Lezioni, Meccanica Razionale

Curve in R³ e R²

Una funzione regolare in R³ se esistono continue le derivate prime diversi da zero (i = 1, 2, 3, ...) e non si annullano contemporaneamente

Definisce una curva

Curva in Rⁿ (n = 2, 3)

• x(t) = (x₁(t), x₂(t), x₃(t))
• x₁(t) ê₁ + x₂(t) ê₂ + x₃(t) ê₃
• ∑ x_j ê_j

Δx = x(t + Δt) - x(t)

Velocità istantanea

• v̅ = lim Δx̅/Δt = lim x̅(t + Δt) - x̅(t)/Δt

Δx̅ = (x̅(t + Δt) - x̅(t)) = (x₁(t + Δt) - x₁(t), x₂(t + Δt) - x₂(t), x₃(t + Δt) - x₃(t))

• = ∑ (x_j(t + Δt) - x_j(t)) ê_j
• = v̅(t)
• = ∑ δx_j(t)/δt ê_j

Derivata prima

Accelerazione istantanea

• a̅(t) = lim Δv̅/Δt = lim v̅(t + Δt) - v̅(t)/Δt

= (v̇₁, v̇₂, v̇₃) = (ẍ₁, ẍ₂, ẍ₃)

DINAMICA

Punto materiale

Punto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle primarie nel sistema

Massa: Quantità di materia contenuta in un corpo

PRINCIPI DELLA DINAMICA

1° PRINCIPIO

Esiste un riferimento nel quale un punto materiale isolato ha accelerazione nulla.

OSS. Se esiste un tale riferimento

- La traslazione che ci porta al sistema (x' = x + vt) modificherà la posizione del punto nei sistemi mobili rispetto al primo.

- Cioè l’accelerazione non cambia osservando un sistema S che si muove rispetto a S' in moto rettilineo e uniforme.

2° PRINCIPIO

Il moto di un punto materiale in interazione con un

sistema dà al sistema che esercita su di esso una forza F che soddisfa ma = F (in un sistema di riferimento inerziale)

Tipi di interazione:

• Interazione nucleare forte
• Interazione gravitazionale
• Forza di Coulomb
• Forza di gravità

Dati un sistema costituito da 2 punti materiali isolati P e Q si

MECCANICA RAZIONALE - ANTONIO PANNO

LIBRI

• D. Pigozzi (Teoria ed Esercizi)
• C. Cercignani (Spazio, Tempo e Movimento)

RICHIMI DI ALGEBRA LINEARE

Rn con struttura di spazio vettoriale (o lineare)

(R3 = R x R x R = { (x, y, z) x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R })

∓

∀ µ, v ∈ R3 e ∀ a, b ∈ R allora aµ + bv ∈ R3

µ = ( x1 )

v = ( y1 )

a µ + b v = a ( x1, x2, x3 ) + b ( y1, y2, y3 ) = ( a x1 )

= ( a x1 + b x1 )

( a y2 + b y2 )

( a z3 + b z3 )

modulo di v = lunghezza op

STRUTTURA SPAZIO VETORALE EUCLIDEO

1. Si definisce una funzione di RnxRn in R

che ad ogni coppia di µi, vi di R3 associ il

loro prodotto scalare o interno µºv così

definito:

µºv = x1x2 + y1y2 + z1z2

PROPRIETÀ

1. µºµ = x2 + y2 + z2 = |µ|2
2. µºv = vºµ
3. aµ + bv w = aµºw + b vºw

SE SOLO ORTOGONALI

µºv = 0 se e solo se \cos θ = 0, cioè θ= π / 2