Lezioni: Appunti di Meccanica

Esame scritto e laboratorio di meccanica

Dettagli dell'esame e del laboratorio

Prima parte dell'esame scritto con domande teoriche ed esercizi, laboratorio per un mese dal 12 marzo al 17 aprile.

Derivata di un vettore rotante

d(r^D) / dt = ω_r × (r^D), ω è la velocità angolare di r^D.

• i × j = k
• j × k = i
• k × i = j

Si possono scambiare i termini del prodotto cambiando segno al vettore risultante.

Derivata nel piano

Studiamo la derivata nel piano. Prendiamo il nostro vettore, ed uno ad esso ortogonale, che ruotano insieme con velocità angolare uguale. Notiamo che le proiezioni sugli assi del secondo vettore sono le DERIVATE delle proiezioni del primo.

Quindi: \( \frac{d(\vec{r} \land \vec{i})}{dt} = r c \omega \hat{j} = r c \omega [\hat{k} \times \vec{i}] = \omega \hat{k} \times (r \vec{i}) \).

Si nota che derivare un vettore rotante è uguale a moltiplicare vettorialmente la velocità angolare per il vettore stesso. Notiamo che essendo una derivata di un vettore posizione, dà il vettore velocità.

Graficamente, la derivata di un vettore rotante:

• 1) Significa ruotarlo di 90° nel senso di \(\vec{\omega}\)
• 2) Prendere il vettore derivato con modulo pari al vettore stesso × \(\vec{\omega}\)

Corpo rigido nel piano

AB = costante, nel piano servono 3 coordinate per definire la posizione del punto, detti gradi di libertà. Sul piano, due coordinate sono le proiezioni sugli assi, e una terza (per identificare la variazione di angolo in una rotazione, θ).

L'angolo fa la particolarità che se prendiamo una seconda retta con vertice in comune, si fa uno spostamento α_i, si ottiene un angolo θ = θ + α_i, e se deriviamo il nuovo angolo, si ottiene sempre la stessa velocità angolare:

dθ/dt = dθ/dt = ω, d²θ/dt² = d²θ/dt² = α

Quindi si ha ω costante per ogni punto, e omogenea accelerazione angolare.

Moto del corpo rigido nel piano

Iniziamo dalla sola traslazione, se cambia la posizione dei punti ma θ è costante, il corpo non può ruotare, per cui ω = 0, α = 0, θ = cost. Inoltre ^V_A = ^V_B, ^a_A = ^a_B, tutti i punti hanno stessa velocità e accelerazione lineare.

Moto rotatorio attorno ad un punto fisso, detto polo. Immaginiamo una biella, fissata in O tramite una cerniera fissa. Il corpo ruota attorno al punto descrivendo una circonferenza di raggio PO₀ costante. Il vettore ^r_P-O = r, λ, identifica la posizione di P.

Calcoliamo la velocità di P: ^V_P = ^d/_dt (r^λ) = ^dr/_dt + r ... - r [ ^ωk x ... ] , ^ωk x r^λ , ^ωk x (P-O).

Questa è la formulazione generale della velocità per un punto generico P₁, attorno al punto fisso O. Graficamente, vediamo che infatti corrisponde a ruotare di 90° la posizione P-O e moltiplicarla per ω, come la normale derivazione.

Accelerazione del punto P₁

Per l'accelerazione del punto P₁, si deriva la velocità:

a_P1 = d(rωψ_-)_-/dt = dr/dtωψ_- + rdω/dtψ_- + rdψ/dtω_- = = rω_×[κ_×r₂]_- + rw[ω_×rψ₁]_- = ω_×[κ[_×R^V-]]+ rw²[_-]_- ω^•κ_×(P-O)_- ω²(P-O)_-== a_T- + a_N-, quindi ha due contributi.

L'accelerazione normale è sempre diretta verso il centro (quindi negativa). Quella tangenziale può essere nulla se la velocità è costante, ed è sempre tangente alla traiettoria, come la velocità.

Vediamo che la distribuzione della velocità per ogni punto della biella è di tipo triangolare.

Rototraslazione

L'ultimo tipo è la rototraslazione, ed è il più generico esistente. Immaginiamo una biella non vincolata, con il corpo che si muove di una certa quantità, e in B inizia a ruotare con polo in B. Per cui lo spostamento di A complessivo è la combinazione di spostamento traslatorio e rotatorio:

Δ_t↵_A = Δ_t↵_B + Δ_t↵_A/B con Δ↵_AB = ΔØ (AB) = |_VA↵ - V _B↵ + V _A/B↵|↵_B + ↵_K x (A-B)

Questa è la formula fondamentale della cinematica.