Lezioni, Costruzioni In Zona Sismica

Introduzione

Sin dai tempi più lontani gli esseri umani hanno testimoniato il manifestarsi di eventi sismici descrivendone gli effetti, quindi il metodo di misurazione era basato sulla gravità degli effetti. In Italia, soprattutto, abbiamo a che fare con la sismologia storica, ovvero quella disciplina volta all’analisi degli eventi sismici passati e alla conseguente redazione di un registro storico (fonti anche iconografiche che possono manifestare graficamente i danni subiti). Col passare degli anni si procedette con la progressiva introduzione di disposizioni (in seguito ad ogni evento catastrofico), intese come regole costruttive e successivamente metodi di verifica di sicurezza.

Ad esempio, dopo il terremoto di Messina del 1908, vennero introdotte alcune limitazioni e prescrizioni tecniche sui materiali da impiegare (no murature a secco), sulla tipologia di fondazioni, sulle altezze degli edifici (Regio Decreto); contemporaneamente, venivano indicate le zone della nostra penisola in cui vi erano stati fenomeni sismici, prima classificazione progressivamente aggiornata.

Negli anni ’50 e ’60 si sviluppò, poi, l’ingegneria sismica: vennero installate delle reti sismometriche, sviluppati programmi di calcolo per analizzare le risposte delle strutture e definire delle procedure analitiche con cui progettare senza trascurare questo pericolo; si noti come la prima registrazione di un evento sismico risalga al 1889, con uno strumento di tracciamento a penna.

Come detto la storia pregressa (in termini sismici) di un territorio è puramente legato alle fonti storiche pervenute; è chiaro che l’antichità di una civiltà incide a livello di estensione di informazioni (es. Cina 3000 anni, Italia 2000 anni, U.S.A. 500 anni); per tale ragione ci si basa anche su perizie legate all’analisi geotecnica.

Origine dei terremoti

In generale si può notare come i terremoti siano concentrati in aree con grandi processi tettonici (come formazione di catene montuose, fosse oceaniche o eruzioni vulcaniche). Lo strato superficiale della Terra, la crosta, è uno strato abbastanza rigido; la parte sottostante, il mantello superiore + mantello, è meno rigida ma di spessore maggiore: complessivamente la crosta e il mantello superiore compongono la litosfera.

La tettonica a placche rappresenta uno dei principali riferimenti con cui interpretare i fenomeni sismici: la rigida litosfera, infatti, sarebbe divisa in grandi placche (6 placche continentali ed altre secondarie) che, muovendosi su uno strato più fluido come l’astenosfera (pressione del magma induce al movimento), generano diversi tipi di moto, tra cui subduzione (sprofondamento della crosta terrestre) o moto trascorrente (moto orizzontale).

Il primo tipo avviene tendenzialmente in profondità, il secondo abbastanza superficialmente. Si noti come la distribuzione della maggior parte dei terremoti sia concentrata lungo i bordi delle placche, il sisma di intraplacca è meno frequente ed è dovuto a ragioni geologiche. L’ipocentro rappresenta il punto in cui avviene la frattura o lo scorrimento da cui si dipartono le onde sismiche, l’epicentro è il punto superficiale corrispondente all’ipocentro.

• Terremoti superficiali, 0-70 km;
• Terremoti intermedi, 70-300 km;
• Terremoti profondi, > 300 km.

Tanto più è profondo l’ipocentro, tanta più ampia sarà la superficie terrestre colpita dal sisma. In sostanza viene a crearsi un urto relativo, il quale genera attriti di enorme entità (per via della superficie frastagliata dei bordi delle zolle): con l’instaurarsi di tali tensioni reciproche vi è un accumulo di energia di deformazione elastica che, al momento della rottura, provoca una diffusione/propagazione di energia cinetica (in modo ondulatorio) e termica.

A tal proposito è possibile che le faglie (superfici di discontinuità di una zolla) abbiano dei movimenti, tali per cui si abbia una traslazione reciproca orizzontale (faglia trascorrente), una traslazione verticale verso il basso (faglia diretta) o verso l’alto (faglia inversa).

La teoria del rimbalzo elastico si basa proprio sulla dinamica dell’urto, ovvero fino a quando le resistenze del materiale sono sufficienti per opporsi vi è accumulo, nel momento della rottura vi è lo spostamento reciproco e la conseguente formazione di un nuovo punto di equilibrio (nell’arco di qualche secondo).

Onde sismiche

Nel caso di un’asta seminfinita soggetta ad una sollecitazione vi è una propagazione ondulatoria nello spazio; nel caso in cui quest’asta sia finita avremo una riflessione delle onde in corrispondenza del bordo (somma delle onde). Di conseguenza l’accostamento di due materiali comporta una parziale trasmissione ondulatoria ed una parziale riflessione; la velocità di propagazione, come sappiamo, è proporzionale alla rigidezza del materiale.

Data la natura stratificata del terreno abbiamo dei fenomeni di polarizzazione (rispondenza con le leggi dell’ottica di Snellius), ovvero una progressiva variazione di direzione:

Onde P, primarie o longitudinali (moto verticale): sono le onde più veloci (raggiungono per prime la superficie terrestre). Sono onde di dilatazione e compressione che si trasmettono sia nei solidi sia nei liquidi (es. tsunami).

Onde S, secondarie o trasversali (moto ortogonale orizzontale): hanno velocità minori e provocano degli spostamenti trasversali (ondulazione del volume). Sono definite anche onde di taglio (si estinguono con il mezzo liquido).

Onde R, di Rayleigh (moto ellissoidale sul piano verticale).

Onde L, di Love: il volume ondula orizzontalmente.

La strong-motion è definita come la durata della fase distruttiva, anche se in realtà le strutture continuano a vibrare. L’attenuazione geometrica è la diffusione volumetrica dell’energia sismica, quindi diminuisce l’energia per unità di volume (perché aumenta il volume non perché diminuisce l’energia totale). La liquefazione è un fenomeno che colpisce il terreno, ovvero questo perde la propria capacità di trasmettere gli sforzi tangenziali (come un liquido).

Misurazione dei terremoti

Esistono due approcci, uno legato alla valutazione dei danni provocati dal sisma, l’altro legato alla rilevazione di grandezze oggettive. La prima scala di misurazione nacque con Robert Mallet: egli notò come in seguito ad un sisma si vengono a creare delle isosisme, ovvero delle aree colpite dalla stessa intensità di sisma.

La scala Mercalli si basa sulla valutazione delle conseguenze dell’evento sismico (effetti sulle costruzioni e confronto con situazioni/entità dei danni su 12 gradi di riferimento) e conseguente determinazione di un valore di accelerazione del terreno. Nel tempo tale scala è stata perfezionata:

• Scala Mercalli-Cancani-Sieberg (MCS), ha introdotto delle nuove tipologie costruttive (utilizzata in alcuni paesi europei);
• Scala Macrosismica Europea (EMS-98), volta ad unificare tutte le scale utilizzate nel continente europeo, con 12 gradi di intensità, immagini di confronto;
• Scala Mercalli Modificata (MM), in realtà ha subìto due modifiche, per considerare le caratteristiche del continente nord-Americano.

L’obiettivo principale, quindi, risulta la definizione di una scala oggettiva basata su delle grandezze fisiche: Richter propose la magnitudo M.

In seguito ad un terremoto, è stato localizzato l’epicentro mediante l’analisi delle diverse ampiezze registrate in diverse stazioni di rilevamento (tutte dotate di sismografo Wood-Anderson); successivamente si è costruito un diagramma che relaziona proprio la distanza (D) dall’epicentro con l’ampiezza (log A). Per un diverso numero di terremoti egli evidenziò come questi, al variare della loro intensità, tracciassero comunque la stessa forma di curva (scalata a seconda dell’intensità): pertanto, definito convenzionalmente il cosiddetto “terremoto zero”, si procede con il calcolo della magnitudo:

M = log₁₀ A - log₁₀ A₀

1,5 M + 11,8 = log₁₀ E con E = energia meccanica associata al sisma = [erg]

ln N = A - bM N = numero di terremoti all’anno di intensità pari a M, a e b dipendono dalla zona in esame. M = locale; M = superficiale, M = di momento sismico, valuta l’intensità a partire dalla spaccatura e il relativo sforzo di taglio massimo = A_spaccatura T_max.

Inoltre, per convenzione, i valori di accelerazione del terreno vengono associati a dei carichi verticali multipli dell’accelerazione di gravità g = 9,81 m/sec².

Se prima la zonazione si limitava ad un elenco di zone colpite dal sisma e quindi divenute zone pericolose (dal 1909 – prima classificazione di Sicilia e Calabria - fino al 1974), ora è possibile associare ad ogni luogo del territorio nazionale un valore di accelerazione. Lo studio geofisico del territorio (dal 1980) e le rilevazioni strumentali hanno, infatti, garantito il tracciamento statistico della pericolosità sismica territoriale, in funzione di un terremoto “normale” (che ha un tempo di ritorno di 50 anni) a cui non devono essere associati danni, e di un terremoto eccezionale (che ha minor tempo di ritorno) a cui si deve garantire l’assenza di collassi (tolleranza nei danni).

In particolare i terremoti normali (di intensità pari a quel valore associato al luogo) hanno una probabilità di manifestarsi una volta ogni 50 anni. La distribuzione sull’intera penisola è il risultato di una griglia di 5,5 x 5,5 km (griglia di ampiezza maggiore sul territorio marino) con cui è stato possibile affidare un valore di accelerazione, velocità o spostamento ad ogni nodo del reticolo; un punto interno avrà valori ottenibili mediante interpolazione lineare.

Dinamica delle strutture – Oscillatore semplice

Per carico dinamico si intende un carico la cui intensità varia nel tempo. L’analisi dinamica di una struttura è volta alla determinazione della risposta strutturale, ovvero quantificare gli spostamenti, le tensioni e le deformazioni (dinamiche anch’esse) di una struttura soggetta ad un carico dinamico.

Applicando un carico dinamico ho delle deformazioni dinamiche nel tempo, quindi la struttura subisce delle accelerazioni, le quali generano delle forze di inerzia che si oppongono al moto della struttura. Il numero di gradi di libertà corrispondono al numero di componenti di spostamento che devono essere considerati per determinare la posizione di tutte le masse del sistema: dato un numero infinito di masse (perché distribuite), si procede con la discretizzazione del mezzo.

Si consideri una massa connessa ad una molla di rigidezza k, uno smorzatore c (che rappresenta le perdite di energia o dispersioni, attenuazione del moto – si considera viscoso, quindi connesso alla velocità) ed una forzante di eccitazione F(t).

mẍ + cẋ + k = F(t) – mẍ₀ con ẍ₀ = accelerazione del terreno;

Il valore di c è di difficile determinazione, è più semplice ottenere lo smorzamento relativo al critico ξ, ovvero un indice di risposta della struttura (tabellati) ≈ 0,05.

ξ = c/c₁ = c/2(km)^1/2 k/m = ω₁ c/m = 2ξω₁ F(t)/k = x_ST(t) + 2ξω₁ + ω₁ = –ẍ ẋ ẍ₀

ω₁ è il valore di pulsazione della struttura; x_ST(t) è lo spostamento statico associato ad ogni singolo istante (se prendo il valore di ogni t è come se fosse statico e non dinamico).

Impongo inizialmente oscillazioni libere (quindi assenza di moto del terreno, forzante nulla):

ẍ + ω₁² x = 0 x(t) = Asin (ω₁t) + Bcos (ω₁t) f = ω₁/2π = 1/T

T corrisponde al periodo (quantità di tempo per ogni ciclo), definito come l’inverso della frequenza (quanti cicli per unità di tempo). Applicando le condizioni al contorno A = (0)/ω₁ B = y(0)

Considerando lo smorzamento abbiamo una soluzione:

x(t) = R_eale {B₁e^{[(-ξω₁ + iω'₁)t]} B₂e^{[(-ξω₁ + iω'₁)t]}}

con B₁, B₂ costanti complesse, ω'₁ = ω₁(1-ξ²)^1/2 così con questi termini posso considerare l’apporto dello smorzamento. Se ξ <<1 ω'₁ = ω₁

x(t) = e^-ξω₁t [Asin (ω'₁t) + Bcos (ω'₁t)]

Andiamo ora ad analizzare la soluzione particolare del problema, ovvero il secondo membro non è più nullo, ma si considera un’eccitazione armonica:

F(t)/k = x_ST(t) = asin (ωt) ω_ne , è la pulsazione della forzante. La soluzione risulterà composta da un transitorio (che si esaurisce dopo un determinato tempo) + uno stato stazionario:

x(t) = e^-ξω₁t [Asin (ω'₁t) + Bcos (ω'₁t)] + B_Dasin (ωt - φ)

con B_D = amplificazione dinamica = [(1- ω²/ω₁²) + (2ξω/ω₁²)]^-1/2 , φ = angolo di fase; se l’amplificazione è nulla (ω/ω₁ tende all'infinito) vuol dire che la forzante è talmente veloce che la massa non fa in tempo ad avere spostamenti; se ω/ω₁ tende a 1 allora abbiamo un’amplificazione pari a 1/2ξ (in edilizia abbiamo questo modello).

Le accelerazioni date dagli accelerogrammi non sono funzioni armoniche continue, piuttosto rilevamenti effettuati in un numero finito di istanti t (intervalli definiti):

I = F(t) Δt = Q = v·m con Δt = T/N

In questo modo la distribuzione della forzante è intesa come una successione di impulsi o forze impulsive di durata ragionevolmente breve; il sistema, quindi, vibra per effetto della somma/sovrapposizione dei vari impulsi (es. t = 2 transitorio del t = 1 esaurito + stazionario t = 1 + transitorio del t = 2 + stazionario t = 2).

Questo modello è definito analiticamente mediante l’integrale di Duhamel e rappresenta la risposta di un sistema a 1 GDL smorzato. Formalmente avremmo quindi la soluzione del problema, ma quest’espressione risulta di difficile risoluzione; per tale ragione si ricorre ad una serie di approssimazioni (metodi numerici).

Metodo di Newmark + 2ξω₁ + ω₁ = –ẍ ẋ ẍ₀

All’istante t = ti ipotizzo di aver noti i valori di ẍ, ẋ; per definire i passi temporali successivi (t = ti + kΔt) utilizzo lo sviluppo in serie:

+ Δt (ẍ)/2 + Δtẋ + (1/2 – β)Δt + β Δtẋ = ẋ + ẍ = ẍ

Assumendo β = 1/6 – 1/4 procedo con la stima del valore di ẍ; una volta eseguiti i conti relativi all’iesimo + 1 istante verifico che tale ipotesi di accelerazione sia valida sviluppando l’equazione del moto (se non lo è procedo iterativamente fino a convergenza). Il metodo di Newmark è di tipo implicito perché basato su una stima.

Il metodo delle differenze centrali, invece, è un metodo esplicito, ovvero indipendente da ipotesi varie su valori di istanti temporali futuri.

(y_i+1 – y_i-1)/2Δt = (y_i+1 – 2y_i + y_i-1)/Δt ẋ = ẍ

(m + cΔt/2) ·[Δt (P – k ) – (m-cΔt/2)y_i + 2m·y_i-1 ] = yi+1

Sviluppando i conti è possibile infatti vedere come all’istante i+1 non risulti la dipendenza da valori riferiti a istanti temporali futuri. Entrambi questi metodi presentano la criticità del punto di partenza; inoltre il metodo esplicito proposto non è sempre valido, risulta stabile solo se Δt < T/π; il metodo di Newmark, invece, è incondizionatamente stabile se β = 1/6, stabile se Δt ≤ π/ω₁ e β = 1/4. Inoltre si consiglia, per un modello di approssimazione affidabile e sufficientemente accurato, un Δt ≤ T/10.

Spettri di risposta

La risposta di un sistema varia in funzione delle proprie caratteristiche (in particolare della rigidezza e della massa); l’accelerogramma di una data massa, quindi, è il moto della struttura nel tempo. Se analizzo i massimi (in valore assoluto) di un numero definito di oscillatori soggetti allo stesso moto del terreno e con lo stesso smorzamento, posso costruire lo spettro di risposta, ovvero l’andamento delle risposte (accelerazione, velocità o spostamento) ottenuti per quella struttura al variare del periodo di oscillazione.

L’accelerazione di picco (PGA) è la massima accelerazione del terreno a = PGA/g.

Come si può notare anche gli spettri di risposta non hanno un andamento regolare, ma manifestano una tendenza caratteristica. Se il periodo è contenuto (struttura molto rigida) allora la massa si muove praticamente in modo solidale con il terreno; se il periodo è medio la struttura si muove più del terreno, se grande si muove meno del terreno. Bisogna fare attenzione, però, che in corrispondenza di un’attenuazione di accelerazione abbiamo la zona di amplificazione di spostamenti (è preferibile avere maggiori accelerazioni rispetto a grandi deformazioni).

L’EuroCodice 8 (riferimento normativo)...