Lezioni, Scienza delle costruzioni

Deformazione, sforzo e rigidezza assiale

∇ = numero puro definito in percentuale.

Deformazione: εε (epsilon) o 2 2 = 10 Kg/cm (tensioni - stress) = 1 MPa = 1N/1mm

Sforzo: σo K = F / [N/mm]

Rigidezza assiale: ∇lo

Diagramma degli sforzi e delle deformazioni

• Acciaio: materiale simmetrico duttile e resistente.

Sforzo di snervamento: = = 200 MPa -> deformazione residua σo σy εp (yelding) = = 400 MPa (20% σu σmax εu)

Modulo di Young: E = 210 GPa = 210.000 MPa -> pendenza del ramo elastico = E = σ / ε ε σ/E

• Coefficiente di Poisson: v = 0,3

• CLS: materiale asimmetrico, quasi fragile e mai elastico. Resiste molto meno a trazione che a compressione (σ = 1/10).

σT C = 3 MPa (0,1% = 30 - 40 MPa (1 - 2 % σmax εu) σmax εu) (TRAZIONE) (COMPRESSIONE)

E = 25 GPa = 25.000 MPa -> modulo di Young v = 0,2 -> coefficiente di Poisson

-5 -1

Coefficiente di dilatazione termica: = = 1 x 10 [°C ] = a a a ε ∇T CLS ACCIAIO TH

Criterio di verifica delle tensioni ammissibili

• Criterio di verifica delle tensioni (sforzi) ammissibili:

σo = |σmax| = safety factor è il coefficiente di sicurezza = 1,2 - 1,5 σ ammissibile γ < (gamma)

Equazioni di equilibrio della trave

• = - q = - q T = Taglio: derivata del momento. Derivata taglio: carico distribuito ∙ ∙ ETV: T - (T + dT) - qdx = 0 2 2

ER (p): - M + (M + dM) + q dx /2 - Tdx = 0 -> q dx /2 -> infinitesimo ordine sup.

È riferito a un punto e varia al variare del punto (campo tensoriale).

Il tensore degli sforzi

• Termini sulla diagonale provocano una distorsione // alle facce; gli altri termini sono taglianti alle facce e provocano delle deformazioni.

- Ipotesi di Cauchy: T è in funzione del punto e della normale T (p ; n)

T = [t ; t ; t ] = + + = t σ σ σ 1 2 3 11 12 13 1

Si rifà a Newton ma riguarda sforzi e dA.

Azione e reazione locale

• Fissato P e ruotando il piano in modo che il n si giri nel suo opposto, ℑ ∙ anche t sarà il suo opposto.

t (p ; n) = - t (p ; - n) ∙ ℑ ∙

Dimostrazione: n = - n' As = ∗ (porzione laterale di area) ∙ ℑ ∙

t(p;n) dA + t'(p;n') dA + = 0

• • Tende a 0 perché se schiaccio il cilindro (tipo lattina) h = 0, P si avvicina a P' e n = - n'

Premessa: A X = b

Teorema del tetraedro (Cauchy)

3x3 3x1 3x1

• Fissato P, al variare di n -> tn = Tp n T = [tx; ty; tz]

• Dimostrazione: schiacciando il lato obliquo verso l'origine, mantenendo però l'inclinazione, ∗ + + volume e area tendono a 0 mantenendo però la relazione che c'è tra le varie aree.

|| n || = 1 = Ax = Anx Ay = Any Az = Anz

F + tn A + (t - x) Ax + (t - y) Ay + (t - z) Az = 0 Vol • • • • • !

#Vol F + tn A + (t - x) Anx + (t - y) Any + (t - z) Anz = 0 • • • • • $ •

+ tn + (t - x) nx + (t - y) ny + (t - z) nz = 0 • • •

tn = (t + x) nx + (t + y) ny + (t + z) nz • • •

tn = Tp n -> T = [tx; ty; tz] n = [nx; ny; nz] • •

Direzioni principali di sforzo

In generale tn è obliquo rispetto ad n, ma esistono giaciture principali in cui tn // n. In questi casi le facce rimangono // e Tp è simmetrica. (Tp = Tp)

Dimostrazione di simmetria: equilibrio: F = 0 e M = 0 lungo tutti i tre assi dA = dx dz ∗ Σ Σ •

Braccio - dx dz dy/2 - (τyx dx dz dy/2 + dτyx dx dz dy/2) + τyx • • • • • • • • •

+ dx dz dx/2 + (τxy dx dz dx/2 + dτxy dx dz dx/2) = 0 τxy • • • • • • • • •

Infinitesimi di ordine sup -> trascurabili

- 2 dx dz dy/2 + 2 dx dz dx/2 + 0 = 0 τyx τxy • • • • • •

dx dz dy/2 = 2 dx dz dx/2 G 2 τxy τyx • • • • • •

= τ τxy yx -> facendo gli stessi calcoli anche per le altre facce

= = τ τ τ τ xz zx yz zy

Autovalori, autovettori

Autovalori: sforzi principali. Autovettori: direzioni principali n.

σi io − ' ' n = tn -> (-) n = 0 ammette anche soluzioni non banali se det (-) = 0 Tp TpTp σ σ %% %( %) I I • •• •

' − '(% (( ()' ' − 3 2- + - = 0 (Tp -) = - Equazione caratteristica: σ σ σ I σ I I I I II )% )( )) •

2 = det (- + ) = 0 Tp -> se è 0 -> σ σ I I I I σ I I' ' '

= + + (traccia della matrice degli sforzi -> somma dei termini sulla diagonale) * + * + * + σxx σyy σzz I %% %( (( () %% %)' ' '(% (( )( )) )% ))

= det + det + det < < σ σ σ I I I I I I I I

Diagonalizzazione

Una matrice diagonale ha i termini non nulli solo sulla diagonale. Una matrice - •• TT' = B T B è diagonalizzabile solo se è una quadrata di ordine n con n autovalori distinti.

- Stato di sforzo piano: quanto det T p = 0 le t sono su un unico piano e quella uscente è nulla.

- Stato di sforzo idrostatico: quanto T p è già diagonale -> = = -> qualsiasi n va bene σ σ σ I I I I I I

Formula di Taylor

La funzione di un punto spostato di x + dx è // alla funzione nel punto originario + la derivata F (x + dx) = f(x) + dx

Mi = 0 -> le 3 eq. di rotazione portano alla simmetria del T p -Σ -

-(Fi = 0 -> (t - y) dxdz + ty dxdz + ty dydxdz + F dxdydz -> fatto per tutti e tre gli assi Σ • • •

- - --% -( -)tx dxdydz + ty dxdydz + tz dxdydz + F dV = 0 • • • •

- - --% -( -)tx + ty + tz + F = 0 -> annotazione vettoriale

Servono a bilanciare le F di V.

3 equazioni indefinite di equilibrio

• Serve a calcolare le singole componenti di spostamento.

PLV

• Lavoro: è la proiezione della forza lungo lo spostamento (Forza x Spostamento).

- Lavori virtuali: non sono reali x' le F è fittizia (solo ipotizzata) mentre gli spostamenti sono reali.

S* -> statiche fittizia S^ -> cinematica congruente

- Le: lavoro esterno derivante da carichi virtuali (la struttura elastica si deforma ed immagazzina energia se sottoposta ad Le; se tolgo il carico l'energia si rilascia. ∙ ^1

- Li: deformazioni interne dovute all'energia distribuita immagazzinata in una trave elastica ∗ 2 4 ∙ 4 = ∇ =

- Le = Li = 1* f^ = Li = 0 nei corpi rigidi -> curvatura (c'è sempre se c'è M) χχ • 5 ∙ 65-