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Lezioni: Appunti di Trasmissione numerica Appunti scolastici Premium

Appunti del corso di Trasmissione Numerica anno 2009/10 tenuto dal professor Paura.
Completati con l'integrazione delle informazioni contenute nel materiale ufficiale del corso. gli argomenti trattati sono i seguenti: lo studio della trasmissione numerica, lo schema canonico di un sistema di trasmissione numerica punto - punto.

Esame di Trasmissione numerica docente Prof. L. Paura

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ESTRATTO DOCUMENTO

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

3.6. CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DI UN SEGNALE ALEATORIO59

si ottiene (come abbiamo già visto)

ˆ (3.62)

r (0) = S (f )df = P

X X X

ed è il valore massimo che assume. Infine ∗ (3.63)

r (τ ) = r (−τ )

X X

Si definisce di un segnale aleatorio

Definition 32. densità spettrale di potenza

la quantità

1 (3.64)

2

|X

S (f ) = lim E (f )|

X T

T

→∞

T

dove è la trasformata di Fourier di e l’argomento della

t

X (f ) X(t)rect

T T

media statistica è una quantità reale e non negativa, per cui la media è non

negativa e reale. Se il segnale è reale allora il suo spettro di ampiezza sarà

X(t)

pari, per cui sarà pari.Si definisce inoltre densità spettrale di potenza

S (f )

X

la quantità

mutua

1 ∗ (3.65)

S (f ) = lim E X (f )Y (f )

XY T T

T

→∞

T

che può essere non reale. Si noti che .

S = S

XY Y X

33. Il legame tra la potenza e la densità spettrale di potenza è il seguente

Remark ˆ (3.66)

P = S (f )df

X X

Come abbiamo già detto precedentemente, il teorema di Wiener-Kintchine

dice che è la trasformata di Fourier di

S (f ) r (τ ) =< R (t, τ ) >.

X X X

Si definisce di un segnale aleatorio

Definition 34. densità spettrale di energia

la quantità ∗ (3.67)

E (f ) = E[X(f )Y (f )]

XY

e si ha ˆ (3.68)

E = E (f )df

XY XY

Si noti inoltre che se si ottiene, come già visto, che

Y (f ) = X(f ) E (f ) =

´ X

e .

2

E[|X(f )| ] E = E (f )df

X X

Consideriamo ora il caso di un segnale aleatorio somma Z(t) = X(t) + Y (t),

con e due processi aleatori che

X(t) Y (t)

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

60CAPITOLO 3. SEGNALI O PROCESSI ALEATORI (VEDI APPUNTI CONTE)

• se di energia, hanno energia e . Si ottiene

E E

X Y (3.69)

{E }

E = E + E + 2 Re

Z X Y XY

con ∗

´

E = E X(t)Y (t)dt

XY ∞

• se di potenza, hanno potenza e . Si ottiene

P P

X Y (3.70)

{P }

P = P + P + 2 Re

Z X Y XY

´

con o, per il teorema di Wiener-Kintchine,

P = S (f )df P =

XY XY XY

r (0).

XY

Quindi la somma di segnali di energia sarà di energia, la somma di segnali di

potenza sarà di potenza. Si noti inoltre che non vale l’additività dell’energia e

della potenza a meno di due casi particolari:

• i segnali e sono ossia il che implica

incoerenti,

X Y X(f )Y (f ) = 0,

e (a seconda di se i segnali sono di energia o

E (f ) = 0 S (f ) = 0

XY XY

di potenza) ´

• i segnali e sono ossia ∗

ortogonali,

X Y X(f )Y (f )df = (X(f ), Y (f )) =

il che implica e (a seconda di se i segnali sono di

0, E = 0 P = 0

XY XY

energia o di potenza)

Si noti che il primo caso implica il secondo ma non vale il viceversa.

Per quanto riguarda la funzione di autocorrelazione si ha

∗ ∗ ∗

r (τ ) =< E[Z(t)Z (t−τ )] >=< E[(X(t)+Y (t))(X (t−τ )+Y (t−τ ))] >=

Z ∗

= r (τ ) + r (τ ) + r (τ ) + r (τ ) = r (τ ) + r (τ ) + r (τ ) + r (−τ )

X Y XY Y X X Y XY XY ∗

r (τ )+r (−τ )

e, ricordando la definizione di come ,

XY

parte Hermitiana He(r ) = XY

XY 2

si ottiene infine (3.71)

{r

r (τ ) = r (τ ) + r (τ ) + 2He (τ )}

Z X Y XY

da cui si nota la non additività della funzione di autocorrelazione (a meno che i

due segnali non siano incoerenti).

Due processi aleatori e si dicono se vale sia

Definition 35. incorrelati

X Y

l’incorrelazione statistica sia quella temporale; si ottiene quindi

∗ (per l’incorrelazione statistica)

r (τ ) =< E[X(t)Y (t τ )] >=

XY ∗ (per l’incorrelazione temporale)

=< E[X(t)]E[Y (t τ )] >= ∗ ∗

=< E[X(t)] >< E[Y (t τ )] >= X Y

dc dc

Un caso particolare è quello di segnali SSL, caratterizzati da medie statistiche in-

dipendenti dalla variabile temporale; su di essi, non operando la media temporale,

si ottiene che l’incorrelazione temporale non è una condizione necessaria.

36. Date tali definizioni e fatte tali osservazioni, si noti che l’operatore di

Fact

media statistica non opera sui processi deterministici così come l’operatore di

media temporale non opera sui segnali costanti. Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

Capitolo 4

Sistemi applicati a processi

aleatori

In questo capitolo utilizzeremo le conoscenze possedute riguardo l’analisi dei

sistemi nel caso di segnali deterministici per estendere il loro studio ai segnali

aleatori.

4.1 Sistemi LTI

I sistemi o più semplicemente LTI, sono caratterizzati

lineari-tempo invarianti,

da una funzione chiamata che lega ingresso ed uscita

risposta impulsiva h(n)

secondo la seguente relazione ingresso-uscita (4.1)

Y (n) = X(n) h(n)

in cui solo la risposta impulsiva è un segnale deterministico.

Riguardo le medie statistiche si ha (4.2)

⊗ ⊗

E[Y (n)] = E[X(n) h(n)] = E[X(n)] h(n)

dove l’operatore di media non opera sulla risposta impulsiva in quanto essa è

una funzione deterministica.

Riguardo la componente continua si ha X

⊗ −

Y =< µ (n) >=< µ (n) h(n) >=< h(m)µ (n m) >=

Y X X

dc m

X X

= h(m) < µ (n m) >= h(m) X

X dc

m m

dove l’ultimo passaggio è valido in quanto la media temporale è invariante alle

traslazioni nel tempo. Si ottiene quindi, ricordando che l’area sottesa da un

61

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

62 CAPITOLO 4. SISTEMI APPLICATI A PROCESSI ALEATORI

segnale nel tempo è pari al valore nell’origine della sua trasformata di Fourier,

che (4.3)

Y = X H(0)

dc dc

NOTA: un sistema LTI non alteri la natura del segnale in ingresso, per cui

se esso è SSL anche l’uscita sarà SSL.

Analizziamo ora il caso di due sistemi LTI con risposta impulsiva rispettiva-

mente e che ricevono in ingresso rispettivamente i segnali aleatori

h (n) h (n),

1 2

e e danno in uscita rispettivamente i segnali aleatori e

X (n) X (n) Y (n) Y (n).

1 2 1 2

Si ottiene la seguente relazione (4.4)

(m) r (m)

(m) = r

r X X

Y Y h h

1 2

1 2 1 2

Sappiamo che

Dimostrazione. ∗ −

r (m) =< E[Y (n)Y (n m)] >=

1

Y Y 2

1 2

 !  

X X ∗ ∗

− − −

=< E h (i)X (n i) h (j)X (n m j) >=

1 1 2 2

   

i j

essendo le risposte impulsive deterministiche, le portiamo fuori dall’operatore di

media statistica X X ∗ ∗

− − −

=< h (i)h (j)E [X (n i)X (n m j)] >=

1 1

2 2

j i

X X ∗ − − −

=< h (i)h (j) R (n i, n m j) >=

1 X X

2 1 2

j i

siccome l’operatore di media temporale opera solo sulla variabile si ottiene

n

X X ∗ − − −

= h (i)h (j) < R (n i, n m j) >=

1 X X

2 1 2

j i

si noti che ponendo e si ottiene per

− − − − −

t = n i t τ = n m j τ = m + j i,

cui " #

X X X X

∗ ∗ −

= h (i)h (j) r (m+j−i) = h (j) h (i) r (m + j i) =

1 1

X X X X

2 2

1 2 1 2

j i j i

dove si nota il prodotto di convoluzione tra e in Procedendo

h r (m + j).

1 X X

1 2

si ricava

X ∗ ∗

⊗ ⊗ ⊗

h (j) [h r ] (m + j) = [h r ] (m) h (−m) =

1 1

X X X X

2 2

1 2 1 2

j Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

63

4.1. SISTEMI LTI

. Ricordando che la convoluzione è associativa si ha

1  

X ∗

∗ −

⊗ (m)⊗r (m)

(m)⊗ h (j)h (−(m j)) = r

(m)⊗[h (m) h (−m)] = r

= r 1

1 X X

X X

X X h h

2

2   1 2

1 2

1 2 1 2

j

. Risulta così dimostrata la relazione.

2 37. Si noti che i sistemi LTI conservano l’incoerenza, in quanto se i

Remark Tuttavia

e quindi

segnali in ingresso sono incoerenti si ha = 0.

= 0 r

r Y Y

X X 1 2

1 2

c’è la possibilità che le uscite siano incoerenti anche se gli ingressi non lo sono,

ma lo sono le risposte impulsive.

38. Applicando l’operatore di F-trasformata a questa relazione si ottiene

Remark ∗ (4.5)

(f ) H (f ) H (f )

(f ) = S

S 1

X X

Y Y 2

1 2

1 2

Per un singolo sistema si ha (4.6)

r (m) = r (m) r (m)

Y X h

che applicando la trasformata di Fourier diventa (4.7)

2

|H(f

S (f ) = S (f ) )|

Y X

e, se il segnale è SSL, si ha ⊗r

X r (m) =< R (m) > (m) = R (m)⊗r (m)

Y X X

h h

quindi il sistema conserva la proprietà di SSL.

4.1.1 Rumore bianco

La osservazione fatta nel precedente paragrafo è molto utile per la generazione

di un segnale che presenti un’assegnata funzione di autocorrelazione.

Consideriamo un segnale SSL a media nulla e con funzione di auto-

W (t) è

correlazione (dove 2 2

2 2 2 −

r (τ ) = R (τ ) = σ δ(τ ) σ = W µ = W

W W RM S W RM S

la potenza del segnale in ingresso); esso non sarà fisicamente realizzabile perchè

ma sappiamo che per la e ad un segnale reale

r (0) = +∞, r (0) = P (99),

W W W

non può corrispondere potenza infinita. Tale processo viene chiamato rumore

bianco.

Notiamo ora che, dando in ingresso ad un sistema LTI un processo di rumore

bianco, si ottiene (4.8)

2 2

r (τ ) = σ δ(τ ) r (τ ) = σ r (τ )

Y h h

1 P

Infatti, un quantità del tipo può essere scritta come

x(m)y(n + m)

m

P P

− −m − ⊗

e ponendo si ottiene

x(−(−m))y(n (−m)) = l x(−l)y(n l) = y(n) x(−n).

m l ∗

2 P

Ricordiamo che la funzione di mutua correlazione è definita come r (m) = x(j)y (j−

xy j

m).

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

64 CAPITOLO 4. SISTEMI APPLICATI A PROCESSI ALEATORI

quindi la funzione di autocorrelazione del segnale in uscita è assegnata in quan-

to proporzionale alla funzione di autocorrelazione della risposta impulsiva del

sistema.

Consideriamo ora una coppia di sistemi LTI con risposte impulsive rispetti-

vamente e e lo stesso segnale in ingresso; si ha che la correlazione tra

h(t) δ(t)

gli ingressi è e la correlazione tra le uscite è pari a

r = r r

XX X Y X

∗ (4.9)

⊗ ⊗ ⊗

r (τ ) = r (τ ) h(τ ) δ (−τ ) = r (τ ) h(τ )

Y X X X

in quanto e applicando la F- trasformata diventa

h (t) = h(t) h (t) = δ(t);

1 2 (4.10)

S (f ) = S (f )H(f )

Y X X

Analogamente ∗ ∗ (4.11)

⊗ ⊗ ⊗

r (τ ) = r (τ ) δ(τ ) h (−τ ) = r (τ ) h (−τ )

XY X X

in quanto i sistemi sono invertiti rispetto al caso precedente; calcolandone la

F-trasformata diventa ∗ (4.12)

S (f ) = S H (f )

XY X

Utilizziamo il risultato al quale siamo appena giunti per la determinazione

della risposta impulsiva di un sistema LTI incognito. Diamo in ingresso a questo

sistema un segnale di rumore bianco ed effettuiamo una correlazione tra l’uscita

del sistema e Si ottiene una funzione nota 2 ⊗

Y (t) W (t). r (m) = σ δ(m)

Y W

che ci permette di identificare la funzione

2

h(m) = σ h(m) h(m).

Consideriamo ora un caso simile al precedente, con l’unica differenza che

prima di effettuare la correlazione ai due segnali e vengano som-

Y (m) W (m)

mati rispettivamente due segnali e per generare due segnali e

d (m) d (m) V (m)

1 2

si ottiene ∗ ∗

X(m); r (m) =< E[V (n)X (n−m)] >=< E[(Y (n)+d (n))(W (n−

1

V X Se i segnali

∗ −

m) + d (n m))] >= r (m) + r (n) + r (m) + r (m).

Y W d W Y d d d

2 1 2 1 2

e sono incoerenti tra di loro e incoerenti con l’ingresso tutti i termini

d d W (n)

1 2

tranne il primo sono nulli, quindi 2

r (m) = r (m) = σ h(m).

V X Y W

4.2 Segnale PAM

Il segnale o (modulazione impulsi di ampiez-

PAM, pulse amplitude modulation

za) è un segnale che associa ad una informazione un impulso (rettangolare,

triangolare, di Dirac, ecc.).

Ipotizziamo che esista una sorgente che emette ogni (con periodo di

T T

secondi un simbolo. Trascorsi secondi essa avrà trasmesso una

simbolo) mT

stringa di simboli ; essa emetterà quindi un segnale aleatorio le cui

m a , ..., a

1 m

caratteristiche dipenderanno dalla sorgente in esame. Affinchè tale segnale possa

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

65

4.2. SEGNALE PAM

essere trasmesso è necessario che attraversi un canale, il quale è però in grado

di trasmettere solo segnali TC, e non sequenze di simboli. E’ possibile allora, tra

le varie soluzioni, interfacciare la sorgente con il canale attraverso un blocco che

sia in grado di generare una data forma d’onda modulata in ampiezza a seconda

del simbolo in uscita dalla sorgente.

La forma d’onda può, ad esempio, essere generata mediante un blocco che

associ ad una sequenza di simboli in ingresso un segnale del tipo

a , a , ...

0 1

+∞

X (4.13)

a δ(t nT )

n

n=−∞

quindi un treno di impulsi di area (stringa di simboli in uscita dalla sorgente);

3 a n

tale segnale potrebbe successivamente fare da input ad un sistema LTI con

con forma d’onda desiderata , fornendo in uscita

4

h(t) = g (t), g (t)

T T

" #

X X X

− ⊗g −

v(t) = a δ(t nT ) (t) = a (δ(t nT ))⊗g (t) = a g (t−nT )

n n n

T T T

n n n (4.14)

ossia la forma d’onda adatta per il canale modulata in ampiezza (così da garantire

il trasporto dell’informazione).

Vogliamo ora calcolare la PSD (densità spettrale di potenza) del segnale

conoscendo a priori le caratteristiche statistiche della sequenza di simboli

v(t)

e facendo l’ipotesi che sia un segnale reale, sia complesso o reale e

a g (t) a

n n

T

SSL. Per ricavarmi la PSD potrei appellarmi al teorema di Weiner-Kintchine e

calcolarla come F-trasformata della funzione di autocorrelazione media r (τ ).

v

Abbiamo detto che le caratteristiche statistiche di sono fornite a priori

a(n)

e che tale processo è SSL; conosciamo quindi (4.15)

E[a(n)] = m a

invariante nel tempo perchè il segnale è SSL, e

∗ (4.16)

E[a a ] = R (k n) = R (m) = r (m)

a a a

k

n

Vado ora a caratterizzare sinteticamente il segnale la sua media statis-

v(t):

tica è pari a " #

X X

− −

E[v(t)] = E a g (t nT ) = g (t nT )E[a ] = m rep g (t)

n n a

T T T T

n n (4.17)

3 Ricordiamo che nel tempo discreto e sono due scritture equivalenti.

a a(n)

n

4 Come forma d’onda desiderata viene scelto un segnale che sia in grado di attraversare il

canale subendo la minore distorsione possibile, in quanto sappiamo che i canali possono essere

dei passa-basso, passa-banda, ecc.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

66 CAPITOLO 4. SISTEMI APPLICATI A PROCESSI ALEATORI

in cui ricordiamo che Allora si noti che la media

P −

rep x(t) = x(t nT ).

T n

statistica è periodica di periodo . Calcolo ora la funzione di autocorrelazione

T " ! !#

X X

∗ ∗ − −

R (t, t+τ ) = E[v (t)v(t+τ )] = E a g (t nT ) a g (t + τ mT ) =

v m

T T

n

n m

siccome la media statistica opera solo sul contenuto aleatorio (ricordiamo che

è un segnale è possibile riscrivere come

deterministico)

g (t)

T X X X X

∗ −mT −mT

= E[a a ]g (t−nT )g (t+τ ) = r (m−n)g (t−nT )g (t+τ ) =

m a

T T T T

n

m n m n

andando ora a porre si ha che quindi gli estremi della

m n = k m = n + k,

serie non cambiano, e

X X − − −

= r (k) g (t nT )g (t + τ kT nT ) =

a T T

n

k

notiamo ora che, se poniamo si ottiene

− −

p(t + τ kT ) = g(t)g(t + τ kT ),

X X X

− − −

= r (k) p(t + τ kT nT ) = r (k) rep (p(t + τ kT ))

a a T

n

k k

quindi, in definitiva, si ha X (4.18)

R (t, t + τ ) = r (k) rep (p(t + τ kT ))

v a T

k

per cui il segnale è ciclostazionario, in quanto anche la funzione di auto-

v(t)

correlazione è periodica rispetto a di periodo . D’altronde tale risultato era

t T

prevedibile, poichè questo segnale nasce da un treno di impulsi (ciclostazionario)

trasformato attraverso un sistema LTI.

Devo ora ricavarmi la funzione di autocorrelazione media come media tem-

porale della funzione di autocorrelazione statistica; siccome il segnale è periodico

rispetto a di periodo , posso estendere il calcolo al periodo

t T ˆ

T /2

1 X X −kT −nT

r (τ ) =< R (t, t+τ ) >= r (k) g (t−nT )g (t+τ )dt =

v v a T T

T n

k

−T /2

ˆ

T /2

1 X X − − −

= r (k) g (t nT )g (t + τ kT nT )dt =

a T T

T n

k −T /2

ponendo gli estremi di integrazione diventano e

0 0

− −T −

t = t nT t = /2 nT

inf

, per cui si ha

0 −

t = T /2 nT

sup ˆ

T /2−nT

1 X X 0 0 0

= r (k) g (t )g (t + τ kT )dt =

a T T

T n

k −T /2−nT Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

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4.2. SEGNALE PAM

si noti che nell’espressione è presente una somma di integrali che, complessiva-

mente, consiste in un’integrazione tra e possiamo allora effettuare la

−∞ +∞;

sommatoria ed ottenere

ˆ

1 1

X X

0 0 0

− −

= r (k) g (t )g (t + τ kT )dt = r (k) r (τ kT )

a a g

T T

T T

k k

in definitiva si ottiene 1 X (4.19)

r (τ ) = r (k) r (τ kT )

v a g

T k

confrontando questa formula con la si nota che anche è una PAM,

(4.14) r (τ )

v

ma del segnale con la forma d’onda −

r (τ ) r (τ kT ).

a g

Calcoliamo ora la PSD del segnale applicando il teorema di Wiener-

v(t)

Kintchine; si avrà

( )

1 1

X X

F − {r −

=

S (f ) = r (k) r (τ kT ) r (k)F (τ kT )} =

v a g a g

T T

k k

da cui, applicando la proprietà di traslazione nel tempo delle F-trasformate e il

teorema di Wiener-Kintchine sul segnale si ottiene

g (t)

T

1

1 X X

−j2πf −j2πf

kT 2 kT

|G

r (k) e E (f ) = (f )| r (k) e

= a g a

T

T T

k k

ricordando che (in quanto è un segnale di energia). Si

2

|G

E (f ) = (f )| g (t)

g T T

noti infine che l’argomento della sommatoria indica la presenza di una DFT del

segnale , per cui (applicando Wiener-Kintchine su ) si ottiene in definitiva

r r

a a

1 (4.20)

2

|G

S (f ) = (f )| S (f T )

v a

T

T

Andiamo ora a fare alcune osservazioni

• la PSD di dipende sia dallo spettro di energia dell forma d’onda

v(t) g (t)

T

sia dallo spettro di potenza della sequenza di simboli

• sapendo che l’ingresso del sistema LTI è rappresentato dal segnale (4.13)

e che l’uscita è il segnale e sapendo inoltre che la relazione tra le

v(t),

PSD di input-output di un sistema LTI è la , si ottiene siccome

5

(4.7)

la PSD della è 1

2 2

|H(f |G S (f T )

)| = (f )| (4.13) a

T T

• se i simboli appartenenti alla sequenza sono anche statisticamente indipen-

denti si ha ( 2

|m | 6 6

k = n, m = 0

a

r (k n) = r (m) =

a a 2 2

|m |

σ + k = n, m = 0

a

a

5 2 .

S (f ) = S (f )|H(f )|

Y X

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

68 CAPITOLO 4. SISTEMI APPLICATI A PROCESSI ALEATORI

dove la prima è dovuta al fatto che, essendo i simboli statisticamente

indipendenti, si ha , mentre la seconda al

∗ ∗ 2

|m |

E[a a ] = E[a ]E[a ] = a

k k

n n

fatto che si ottiene (valor quadratico

∗ 2 2 2

| |m |

E[a a ] = E[|a ] = σ +

n a

k

n a

medio). Complessivamente (4.21)

2 2

|m |

r (m) = σ δ(m) +

a a

a

per cui

k

X (4.22)

2 2 −

F {r |m | δ f

S (f ) = (m)} = σ +

a a a

a T

k

e 2

2 2

|m | k

1 σ k

a X

a

2 2

|G |G −

S (f ) = (f )| S (f T ) = (f )| + G δ f

v a

T T T

T T T T T

k (4.23)

si noti ora che

il primo addendo è associato all’incertezza (infatti dipende da ) e

2

– σ a

dipende, sia dall’informazione portata dalla sequenza di simboli, sia

dalla forma d’onda scelta; esso è uno spettro continuo

il secondo addendo è uno spettro a righe che si annulla solo se

– o se è opportunamente scelto nullo; esso, es-

k

2

|m | = 0 G

a T T

sendo uno spettro a righe, porta con se informazioni simili a quelle

dei segnali sinusoidali, quale quella della sincronizzazione.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

Capitolo 5

Trasmissione su canale

AWGN

Il canale AWGN (additive white gaussian noise) è un canale caratterizzato dal

fatto che se si trasmette il segnale con si riceve il segnale

S (t) t (0, T ),

i

con rumore bianco.

r (t) = S (t) + n(t), n(t)

i i

Tale modello è realistico solo in un numero molto ristretto di situazioni, in

quanto è estremamente semplice; un modello più realistico è quello di rumore

additivo e moltiplicativo, ossia schematizzabile secondo r (t) = a(t)S (t) + n(t)

i i

(es. attenuazione).

In questo corso saranno trattati due tipi di canali AWGN

• canale AWGN a tutta banda

• canale AWGN a banda limitata

ma non saranno considerati modelli più complessi.

5.1 Procedura di Gram-Schmidt

5.1.1 Introduzione

Consideriamo una sorgente DBMS (discrete binary memoryless source), che

emette una sequenza di simboli binari equiprobabili ed indipendenti (quindi già

comprensiva di codifica di sorgente); ogni simbolo binario rappresenta un di

bit

informazione. Ogni secondi la sorgente emette un bit, e rappresenta

1

T R =

b b T

b

il ossia il numero di bit emessi nell’unità di tempo.

bit rate,

Colleghiamo alla sorgente un registro di bit che si riempie in un tempo pari

K

a ; il sistema complessivo emetterà ogni secondi un simbolo pari ad

T = K T T

b

una stringa di bit, ossia una tra diverse combinazioni equiprobabili

K

K 2 = M

e statisticamente indipendenti.

Per la trasmissione di ogni simbolo ad un ricevitore utilizzo un canale a

forma d’onda che mi impone la necessità di associare ad ogni simbolo ∈

a

i

69

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

70 CAPITOLO 5. TRASMISSIONE SU CANALE AWGN

una forma d’onda così da generare un segnale che può essere

{a }

, ..., a S (t)

−1

0 i

M

trasmesso attraverso il canale stesso; ora la durata di simbolo sarà e

T = T K,

b

il sarà .

symbol rate R = 1/T

Il ricevitore osserverà un segnale e dovrà recuperare da esso la sequenza

r(t)

di simboli; esso deve quindi conoscere il mapping che associa ad ogni simbolo

un segnale Tuttavia, abbiamo precedentemente detto che nel caso

a S (t).

i i

più semplice per cui a causa della presenza del rumore è

r(t) = S (t) + n(t),

i

probabile che si verifichi l’evento definito come {a 6

errore = a , a = a i = j}

r j t i

(ossia se il simbolo trasmesso è diverso da quello ricevuto si è verificato

a a

i j

un errore). Scopo del nostro studio è trovare una procedura che mi permetta di

minimizzare la probabilità associata a tale evento.

Il nostro punto di partenza consiste nel passaggio da una rappresentazione

analitica del segnale ad una rappresentazione ossia al segnale

geometrica, r(t) =

si associa un vettore devo allora innanzitutto associare

S (t) + n(t) r = S + n;

i i

a ciascuno degli segnali un vettore, e per fare ciò mi avvalgo della

M

{S

M (t)}

i i=1

procedura di Gram-Schmidt.

5.1.2 Procedura

La procedura di Gram-Schmidt consente di rappresentare vettorialmente un in-

sieme di segnali di energia mediante calcolo delle loro componenti rispetto

M

ad un sistema di funzioni ortonormali che costituiscono una base.

Parto da un sistema di segnali ed effettuo la seguente procedura

M S , ..., S

1 M

1. il primo segnale a costituire la base è S (t)

1

Ψ (t) =

1 ε 1

´ √

con per cui è la di allora sarà

2

|S norma

ε = (t)| dt, ε S (t); Ψ

1 1 1 1 1

un vettore di uguale direzione e verso rispetto a ma con norma unitaria,

S 1

e siccome la componente di lungo il versore

S (t) = ε Ψ (t) S Ψ (t)

1 1 1 1 1

è ε 1

2. verifico se è parallelo rispetto a o se necessita di un secondo

S (t) Ψ (t)

2 1

versore per essere rappresentato; per fare ciò calcolo il segnale d (t)

2

d (t) = S (t) S Ψ (t)

2 2 21 1

´

con (prodotto scalare tra e Quindi

S = S (t)Ψ (t)dt S (t) Ψ (t)).

21 2 2 1

1

è pari alla differenza tra e la sua componente lungo

d (t) S (t) Ψ (t).

2 2 1

Tale segnale può essere

• nullo, e in tal caso il versore è parallelo a e sufficiente a

Ψ (t) S (t)

1 2

rappresentare tale funzione Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

71

5.1. PROCEDURA DI GRAM-SCHMIDT

• pari a e quindi in tal caso è ortogonale a (perchè

S (t), S (t) Ψ (t)

2 2 1

e quindi il secondo versore è dato dalla normalizzazione di

S = 0)

21

S (t)

2

• non nullo né pari a e rappresenta il vettore che, normalizzato,

S (t)

2

ci darà il secondo versore Ψ (t)

2

in ogni caso si avrà allora −

d (t) S (t) S Ψ (t)

2 2 21 1

Ψ (t) = =

√ √

2 ε ε

d d

2 2

3. al passo avrò allora

i esimo l

X (5.1)

d (t) = S (t) S Ψ (t)

i i ik l

k=1

con ˆ ∗ (5.2)

S = S (t)Ψ (t)dt

i

ik k

è la componente del segnale lungo il versore

S (t) Ψ (t).

i k

fino a costruire una base di vettori ortonormali di cardinalità che mi con-

N M

senta di rappresentare tutti i segnali Consideriamo ora alcuni

S (t), ..., S (t).

1 M

casi particolari

• : le funzioni sono ossia per la rappresen-

ortogonali,

N = M S , ..., S

1 M

tazione di ognuna di esse è necessaria l’introduzione di un nuovo versore;

un esempio è quello di segnali dislocati temporalmente, in quanto fissato

al massimo uno dei sarà non nullo, e quindi il suo prodotto scalare

t S (t)

i

con qualunque altro segnale sarà nullo

• : i segnali sono questo è ciò che avviene

proporzionali;

N = 1 S , ..., S

1 M

nel caso di segnali PAM, in cui l’unica caratteristica a variare è l’ampiezza

In generale si avrà .

N M

A questo punto posso scrivere qualunque segnale come combinazione lineare

di segnali della base secondo la formula

N

X (5.3)

S (t) = S Ψ (t)

i ik k

k=1

e quindi ho associato ad ogni segnale un vettore Al

S (t) S = (S , S , ..., S ).

i i i1 i2 iN

variare della base posso avere più rappresentazioni vettoriali dello stesso segnale.

L’applicazione (5.4)

S (t) S

i i

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

72 CAPITOLO 5. TRASMISSIONE SU CANALE AWGN

è un ; si ricava infatti che l’operazione di prodotto

1 2

isomorfismo isometrico

scalare si conserva nei due insiemi, ossia

ˆ

T ∞

X (5.5)

S (t)S (t)dt = S S

i j ik jk

k=1

0

e se il prodotto scalare diventa pari all’energia dell’i-esimo segnale, per cui

i = j ˆ

T ∞

X (5.6)

2 2

|S |S |

(t)| dt =

i ik

k=1

0

che equivale a dire che .

2 2

||S ||S ||

(t)|| =

i i

39. Nell’applicazione di quest’ultima proprietà è rappre-

F-trasformata,

Remark

sentata dall’uguaglianza di Parseval.

Si definisce tra due funzioni e la quantità

Definition 40. distanza S (t) S (t)

i j (5.7)

||(S −

d(S (t), S (t)) = (t) S (t)||

i j i j

e il suo quadrato è pari all’energia associata alla differenza tra le due funzioni.

Abbiamo però detto che l’energia è conservata dall’operatore introdotto in questo

paragrafo, per cui si avrà anche (5.8)

||S − ||

d(S , S ) = S

i j i j

5.1.3 Esempi di applicazione della rappresentazione geometrica

5.1.3.1 Segnale PAM passa basso

Abbiamo già parlato dei segnali PAM come segnali del tipo (5.9)

S (t) = A g (t)

m m T

con e e è un segnale in (passa

≤ ≤ −

m = 1, 2..., M 0 t T g (t) banda base

T

basso). Un esempio di un segnale PAM passa-basso è il seguente

Siccome tutti i segnali sono proporzionati ad uno solo è possibile considerare

la base di cardinalità unitaria (sistema di vettori di dimensione e scrivere

N = 1)

il generico segnale PAM come g (t)

g (t) T

T p p

E E

||g = A = A Ψ(t)

S (t) = A (t)|| m

m g g

m m T p

||g (t)|| E

T g

1 Un isomorfismo è un’applicazione che conserva la struttura caratteristica degli insiemi.

2 Le proprietà geometriche dei segnali sono conservate. Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

73

5.1. PROCEDURA DI GRAM-SCHMIDT

Figura 5.1:

da cui si ricava che, nel caso di segnali PAM, si può definire

g (t)

T (5.10)

Ψ(t) = ||g (t)||

T

quindi tutti i segnali sono proporzionati a con coefficiente di pro-

S (t) Ψ(t)

m

porzionalità .

p E

A m g

L’energia di è pari a

S (t)

m ˆ ˆ

T T p

2 2 2 2

E E E

= S (t)dt = A Ψ (t)dt = A

m g g

m m m

0 0

in virtù del fatto che è normalizzato.

Ψ(t)

5.1.3.2 Segnale PAM passa banda

Nel caso in cui sia necessario utilizzare un canale passa banda per la trasmissione

di un segnale, è necessario modulare passa basso mediante un coseno e si

g (t)

T

ottiene infine una generica forma d’onda (5.11)

u (t) = A g (t) cos 2πf t

m m c

T

che trasformato secondo Fourier ci dà

A m −

U (f ) = (G (f f ) + G (f + f ))

m c c

T T

2

41. Viene scelta una frequenza della modulante , con pari al-

1

Fact f T

c T

la durata della portante in quanto è una misura della banda della

g (t), 1/T

T

portante. Siccome noi vogliamo trasformare un segnale passa-basso in passa-

banda, è necessario che la traslazione dello spettro di sia sufficientemente

g (t)

T

ampia da allontanare le sue componenti significative dallo Ciò implica che sia

0.

e quindi che la portante possa essere vista come costante in un periodo

T T

c

del modulante.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

74 CAPITOLO 5. TRASMISSIONE SU CANALE AWGN

Calcoliamo ora l’energia di u (t)

m

ˆ ˆ

T T

2 2 2 2

E = u (t)dt = A g (t) cos 2πf t dt =

m c

m m T

0 0

scrivendo il coseno secondo la formula di bisezione ˆ

ˆ T

T 2 2

1 A A

1 m m 2

2 2 E g (t) cos 4πf t dt =

+ cos 4πf t dt = +

= A g (t) c

c g T

m T 2 2 2 2 0

0

se estendiamo il secondo integrale a tanti intervalli di durata si può approssi-

T

c

mare costante su ogni intervallo e quindi l’integrale nullo perchè esteso al

g (t)

T

solo coseno. Si ottiene quindi 2

A (5.12)

m

E E

=

m g

2

si noti come il prodotto per un coseno dimezza l’energia del segnale. Se consid-

erassi invece il segnale avrei la stessa energia del caso precedente.

2u (t)

m √

Calcolo ora la funzione Considerando il segnale 2u (t)

Ψ(t). m

√ 2g (t) cos 2πf t

c

T

||g

2u (t) = A (t)||

m m T ||g (t)||

T

√ 2g (t) cos 2πf t

analizzo la quantità ; essa ha energia

c

T

||g (t)||

T

ˆ

T 2 2 E

2g (t) cos 2πf t 1

c g

T dt = 2+0=1

2 2

||g ||g

(t)|| 2 (t)||

T T

0

dove ci siamo avvalsi di quanto osservato precedentemente. Siccome l’energia è

unitaria, posso scrivere √ 2g (t) cos 2πf t

c

T (5.13)

Ψ(t) = ||g (t)||

T

e la componente di rispetto a è ; la rappresentazione

p E

2u (t) Ψ(t) A

m m g

geometrica allora è uguale a quella di , ma la base è diversa, per cui i segnali

S

m

saranno diversi. Si tenga presente che le trasmissioni dipendono solo dalla rapp-

resentazione geometrica e non dalla forma d’onda scelta: un ricevitore non sarà

in grado di distinguere due rappresentazioni geometriche uguali, ma analitiche

diverse. 42. Essendo , se è impossibile che tutti i segnali

2

E E

Remark = A M > 2

m g m

abbiano lo stesso valore di e quindi la stessa energia. Allora in una rappresen-

2

A m

tazione monodimensionale quale quella di un segnale PAM non si può associare

la stessa energia a tutti gli segnali.

M > 2 Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

75

5.1. PROCEDURA DI GRAM-SCHMIDT

43. Si noti che, sapendo già a priori che la procedura di Gram-

Remark N = 1,

Schmidt è stata bypassata.

Facciamo ora l’ipotesi di avere da cui (informazione

M = 4 K = log M = 2

2

trasportata da 2 bit) e simboli equiprobabili; la probabilità associata a ciascuno

di essi è pari a L’energia media degli segnali sarà

1/4. M M

E g X 2

E = E[E ] = A

av m m

M m=1

supponendo che sia che corrisponde a dei segnali equidis-

− −

A = (2m 1 M ),

m

tanziati (infatti valore negativo più estremo,

−M −M

A = + 1 A = + 3,

1 2

ecc.), si ha

−M

A = + 5,

3 M

E E

g g

X 2 2

− − −

E = (2m 1 M ) = (M 1)

M M 3

m=1 , mentre per molto grande si ha

che per è pari a 15

E M

M = 4 E =

4 g 12 2

M (5.14)

E

E = g

M 3

per cui l’energia (e la potenza) cresce proporzionalmente con il numero di PAM

usati. Maggiore è l’informazione che vogliamo trasportare (bit-rate), maggiore

è la potenza e l’energia necessaria per tale trasmissione.

5.1.3.3 Segnale MPSK

I segnali MPSK (M-ary phase shift keying) sono segnali del tipo

r

2E 2πm

s (5.15)

u (t) = cos 2πf t +

m c

T M

definiti per e per . Essi sono allora segnali modulati in

t [0; T ] m = 1, 2, ..., M

fase con la stessa ampiezza, e quindi caratterizzati dalla stessa energia.

E’ possibile dimostrare per ispezione che i segnali MPSK sono bidimensionali,

ossia che infatti

u (t) = S Ψ (t) + S Ψ (t);

m m1 1 m2 2

r r

2πm 2 2πm 2

p p

E E

u (t) = cos (2πf t) + (−1) sin (2πf t)

cos sin

m s c s c

M T M T

| {z } | {z }

Ψ (t) Ψ (t)

1 2

dove, dimostrato che le due parti dipendenti dal tempo e sono

Ψ (t) Ψ (t)

1 2

ortogonali e con norma unitaria, risulta domostrata l’ipotesi fatta. Effettuiamo

ora tale calcolo ˆ ˆ

T T

2 1

2 1

2

cos 2πf t dt = + cos 4πf t dt = 1

c c

T T 2 2

0 0

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

76 CAPITOLO 5. TRASMISSIONE SU CANALE AWGN

(perchè ci sarebbero cicli di coseno in secondi). Lo

questo se K K T

T = f c

stesso discorso vale anche per Dimostrato che tali segnali sono a norma

Ψ (t).

2

unitaria, bisogna dimostrare che sono anche ortogonali

ˆ

T

2 sin 2πf t cos 2πf t dt = 0

c c

T 0

in quanto E’ dimostrato quindi che i segnali

sin(2a) = 2 sin a cos a. r 2 (5.16)

Ψ (t) = cos (2πf t)

1 c

T

e r 2 (5.17)

− sin (2πf t)

Ψ (t) = c

2 T

costituiscono una base ortonormale di vettori, e le componenti del generico seg-

√ √

nale lungo e sono rispettivamente e ;

2πm 2πm

E E

u (t) Ψ (t) Ψ (t) cos sin

m 1 2 s s

M M

l’energia di sarà allora

u (t)

m 2πm 2πm (5.18)

2 2

E E E

= (cos + sin ) =

m s s

M M

quindi si noti come al variare di non varia l’energia, ma solo la fase del segnale.

m

Quanto detto significa che su di un piano bidimendionale di assi e gli

Ψ Ψ M

1 2

segnali saranno rappresentati mediante punti giacenti sulla stessa circonferenza

(si ricordi che l’energia è pari al quadrato della distanza dall’origine). Se avessi

q

per esempio otterrei una rotazione di 45°

2E π 2πm

u (t) = cos 2πf t + +

s

m c

T 4 M

dei punti, ma sotto il punto di vista delle prestazioni un moto rigido quale quello

di rotazione non comporta variazioni; le prestazioni, infatti, dipendono dalla

distanza tra i punti (minore è la distanza, maggiore è la probabilità di incorrere

in errori di valutazione), e in caso di moto rigido la distanza reciproca dei punti

non cambia.

Sulla base della durata della portante viene fissata la banda del segnale

T

trasmesso (pari a ) e viene progettato il canale utilizzato; all’aumentare di

1/T

la banda diventa più stretta e il canale necessario per la trasmissione è più

T

economico. Inoltre, si potrebbe pensare di lasciare inalterato (e di conseguen-

T

za il canale) aumentando e quindi, siccome , diminuendo ; ciò

K T = K T T

b b

comporterebbe un incremento del e quindi del numero di bit emessi

bit rate

dalla sorgente nell’unità di tempo. Nonostante ciò comporti un incremento nella

quantità di informazione trasmessa, la conseguenza dell’aumento di è che

K

essendo ci sarebbe anche un incremento esponenziale della complessità

K

M = 2

del sistema; essendo inoltre la differenza di fase tra due segnali adiacenti pari a

, essa diminuirebbe comportando un aumento nella probabilità d’errore dovuta

M

alla minore distanza angolare (e quindi distanza lungo la circonferenza) dei seg-

nali. Tale problema viene chiamato il

trade-off bit-rate - complessità-errore,

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

77

5.1. PROCEDURA DI GRAM-SCHMIDT

cui nome indica che un incremento della quantità di informazione emessa nel-

l’unità di tempo comporta un incremento esponenziale della complessità e della

probabilità d’errore.

Una possibile soluzione al trade-off bit-rate - complessità-errore è incre-

mentare il raggio della circonferenza al fine di aumentare la distanza tra i seg-

nali pur lasciando invariata la distanza angolare tra di essi; tuttavia, ciò com-

porterebbe un aumento dei costi dovuto al fatto che il raggio è pari a ,

E s

quindi sarebbe necessario aumentare l’energia dei segnali e la sorgente dovrebbe

lavorare ad una potenza superiore. In alternativa si potrebbe pensare di fissare

una potenza massima d’esericizio e di posizionare tutti i segnali all’interno della

circonferenza di raggio pari a ; ciò permetterebbe di posizionare lo stesso

E s

numero di segnali in uno spazio maggiore (effettuando una discriminazione non

solo di fase, ma anche di energia) e così di compensare con dei costi maggiori

una maggiore prestazione.

Un metodo che consente di diminuire il danno associato ad un errore è la

codifica Gray, che consiste nell’andare ad associare a due segnali “vicini” dei codici

binari che differiscono per un solo bit; in tal modo ad un errore di valutazione è

associato al massimo l’errore di un bit.

Analizziamo ora le proprietà geometriche di un segnale MPSK. Sappiamo che

√ √

ad un segnale è associato il vettore e

2πm 2πm

E E

S (t) S = cos ; sin

m m s s

M M

abbiamo già determinato l’energia del segnale pari a (5.19)

2

||S E

(t)|| =

m s

ora calcoliamo la distanza tra il segnale e Si ha

S (t) S (t).

n m

s 2 2

2πm 2πn 2πm

2πn

p

p 2 − −

||S − || E

d = cos + sin sin =

S = cos

nm n m s M M M M

r −

2π(n m)

p E −

= 2 2 cos

s M

quindi in conclusione s

2π(n m) (5.20)

2E 1 cos

d = s

nm M

Facciamo ora le dovute osservazioni

• per la distanza è nulla (segnali coincidenti)

m = n

• la distanza minima è data da se ho

m n = 1; M 1

r 2π

2E

d =

min s M

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

78 CAPITOLO 5. TRASMISSIONE SU CANALE AWGN

perchè per bassi valori dell’argomento il coseno può essere approssimato

come Ciò vuol dire che all’aumentare di (e quindi di

1−argomento. M K

e del in quanto ) la diminuisce, e l’unico

K T R

bit rate M = 2 = 2 d

b min

modo per mantenerla costante all’aumentare di è di incrementare il

M

valore dell’energia del segnale .

E s

5.1.3.4 Combinazione di PAM

Un altra categoria di segnali bidimensionali è rappresentata da combinazioni di

una coppia di segnali PAM dislocati temporalmente, di durata (uno da a

T /2 0

; la base sarà quindi composta

e l’altro da a ) e di ampiezza p 3

2/T

T /2 T /2 T

dai seguenti versori

3T

q q

t−

t−T /4 (5.21)

rect rect

2 2

Ψ (t) = Ψ (t) = 4

1 2

T T

T /2 T /2

Un possibile sistema di vettori-segnali con rappresentabili tramite

M = 4

questa base è √

 E

S (t) = Ψ (t)

1 s 1

 √E

S (t) = Ψ (t)

 2 s 2

− E

S (t) = Ψ (t)

3 s 1

 −√E

 Ψ (t)

S (t) =

 s 2

4

essi sono segnali bi-ortogonali (si noti che e sono ortogonali) ma complessi-

S S

1 2

vamente non ortogonali (S e sono paralleli). Siccome la rappresentazione

S

1 3

geometrica è la stessa degli MPSK le probabilità d’errore sono le stesse. Si

potrebbe anche ruotare rigidamente di 45° tale sistema di vettori andando ad

utilizzare i segnali  p

p E E

/2Ψ (t) + /2Ψ (t)

S (t) = s 1 s 2

1

 p p

 − E E

S (t) = /2Ψ (t) + /2Ψ (t)

 2 s 1 s 2

p p

− E − E

S (t) = /2Ψ (t) /2Ψ (t)

3 s 1 s 2

 p p

 E − E

S (t) = /2Ψ (t) /2Ψ (t)

 4 s 1 s 2

dove si nota il fatto che ciascuno di essi è combinazione di una coppia di segnali

PAM.

Ancora una volta sussiste il problema che all’aumentare di , se la potenza

M

d’esercizio rimane invariata, diminuisce la distanza tra i segnali e quindi aumenta

la probabilità d’errore; ancora una volta, è possibile incrementare la potenza

d’esercizio o determinare una potenza massima così da posizionare i segnali

all’interno della circonferenza. ´ T /2

3 2

Si ricordi che i segnali appartenenti alla base devono essere a norma unitaria, e dt =

T

0

1. Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

79

5.1. PROCEDURA DI GRAM-SCHMIDT

5.1.3.5 Segnali QAM

Se considero un segnale (5.22)

u (t) = A Ψ (t) + A Ψ (t)

m cm 1 sm 2

con e gli stessi di quelli visti al paragrafo (passa - banda) o

Ψ Ψ 5.1.3.3 rect

1 2

(passa - basso), al variare di si ottengono segnali bidimensionali modulati

m

in ampiezza e in fase, quindi a energia variabile a seconda dei valori di e

A cm

. Per generare un segnale QAM passa-banda in questo modo posso utilizzare

A sm

uno schema di questo tipo chiamato dove la ’Q’ sta per

modulatore QAM

Figura 5.2:

quadrature.

La sorgente genera una serie di bit in un tempo , i quali ven-

K T

gono emessi come simboli dal convertitore serie/parallelo. Ai bit

K

viene associata la coppia e che viene moltiplicata rispet-

A A

cm sm

tivamente ad un coseno (seno generato dal modulatore e sfasato di

90°) e ad un seno (generato dal modulatore) per generare la cop-

pia di PAM passa-banda da sommare ed ottenere infine il segnale

I valori e devono essere determinati così da avere

u (t). A A

m cm sm

.

2 2 E

=

A + A m

cm sm

I segnali QAM sono modulati sia in fase sia in ampiezza; infatti

r r r

2 2 2 p 2 2

u (t) = A cos 2πf t−A sin 2πf t = A + A cos(2πf t+ϑ )

m cm c sm c c m

cm sm

T T T

e possono essere visti come sovrapposizione di sue PAM in quadratura perchè

u (t) = A Ψ (t) + A Ψ (t).

m cm 1 sm 2

5.1.3.6 Schemi di modulazione multi-dimensionale

Un’altra categoria di segnali utilizzabili per la trasmissione di informazione è

quella dei segnali multi-dimensionali o mutuamente ortogonali.

Esistono diversi metodi per la generazione di segnali ortogonali; il primo

è rappresentato dalla che consiste nella

procedura iterativa di Hadamard

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

80 CAPITOLO 5. TRASMISSIONE SU CANALE AWGN

generazione di una matrice la quale indica l’ampiezza di ogni tratto di segnale.

Per si ha

M = 2

1 1 (5.23)

H =

2 −1

1

che indica che il segnale di durata è costituito da due tratti di durata

S (t) T

1

e di ampiezza (o generico, a seconda dell’energia del segnale), mentre

T /2 1 A

il segnale è costituito da due tratti di durata e di ampiezza rispetti-

S (t) T /2

2

vamente e (o e scelti i segnali a in questo modo, essi

−1 −A);

1 A S (t) S (t)

1 2

saranno mutuamente ortogonali ed equienergetici. Per si ha

M = 4

 

1 1 1 1

−1 −1

H H 1 1

2 2 (5.24)

 

H = =

4  

−H −1 −1

H 1 1

2 2  

−1 −1

1 1

In conclusione per un generico si ricava

M = 2n

H H

n n (5.25)

H =

2n −H

H

n n

tutte le righe e le colonne saranno linearmente indipendenti; i segnali si sovrap-

pongono nel tempo ma sono mutuamente ortogonali ed equienergetici.

Se invece voglio prendere dei segnali temporalmente disgiunti in un tempo

complessivo posso dividere l’intervallo in parti di duarata T

T [0; T ] M T /M = K

2

ed assegnare ad ogni intervallo un segnale (ad esempio rettangolare) di ampiezza

√ questi segnali sono chiamati PPM (pulse e la

position modulation)

M A;

loro formula analitica è √

T (5.26)

S (t) = A M g t m

m T M

con e Tutti i segnali saranno equienergetici e

≤ ≤ −

0 t T m = 0, 1, ..., M 1.

avranno la stessa energia dei segnali costruiti mediante procedura di Hadamard,

ma siccome essi sono “spalmati” ognuno in un tempo pari a , mentre i

T /M

precedenti hanno ciascuno durata , la potenza di lavoro del trasmettitore deve

T

essere maggiore in quest’ultimo caso .

4

Siccome ogni segnale ha durata , al crescere di la durata dell’impulso

T /M M

diminuisce e conseguentemente la sua banda in frequenza aumenta esponenzial-

K

K che cresce all’aumentare di ovviamente ciò

mente, perchè 2

2

∝ = R K;

B b

T K

comporta un aumento dei costi di canale.

Diamo ora una definizione generale di segnali mutuamente ortogonali.

4 Si ricordi che la potenza è pari al rapporto tra l’energia e il tempo di utilizzo

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

81

5.1. PROCEDURA DI GRAM-SCHMIDT

Si definiscono segnali mutuamente ortogonali

Definition 44. M S (t), ..., S (t)

1 M

se si ha

∀i, ∈ {1, }

j 2, ..., M ˆ

T ∗ (5.27)

E −

< S (t), S (t) >= S (t)S (t)dt = δ(i j)

i j i s

j

0

quindi il prodotto scalare è non nullo solo se i due segnali sono coincidenti.

Si potrebbe costruire una base di versori ortonormali di cardinalità pren-

M

dendo i versori S (t)

i (5.28)

Ψ (t) =

i ||S (t)||

i √

così da costituire le funzioni di base; ogni vettore avrà componenti E

M S (0, 0, ..., , 0, ..., 0)

i s

dove l’unico elemento non nullo è l’i − esimo.

Calcoliamo ora la distanza tra due segnali qualunque tra gli considerati

M

p p

2 2 2 2

||S − ||S − || ||(0, E − E

d = (t) S (t)|| = S = ..., , ..., , ..., 0)||

i j i j s s

ij

dove il primo elemento non nullo è l’i e il secondo è il Si

− −

esimo j esimo.

ricava infine (siccome la norma di un vettore è pari alla somma del quadrato

delle componenti), che p (5.29)

d = 2E

ij s

quindi l’utilizzo di segnali mutuamente ortogonali comporta dei costi maggiori,

ma una distanza tra i segnali indipendente da e quindi le prestazioni del

M

sistema restano costanti al variare di differentemente da quanto avveniva per

K,

i e per i .

P AM QAM

E’ possibile trasformare un sistema di segnali mutuamente ortogonali S (t), ..., S (t)

1 M

da passa-basso a passa-banda prendendo (5.30)

u (t) = S (t) cos 2πf t

m m c

in cui definisce la forma del segnale (che dipende dalle caratteristiche del

S (t)

m

canale scelto, o viceversa) e indica la frequenza nella quale è centrata la banda

f

c

di u (t).

m Ipotizziamo ora di avere un sistema di seg-

5.1.3.6.1 Segnali biortogonali

nali mutuamente ortogonali con fissato; se raddoppio da un lato aumenta

M M

la velocità di trasmissione, perchè aumenta dall’altro aumenta la dimension-

K,

alità e con essa la complessità del sistema (aumenta la banda). Tuttavia se

il modulatore produce, oltre a anche la banda resta inalterata

−S

S (t), (t),

i i

perchè essi sono rappresentabili mediante lo stesso versore e la durata di

Ψ (t)

i

ogni singola funzione della base non varia nonostante si possano trasmettere 2M

segnali anziché ; i segnali restano tutti equienergetici, però la distanza tra due

M

segnali antipodali (S e è diversa dalla distanza tra uno di essi e tutti

−S

(t) (t))

i i

gli altri segnali. I segnali così generati sono chiamati in quanto

biortogonali,

essi sono in coppia paralleli, e ortogonali rispetto a tutti gli altri.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

82 CAPITOLO 5. TRASMISSIONE SU CANALE AWGN

5.1.3.7 Segnali M-FSK

I segnali M-FSK (M-ary Frequency Shift Keying) sono descritti dalla formula

analitica r 2E

s (5.31)

u (t) = cos [2π(f + m∆f )t]

m c

T

con e essi sono allora segnali modulati in

≤ ≤ −

0 t T m = 0, 1, ..., M 1;

frequenza ad ampiezza e a fase costante.

Verifichiamo ora che i segnali sono mutuamente ortogonali; calcoliamo il

coefficiente di correlazione pari a | |

< u (t), u (t) >

m n (5.32)

γ =

mn ||u ||u

(t)|| (t)||

m n

Si noti che questa è la relazione di correlazione; quello appena scritto è il

coefficiente di correlazione ed è sempre minore o uguale ad per la disuguaglianza

1

di Schwartz . Procedendo con i calcoli si ha

5 ˆ

T

1 2E

s

γ = cos[2π(f + m∆f )t] cos[2π(f + n∆f )t] dt =

mn c c

E T

s 0

ˆ ˆ

T T

1 1

= cos[2π∆f (m n)t]dt + cos[2π2f t + 2π(m + n)∆f t]dt =

c

T T

0 0

o , è nullo. Il risultato del primo

dove il secondo integrale, se K

1

f =

f c

c T T

integrale è ( se l

− 0 ∆f =

sin 2π(m n)∆f T 2T

= = altrove

2π(m n)∆f T 6 = 0

quindi ottengo un sistema di segnali mutuamente ortogonali (con tutti i vantaggi

che ciò comporta) se ; ovviamente per minimizzare la banda è necessario

l

∆f = 2π

scegliere l = 1.

5.1.3.8 Segnali simplex

Ipotizziamo di avere un sistema di segnali ortogonali con (K quindi

M = 2 = 1,

binari); le rappresentazioni geometriche dei due segnali saranno

√ √

E E

S = , 0 S = 0,

2

1 b b

con energia media del sistema pari a , in quanto i segnali

P

E E E

= p =

av i i b

i

sono equiprobabili. Consideriamo ora il punto medio tra e di componenti

S S

1 2

5 Il prodotto scalare tra due vettori è sempre minore o uguale al prodotto dei moduli.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

83

5.1. PROCEDURA DI GRAM-SCHMIDT

√ √

E E e chiamiamolo ; esso sarà il baricentro del sistema di vettori.

b b

, S 0

2 2

Andiamo ora a definire una nuova coppia di vettori √

√ √ √

E E E E

b b b b

0

0 e − −

− − S = S S =

S = S S = , ,

2 0

1 0 2

1 2 2 2 2

tale operazione è rappresentabile graficamente come segue

Figura 5.3:

In pratica l’operazione effettuata consiste in un moto rigido dei segnali che,

come detto anche precedentemente, non comporta modifiche nella distanza tra i

E E E

segnali ma ne riduce l’energia media in quanto essa diventa 0

E = + =

b b b

av 4 4 2

(si noti che l’energia è la stessa per entrambi i segnali, e quindi uguale a quella

media). In altre parole quello che ho effettuato è stato portare il baricentro

nell’origine per minimizzare il momento di inerzia, ossia l’energia. Si noti che tale

operazione comporta inoltre una perdita dell’ortogonalità dei segnali, e quindi

una riduzione della dimensionalità del sistema.

Andiamo ora a generalizzare il concetto per una qualunque. Consideri-

M

amo un sistema di segnali ortogonali e costruiamo il

M M

{S {S }

(t)}

m m

m=1 m=1

sistema di segnali M

1 X

0 (5.33)

S (t) = S (t) S (t)

m k

m M k=1

(costruibile anche nella rappresentazione geometrica per l’isomorfismo isomet-

rico). Siccome è la probabilità di ognuno degli segnali (se essi sono

1/M M M come

equiprobabili), è possibile interpretare la quantità 1 P S (t)

S (t) =

0 k

k=1

M

la dei segnali in altre parole, gli sono

0

media statistica S (t), ..., S (t); S (t)

1 M m

ricavati dai segnali mutuamente ortogonali depurandoli della loro media

S (t)

m

statistica. I segnali sono chiamati

0 M

{S segnali simplex.

(t)}

m m=1 M

45. Si noti che già dal fatto che (la media statistica

0

1 P

Remark S (t) = 0

k=1 k

M

dei simplex è nulla) si intuisce che tali segnali hanno una dimensionalità inferiore

ai mutuamente ortogonali, e precisamente di una unità inferiore.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

84 CAPITOLO 5. TRASMISSIONE SU CANALE AWGN

Andiamo ora a valutare le proprietà geometriche dei segnali simplex in fun-

zione di quelle dei segnali ortogonali

• la distanza rimane invariata in quanto i simplex sono originati mediante

moto rigido

• l’energia dei simplex è pari a

0 2 2 2 2

||S || ||S − || ||S || ||S || −

E = = S = + 2 < S , S >=

0 m 0 m 0 m 0

s m

m 2

M M

1 1

X X

E −

= + S 2 < S , S >=

s m

k k

M M

k=1 k=1

siccome i vettori sono mutuamente ortogonali, vale il teorema di Pitago-

S k

ra, per cui la norma della somma è pari alla somma delle norme e con-

siderando inoltre che il prodotto scalare è lineare si ottiene

M M

2 M 2

1 X X

2

||S || − E E − E

E < S , S >= +

= + m s s s

s k k

2 2

M M M M

k=1 k=1

in definitiva si ricava che −

M 1 (5.34)

E E

=

0 s

s m M

quindi per bassi valori di è molto vantaggioso utilizzare segnali simplex

M

perchè si ha una forte riduzione dell’energia media.

• il prodotto scalare tra due segnali simplex e con è pari

6

S (t) S (t) m = k

m k

a 0 0 −S −S − −

>=< S , S

< S , S >=< S , S > < S , S > < S , S > + < S , S >=

m 0 0 m m 0 0 0 0

k k k

m k

dove il primo prodotto scalare è nullo perchè i segnali sono ortogonali e i

seguenti due sono già stati calcolati precedentemente; si ottiene

M M

E E 1

s s X X

− −

= + S S =

i

l

2

M M M i=1

l=1

in cui l’ultimo prodotto è non nullo solo se diventando pari a .

M E

i = l, s

2

M

In definitiva si ha E

s

0 0 (5.35)

< S , S >=

m k M

la qual cosa dimostra matematicamente che i vettori non sono più mutu-

amente ortogonali, ma la dimensionalità si è ridotta di un’unità; ciò vuol

dire che uno dei vettori è linearmente dipendente dagli altri.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

5.2. BINARY CODED SIGNAL WAVE FORM (SCHEMA DI MODULAZIONE CODIFICATO)85

• il coefficiente di correlazione è pari a

0 0

< S , S > 1

m (5.36)

k −

=

γ =

mn 0

0 ||

||S || ||S −

M 1

m k

sulla base dei calcoli effettuati precedentemente. In accordo con la disug-

uaglianda di Schwartz esso è minore o uguale ad 1.

Supponiamo di avere una rappre-

5.1.3.8.1 Rappresentazione ON-OFF

sentazione binaria di tipo ON-OFF; le componenti dei due vettori associati ai

due segnali saranno √

E

S = (0, 0) S = , 0

1 2 b

.

e l’energia media sarà 1 12

12 E E

E 0 + =

=

av b b

2

Se trasformiamo l’attuale sistema di segnali in simplex si ottiene, consideran-

E

do che ,

b

S = , 0

0 2 √ √

E E

− b b

S = , 0 S = , 0

1 2

2 2

e l’energia media del sistema diventa pari all’energia del singolo segnale, ossia

E , quindi essa si dimezza.

E = b

av 4

Tuttavia, nonostante ciò comporti un lavoro ad una potenza inferiore, non

possiamo dire a priori che ciò comporta un miglioramento complessivo delle

prestazioni in quanto alcuni canali non sono in grado di effettuare una buona

discriminazione di fase e quindi non sarebbero in grado di distinguere i due

segnali.

5.2 Binary coded signal wave form (Schema di mod-

ulazione codificato)

Dato un blocco di simboli binari lungo il cui generico

6

N C = (C , ..., C )

m m1 mN

elemento è binario, ad esso corrisponde un segnale

∈ {1, −1}

C i1 −1

N

X (5.37)

S (t) = C g (t kT )

m c

T

mk

k=0

con . Andiamo però a vedere più nel dettaglio la differenza tra

T K

T

T = = b

c N N

i bit e gli simboli binari considerati ora. Nei casi pratici è talvolta utile

K N

andare ad aggiungere all’informazione portata dai bit delle ridondanze (ad

K

esempio il per poter ricostruire l’informazione in caso di

controllo di parità)

distorsione dovuta a rumore. Per tale motivo è sempre se non

N K; N = K

ho introdotto ridondanza.

6 NOTA: il pedice fa riferimento all’intervallo temporale considerato ([0;

m T ], [T ; 2T ],

ecc.).

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

86 CAPITOLO 5. TRASMISSIONE SU CANALE AWGN

46. Si noti che siccome e la durata di è minore

KT ≤

Remark T = K N T

b

c c

N

rispetto a quella di e di conseguenza la banda aumenta.

T

b −1

N

47. Si confronti l’espressione con la

P −

Remark S (t) = C g (t kT )

m c

T

mk

k=0

ricostruzione di segnale a partire dalle sue componenti rispetto ad un sistema

N siccome le sono funzioni ortogonali

ortonormale P S Ψ (t); g (t)

S (t) =

i T

ik k

k=1

è possibile dividere e moltiplicare per la norma e si ricava infine che il segnale

associato al vettore può essere costruito a partire dalle sue componenti

C

m

g (t−kT )

rispetto ai versori , le quali sono

c

T ||g

C (t)||.

mn T

||g (t)||

T

Facciamo ora un esempio con e Siccome ho 3

N = 3 K = 2. 2 = 8

possibili segnali antipodali rappresentabili con bit, i punti che rappresentano

3

tali segnali saranno (in un sistema di assi tridimensionale) i vertici di un cubo.

Tuttavia l’informazione è portata solo da dei bit, quindi i segnali a porttare

2 3

l’informazione sono ovviamente scelgo come quattro punti tra gli vertici

4; 8

quelli più distanti l’uno dall’altro, così da avere migliori prestazioni. Gli altri 4

punti portano solo ridondanza.

Si noti che quanto appena descritto fa riferimento al blocco codificatore

del quale abbiamo trattato nell’introduzione, il quale introduce ridon-

di canale

danza per adattare il segnale alla sorgente.

Supponiamo di avere una sequenza di bit

5.2.0.8.2 Lezione Assistente C

m

di lunghezza chiamata i sono codici binari. A

∈ {−1;

parola codice,

N C 1}

mi

questa parola codice corrisponde un segnale

N

T

X (5.38)

− −

S (t) = C g t (i 1)

m mi T N

N

i=1

con Una possibile realizzazione con è la seguente il

T T

− ≤ ≤

(i 1) t i. N = 6

N N

Figura 5.4:

segnale è composto di impulsi rettangolari di ampiezza o e di durata

−A

6 +A

ciascuno.

T /6 Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

5.2. BINARY CODED SIGNAL WAVE FORM (SCHEMA DI MODULAZIONE CODIFICATO)87

48. A differenza dei segnali PAM, i quali sono modulati in ampiezza

Remark

e segno nell’intero intervallo questi segnali appena introdotti effettuano

[0; T ],

una modulazione di segno all’interno di un sottointervallo di durata , con

T /N

numero di bit trasmessi (lunghezza della parola codice), al fine di trasmettere

N

l’informazione con le necessarie ridondanze.

Allora possiamo calcolare la rappresentazione geometrica del segnale S (t)

m

andando a porre come funzioni di base le

1 T (5.39)

− −

Ψ (t) = t (i 1)

g

i T

p E N

N

g(i)

con e, nell’esempio fatto,

T T

− ≤ ≤

(i 1) t

N N !

T

t

rect (5.40)

2N

(t) = A

g T T

N N

Siccome gli segnali che compongono sono equiener-

T

− −

i g t (i 1) S (t)

m

T N

N

getici, l’energia dell’intero segnale è pari a

ˆ

T 2

E E

= S (t)dt = N

s g

m

0

e le componenti di rispetto alle funzioni di base sono

S (t) Ψ (t)

m i

T

ˆ ˆ i

T N r

E

1 T s

2 p

− − ± E ±

S = S (t)Ψ (t)dt = C g t (i 1) dt = =

mi m i mi g

T

p N N

E N

g

0 T

(i−1) N

Determinate le componenti, ricaviamoci

• coefficiente di correlazione tra due segnali adiacenti e

S (t) S (t)

m n

N

1

< S (t), S (t) >

m n X

ρ = = S S =

mn mi ni

||S ||S E

(t)|| (t)||

m n s i=1

siccome i due segnali sono adiacenti, essi differiscono per una sola compo-

nente, per cui si ha

E E

1 2

s s

− − −

(N 1) =1

= E N N N

s

quindi il coefficiente di correlazione tra due segnali adiacenti è pari a

2 (5.41)

ρ = 1

mn N

e cresce all’aumentare di N

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

88 CAPITOLO 5. TRASMISSIONE SU CANALE AWGN

• la distanza tra due segnali adiacenti è pari a r E s

p (5.42)

2

||S − ||

d = S = 2

mn m n N

e decresce all’aumentare di .

N Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

Capitolo 6

Ricezione da canale AWGN

6.1 Demodulazione

Supponiamo di avere un apparato che riceve un segnale da un canale; tale seg-

nale sarà uguale a quello inviato in trasmissione ma in più sarà “sporcato” dalla

presenza di un rumore additivo bianco (come abbiamo già detto per il canale

AWGN). Il segnale in ricezione sarà quindi (6.1)

r(t) = S (t) + n(t)

m

con segnali per associati ad un sistema di vettori di di-

S (t) m = 1, ..., M

m

mensionalità , a media nulla e con autocorrelazione pari alla delta di

N n(t)

Dirac.

Il segnale attraverserà innanzitutto un blocco di che

demodulazione

r(t)

associa ad esso un vettore con le sue componenti. Per effettuare tale operazione

r

si utilizza lo schema rappresentato in figura 6.1.

Esso mostra come si costruiscono le componenti del vettore associato al

r

segnale in ricezione. Esso consiste nel calcolare le componenti di lungo

r(t) r(t)

gli segnali della base associati ai segnali trasmessi

N Ψ (t), ..., Ψ (t) S (t).

1 m

N

Tuttavia bisogna considerare che il segnale ricevuto differisce da quello trasmes-

so per un rumore bianco additivo, ed inoltre niente garantisce che tale rumore

sia rappresentabile mediante le stesse funzioni di base utilizzate per i segnali

N

trasmessi. Ciò vuol dire che stiamo calcolando le componenti di appartenenti

r

allo spazio vettoriale dei segnali trasmessi, e le sue componenti ortogonali a tale

spazio non vengono calcolate; tali componenti potrebbero però portare infor-

mazioni utili ai fini della riscostruzione del segnale trasmesso. In altre parole, il

modulatore deve essere in grado di ricostruire la statistica sufficiente.

Il rumore sarà dunque costituito da una parte rappresentabile mediante

n(t)

le stesse funzioni di base del segnale trasmesso, e da una parte ortogonale

0

n (t)

allo spazio di base; quest’ultima è quindi pari a

N

X

0 (6.2)

n (t) = n(t) n Ψ (t)

i i

i=1

89

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

90 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

Figura 6.1: ´ T e il segnale ricevuto può essere quindi scomposto

con n(t)Ψ (t)dt,

n = i

i 0

come N N N

X X X

0 0 (6.3)

r(t) = S Ψ (t) + n Ψ (t) + n (t) = r Ψ (t) + n (t)

mi i i i i i

i=1 i=1 i=1

da cui si ricava che le componenti calcolate mediante lo schema precentemente

r

i

rappresentato sono pari a (6.4)

r = S + n

i mi i

e quindi non tiene conto di 0

r = S + n n (t).

m

Analizziamo ora statisticamente il vettore le sue componenti saranno

n; n i

variabili aleatorie gaussiane, in quanto componenti di un segnale aleatorio gaus-

siano lungo delle funzioni di base. La media statistica delle variabili aleatorie

n i

è pari a ˆ

T (6.5)

E[n ] = E[n(t)]Ψ (t)dt = 0

i i

0

in quanto ha media nulla. La correlazione tra due variabili e è pari a

n(t) n n

i k

ˆ ˆ ¨

T T T

 

E[n , n ] = E n(t)Ψ (t)dt n(τ )Ψ (τ )dτ = E[n(t)n(τ )]Ψ (t)Ψ (τ ) dt dτ =

i i i

k k k

 

0 0 0 Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

91

6.1. DEMODULAZIONE

ricordando che la funzione di correlazione del rumore è impulsiva e la

n(t)

proprietà campionatrice della si ha

δ ˆ

T N 0

= Ψ (t)Ψ (t)dt

i k

2

0

. Ricordando che le funzioni di base sono ortonormali, tale integrale

con N 2

= σ

0 n

2

è non nullo e unitario solo se per cui in definitiva si ha

i = k, N

0 (6.6)

E[n , n ] = δ(i k)

i k 2

Quanto detto si traduce sul fatto che le variabili aleatorie sono incorrelate,

n i

perchè se la correlazione è nulla. Tuttavia, variabili aleatorie gaussiane

6

i = k

incorrelate sono anche statisticamente indipendenti, ed è possibile calcolare la

PDF congiunta come prodotto delle PDF marginali. Si ha

N N 2

n

1 i

Y Y (6.7)

f (n) = f (n ) = e N

0

n n i

i πN

0

i=1 i=1

Fatte queste considerazioni, è possibile caratterizzare anche il vettore di vari-

abili aleatorie le sue componenti sono pari a , con considerata

r; r = S +n S

i mi i mi

deterministica, per cui saranno anch’esse incorrelate e gaussiane e si avrà anche

(6.8)

E[r ] = E[S ] + E[n ] = S

i mi i mi

e N

0 (6.9)

2 2 2

σ = E[(r S ) ] = E[n ] =

i mi

r i 2

Siccome in realtà non è deterministica ma aleatoria (altrimenti non si

S

m

avrebbe trasferimento di informazione), bisogna calcolare la PDF congiunta del

vettore supposto che sia determinato; essa sarà pari a

r S

m

N N 2 2

−S −Smi

1 1

(r ) (ri )

N

i mi P

− −

Y Y √

|S i=1

f (r|S ) = f (r ) = e = e =

N N

0 0

m i mi

|S

r|S r N

m i mi πN (πN )

0 2

0

i=1 i=1 (6.10)

e, ricordando la definizione di distanza, si ha 2

||ri −Smi ||

1 −

e

= N

0

N

(πN ) 2

0

Andiamo ora a dimostrare perchè è irrilevante ai fini della decisione

0

n (t)

del segnale inviato (ossia perchè non porta informazioni utili ai fini del-

0

n (t)

la determinazione di ). Calcoliamo quindi la correlazione tra la generica

S m

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

92 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

variabile aleatoria e in quanto se esse sono incorrelate saranno anche

0

r n (t),

k

statisticamente indipendenti (perchè gaussiane). Si ha allora

0 0 0 0 0 0

E[r n (t)] = E[(S +n )n (t)] = E[S n (t)]+E[n n (t)] = S E[n (t)]+E[n n (t)] =

k mk k mk k mk k

dove il primo addendo è nullo perchè è a media nulla. Proseguendo si

0

n (t)

ottiene N N

" !#

X X

− −

= E n n(t) n Ψ (t) = E [n n(t)] E[n n ]Ψ (t)

i i i i

k k k

i=1 i=1

mentre il primo è pari a

il secondo addendo è pari complessivamente a N Ψ (t),

0 k

2

ˆ ˆ

T T

 n(τ )Ψ (τ )dτ n(t) = E[n(τ )n(t)]Ψ (τ )dτ =

E[n n(t)] = E k k

k 

 0 0

ˆ

T N N

0 0

= δ(t τ ) Ψ (τ )dτ = Ψ (t)

k k

2 2

0

ed è uguale al secondo addendo, per cui si ha in definitiva

0 (6.11)

E[r n (t)] = 0

k

quindi non porta informazioni utili riguardo

0

n (t) r(t).

6.1.1 Filtro adattato alla forma d’onda Ψ k

Ipotizziamo di avere un filtro LTI con funzione di trasferimento (6.12)

h(t) = Ψ (T t)

k

e diamo in ingresso al filtro il segnale avremo in uscita

r(t);

ˆ ˆ

t t (6.13)

− −

y(t) = r(τ )h(t τ )dτ = r(τ )Ψ (T t + τ )dτ

k

0 0

e calcolato per , si ha

t = T ˆ

T (6.14)

y(t = T ) = r(τ )Ψ (τ )dτ = r

k k

0

che è la componente di lungo Allora, andando ad applicare questo

r(t) Ψ (t).

k

tipo di filtro per ogni valore di , ed andando a campionare l’uscita

k = 1, ..., N Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

93

6.1. DEMODULAZIONE

nell’istante , si ottengono le componenti di lungo le funzioni

t = T r , ..., r r(t)

1 N

di base.

Se considero invece e do in ingresso al filtro ottengo

h(t) = S(T t) S(t)

ˆ t −

y(t) = S(τ )S(T t + τ )dτ

0

che, campionato in , dà

t = T ˆ

T

y(T ) = S(τ )S(τ )dτ =< S(t), S(t) >

0

Andiamo ora a dimostrare che la scelta della forma d’onda come

S(T t)

funzione di trasferimento del filtro è quella che massimizza il rapporto segnale

rumore.

Partiamo da una generica. L’uscita del filtro LTI sarà

h(t)

ˆ ˆ ˆ

t t t

− − −

y(t) = (S(τ ) + n(τ )) h(t τ )dτ = S(τ )h(t τ )dτ + n(τ )h(t τ )dτ

0 0 0

calcolato in si ha

t = T

ˆ ˆ

T T

− −

y(T ) = S(τ )h(T τ )dτ + n(τ )h(T τ )dτ = y (T ) + y (T )

s n

0 0

andiamo ora a sostituire quanto scritto nella formula del rapporto segnale-rumore

in uscita 1 ´ 2

h i

T −

S(τ )h(T τ )dτ

S 0

= ´

2

N

T

o −

E n(τ )h(T τ )dτ

0

dove la quantità al denominatore è pari a

ˆ ˆ

T T

   

2

− −

E y (T ) = E n(τ )h(T τ )dτ n(t)h(T t)dt =

n 

   

0 0

¨ ˆ

T T N

0 2

− − −

= E[n(τ )n(t)]h(T τ )h(T t)dτ dt = h (T t)dt

2

0 0

potenza segnale

2

y (T )

1 S .

s

= = potenza rumore

2

N E[y (T )]

o n

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

94 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

dove l’ultimo passaggio è effettuato in virtù del fatto che la correlazioni tra due

processi gaussiani è impulsiva. Andando a sostituire si ha

´ 2

h i

T −

S(τ )h(T τ )dτ

S 0 ´

= T

N

N 2 −

h (T t)dt

0

o 2 0

dove a denominatore c’è l’energia di costante e al numeratore c’è un prodot-

h(t)

to scalare. Sappiamo però che per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz un

prodotto scalare al quadrato è sempre minore o uguale al prodotto delle energie

dei segnali, ed esso è massimizzato (si ha uguaglianza) solo se i due segnali sono

coincidenti. Allora se prendiamo il numeratore è massimizzato,

h(t) = S(t)

e siccome il denominatore è costante non esiste un’altra che consenta di

h(t)

massimizzare il rapporto segnale-rumore in uscita. Andiamo ora a calcolare tale

rapporto ´ 2

h i

T −

S(τ )S(T τ )dτ

2

S 0 (6.15)

´ E

=

= s

T

N

N N

2 −

S (T t)dt

0 0

o 2 0

Abbiamo quindi dimostrato che il filtro che massimizza il rapporto segnale

al segnale trasmesso.

rumore in uscita è il filtro adattato

La risposta in frequenza del filtro adattato è

ˆ ˆ

−j2πf −j2πf −j2πf

t j2πf τ T T

H(f ) = S(T t)e dt = S(τ )e e dτ = S(−f )e

∞ ∞ (6.16)

dove, ricordando l’Hermitianetà, si ha anche ∗

S(−f ) = S (f ).

Se diamo in ingresso il segnale al filtro adattato

R(f ) = S(f ) + N (f )

otteniamo in uscita ∗ −j2πf −j2πf (6.17)

T 2 T

|S(f

Y (f ) = S(f )H(f ) = S(f )S (f )e = )| e

s

e la sua antitrasformata è

ˆ ˆ

−j2πf (6.18)

2 T j2πf t 2

|S(f |S(f E

y (t) = )| e e df = )| df =

s s

|{z}

t=T

∞ ∞

se consideriamo la densità spettrale di potenza dell’uscita dovuta al rumore si ha

N 0 (6.19)

2 2

|S(f

S (f ) = S (f )|H(f )| = )|

yn n 2

per cui la potenza dell’uscita dovuta al rumore sarà

ˆ ˆ N

N

0 0 (6.20)

2

|S(f E

P = S (f )df = )| df =

y y s

n n 2 2

∞ ∞ Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

95

6.2. DECISORE

quindi, ricordando che l’area sottesa da su tutto l’asse delle frequenze è pari

S

y n

alla funzione di autocorrelazione calcolata per (quindi

τ = 0 E[y (T )y (T +

n n

potrei calcolare il rapporto segnale rumore in uscita anche nel

2

0)] = E[y (T )])

n

dominio della frequenza, ottenendo

2 2

E

S 2

y (T ) (6.21)

s s E

=

= = s

N

2

N E[y (T )] N

E

0 0

n s

o 2

6.2 Decisore

Una volta ricostruito il vettore interviene un dispositivo chiamato il

decisore

r,

quale, sulla base della valutazione di mediante certi criteri, decide quale dei

r

possibili è il simbolo inviato dal trasmettitore.

M

Tale ruolo non è semplice a causa del rumore; abbiamo infatti detto che

per cui, determinato il vettore associato al segnale trasmesso,

r = S +n, S S (t)

i i i

il vettore sarà una sequenza di variabili aleatorie centrato in e con PDF

r S

i

simile a quella della variabile aleatoria (a parte la media statistica). Se tale

n

rumore fosse inesistente avrei una PDF di impulsiva e centrata

2

f (r|S ) r

r i

in , ma siccome anche il canale più semplice è AWGN (presenta un rumore

S i

gaussiano bianco additivo) allora tale PDF sarà una gaussiana centrata in la

S i

cui “larghezza” è proporzionale a .

N

0

Facciamo l’esempio di e in tal caso i segnali sono biortogonali

N = 2 M = 4;

e, trasmesso , la probabilità che sia posizionato in un determinato punto del

S r

i

piano è descritta da una gaussiana, e questo vale per

Ψ (t),Ψ (t) i = 1, 2, 3, 4.

1 2

Graficamente potremmo vedere il problema come in figura 6.2.

Figura 6.2:

2 E’ la PDF associata al fatto che in trasmissione è stato mandato , ed indica la probabilità

S i

che, fissato il segnale inviato, sia un determinato vettore.

r

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

96 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

Le “nuvolette” indicano il fatto che potrebbe essere posizionato in una

r

qualunque posizione dello spazio e, inviato , la posizione più probabile è quella

S

i

in prossimità di (in quanto è una gaussiana centrata in ). Il prob-

S f (r|S ) S

i r i i

lema è quello di capire qual è la decisione più corretta, ossia quella associata alla

minore probabilità d’errore. Nel mio esempio potrei dividere il piano in quattro

zone ed associare ad ognuna di esse una decisione; il problema

, , ,

R R R R

1 2 3 4

si trasferisce quindi alla determinazione della ripartizione associata alla

ottima

minore probabilità d’errore.

Abbiamo dunque detto che ad ognuno dei possibili segnali trasmessi cor-

risponde una gaussiana che definisce la probabilità che appartenga ad una

r

data regione di spazio; sulla base della regione di spazio alla quale appartiene

il decisore stabilisce qual è il segnale trasmesso. Il fatto che venga trasmesso

r

un dato e che il decisore associ al segnale ricevuto proprio quell’S trasmesso

S

i i

non è dunque un evento certo, ma sarà caratterizzato da una certa probabilità

pari all’area sottesa dalla gaussiana associata a nello spazio ; quanto det-

S R

i i

to è rappresentabile secondo la formula (chiamo il vettore riconosciuto dal

S

i

b

decisore) ˆ (6.22)

|S f (r|S )dr

P (

S ) = r i

i i

b R i

quindi la probabilità che, trasmesso , venga riconosciuto dal decisore, è pari

S S

i i

all’area sottesa dalla gaussiana associata a nello spazio , in quanto è lo

S R R

i i i

spazio nel quale il decisore decide per . Analogamente, un evento errore può

S i

essere scritto come ˆ (6.23)

|S

P ( S ) = f (r|S )dr

i r

k k

b R i

quindi la probabilità che, trasmesso , venga riconosciuto , è pari alla prob-

S S i

k

abilità che sia posizionata in quando la gaussiana è posizionata in .

r S

R i k

49. Finora abbiamo parlato di gaussiane, ma il tipo di vettore di variabili

Remark

aleatorie dipende dalla natura del rumore e quindi dal canale.

Andiamo ora a vedere in che modo minimizzare la probabilità d’errore. Essa

è pari a −

P (e) = 1 P (c)

dove è la probabilità di corretta decisione; allora minimizzare la probabilità

P (c)

d’errore equivale a massimizzare la probabilità di corretta decisione. L’evento

“corretta decisione” è

{c} {(S

= , S ) + (S , S ) + ... + (S , S )}

1 1 2 2 M M

c c d

ed è quindi costituito da eventi mutuamente esclusivi “invio di , riconosci-

M S i

mento di ”. Allora si avrà

S i M M

X X |S

P (c) = P (S , S ) = P (S ) P (

S ) =

i i i i i

b b

i=1 i=1 Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

97

6.2. DECISORE

dove l’ultimo passaggio è effettuato in virtù del teorema di Bayes. Per quanto

scritto precedentemente, si ha ˆ

M

X

= P (S ) f (r|S )dr

i r i

i=1 R i

Il nostro problema ora è definire la ripartizione al fine di minimizzare

R i

la probabilità d’errore. Per fare ciò, occorre massimizzare la probabilità di

corretta decisione, ossia massimizzare ogni singolo addendo della sommatoria.

Si potrebbe dire che appartiene ad quando il prodotto è

r P (S ) f (r|S )

R i i r i

massimo. Se consideriamo ancora e ipotizziamo che i

Example 50. M = 4 N = 2,

4 segnali siano equiprobabili; il problema della determinazione delle regioni di

decisione viene rimandato alle PDF. Il vettore sia posizionato in prossimità di

r

; la avrà un valore maggiore rispetto alle

S f (r|S ) f (r|S ), f (r|S ), f (r|S )

1 r 1 r 2 r 3 r 4

e quindi il decisore deciderà per . Analogamente, se sarà posizionato in

S r

1

prossimità di la sarà maggiore rispetto alle altre e si deciderà per

S f (r|S )

2 r 2

, ecc.

S

2 Sulla base di quanto scritto esistono dunque diversi criteri di determinazione

• se conosco le ma non il vettore ricevuto posso dire qual è il seg-

P (S ) r

i

nale trasmesso solo sapendo quale la sorgente emette con più probabilità;

questo criterio è chiamato criterio della massima probabilità a priori

• se conosco le ma non le probabilità posso dire qual è il

f (r|S ) P (S )

r i i

segnale trasmesso solo sulla base dello studio del segnale ricevuto, ma senza

dare peso alla probabilità associata a ciascun segnale trasmesso; questo è

il Infatti, le funzioni che

criterio a massima verosimiglianza. f (r|S )

r i

descrivono il legame probabilistico tra e sono chiamate funzioni di

r S

i

(vedremo più avanti il perchè)

verosimiglianza

• se conosco sia le probabilità associate ai segnali trasmessi sia le PDF pos-

so determinare con maggiore precisione qual è il segnale trasmesso come

quello che massimizza la quantità questo è il criterio a

P (S ) f (r|S );

i r i

(MAP)

massima probabilità a posteriori

Si noti ora che |r)

P (S ) f (r|S ) = P (S , r) = f (r) P (S

i r i i r i

quindi il criterio MAP si basa sulla massimizzazione della quantità in

|r)

P (S

i

quanto è indipendente da e varia con il canale utilizzato; tale criterio è

f (r) i

r

dunque utilizzabile anche senza definire il canale.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

98 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

Il criterio MAP consiste dunque nel decidere per il segnale

Definition 51. max (6.24)

S : P (S ) f (r|S )

i i i r i

b

ossia che massimizza la quantità scritta. Si noti che se è indipendente da

P (S )

i

esso diventa un criterio a massima verosimiglianza.

i Abbiamo già definito il canale AWGN in prece-

6.2.0.0.3 Canale AWGN

denza, e sappiamo che in ricezione si ottiene con

r(t) = S (t) + n(t) S (f ) =

i n

Siccome si ha anche le variabili aleatorie sono

N /2. r = S + n, r , ..., r

0 i 1 N

congiuntamente gaussiane e statisticamente indipendenti. Si ha quindi

N N 2 2

−S −Sik

1

1 (r ) (rk )

N

k ik P

− −

Y Y √

|S k=1

f (r|S ) = (r ) = = =

f e e

N N

0 0

r i r k ik N

k πN (πN )

0 2

0

k=1 k=1 (6.25)

e, ricordando la definizione di distanza, si ha 2

||r−S ||

1 i

= e N

0

N

(πN ) 2

0

Abbiamo quindi calcolato le funzioni di verosimiglianza con .

i = 1, ..., M

Vediamo ora perchè si chiamano in questo modo. Quando la distanza tra e

r

è minima, l’esponente assume il valore minimo e la funzione assume il valore

S

i

massimo. Allora la funzione è detta perchè assume il suo

di verosimiglianza

massimo quando è tale che e sono molto vicini.

i r S i 2

||r−S ||

i

La regione è dunque determinata quando la quantità 1

P (S ) e N

0

R

i i N

(πN ) 2

0 2

||r−S ||

k

assume il valore massimo, così come la regione è determinata quando 1

P (S ) e N

0

R k k N

(πN ) 2

0

assume il valore massimo.

Siccome ciò che interessa non è il valore che assume tale prodotto, ma per

quale valore di esso è massimizzato, allora se applico una funzione monotòna

i

a tale prodotto posso trasferire tale valutazione sulla funzione monotòna. Se

applico, ad esempio, la funzione logaritmo, ottengo

2 2

||r − ||

||r−S ||

1 N S

i

− i

− −

ln P (S ) e = ln P (S ) ln(πN )

N

0

i i 0

N 2 N

(πN ) 0

2

0

dove posso escludere il secondo termine perchè è indipendente da Allora il

i.

valore di che massimizza

i 2

||r − ||

S i (6.26)

ln P (S )

i N

0

definisce la regione . E’ possibile inoltre modificare ulteriormente la quan-

R i

tità senza apportare modifiche al risultato complessivo (ricerca del massimo),

ottenendo infine (6.27)

2 2

− ||r|| − ||S ||

N ln P (S ) + 2 < r, S >

0 i i i Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

99

6.2. DECISORE

in cui il secondo addendo è trascurabile perchè indipendente da il primo è

i,

trascurabile se gli segnali sono equiprobabili e il terzo è trascurabile se gli

M M

segnali sono equienergetici.

Si noti che l’unico termine che non è conosciuto a priori, ma che dipende

N ; infatti deriva dai dati in uscita dal

dai dati, è P r S r

2 < r, S >= 2

i k ik k

k=1

demodulatore. Ricordiamo che il demodulatore è un sistema costituito da N

blocchi (ognuno associato ad una delle componenti per ), quindi è

k = 1, ..., N

costituito da

• un banco di correlatori, se l’operazione fatta è un prodotto con Ψ (t)

k

seguito da un’integrazione temporale da a , oppure

0 T

• un banco di filtri adattati, se il segnale attraversa un sistema LTI con

r(t)

h(t) = Ψ (T t)

k

Ovviamente la complessità aumenta all’aumentare del numero di blocchi, quindi

all’aumentare di . Una volta determinato lo si dà in ingresso al decisore il

N r,

quale effettua il prodotto scalare con ogni e calcola 2

− ||r|| −

S N ln P (S )

i 0 i

(le informazioni a priori sono già conosciute dal decisore).

2

||S || + 2 < r, S >

i i

Quella appena descritta viene chiamata di ricezione, in

struttura canonica

quanto è invariante ai segnali da trasmettere.

In realtà, è possibile godere del fatto che l’operazione che associa ad ogni

funzione un vettore è un isomorfismo isometrico, il quale conserva il prodotto

scalare nel passaggio da un dominio all’altro. E’ quindi non necessario l’utilizzo

del demodulatore, ma è sufficiente utilizzare un banco o di correlatori (per

M

effettuare il prodotto scalare di con o di filtri adattati

r(t) S (t), ..., S (t)) M

1 M

(con e di sommare al risultato

− −

h (t) = S (T t), ..., h (t) = S (T t))

1 1 M M

(prodotto scalare una costante associata agli altri termini

< r(t), S (t) >) C

i i

della quantità la associata alla

2 2

− ||r|| − ||S ||

N ln P (S ) + 2 < r, S >; i

0 i i i

quantità massima ottenuta sarà l’indice della decisa.

S (t)

i

Quale dei due sistemi è meno complesso? Dipende dal valore di e di .

N M

Per un sistema di segnali PAM (N è teoricamente più conveniente utilizzare

= 1)

lo schema con demodulatore in quanto esso è poco complesso, ma bisogna fare

i conti con il fatto che esso è seguito da un sistema di prodotto scalare con

vettori. L’unico caso in cui siamo certi che il sistema senza demodulatore

M

è più conveniente è quello di segnali ortogonali, in quanto , ma con

M = N

quest’ultimo sistema viene eliminato il blocco di decisore.

6.2.1 Segnali Binari

Andiamo ora ad analizzare quali sono le regioni di decisioni da scegliere nel caso

binario per ottimizzare l’operazione di decisione.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

100 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

6.2.1.1 Segnalazione antipodale

I segnali binari antipodali sono rappresentabili da una costellazione di due punti,

√ √

√ e l’altro in quindi dove è la com-

uno in E − E ± E

, 0) (0, ); r = + n, n

( b b b

ponente di lungo il segnale di base del sistema dei segnali in trasmissione.

n(t)

Si noti che le componenti di sono al più 2; noi abbiamo considerato un

r r

monodimensionale.

Applicando il criterio MAP si ottiene che se

P (S )f (r|S ) < P (S )f (r|S )

1 1 2 2

allora si deciderà per , altrimenti per . Se si ha

S S P (S ) = p

2 1 1

f (r|S ) 1 p

1 ≶

f (r|S ) p

2

si noti allora che la soglia è definita dalla probabilità a priori; se il rapporto

di verosimiglianza è maggiore della soglia allora sceglierò per il segnale che mi

caratterizza il numeratore, altrimenti sceglierò quello che mi caratterizza il de-

nominatore; se invece il confronto sarà con una soglia unitaria (criterio

p = 0, 5

a massima verosimiglianza). Si ottiene infine che

1 p

N

0 (6.28)

√ ln

r ≶ E p

2 b

6.2.1.2 Segnalazione ON-OFF

Nella segnalazione ON-OFF il segnale trasmesso è o o per cui

S(t) 0, r(t) =

oppure a seconda di qual è il segnale che viene trasmesso.

S(t)+n(t) r(t) = n(t)

In tal caso il rapporto di verosimiglianza diventa (se −

P (S(t)) = p, P (0) = 1 p)

√ )2

E

(r− b

1 e

√ N

0 −

1 p

πN 0 ≶

2 p

r

1 e

√ N

0

πN

0

da cui, in definitiva √

− E

N 1 p

0 b (6.29)

r ln +

≶ E p 2

2 b √ E

quindi rispetto al caso precedente la soglia è traslata di una quantità pari a ,

b

2

ossia il punto medio tra i segnali. Se ho che la trasmissione del segnale

p > 0, 5

diventa più probabile rispetto alla trasmissione del segnale per cui la

S(t) 0,

soglia dovrà spostarsi verso sinistra così da far aumentare la regione di decisione

√ E

1−p

associata a infatti e quindi la soglia diventa minore di .

b

S(t); ln < 0

p 2

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

101

6.2. DECISORE

6.2.1.3 Segnali ortogonali

Due segnali binari e si dicono ortogonali se la loro rappresentazione

S (t) S (t)

1 2

√ √

geometrica è e se trasmetto avrò a media

E E

S = ( , 0) S = (0, ); S (t) r

2 1 1

1 b b

√ e a media mentre se trasmetto avrò il contrario. In virtù di ciò,

E r 0, S (t)

2 2

b

il rapporto di verosimiglianza diventa √ )2 2

−(r − E −r

1 b 2

1 e

√ N

0 −

1 p

πN

0 ≶

2 )2 p

−r E

−(r −

2 b

1

1 e

√ N

0

πN

0

che, sviluppato, diventa √ E −r −

2 (r ) 1 p

1 2

b

e ≶

N

0 p

si noti che se trasmetto avrò composto da segnale e rumore, e com-

S (t) r r

1 1 2

posto dal solo rumore, quindi avrò ; ovviamente vale anche il viceversa.

r > r

1 2

Allora abbiamo trasportato il test sulle componenti del vettore infatti

r;

N 1 p

0

(r r ) ln

1 2 E p

2 b

quindi si può fare il seguente confronto −

N 1 p

0 (6.30)

√ + r

r ln

≶ 2

1 E p

2 b

se è maggiore della quantità a secondo membro si deciderà per altri-

r S (t),

1 1

menti per Si noti che se la disequazione diventa , quindi

S (t). p = 0, 5 r r

2 1 2

a tracciare il confine tra le due regioni di decisione sarà la retta a 45°.

6.2.1.4 Segnali MPSK

Per i segnali MPSK, se vale l’equiprobabilità, si può calcolare e

r

ϑ = arctan 2

r 1

decidere a quale “spicchio” appartiene il vettore r.

Quanto detto finora è frutto di un’enorme semplificazione in cui si suppone

che il ricevitore sia rispetto al trasmettitore, ossia che esso conosca

coerente

perfettamente le componenti utili che possono arrivare attraverso il canale. Tut-

tavia, è noto che il canale almeno attenua le forme d’onda che lo attraversano,

per cui il ricevitore dovrebbe poter conoscere l’attenuazione subita dai segnali

così da poterla compensare mediante l’AGC (automatic gain control).

Un altro problema introdotto dal canale è la distorsione di fase; per dei segnali

M-PSK, ad esempio, viene trasferita tutta l’informazione sulla fase, per cui una

tale distorsione comporterebbe una totale degradazione dell’informazione. Se il

ricevitore conosce perfettamente la distorsione introdotta può correggerla, ma se

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

102 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

essa è rappresentata da una variabile aleatoria uniforme in l’incertezza è

(0, 2π),

massima e il ricevitore non è in grado di apportare correzioni.

Un’altra semplificazione che abbiamo fatto è stata considerare ∈

t [0, T ];

questo richiederebbe una perfetta sincronizzazione tra trasmissione e ricezione,

per cui un ricevitore coerente.

Nel prossimo paragrafo ci occuperemo del problema dell’analisi delle prestazioni,

ossia del calcolo della probabilità d’errore per un ricevitore ottimo che riceve un

segnale attraverso un canale AWGN.

6.3 Analisi delle prestazioni

Come abbiamo già detto precedentemente, l’analisi delle prestazioni coincide con

il calcolo della probabilità d’errore. Andiamo a fare tale calcolo

M

X

P (e) = P (e, S ) =

i

i=1

dove è la probabilità associata all’invio di e alla ricezione di un

P (e, S ) S S

i i k

con Per la formula di Bayes si ha

6

k = i. M

X

= P (S ) P (e|S )

i i

i=1

in cui il primo termine è conosciuto a priori, il secondo dipende dal canale e dalla

´ (con complemen-

regola di decisione; questo perchè ci

f (r|S )dr

P (e|S ) = R

i

i c

R i

to di ) e quindi è definito dal decisore e è definito dal canale . Si

3

ci f (r|S )

R R

i i

ottiene in definitiva ˆ

M

X (6.31)

P (e) = P (S ) f (r|S )dr

i i

i=1 ci

R

Facciamo ora una prima ipotesi semplificativa: l’integrale è indipendente da

i. 52. L’ipotesi fatta può essere applicata in alcuni casi come, ad esempio,

Remark

nel caso di segnali M-PSK; essi sono infatti caratterizzati che se si considera

una regione invece di un’altra regione , la probabilità d’errore è sempre la

R R i

k

stessa in quanto il rumore gaussiano introdotto da un canale AWGN ha simmetria

sferica e, se il criterio utilizzato per l’assegnazione delle regioni di decisione è

quello a massima verosimiglianza, le regioni sono congruenti (variano solo per

una rotazione). Nel caso di segnali PAM e QAM, invece, quest’ipotesi non è

valida.

3 Si consideri che il tipo di rumore introdotto dipende dal canale. Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

103

6.3. ANALISI DELLE PRESTAZIONI

In tal caso si ha ˆ

P (e) = P (e|S ) = f (r|S )dr

i i

ci

R

6.3.1 Segnali Binari

Andiamo ora ad analizzare nello specifico il caso binario più generico possibile,

ossia quello di e che hanno componenti non nulle sia lungo

S (t) S (t) Ψ (t)

1 2 1

sia lungo Il caso è quello raffigurato in figura

Ψ (t). 6.3.

2

Figura 6.3:

Verifico se posso effettuare una semplificazione tale da far diventare il prob-

lema monodimensionale, ossia tale da poter risolvere un integrale semplice nel

calcolo di ˆ

M

X

P (e) = f (r|S )dr

P (S )

i i

i=1 ci

R

Per semplificare il problema si potrebbe pensare di effettuare un passaggio

di sistema di riferimento da a in questo modo i seg-

0 0

Ψ (t), Ψ (t) Ψ (t), Ψ (t);

1 2 1 2

nali e sono entrambi completamente descritti da e non hanno

0

S (t) S (t) Ψ (t)

1 2 1

componenti lungo e la componente di non influisce sulla deci-

0

Ψ (t), r r(t)

2

2

sione, la quale è completamente affidata a . Il problema è quindi diventato

r

1

e l’integrale da risolvere è diventato singolo. Si noti inoltre

monodimensionale

che, per particolari simmetrie, la probabilità d’errore è indipendente dal segnale

studiato, ossia P (e|S ) = P (e|S ) = P (e).

1 2

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

104 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

Quanto appena effettuato consiste in un moto rigido, il quale non modifica le

distanze reciproche tra i segnali e quindi non comporta variazioni nelle prestazioni

del sistema.

Le ipotesi effettuate portano alla seguente soluzione

ˆ

0 )2

E

(r− b

1 N

0

2

P (e) = P (e|S ) = e dr =

2

1 1

q N

2π 0

−∞ 2

dove gli estremi di integrazione sono e perchè corrispondono alla regione

−∞ 0 √ E

r−

di decisione . Facendo un cambio di variabile (e quindi

b = α dr =

R 2 q N 0

2

q si ha

N dα)

0

2 r E

b

− ˆ N /2

0 r

1 N

2

α 0

= e dα

2

q 2

N

2π 0

−∞ 2

si noti che, effettuando le dovute semplificazioni, la gaussiana rappresentata è

quella ossia a media nulla e a varianza unitaria. Definendo quindi

normalizzata, ˆ

+∞ 1 2

α

− (6.32)

√ ≥

e dα = P (X x)

Q(x) = 2

x

che è rappresentabile graficamente come l’area sottesa dalla curva in figura a

partire dall’ascissa di valore e notando che (in quanto

x, Q(x) = 1 Q(−x)

Figura 6.4:

l’area sottesa complessivamente dalla curva è pari a si osservi che

1, P (e) =

q

q E E . Allora si ha

− −

1 Q = Q

b b

N /2 N /2

0 0 √ !

E

n b

p

≤ E ≤ ≤ −

P (e) = P (e|S ) = P (r 0|S ) = P ( +n 0) = P

1 1 b p p

N /2 N /2

0 0

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

105

6.3. ANALISI DELLE PRESTAZIONI

ha varianza unitaria. Allora è nuovamente

dove la variabile aleatoria n

√ N /2

0

dimostrato che s s

! !

E E

b b (6.33)

− −

P (e) = 1 Q = Q

N /2 N /2

0 0

Nel caso di segnali binari antipodali si ha per cui

E

2 = d,

b

 

s 2

d (6.34)

P (e) = Q  

2N 0

con . Quella appena scritta è la probabilità d’errore

2 2

||S −

d = (t) S (t)||

1 2

quando si utilizza il criterio di decisione a massima verosimiglianza.

53. La funzione è decrescente rispetto ad per cui quanto mag-

Remark Q(x) x,

giore è la distanza tra i segnali e quanto minore è la potenza del rumore, minore

sarà anche la probabilità d’errore.

I segnali BPSK sono binari antipodali con distanza

6.3.1.0.1 Segnali BPSK

√ , per cui

E

2 b !

r 2E

b (6.35)

P (e) = Q N

0

I segnali OOK (on-off) sono posizionati uno nell’o-

6.3.1.0.2 Segnali OOK √

rigine, e l’altro sull’asse delle ascisse a distanza dal primo, quindi

E b

!

r E b (6.36)

P (e) = Q N 2

0

I segnali FSK sono binari ortogonali, con distanza

6.3.1.0.3 Segnali FSK

pari a , per cui

E E

+ = 2E

b b b !

r E b (6.37)

P (e) = Q N

0

6.3.2 Segnali M-PAM

I segnali M-PAM sono dei segnali del tipo (6.38)

p

− − E

S = (2m 1 M )

m g

quindi sono monodimensionali, simmetrici rispetto all’origine, non equienergetici,

e la distanza minima tra di essi (distanza tra due segnali consecutivi) è pari a

(6.39)

p E

d = 2

min g

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

106 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

Quindi le regioni di decisione, se stabilite mediante il criterio a massima

verosimiglianza (ossia min saranno rappre-

{r ||r − || ||r − ||}),

= : S = S

R i i j j

sentabili come segue

Figura 6.5:

Nota: ogni pallino grigio indica un segnale, per cui il primo a partire dall’origine

è distanziato, dall’origine stessa, di , il secondo dista dal primo e così

p p

E E

2

g g

via. Si noti allora come, delle regioni di decisione, le alle estremità sono

M 2

uguali e diverse dalle altre le quali sono uguali tra loro; siccome nel criterio

−2,

M

a massima verosimiglianza la probabilità d’errore dipende dalla sola estensione

della regione, è possibile scriverla come segue

M M

1 1

X X {(M −

P (e) = P (e|S )P (S ) = P (e|S ) = 2) P (e|S ) + 2P (e|S )}

i i i j M

j6 =1,M

M M

i=1 i=1

Calcoliamo ora le due quantità scritte.

1. Il termine con è pari a

6

P (e|S ) j = 1, M

j

p

∈ |S ||r − || E

P (e|S ) = P (r / R ) = P S >

j j j j g

dove è pari alla semidistanza tra i segnali. Siccome e

p E r = S + n

g j j

siccome i segnali sono monodimensionali (quindi la distanza è esprimibile

come valore assoluto) si ha

p p p

E − E ∪ E

P (e|S ) = P (|n| > ) = P (n < n > ) =

j g g g

p p p

− E E E

= P (n < ) + P (n > ) = 2P (n > ) =

g g g

dove l’ultimo passaggio è stato effettuato in virtù del fatto che la gaussiana

è simmetrica rispetto all’origine (ricordiamo che la media statistica di è

n

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

107

6.3. ANALISI DELLE PRESTAZIONI

nulla). Ricordando la definizione di si ha

4

Q f unction

ˆ ˆ

+∞ +∞ !

2 p E

y

1 1

− 2 g

t

2 √

=2 e dy = 2 e σ dt = 2Q

y 2 y

q σ

σ 2π

2 y

|{z}

√ √

2πσ y

y

y =t

E E /σ

σy

g g y

per cui, ricordando le proprietà della si ha

Q f unction,

!

r 2E g

P (e|S ) = 2Q

j j6 =1,M N

0

2. Il secondo termine con , è pari a

p

− E

P (e|S ), S = (M 1) g

M M

p p p

−1) E − E |S −2) E |S

P (e|S ) = P (r < (M ) = P (r < (M ) =

g g g

M M M

p p

− E − E

= P ((M 1) + n < (M 2) ) =

g g !

r 2E

g

p p

− E E

= P (n < ) = P (n > ) = Q

g g N

0

Si ottiene allora complessivamente che

" ! !# !

r

r r −

2E 2E 2E

1 M 1

g g g

P (e) = Q

(M 2)2Q + 2Q =2

M N N M N

0 0 0

quindi  

s 2

− d

M 1 (6.40)

min

P (e) = 2 Q  

M 2N 0 . Si noti allora

dove l’ultimo passaggio è effettuato ricordando che p E

d = 2 g

min

che le prestazioni dipendono dalla distanza tra i segnali.

Calcoliamo ora l’energia media spesa dalla sorgente per la generazione dei

segnali M M M

( )

E

1 g

X X X

2 2 2

E E −

= (2m−1−M ) = 4 m + M (1 + M ) 4(1 + M ) m =

g

av M M

m=1 m=1 m=1

M (M +1) M (M +1)(2M +1)

M M

si ricordi ora che e che , per

2

P P

m = m =

m=1 m=1

2 6

cui 2

E M (M + 1)(2M + 1) M (1 + M )

g 2 −

= 4 + (1 + M ) M 4

M 6 2

´ 2

t

+∞ −

4 1

Q(x) = e dt.

√ 2

x 2π

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

108 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

da cui 2 −

M 1 (6.41)

E E

=

av g 3

. Alla luce di ciò, posso riscrivere la probabilità d’errore

e quindi E

E = 3 av

g 2 −1

M

come s ! !

r

− E

− M 1

M 1 6E 6 log M

av b

2

=2

P (e) = 2 Q Q

2 2

− −

M N (M 1) M M 1 N

0 0 (6.42)

dove l’ultimo passaggio è effettuato in virtù del fatto che , per cui

K = log M

2

E

. La quantità è chiamata (rapporto

E E contrasto di energia

= log M b

av b

2 N 0

segnale/rumore).

L’andamento della probabilità d’errore in funzione del contrasto di energia è

rappresentato in figura 6.6.

Figura 6.6:

Quindi all’aumentare di aumentano sia il contrasto di energia, sia la prob-

M

abilità d’errore. Se si vuole lasciare la probabilità d’errore invariata all’aumentare

di è necessario aumentare il rapporto segnale rumore, ossia la potenza spesa

M

dalla sorgente; si noti infatti che se si lasciasse tale rapporto invariato all’au-

mentare di si avrebbe una compressione dei segnali, per cui una diminuzione

M

della distanza tra di essi. Ciò si traduce nel fatto che i segnali M-PAM non sono

efficienti in potenza, ma lo sono in banda.

6.3.3 Segnali M-PSK

I segnali M-PSK sono segnali del tipo

p

2πm 2πm

p

E E

cos , sin

S =

m s s

M M Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

109

6.3. ANALISI DELLE PRESTAZIONI

con Siccome le regioni di decisione sono di uguale estensione,

m = 0, ..., M 1. √

√ si ha e

è possibile dire che e se E E

, 0) r = + n

P (e) = P (e|S ), S = ( s 1 s 1

0 0

, quindi

r = 0 + n

2 2 √ )2 2

1 E

− +r

(r s

1 2

− (6.43)

|S

f (r , r ) = e 2

1 2 0 2

2πσ

E’ necessario ora effettuare un cambio di variabile aleatoria da cartesiana a

polare, ossia R

q 2

−1

2 2

V = R + R Θ = tan

r

1 2 R

1

(v cos θ, v sin θ)

f (v, θ ) = v f

r

V Θ R R

r 1 2

Quindi possiamo ricalcolare la PDF come √

2

v −2 E

v +E v cos θ

s s

|S

f (v, θ ) = e 2

r 0

V Θ r 2

2πσ

Quanto detto finora serve per il calcolo della probabilità d’errore, in quanto

si ha con probabilità di corretta decisione; ma

P (e) = 1 P (c), P (c) P (c|S ) =

0

e quindi

π π

∈ −

P (Θ , )

M M ˆ

π/M

− |S

P (e) = 1 f (θ )dΘ

r 0 r

|S

Θ r 0

−π/M

tuttavia, bisogna ricavare la PDF marginale a partire da quella congiunta come

ˆ

+∞ √

2

v −2 E

v +E v cos θ

s s

|S e dv =

f (θ ) = 2

r 0

|S

Θ 2

r 0 2πσ

0

ponendo e si ha

E v

ρ = = y

s

s N σ

0 ˆ

+∞ √

2

1 y −2

y +2ρs 2ρs y cos θ

= e σdy =

2

2π σ

0

completando il quadrato all’esponente, si ha

ˆ

+∞ √ θ)2

1 2ρs cos

(y2

2

−2ρ −

sin θ

s

= e dy

y e 2

2π 0

dove si noti che per siccome il rapporto segnale/rumore aumenta,

→ ∞,

ρ s

diminuisce l’incertezza in quanto la PDF del segnale ricevuto diventa impulsiva.

Anche ora vale lo stesso discorso fatto per gli M-PAM riguardo la scarsa

efficienza in potenza.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

110 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

Figura 6.7:

Abbiamo quindi calcolato la ma sempre in funzione dell’integrale ap-

P (e),

pena scritto. E’ possibile utilizzare un metodo approssimativo chiamato upper

esso consiste nel fare la considerazione schematizzata

bound approssimation;

in figura 6.7.

Quindi ma

0 00

∈ ∪

P (e) = P (r (R )|S );

R 0

1 1 0 00

≤ ∈ |S ∈ |S

P (e) P (r ) + P (r )

R R

0 0

1 1

in quanto i due eventi non sono mutuamente esclusivi, e

0

≥ ∈ |S

P (e) P (r )

R 0

1

ma si noti che e sono regioni uguali per simmetria, per cui

0 00 0

∈ |S

P (r )+

R R R 0

1 1 1

Per ricavarci tali componenti osserviamo la

0

00 |S ∈ |S

∈ ) = 2P (r ).

P (r R

R 0 0

1 1

figura 6.8.

La componente di lungo è ininfluente sull’errore, perchè spedisce

0

n Ψ rin

1

un altro punto del piano ma sempre appartenente a ; la componente ,

n

R 0 2

invece, influisce sull’errore, ed in particolare, affinché non spedisca in un altra

r

regione di decisione, è necessario che essa sia inferiore al cateto “grigio scuro” del

triangolo rettangolo evidenziato di ipotenusa e di angolo in corrispondenza

E

s

dell’origine . Si ha allora

π/M !

r

π 2E π

s

p

0

∈ |S E ) = Q sin

P (r ) = P (n > sin

R 0 2 s

1 M N M

0

in cui, all’ultimo passaggio, è stata effettuata una normalizzazione rispetto alla

varianza per poter applicare la Si ha complessivamente

Q f unction.

! !

r r

2E π 2E π

s s (6.44)

≤ ≤

Q sin P (e) 2Q sin

N M N M

0 0 Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

111

6.3. ANALISI DELLE PRESTAZIONI

Figura 6.8: q

e quindi l’estremo maggiore dell’intervallo (2Q ) è una buona

2E π

sin

s

N M

0

approssimazione per la probabilità d’errore.

Tuttavia, esistono due casi da analizzare a parte

1. è il caso dei segnali antipodali B-PSK, e come è stato già detto

M = 2:

si ha !

r 2E b (6.45)

P (e) = Q N

0

2. è utile analizzare il caso in cui il primo segnale è posto a e

M = 4: 45°

gli altri sono sfasati rispetto ad esso di ciascuno; gli altri si ottengono

90°

a partire da questo tramite rotazione rigida, quinid senza modifica delle

prestazioni. Se si prende !

r r

E E

s s

S = ;

0 2 2

si ha − −

P (e) = P (e|S ) = 1 P (c|S ) = 1 P (r > 0, r > 0|S ) =

0 0 1 2 0 2

! " !#

r r r

E E E

s s s

= 1−P + n > 0, + n > 0|S = 1− P n > =

1 2 0 1

2 2 2

dove l’ultimo passaggio è effettuato in virtù del fatto che e sono

n n

1 2

identicamente distribuite (hanno la stessa PDF). Si ottiene

2 2

" !# " !#

r r

E 2E

s b

− − − − −

= 1 1 P n < =1 1 Q

1 2 N 0

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

112 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

6.3.4 Segnali QAM

In questo paragrafo analizzeremo le prestazioni di un modulatore QAM. Supponi-

amo di avere una costellazione di segnali QAM di forma quadrata o rettangolare

e un ricevitore (a massima verosimiglianza); sappiamo che la probabilità

likelook

d’errore è pari a M

X

P (e) = P (S )P (e|S )

i i

i=1

se i segnali sono equiprobabili si ha .

P (S ) = 1/M

i

A questo punto possiamo definire due approcci.

Il primo consiste nell’andare a definire le regioni di decisione (per farlo sono

sufficienti criteri geometrici) per poi calcolare la mediante la definizione

P (e|S )

i

di PDF, ossia come integrale della PDF sulle regioni di decisione con 6

j = i.

R j

Il seconodo consiste nel fare un’osservazione: un segnale QAM può essere

visto come una coppia di PAM in quadratura, e se la costellazione è rettangolare

o quadrata non esistono valori dell’ampiezza di un PAM che pongono limiti

all’ampiezza dell’altro PAM, per cui essi sono anche statisticamente indipendenti;

allora è possibile calcolare la probabilità d’errore del QAM come segue

− −

P (e) = 1 P (c) = 1 P (c)P (c) =

QAM QAM P AM 1 P AM 2

− − −

= 1 [1 P (e)] [1 P (e)]

P AM 1 P AM 2

per cui in definitiva, per un QAM quadrato con segnali, si ha

M 2

s !#

"

3E

1 av (6.46)

− − − Q

P (e) = 1 1 2 1

−QAM

M −

(M 1)N

M 0

6.3.4.1 Confronto tra QAM e M-PSK

Abbiamo ricavato le probabilità d’errore per un M-QAM a geometria quadrata e

per un M-PSK secondo il criterio dell’Upper Bound come 2

s

" !#

1 3E

av

− − −

P (e) = 1 1 2 1 Q

−QAM

M −

(M 1)N

M 0

!

r 2E π

s 2

P (e) = 2Q sin

−P

M SK N M

0

dove sviluppando il quadrato al M-QAM si ha

s s

! !

2

1 3E 1 3E

av av

2

√ √

−4 −

− Q 1 Q =

P (e) = 4 1

−QAM

M − −

(M 1)N (M 1)N

M M

0 0

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

113

6.3. ANALISI DELLE PRESTAZIONI s !

1 3E

av

− Q

=4 1 −

(M 1)N

M 0

il termine elevato al quadrato può essere trascurato perchè la −

Q f unction

assume un valore pari a circa , per cui il suo valore elevato al quadrato

−3 −4

10 , 10

sarebbe estremamente basso e trascurabile.

Nel confronto tra le due quantità ottenute ciò che conta è l’argomento delle

in quanto esso determina l’ordine di grandezza delle probabilità

Q f unctions,

d’errore. Se definiamo allora il rapporto tra i due argomenti elevati al

R

M

quadrato si ha 3E

av 3

−1)N

(M (6.47)

0

R = =

M π

2

2E π

2 −

2(M 1) sin

sin

s M

N M

0

quindi all’aumentare di aumenta la convenienza portata dal QAM rispetto al

R

M

PSK. Si noti che se si ha per cui non si ottiene alcun vantaggio

M = 4 R = 1,

4

nel passaggio da un sistema di modulazione all’altro; all’aumentare di invece

M

esso aumenta, e se si ha per cui a parità di errore gli

M = 16 R = 10 dB,

16

M-QAM consentono di ottenere un risparmio di dB in potenza.

10

6.3.5 Segnali ortogonali

Nel caso di segnali ortogonali equiprobabili le regioni di decisione determinate

mediante il criterio sono congruenti, per cui è possibile calcolare la

looklike

probabilità d’errore come quella associata all’invio di uno solo degli segnali.

M

Se invio , ad esempio, ho che , mentre tutte le altre componenti

E

S r = + n

1 1 1

del segnale ricevuto saranno pari a in quanto il banco di correlatori nel

r = 0+n

j j

demodulatore consente di suddividere nelle sue componenti, e la −

r(t) i esima

sarà più grande se è stato inviato l’i segnale per la forte somiglianza

− esimo

tra e Dopo il blocco di demodulazione viene allora utilizzato un

r(t) S (t).

i

blocco che determina la massima tra le componenti di in quanto essa porta

r,

informazioni sul segnale trasmesso. Si ha allora M !

Y

≥ ≥ |S ≥ |S

P (c) = P (c|S ) = P (r r , ..., r r ) = P r r

1 1 2 1 1 1 i 1

M i=2

dove gli eventi non sono statisticamente indipendenti in quanto in ognuno

−1

M

di essi è presente la stessa variabile aleatoria. Tuttavia, se fissiamo dove

r = R

1

è deterministica otteniamo eventi statisticamente indipendenti così da

R M 1

avere, in definitiva, ˆ M

Y ≥ |S

P (c) = f (R) P (R r , r = R)dR

r i 1 1

1 i=2

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

114 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

dove l’integrale serve a rimuovere il condizionamento. Ricordando la definizione

della ed esplicando la PDF si ha

Q f unction ˆ −1

√ M

r

E)2

1 2

(R−

− (6.48)

√ −

1 Q(R )

P (c) = e dR

N

0 N

πN 0

0

quindi essa è risolvibile solo numericamente.

Si ricava in definitiva che il comportamento dei segnali ortogonali è il seguente

Figura 6.9:

Probabilità d’errore in funzione del SNR per segnali ortogonali.

ossia totalmente diverso dagli altri casi di modulazione: la probabilità d’errore

per bit diminuisce all’aumentare di , ma la dimensionalità cresce e con essa

M

crescono

1. la complessità del sistema di ricezione

2. siccome la banda dei segnali inviati è pari a e , all’au-

N

W = M = N

2T

mentare di aumenta anche la banda, comportando così un aumento

M K

dei costi di canale; inoltre si ha per cui la banda aumenta

2

2W = KT

b

esponenzialmente all’aumentare di K.

√ √

Si noti infine che , per cui la distanza tra i segnali aumenta

d = 2E = 2KE

b

all’aumentare di K.

6.3.6 Probabilità d’errore per simbolo e probabilità d’errore per

bit

Andiamo ora a vedere qual è la differenza tra la probabilità d’errore per simbolo

e la probabilità d’errore per bit.

Sia assegnata una stringa di bit, ad esempio tutti nulli (il discorso vale

K

anche in generale). Il numero di errori effettuati sulla valutazione dei bit equivale

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

115

6.3. ANALISI DELLE PRESTAZIONI

al numero di bit letti in ricezione, e ciò comporterà una lettura errata del blocco

1

in ricezione; quanto detto implica il fatto che non sarà letto il simbolo composto

da bit pari a ma uno qualunque degli altri simboli. Ricordando la

K −

K 0, 2 1

definizione di probabilità d’errore come la lettura in ricezione di uno qualunque

la probabilità di leggere una particolare

dei simboli diversi da quello trasmesso, P (e)

sequenza di bit diversa da quella trasmessa è pari a fatta l’ipotesi che

K K −1

2

tutti i blocchi errati siano equiprobabili.

K −

2 1

Fatta tale premessa, il problema che ci si pone è il seguente: qual è il numero

medio di bit errati?

Consideriamo la variabile aleatoria che indica il numero di bit errati in un

n

blocco composto da bit; si avrà sicuramente in quanto si potranno

≤ ≤

K 1 n K

commettere al massimo errori. La media statistica di è pari a

K n

K

X

E[n] = n P (n)

n=1

dove è la probabilità di commettere errori su bit trasmessi. Siccome

P (n) n K

dei possibili blocchi ci sono blocchi con solo un bit, si ha, ad esempio,

K

2 K

P (e) in quanto è pari alla probabilità che venga selezionato uno su

P (1) = K K

K −1

2

blocchi diversi da quello trasmesso. Generalizzando il discorso per un generico

si ha

n

K P (e)

P (n) = K −

n 2 1

per cui il numero medio di bit errati su un blocco di bit è pari a

K

K P (e)

K P (e)

X K−1

= K 2

E[n] = n K K

− −

2 1 2 1

n

n=1

quindi il numero medio di bit errati per blocco unitario (ossia la probabilità

d’errore per bit) è pari a P (e) P (e) K−1

P = = 2

b K −

K 2 1

che, con diventa

→ ∞,

K P (e) (6.49)

P =

b 2

in quanto si può trascurare l’unità sottratta a denominatore.

6.3.7 Union Bound

L’Union Bound è una tecnica di approssimazione della probabilità d’errore per

eccesso utilizzata per ricevitori looklike.

Supponiamo di avere un sistema di segnali come in figura e calcoliamo

3 6.10

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

116 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

Figura 6.10:

la probabilità d’errore del ricevitore a massima verosimiglianza. Sappiamo già

che M

X

P (e) = P (S )P (e|S )

i i

i=1

dove, fatta l’ipotesi che sia (la quale ci consente anche di dire che

1

P (S ) =

i M

il ricevitore considerato utilizza il criterio MAP e quindi è ottimo), è necessario

calcolare le singole Partiamo dal primo segnale

P (e|S ).

i

∈ − || ||r − ||} ∪ {||r − || ||r − ||})

P (e|S ) = P (r / ) = P ({||r S < S S < S

R

1 1 2 1 3 1

ora, non è possibile calcolare la probabilità dell’unione come la somma delle

singole probabilità in quanto non sappiamo se i due eventi (che chiameremo

rispettivamente e sono mutuamente esclusivi; possiamo però dire che

A B) ≤

P (e|S ) P (A) + P (B)

1

ed abbiamo quindi maggiorato per eccesso la probabilità d’errore. Si avrà allora

M M

1 X X (6.50)

P (e) P (A )

ji

M i=1 j=1,j6 = i

con è l’evento secondo il quale il vettore ricevuto

{||r − || ||r − ||}

A = S < S

ji j i

è più vicino a invece che a . L’espressione Union Bound, infatti, significa

S S

j i

maggiorazione per unione.

Andiamo ora a vedere qual è il vantaggio portato da tale approssimazione.

Si noti che abbiamo trasformato il problema da un confronto tra termini (3

M

nell’esempio) a un confronto tra segnali; essi potranno essere quindi assimilati

2

ad una coppia di segnali binari, e la probabilità d’errore può essere quindi calcolata

come visto nel caso di segnali binari. Si ha allora

M M

d

1 ji

X X (6.51)

≤ Q

P (e) M 2N 0

i=1 j=1,j6 = i Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

117

6.3. ANALISI DELLE PRESTAZIONI

abbiamo quindi semplificato notevolmente il problema del calcolo della P (e),

evitando così il calcolo di un integrale doppio (nell’esempio riportato).

54. Nonostante abbiamo fatto l’esempio di questo

Remark M = 3, N = 2,

criterio può essere adottato e .

∀M ∀N

6.3.7.1 Stima dell’approssimazione

Abbiamo descritto una buona approssimazione che può essere effettuata per

ottenere un calcolo della più semplice anche se più grossolano. Ma l’ap-

P (e)

prossimazione effettuata è accettabile?

Si noti che ciò che ci ha portato a maggiorazione è stato il fatto che P (A +

in realtà si ha

≤ −

B) P (A) + P (B); P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB),

per cui quanto minore è la probabilità associata all’intersezione degli eventi A

e migliore sarà la stima della probabilità d’errore. Nella figura viene

B, 6.11

evidenziata la porzione di spazio associata alla manifestazione contemporanea

dei due eventi.

Figura 6.11:

Per la definizione di asse, infatti, si ha

• a sinistra dell’asse i punti sono più vicini a che a

1 2 S S

2 1

• al di sotto dell’asse i punti sono più vicini a che a

1 3 S S

3 1

allora al di sotto dell’asse e a sinistra dell’asse giaceranno i punti

− −

1 3 1 2

che contemporaneamente soddisfano l’evento e l’evento (più vicini sia a

A B S 3

sia a rispetto a ). Si ha allora che, se il rapporto S/N è molto elevato,

S S

2 1

la gaussiana giacente in assumerà valori molto bassi nella porzione di spazio

S

1

evidenziata e quindi la sarà molto piccola, comportando così una stima

P (AB)

molto accurata.

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

118 CAPITOLO 6. RICEZIONE DA CANALE AWGN

6.3.7.2 Ulteriore approssimazione

E’ possibile effettuare una ulteriore approssimazione andando a considerare il

fatto che

d d

ji min

√ √

≤ Q

Q 2N 2N

0 0

con min Si ha allora che nel calcolo della la

{d }. −

d = P (e) Q f unction

min ij ji

può essere portata fuori dalla sommatoria, ottenendo così

d 1 d

min min (6.52)

√ √

− −

P (e) = Q M (M 1) = Q (M 1)

M

2N 2N

0 0

Quest’approssimazione mi rende il calcolo più semplice, ma più grossolano.

Tuttavia, essa è accettabile nel caso in cui un segnale sia tale da avere una

S

i

probabilità d’errore molto più grande rispetto agli altri; in tal caso la P (e|S )

i

sarà il termine predominante nella sommatoria e quello che porterà l’ordine di

grandezza a per cui utilizzare le singole distanze tra i segnali sarà superfluo.

P (e),

6.3.7.3 Union Bound applicato ai segnali ortogonali

In questo paragrafo si andrà ad applicare il criterio di approssimazione Union

Bound ai segnali ortogonali per un ricevitore ad ottima verosimiglianza; avevamo

infatti ricavato un’espressione esatta ma molto complessa per il calcolo della

P (e).

Sappiamo sui segnali ortogonali che

• sono equienergetici, e E E

= K b

√ √

• sono equidistanti, con E

d = 2E = 2K b

• P (e) = P (e|S )

i

posso scrivere allora M !

r

E

d K

j1 b

X √ −

P (e) = P (e|S ) = Q = (M 1)Q

1 N

2N 0

0

j=2

dove la sommatoria rispetto ad dà come risultato (semplificato con )

i M 1/M

in quanto tutti i sono uguali (regioni di decisione congruenti). Facciamo

P (e|S )

i

ora delle ipotesi

1. che mi consente di trascurare l’unità sottratta e di avere così

M 1, q

E

K

K

P (e) 2 Q b

N

0 KE

2 b

x

2. , che mi consente di scrivere

− K

→ ' ≤

x 1 Q(x) e P (e) 2 e =

2N

2 0

h i

E

K b

− −2 ln 2

e 2 N

0


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria biomedica
SSD:
Docente: Paura Luigi
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher pierluigi.giangrande di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Trasmissione numerica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Paura Luigi.

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