Lezioni: Appunti di Meccanica

Prima parte

Esame scritto con domande teoriche ed esercizi, laboratorio per un mese dal 12 Marzo al 17 Aprile.

Derivata di un vettore rotante:

d(x) / dt = ω ∧ (x), ω velocita' angolare

• i ∧ j = k
• j ∧ k = i
• k ∧ i = j

Si possono scambiare i termini del prodotto cambiando segno al vettore risultante.

Studiamo la derivata nel piano. Prendiamo il nostro vettore, ed uno ad esso ortogonale, che ruotano insieme con velocita' angolare uguale.

Notiamo che le proiezioni sugli assi del secondo vettore sono le DERIVATE delle proiezioni del primo.

velocità per un punto generico P_i,

attorno al punto fisso O. Graficamente,

vediamo che infatti corrisponde a ruotare

di 90 la posizione P-O e moltiplicarla

per ω, come la normale derivazione.

Per l' accelerazione del punto P_i, si

deriva la velocità:

a_P = d(rω^→ P)

= drω^→ P^→ + rd ω^→ P^→ + rd ω^→ P^→

- r ω [k ^→ x r^→] + rω [ωk ^→ x r^→] = ωk^→ x [R^→]

+ r ω² [...] ωk^→ x (P^→-O) - ω²(P^→-O) =

= a^→_T + a^→_N, quindi ha due contributi.

L' accelerazione NORMALE è sempre

diretta verso il centro (quindi negativa),

quella tangenziale può essere nulla

se la velocità è costante, ed è sempre

tangente alla traiettoria, come la

velocità.

Vincoli Principali:

Tabella da ricollegare:

1°: carrello con il vincolo sopra, può traslare orizzontalmente due piani, e ruotare quindi ha 2 gradi di libertà, e 1 grado di vincolo cioè il movimento verticale.

2°: cerniera fissa, ha un solo GdL, e 2 GdV.

3°: Pattino, può solo traslare orizzontalmente.

4°: Incastro, ha 0 GdL e 3 GdV.

• Carrello: 2 gradi di libertà, 1 grado di vincolo
• Cerniera: 1 grado di libertà, 2 gradi di vincolo
• Pattino: 1 grado di libertà, 2 gradi di vincolo
• Incastro: 0 gradi di libertà, 3 gradi di vincolo

AB: Sia il corpo A che il corpo B si muovono, non c'è una cerniera fissa.

VB = VA + V_B/A (form. fondamentale) → VB ≠ Vuol dire NOTA.

Per trovare i dati mancanti, usiamo il triangolo delle velocità.

BHZ è il triangolo delle velocità.

Bisogna trovare gli angoli del triangolo delle velocità con considerazioni trigonometriche. Noti gli angoli, troviamo i lati (velocità), con il teorema dei seni:

VB/A/sin 45° = VA/sin(120°) → VB/A = 26,93 m/s

VB/sin 15° = VA/sin 120° → VB = 9,86

Manca ancora una velocità angolare, ω₂.

V_Pass = ω × (P - O) = v_prel + [ω₁ × (P - O₁)]

• M | cωPO = 47,1 m/s | cω₁PO₁ = ?
• D | cPO | lung PO₁
• V | cω | l PO₁

La velocità di traslamento di P è la velocità del punto nel proprio sottosistema:

V_Ptrasf = V_O1 + V_P/O1 = 0 + cω₁ × (P - O₁). Il moto assoluto è quello di P che ruota intorno ad O, quindi V_Pass = cω × (P - O), che si scompone nelle due parti.

• Calcoliamo i gradi di libertà del sistema:

z = 3(m-1) - 2c₁ - c₂, m = 3(1,2,telaio), c₁ = 2(O₁,O₂), c₂ = 1 (P che trasla nella guida e ruota, come un carrello). → z = 1, infatti si ha un solo ingresso, cioè una sola velocità angolare.

• Ragioniamo ora solo sul corpo 1, un sottosistema:

V_P = V₀ + V_P|0 = ω × (P - O)

M = cωPO , D = l PO₁ , V = cω