Lezioni: Appunti di Trasmissione numerica

E

X

senso statistico) dell’energia del processo aleatorio, e come

ε E[·]

X

operatore di media statistica.

Nota4: in questa sezione, come anche in quella successiva, tutto ciò che

sarà detto riguardo i segnali TC sarà valido anche per i segnali TD

e viceversa.

Andiamo ora a dare alcune definizioni per la caratterizzazione energetica di

un segnale aleatorio.

Si definisce di un segnale la quantità

Definition 27. energia

ˆ ˆ (3.54)

2 2

E(ω) |X(t)| |X(f

= dt = )| df

∞ ∞

ed il segnale è se In tal caso la media temporale di

E ∞.

di energia < X(t)

X

è nulla in quanto si ha ˆ

T /2

1

< X(t) >= lim X(t)dt

T

→∞

T −T /2

e, essendo a quadrato sommabile (perchè di energia), esso sarà anche

X(t)

integrabile, per cui il limite dell’integrale sarà finito e diviso per una quantità

infinita ci darà 0.

Si definisce di un segnale la quantità

Definition 28. potenza ˆ

T /2

1 (3.55)

2 2

|X(t)|

|X(t)| dt

P (ω) =< >= lim

X T

→∞

T −T /2

ed un segnale è se ∞.

di potenza P <

X

Nel caso di processi aleatori anche energia e potenza saranno variabili aleato-

rie perchè dipenderanno dalla realizzazione corrente del processo.

Allora definiamo come

Definition 29. energia di un processo aleatorio (3.56)

E = E[E (ω)]

X X

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

58CAPITOLO 3. SEGNALI O PROCESSI ALEATORI (VEDI APPUNTI CONTE)

e, fatta l’ipotesi di ergodicità del processo (quindi è possibile scambiare l’opera-

tore temporale con quello statistico), si avrà anche

ˆ ˆ

 

2 2

|X(t)| |X(t)|

E = E[E ] = E dt = E dt

X X  

∞ ∞

dove l’integrando all’ultimo membro è pari a o, equivalentemente, a

2

X (t)

RM S

Inoltre in tal caso si dice che un processo è di energia se

R (t, t). P (E =

X X

(ossia se il caso in cui una qualunque manifestazione del processo ha

∞) = 0

energia infinita costituisce un evento impossibile); se il processo è stazionario in

senso lato (SSL) quanto detto implica che vada a a partire da un certo

R (t, t) 0

X

valore di ma siccome per la definizione di SSL è costante rispetto a

t, R (t, t) t

X

allora tale funzione sarà identicamente nulla. Per tale motivo, i processi aleatori

SSL sono considerati di potenza.

Definiamo ora la come

Definition 30. potenza di un processo aleatorio



 ˆ

T /2

1 (3.57)

2

2 |X(t)|

|X(t)| dt

P = E[< >] = E lim 



X T 

 →∞

T −T /2

che, nel caso di processo ergodico, si trasforma in (3.58)

2 2

|X(t)|

P = E[< >] =< E[|X(t)| ] >=< R (t, 0) >= r (0)

X X X

dove la funzione di autocorrelazione in tal caso è definita in tempo-ritardo.

Definiamo ora la

Definition 31. funzione di correlazione media per processi

come

aleatori ˆ

T /2

1

∗ ∗

E[X(t)Y (t−τ )]dt =< R (t, τ ) >

r (τ ) =< E[X(t)Y (t−τ )] >= lim XY

XY T

→∞

T −T /2 (3.59)

e si noti quindi come essa è la media temporale della funzione di correlazione

´

statistica. Nel caso si ha , quindi la

3

τ = 0 r (0) = S (f )df = P

XY XY XY

∞

funzione di correlazione media in è pari alla potenza mutua tra e

τ = 0 X(t)

Y (t).

Un’importante proprietà di tale funzione è che

∗ (3.60)

r (τ ) = r (−τ )

XY Y X

Poi, definita la funzione di autocorrelazione media come

∗ (3.61)

−

r (τ ) =< E[X(t)X (t τ )] >

X

3 Si ricordi che il valore nell’origine di una funzione in un dominio è pari all’area sottesa

dalla sua trasformata (o antitrasformata) di Fourier nell’altro dominio. Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

3.6. CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DI UN SEGNALE ALEATORIO59

si ottiene (come abbiamo già visto)

ˆ (3.62)

r (0) = S (f )df = P

X X X

∞

ed è il valore massimo che assume. Infine ∗ (3.63)

r (τ ) = r (−τ )

X X

Si definisce di un segnale aleatorio

Definition 32. densità spettrale di potenza

la quantità

1 (3.64)

2

|X

S (f ) = lim E (f )|

X T

T

→∞

T

dove è la trasformata di Fourier di e l’argomento della

t

X (f ) X(t)rect

T T

media statistica è una quantità reale e non negativa, per cui la media è non

negativa e reale. Se il segnale è reale allora il suo spettro di ampiezza sarà

X(t)

pari, per cui sarà pari.Si definisce inoltre densità spettrale di potenza

S (f )

X

la quantità

mutua

1 ∗ (3.65)

S (f ) = lim E X (f )Y (f )

XY T T

T

→∞

T

che può essere non reale. Si noti che .

∗

S = S

XY Y X

33. Il legame tra la potenza e la densità spettrale di potenza è il seguente

Remark ˆ (3.66)

P = S (f )df

X X

∞

Come abbiamo già detto precedentemente, il teorema di Wiener-Kintchine

dice che è la trasformata di Fourier di

S (f ) r (τ ) =< R (t, τ ) >.

X X X

Si definisce di un segnale aleatorio

Definition 34. densità spettrale di energia

la quantità ∗ (3.67)

E (f ) = E[X(f )Y (f )]

XY

e si ha ˆ (3.68)

E = E (f )df

XY XY

∞

Si noti inoltre che se si ottiene, come già visto, che

Y (f ) = X(f ) E (f ) =

´ X

e .

2

E[|X(f )| ] E = E (f )df

X X

∞

Consideriamo ora il caso di un segnale aleatorio somma Z(t) = X(t) + Y (t),

con e due processi aleatori che

X(t) Y (t)

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

60CAPITOLO 3. SEGNALI O PROCESSI ALEATORI (VEDI APPUNTI CONTE)

• se di energia, hanno energia e . Si ottiene

E E

X Y (3.69)

{E }

E = E + E + 2 Re

Z X Y XY

con ∗

´

E = E X(t)Y (t)dt

XY ∞

• se di potenza, hanno potenza e . Si ottiene

P P

X Y (3.70)

{P }

P = P + P + 2 Re

Z X Y XY

´

con o, per il teorema di Wiener-Kintchine,

P = S (f )df P =

XY XY XY

∞

r (0).

XY

Quindi la somma di segnali di energia sarà di energia, la somma di segnali di

potenza sarà di potenza. Si noti inoltre che non vale l’additività dell’energia e

della potenza a meno di due casi particolari:

• i segnali e sono ossia il che implica

∗

incoerenti,

X Y X(f )Y (f ) = 0,

e (a seconda di se i segnali sono di energia o

E (f ) = 0 S (f ) = 0

XY XY

di potenza) ´

• i segnali e sono ossia ∗

ortogonali,

X Y X(f )Y (f )df = (X(f ), Y (f )) =

∞

il che implica e (a seconda di se i segnali sono di

0, E = 0 P = 0

XY XY

energia o di potenza)

Si noti che il primo caso implica il secondo ma non vale il viceversa.

Per quanto riguarda la funzione di autocorrelazione si ha

∗ ∗ ∗

r (τ ) =< E[Z(t)Z (t−τ )] >=< E[(X(t)+Y (t))(X (t−τ )+Y (t−τ ))] >=

Z ∗

= r (τ ) + r (τ ) + r (τ ) + r (τ ) = r (τ ) + r (τ ) + r (τ ) + r (−τ )

X Y XY Y X X Y XY XY ∗

r (τ )+r (−τ )

e, ricordando la definizione di come ,

XY

parte Hermitiana He(r ) = XY

XY 2

si ottiene infine (3.71)

{r

r (τ ) = r (τ ) + r (τ ) + 2He (τ )}

Z X Y XY

da cui si nota la non additività della funzione di autocorrelazione (a meno che i

due segnali non siano incoerenti).

Due processi aleatori e si dicono se vale sia

Definition 35. incorrelati

X Y

l’incorrelazione statistica sia quella temporale; si ottiene quindi

∗ (per l’incorrelazione statistica)

−

r (τ ) =< E[X(t)Y (t τ )] >=

XY ∗ (per l’incorrelazione temporale)

−

=< E[X(t)]E[Y (t τ )] >= ∗ ∗

−

=< E[X(t)] >< E[Y (t τ )] >= X Y

dc dc

Un caso particolare è quello di segnali SSL, caratterizzati da medie statistiche in-

dipendenti dalla variabile temporale; su di essi, non operando la media temporale,

si ottiene che l’incorrelazione temporale non è una condizione necessaria.

36. Date tali definizioni e fatte tali osservazioni, si noti che l’operatore di

Fact

media statistica non opera sui processi deterministici così come l’operatore di

media temporale non opera sui segnali costanti. Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

Capitolo 4

Sistemi applicati a processi

aleatori

In questo capitolo utilizzeremo le conoscenze possedute riguardo l’analisi dei

sistemi nel caso di segnali deterministici per estendere il loro studio ai segnali

aleatori.

4.1 Sistemi LTI

I sistemi o più semplicemente LTI, sono caratterizzati

lineari-tempo invarianti,

da una funzione chiamata che lega ingresso ed uscita

risposta impulsiva h(n)

secondo la seguente relazione ingresso-uscita (4.1)

⊗

Y (n) = X(n) h(n)

in cui solo la risposta impulsiva è un segnale deterministico.

Riguardo le medie statistiche si ha (4.2)

⊗ ⊗

E[Y (n)] = E[X(n) h(n)] = E[X(n)] h(n)

dove l’operatore di media non opera sulla risposta impulsiva in quanto essa è

una funzione deterministica.

Riguardo la componente continua si ha X

⊗ −

Y =< µ (n) >=< µ (n) h(n) >=< h(m)µ (n m) >=

Y X X

dc m

X X

−

= h(m) < µ (n m) >= h(m) X

X dc

m m

dove l’ultimo passaggio è valido in quanto la media temporale è invariante alle

traslazioni nel tempo. Si ottiene quindi, ricordando che l’area sottesa da un

61

Pierluigi Giangrande

Trasmissione Numerica

62 CAPITOLO 4. SISTEMI APPLICATI A PROCESSI ALEATORI

segnale nel tempo è pari al valore nell’origine della sua trasformata di Fourier,

che (4.3)

Y = X H(0)

dc dc

NOTA: un sistema LTI non alteri la natura del segnale in ingresso, per cui

se e