Lezioni, Scienza delle costruzioni

∆

= numero puro definito in percentuale.

DEFORMAZIONE: ε

ε (epsilon)

o 2 2

= 10 Kg/cm

(tensioni - stress) = 1 MPa = 1N/1mm

SFORZO: σ

o K = F / [N/mm]

RIGIDEZZA ASSIALE: ∆l

o DIAGRAMMA DEGLI SFORZI E DELLE DEFORMAZIONI:

o

- ACCIAIO: materiale simmetrico duttile e resistente.

sforzo di snervamento: = = 200 MPa -> deformazione residua

σo σy εp

(yelding)

= = 400 MPa (20%

σu σmax εu)

modulo di Young: E = 210 GPa = 210.000 MPa -> pendenza del ramo elastico = E =

σ ε ε σ/E

•

coefficente di Poisson: v = 0,3

- CLS: materiale asimmetrico, quasi fragile e mai elastico. Resiste molto meno a trazione che a

compressione (σ = 1/10 ).

σ

T C

= 3 MPa (0,1% = 30 - 40 MPa (1 - 2 %

σmax εu) σmax εu)

(TRAZIONE) (COMPRESSIONE)

E = 25 GPa = 25.000 MPa -> modulo di Young v = 0,2 -> coefficente di Poisson

-5 -1

- COEFFICIENTE DI DILATAZIONE TERMICA: = = 1 x 10 [°C ] =

a a a

ε ∆T

CLS ACCIAIO TH •

CRITERIO DI VERIFICA DELLE TENSIONI (sforzi) AMMISSIBILI:

o σo =

|σmax | = safety factor è il coefficiente di sicurezza = 1,2 - 1,5

σammissibile γ

< (gamma)

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO DELLA TRAVE:

o = - q

= - q

T =

Taglio: derivata del momento Derivata taglio: carico distribuito

∙ ∙

ETV : T - (T + dT) - qdx = 0 2 2

ER (p) : - M + (M + dM) + q dx /2 - Tdx = 0 -> q dx /2 -> infinitesimo ordine sup.

è riferito ad un punto e varia al variare del punto (campo tensoriale). I

TENSORE DEGLI SFORZI:

o termini sulla diagonale provocano una distorsione // alle facce; gli altri

termini sono taglianti alle facce e provocano delle deformazioni.

- Ipotesi di Cauchy: T è in funzione del punto e della normale T ( p ; n )

T = [ t ; t ; t ] = + + = t

σ σ σ

1 2 3 11 12 13 1

Si rifà a Newton ma riguarda sforzi e dA.

AZIONE E REAZIONE LOCALE:

o

Fissato P e ruotando il piano in modo che il n si giri nel suo opposto,

ℎ ∙

anche t sarà il suo opposto. t ( p ; n ) = - t ( p ; - n )

∙ℎ∙

Dimostrazione: n = - n' As =

∗ (porzione laterale di area)

∙ℎ∙

t(p;n) dA + t'(p;n') dA + = 0

• •

tende a 0 perché se schiaccio il cilindro (tipo lattina) h = 0, P si avvicina a P' e n = - n'

Premessa: A X = b

TEOREMA DEL TETRAEDRO (Cauchy): 3x3 3x1 3x1

•

o

Fissato P, al variare di n -> tn = Tp n T = [tx; ty; tz]

•

Dimostrazione: schiacciando il lato obliquo verso l'origine, mantenendo però l'inclinazione,

∗ + +

volume e area tendono a 0 mantenendo però la relazione che c'è tra le varie aree.

|| n || = 1 =

Ax = Anx Ay = Any Az = Anz

F + tn A + (t - x) Ax + (t - y) Ay + (t - z) Az = 0

Vol • • • • •

!" #

Vol F + tn A + (t - x) Anx + (t - y) Any + (t - z) Anz = 0

• • • • •

$ • + tn + (t - x) nx + (t - y) ny + (t - z) nz = 0

• • •

tn = (t + x) nx + (t + y) ny + (t + z) nz

• • •

tn = Tp n -> T = [tx; ty; tz] n = [nx; ny; nz]

• •

In generale tn è obliquo rispetto ad n, ma esistono giaciture

DIREZIONI PRINCIPALI DI SFORZO:

o T

principali in cui tn // n . in questi casi le facce rimangono // e Tp è simmetrica. (Tp = Tp )

Dimostrazione di simmetria: equilibrio : F = 0 e M = 0 lungo tutti i tre assi dA = dx dz

∗ Σ Σ •

braccio - dx dz dy/2 - (τyx dx dz dy/2 + dτyx dx dz dy/2 ) +

τyx • • • • • • • • •

+ dx dz dx/2 + (τxy dx dz dx/2 + dτxy dx dz dx/2) = 0

τxy • • • • • • • • •

Infinitesimi di ordine sup -> trascurabili

- 2 dx dz dy/2 + 2 dx dz dx/2 + 0 = 0

τyx τxy

• • • • • •

dx dz dy/2 = 2 dx dz dx/2

G 2 τxy

τyx • • • • • •

=

τ τ

xy yx -> facendo gli stessi calcoli anche per le altre facce

= =

τ τ τ τ

xz zx yz zy

autovalori : sforzi principali autovettori: direzioni principali n

AUTOVALORI, AUTOVETTORI: σ

i i

o − ' '

n = tn -> ( - ) n = 0 ammette anche soluzioni non banali se det ( - ) = 0

Tp Tp

Tp σ σ

%% %( %)

I I

• •

• •

' − '

(% (( ()

' ' − 3 2

- + - = 0

( Tp - ) = - Equazione caratteristica:

σ σ σ

Iσ I I I I I

I )% )( ))

• 2

= det ( - + ) = 0

Tp -> se è 0 -> σ σ

I I I Iσ I I

' ' '

= + + (traccia della matrice degli sforzi -> somma dei termini sulla diagonale)

* + * + * +

σxx σyy σzz

I %% %( (( () %% %)

' ' '

(% (( )( )) )% ))

= det + det + det < <

σ σ σ

I I I I I I I I

Diagonalizzazione: una matrice diagonale ha i termini non nulli solo sulla diagonale. Una matrice

- •

•

T

T' = B T B è diagonalizzabile solo se è una quadrata di ordine n con n autovalori distinti.

- Stato di sforzo piano: quanto det T p = 0 le t sono su un unico piano e quella uscente è nulla.

- Stato di sforzo idrostatico: quanto T p è già diagonale -> = = -> qualsiasi n va bene

σ σ σ

I I I I I I

La funzione di un punto spostato di x + dx è // alla funzione nel punto

-.

FORMULA DI TAYLOR:

o -%

originario + la derivata F (x + dx) = f(x) + dx

Mi = 0 -> le 3 eq. di rotazione portano alla simmetria del T p

-

Σ -(

Fi = 0 -> (t - y) dxdz + ty dxdz + ty dydxdz + F dxdydz -> fatto per tutti e tre gli assi

Σ • • • •

- - -

-% -( -)

tx dxdydz + ty dxdydz + tz dxdydz + F dV= 0

• • • •

- - -

-% -( -)

tx + ty + tz + F = 0 -> annotazione vettoriale

servono a bilanciare le F di V

3 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO:

o serve a calcolare le singole componenti di spostamento.

PLV:

o

- Lavoro: è la proiezione della forza lungo lo spostamento (Forza x Spostamento)

- Lavori virtuali: non sono reali x' le F è fittizia (solo ipotizzata) mentre gli spostamenti sono reali.

S* -> statiche fittizia S^ -> cinematica congruente

- Le: lavoro esterno derivante da carichi virtuali (la struttura elastica si deforma ed immagazzina

energia se sottoposta ad Le; se tolgo il carico l'energia si rilascia.

∙ ^

1

- Li: deformazioni interne dovute all'energia distribuita immagazzinata in una trave elastica

∗

2 4 ∙ 4

=

∆ =

- Le = Li = 1* f^ = Li = 0 nei corpi rigidi -> curvatura (c'é sempre se c'é M)

χ

χ

• 5 ∙ 6

5

-