORZI TANGENZIALI:

SFORZI NORMALI: K ε = − ∙ ( + )

m R )%

qq

J zx

zz %% ((

o o

ε = D E D: matrice di rigidezza

RELAZIONE LINEARE TRA SFRORZI E DEFORMAZIONI: σ •

o -1

D = C = C Ad uno sforzo uniassiale corrisponde una deformazione triassiale.

ε σ σ ε

• 1/5 −</5 −</5

f X [

%% %%

M x M x

−</5 1/5 −</5 ⋮ 0

f W Z

K K K K

(( ((

−</5 −</5 1/5

f W Z

… …

)) ))

… ⋮ …

W Z '

L w L w

1/t 0 0

W Z

- Matrice di Cedevolezza: C = = %(

%( '

K K K K

0 1/t 0

0 ⋮

W Z ()

() J ' v

J v V 0 0 1/tY %)

%) (1

| } f = ∙ + <) − ∙ ( + + )

= − ∙ + + ∙ < − ∙ <

< ~ €

nn

{{ %% %% (( ))

5 5 5

5 • •

• ∙ +2tf '

->

ε %% %% %( %(

•: deformazioni -> sforzi = = 2Gf

oR o

LEGAME INVERSO: H

o ( ƒ R)∙ ( „ R) ( ƒ I)

Costante di Lamiè = [modulo] G = Modulo di taglio:

| + + }

%% (( ))

(1

= ∙ + <) − ∙ ( + + ) = ∙ f + ∙ ∙

f

: deformazione volumetrica =

H (heta) ~ € • ‡• • H

nn

%% %% (( )) %% %%

• • (…†€) (…†€)

= 2t ∙ f + ∙ = 2t ∙ f + • ∙

->

Dimostrazione: ○

∗ •€ H H

%% %% %% %%

(… † €)∙ (…‰Š€) = 2 f

->

○ ○

( f + f + f + 2' f + 2' f + 2' f ) Q ∙ 5 ∙ f

( -> il lavoro è un prodotto scalare perché )

INTRODUZIONE AL LAVORO:

o %% %% (( (( )) )) %( %( () () %) %)

R R R

Le = Li = = =

fu il primo a studiare il solido trave.

DE SAINT VENANT:

o

- La trave è un solido cilindrico snello che fluttua nel vuoto e non è vincolato a terra; è soggetto ad

un sistema di forze autoequilibrate applicate solo sulle due basi estreme (mantello scarico) e non

ha peso proprio (è trascurabile rispetto ai carichi che deve sopportare).

∙ f)

- Il problema strutturale: O : ,

GNI PROBLEMA STRUTTURALE HA COME ELEMENTI EQUILIBRIO CONGRUENZA E

(E In 3D, in ogni punto ho: 6 , 6 e 3 quindi

LEGAME COSTITUTIVO DEFORMAZIONI SFORZI SPOSTAMENTI

∙ ' = 0

servono 15 equazioni x avere unicità di soluzione. Œ )%

Œq

r Œ ∙• HŽ

qp

Œq

* EQUILIBRIO: 3 : le 3 eq. Ind. Ridotte per ipotesi

SPOSTAMENTI Œ Œ Œ

∙• ƒ ∙• ƒ ∙m HŽ

nq pq qq

Œn Œp Œq

-I -R -T

-% -( -)

* CONGRUENZA: 6 : le 3 equazioni di congruenza: = = =

ε ε ε

DEFORMAZIONI a + b a + b a + b

XX YY ZZ

-I -R -R -T -T -I

-( -% -) -( -% -)

le 3 distorsioni angolari: = = =

ε ε ε

XY YZ ZX γ

= − ∙ ( + )

m R

M = ' /t

nn

xx (( ))

K %(

xy

o o γ = ' /t

ε = − ∙ ( + )

m r

R

pp

yy ()

yz

%% ))

L o o γ = ' /t

: normali tangenziali

* LEGAME COSTITUTIVO: 6 K ε

SFORZI = − ∙ ( + )

m R )%

qq

J zx

zz %% ((

o o

ε

- Principio di De Saint Venant: solo per solidi elastici, omogenei ed isotropi (no legno)

Se la trave è snella, lo stato di sforzo dipende solo dalle caratteristiche di sollecitazione (risultanti

M, N e T) e non dall'effettiva presenza degli sforzi (vincoli), purché ci si allontani dalle basi di una

lunghezza di estinzione (1,5 max 2 del diametro della sezione).

- Metodo seminverso: è il metodo adottato per risolvere il problema strutturale e consiste nel

partire da un'ipotesi a priori e cercare una soluzione nell'ambito delle cubiche; per il teorema di

= • ∙ C = − • ∙ ? ∙ C − ∙ ?

•% •(

Kirchhoft "la soluzione, se esiste, è unica" risolvo una equazione e ho la soluzione per tutte e 15.

)) )) ‘% ‘(

Costante di deformazione: C = Mx/Ix -> = =

+ ∙B− ∙ >

’ •“ •”

)) $ ‘“ ‘”

= (-> 1 az. assiale sposta l'n; 2 M la rendono obliqua)

- Formula trinomia: − ∙>+ ∙B+ > ( ∙ )∙B+ ∙ ∙ •–

•” •“ ’ •“ ‘” ’ ‘(

‘” ‘“ $ •” ‘“ $ •(

Forma esplicita: a b c = 0 -> = 0 =

x+ h+

Momenti Flettenti Momenti d'Inerzia e: quanto è distante n da G

tgq è il coeff angolare di tgq = - tga

h


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti per la preparazione dell'esame di Scienze delle costruzioni, prof Fedele, statica 2, terzo anno
Appunti presi da tutte le sue lezioni ed integrati con gli argomenti non spiegati durante le lezioni presi dagli appunti cartacei del professore

Argomenti trattati:
Ripasso lezioni di statica 1,
cinematica
legame costitutivo
legame inverso
lavoro
de saint venant (i 6 casi)
cerchio di mohr
linea elastica
casi notevoli


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze dell'architettura
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher sgri90 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Scienza delle costruzioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Fedele Roberto.

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