Lezioni: Appunti di Trasmissione numerica

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

2 Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

Indice

1 Introduzione 7

1.1 Schema canonico di un sistema di trasmissione numerica punto -

punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Richiami di Statistica (vedi Appunti Gelli) 11

2.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Lo Spazio delle Probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Spazi di probabilità discreti . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Spazi di probabilità continui . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2.1 Spazio campione bidimensionale . . . . . . . . 15

2.3 Indipendenza statistica e probabilità condizionale . . . . . . . . . 16

2.3.1 Legge della probabilità composta . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2 Teorema della probabilità totale e teorema di Bayes . . . 17

2.3.3 Definizione di statistica indipendenza e di indipendenza

condizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Esperimento congiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1 Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) . . . . . . . 19

2.5.2 Variabile aleatoria discreta, continua e mista . . . . . . . 20

2.5.3 Funzione densità di probabilità (PDF) . . . . . . . . . . 20

2.5.4 Variabili aleatorie notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.5 Trasformazione di variabile aleatoria . . . . . . . . . . . 23

2.5.5.1 Trasformazione lineare . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.6 Caratterizzazione sintetica di una variabile aleatoria . . . 24

2.5.6.1 Media statistica (expectation) . . . . . . . . . 24

2.5.6.1.1 Teorema fondamentale della media . . 25

2.5.6.1.2 Proprietà della media statistica . . . . 25

2.5.6.2 Varianza e valor quadratico medio . . . . . . . 26

2.5.6.2.1 Varianza di una gaussiana . . . . . . 26

2.5.6.3 Considerazioni su varianza e media statistica nel

caso di trasformazione lineare . . . . . . . . . . 27

2.5.6.4 Considerazioni finali sulla caratterizzazione sin-

tetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

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4 INDICE

2.6 Coppia di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.1 Funzione di distribuzione cumulativa congiunta . . . . . 28

2.6.2 Funzione densità di probabilità congiunta e densità marginale 29

2.6.3 Statistica indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.4 Caratterizzazione sintetica di una coppia di variabili aleatorie 30

2.6.4.1 Incorrelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6.4.2 Caratterizzazione sintetica . . . . . . . . . . . 31

2.7 Vettore di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.1 Caratterizzazione completa . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.1.1 Teorema fondamentale della media . . . . . . . 32

2.7.2 Caratterizzazione sintetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.3 Combinazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.4 Variabili congiuntamente gaussiane . . . . . . . . . . . . 34

3 Segnali o Processi Aleatori (vedi Appunti Conte) 37

3.1 Caratterizzazione di un processo aleatorio . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Caratterizzazione completa . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2 Caratterizzazione sintetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Proprietà di un processo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Stazionarietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.2 Ciclostazionarietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.3 Ergodicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Coppia di processi aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Processo aleatorio complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Esempi di processi aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.1 Processo di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.1.1 Caratterizzazione sintetica . . . . . . . . . . . 46

3.5.2 Processo di conteggio dei successi . . . . . . . . . . . . 46

3.5.2.1 Caratterizzazione sintetica . . . . . . . . . . . 47

3.5.3 Processo di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5.3.1 Processi legati al processo di Poisson . . . . . . 50

3.5.4 Processo di rumore impulsivo o di Poisson . . . . . . . . 51

3.5.5 Processo aleatorio gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5.6 Segnale telegrafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5.7 Segnale binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6 Caratterizzazione energetica di un segnale aleatorio . . . . . . . 56

4 Sistemi applicati a processi aleatori 61

4.1 Sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1 Rumore bianco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Segnale PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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5

INDICE

5 Trasmissione su canale AWGN 69

5.1 Procedura di Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.2 Procedura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.3 Esempi di applicazione della rappresentazione geometrica 72

5.1.3.1 Segnale PAM passa basso . . . . . . . . . . . . 72

5.1.3.2 Segnale PAM passa banda . . . . . . . . . . . 73

5.1.3.3 Segnale MPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.3.4 Combinazione di PAM . . . . . . . . . . . . . 78

5.1.3.5 Segnali QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.3.6 Schemi di modulazione multi-dimensionale . . . 79

5.1.3.6.1 Segnali biortogonali . . . . . . . . . . 81

5.1.3.7 Segnali M-FSK . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1.3.8 Segnali simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1.3.8.1 Rappresentazione ON-OFF . . . . . . 85

5.2 Binary coded signal wave form (Schema di modulazione codificato) 85

5.2.0.8.2 Lezione Assistente . . . . . . . . . . . 86

6 Ricezione da canale AWGN 89

6.1 Demodulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.1.1 Filtro adattato alla forma d’onda . . . . . . . . . . . 92

Ψ

k

6.2 Decisore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.0.0.3 Canale AWGN . . . . . . . . . . . . . 98

6.2.1 Segnali Binari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2.1.1 Segnalazione antipodale . . . . . . . . . . . . 100

6.2.1.2 Segnalazione ON-OFF . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.1.3 Segnali ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2.1.4 Segnali MPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3 Analisi delle prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.1 Segnali Binari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3.1.0.1 Segnali BPSK . . . . . . . . . . . . . 105

6.3.1.0.2 Segnali OOK . . . . . . . . . . . . . 105

6.3.1.0.3 Segnali FSK . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3.2 Segnali M-PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3.3 Segnali M-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3.4 Segnali QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3.4.1 Confronto tra QAM e M-PSK . . . . . . . . . 112

6.3.5 Segnali ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3.6 Probabilità d’errore per simbolo e probabilità d’errore per

bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.3.7 Union Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3.7.1 Stima dell’approssimazione . . . . . . . . . . . 117

6.3.7.2 Ulteriore approssimazione . . . . . . . . . . . . 118

6.3.7.3 Union Bound applicato ai segnali ortogonali . . 118

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6 INDICE

6.3.8 Segnali simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.4 Efficienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7 Canale AWGN a banda limitata 123

7.1 Analisi di un singolo simbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2 Analisi di una sequenza di simboli . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.2.1 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.2.1.1 Applicazione del criterio di Nyquist . . . . . . . 129

7.3 Determinazione del filtro per la rimozione forzata dell’ISI . . . . 130

7.4 Cenni sull’egualizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.4.1 Zero Forcing Equalizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.4.1.1 Egualizzatore a spaziatura frazionata . . . . . . 133

7.5 Minimum Mean Square Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

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Capitolo 1

Introduzione

Lo studio della trasmissione numerica è lo studio del trasferimento di un’infor-

mazione da una sorgente ad un destinatario attraverso un canale.

Il segnale che trasporta l’informazione è innanzitutto un segnale aleatorio;

infatti ad un segnale deterministico non si associa un’informazione in quanto si

presume che, se il segnale è deterministico, esso sarà già conosciuto dal des-

tinatario e quindi non porta alcun contenuto informativo nuovo al destinatario

stesso. In soldoni, supponendo di effettuare l’esperimento del lancio della mone-

ta, se tale moneta avesse entrambe le facce uguali (ad esempio testa) non otter-

remmo alcuna nuova informazione dall’esperimento stesso, in quanto sapremmo

già che il risultato sarà testa; ciò si traduce nel fatto che quanto più è incerto il

segnale maggiore sarà l’informazione portata da esso.

Si parla inoltre di trasmissione in quanto esistono diverse tipologie

numerica

di informazione: un segnale vocale, un segnale video, un segnale dati, ecc., ed è

necessario andare a determinare una rappresentazione univoca dell’informazione;

tale rappresentazione è quella digitale, per questo si parla di digitalizzazione

dell’informazione.

La sorgente sarà quindi una sorgente erogherà quindi all’iesimo is-

binaria:

tante un simbolo Se la sorgente è senza memoria, i

∈ {A }.

X , A , ..., A

i 1 2 M

simboli erogati saranno statisticamente indipendenti gli uni dagli altri; inoltre,

se la sorgente è equilibrata, i simboli in uscita saranno equiprobabili, ossia equa-

mente distribuiti (l’evento “uscita dell’i-esimo simbolo” sarà quindi caratterizzato

da una probabilità pari a ).

1/M

1.1 Schema canonico di un sistema di trasmissione

numerica punto - punto

Uno schema canonico di un sistema di trasmissione numerico punto - punto può

essere rappresentato come in figura 1.1.

Si notano quindi: 7

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8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Figura 1.1:

• una sorgente, che eroga un segnale digitale di cui abbiamo già parlato;

essa eroga un certo numero di bit/s detto −

bit rate

• tre blocchi di elaborazione del segnale

un blocco il quale elimina ridondanze dal-

– codificatore di sorgente,

l’informazione emessa dalla sorgente al fine di andare ad effettuare

una rappresentazione efficiente della sorgente stessa . Esso converte

1

i simboli appartenenti all’alfabeto sorgente in simboli appartenenti

all’alfabeto codice sorgente. Le ridondanze possono essere di tipo

∗ statistico, se la sorgente non è simmetrica (equilibrata) e sen-

za memoria; in tal caso, per fare codifica bisogna conoscere il

modello statistico della sorgente

∗ psicofisico, se la sorgente eroga un segnale che possiede dati non

percepibili dai sensi umani (ad esempio, quando si effettua una

compressione .mp3)

un blocco che introduce ridondanza. Tale

– codificatore di canale,

ridondanza introdotta, tuttavia, potrebbe essere diversa da quella ri-

mossa dal blocco precedente; infatti, essa era effettuata al fine di

andare a rimuovere ridondanze dovute a non idealità della sorgente,

mentre quest’ultima viene introdotta al fine di andare ad ottimizzare

il segnale al canale che deve attraversare. Si sa infatti che il canale

introduce un errore; introducendo una ridondanza, quindi, vado a

rimuovere statistica indipendenza e posso così utilizzare la dipenden-

za creata per correggere l’errore portato dal canale . Tale blocco

2

riceve in ingresso simboli appartenenti all’alfabeto codice di sorgente

e fornisce in uscita simboli appartenenti all’alfabeto codice di canale;

1 Si noti che ciò corrisponde ad una compressione .zip effettuata al calcolatore, la quale

comprime un segnale senza distorcerlo.

2 Un esempio può essere il meccanismo di controllo di parità per i bit, il quale va a settare

un ulteriore bit oltre a quelli utili a 1 o a 0 in maniera tale da avere un numero complessivo di

bit 1 pari; se si ritrova in uscita dal canale un numero dispari di bit allora si è rilevata presenza

di errore. Pierluigi Giangrande

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1.1. SCHEMA CANONICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE NUMERICA PUNTO - PUNTO9

un blocco che sintetizza un segnale tempo contin-

– modulatore dati,

uo a partire dalla sequenza di simboli ricevuti in ingresso. Ad esempio

esso potrebbe associare al bit 1 una semionda rettangolare positiva,

al bit 0 una semionda rettangolare negativa. E’ necessario infatti per

un segnale essere TC affinché esso attraversi il canale;

• un canale, che introduce un errore

• tre blocchi di elaborazione del segnale

un blocco che si distingue in

– demodulatore dati,

∗ demodulatore il quale emette una sequenza di simboli ap-

hard,

partenenti all’alfabeto codice di canale (binari), anche se non

necessariamente uguali a quelli di partenza

∗ demodulatore il quale emette una sequenza di simboli ap-

soft,

partenenti all’alfabeto continuo (in soldoni, esso non prende

decisioni)

un blocco il quale converte i simboli in

– decodificatore di canale,

ingresso in simboli appartenenti all’alfabeto codice di sorgente. Esso

si distingue in

∗ FEC (forward error correction): riconosce gli errori e corregge

∗ ARQ (automatic repeat request): richiede una nuovo invio del

segnale per verificare la presenza di errori

un blocco il quale converte i simboli

– decodificatore di sorgente,

codice sorgente in simboli sorgente per consegnarli al destinatario

• un destinatario.

Si noti che, andando a raggruppare canale, modulatore e demodulatore, si ottiene

un sistema che funziona in digitale (perchè riceve in ingresso un segnale digitale

e fornisce in uscita un segnale digitale) e che è indipendente dalla sorgente

utilizzata (in quanto i blocchi modulatore e demodulatore dipendono dal solo

canale). Si noti inoltre che i blocchi codificatore di canale e modulatore possono

essere realizzati come un unico blocco, e che il blocco codificatore di sorgente

non è indispensabile se la sorgente è ideale.

Le risorse che devono essere considerate nello studio di questi blocchi sono

• efficienza in potenza

• costo

• errore

• occupazione di banda

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

• complessità dell’elaborazione

Si dimostra che l’introduzione di un’elaborazione a blocchi, sebbene incrementi

la complessità, non incrementa l’errore. Pierluigi Giangrande

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Capitolo 2

Richiami di Statistica (vedi

Appunti Gelli)

Ci sono alcuni fenomeni che non permettono la loro descrizione mediante un

modello matematico, in quanto essi non sono regolati da leggi deterministiche

ma aleatorie; un esempio di tali fenomeni è il disturbo di un segnale, in quanto

le sue sorgenti non sono rappresentabili mediante un modello matematico ma è

necessario introdurne uno statistico. Per descrivere tali fenomeni ci si appella alla

regolarità statistica di un fenomeno, la quale può essere studiata considerando

un numero elevato di ripetizioni dello stesso fenomeno aleatorio. Ad esempio, un

singolo lancio di una moneta non ci consente di studiare tale fenomeno, mentre

mediante un numero elevato di lanci si può verificare se tale fenomeno ha una

certa regolarità.

La descrive la regolarità statistica dei fenomeni.

teoria della probabilità

Per introdurre la statistica è necessaria una profonda conoscenza della teoria

degli insiemi, in quanto gli eventi non sono altro che insiemi e quindi sono descritti

dalle stesse operazioni.

2.1 Definizioni

Si definisce una qualsiasi procedura sper-

Definition 1. esperimento aleatorio

imentale suscettibile di più risultati non prevedibili a priori. Un esempio può

essere il lancio di una moneta.

Si definisce e si indica con un insieme di tutti possibili

spazio campione Ω

risultati elementari dell’esperimento aleatorio. Nel caso del lancio di moneta,

esso è costituito dai soli elementi testa e croce. Tale spazio non è definito

univocamente con l’esperimento ma dipende da ciò che di interesse (ad esempio,

nel lancio di un dado, possono interessare sia le singole facce sia i numeri pari e

quelli dispari, per cui ci sono diversi spazi campioni).

11

Pierluigi Giangrande

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12 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI STATISTICA (VEDI APPUNTI GELLI)

Si definisce un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campi-

Definition 2. evento

one. Nel caso del lancio di moneta un evento è che esca testa.

Si definisce e si indica con un l’insieme di

collezione delle parti di Ω P (Ω)

tutti i possibili sottoinsiemi di Nel caso del lancio di moneta ci sono quattro

Ω.

sottoinsiemi, che sono (T,C, nessuna delle due, entrambi).

Si definisce di un insieme il numero di elementi che

Definition 3. cardinalità

lo costituiscono. La cardinalità della collezione delle parti di si calcola con-

Ω

siderando le possibili combinazioni di una stringa binaria di lunghezza pari alla

cardinalità di nel caso di