Lezioni: Appunti di Fluidodinamica

Appunti di fluidodinamica

Capitolo 1 - Caratterizzazione del fluido

1. Descrizione del fluido

Un problema di fluidodinamica tratta il comportamento di un fluido di proprietà note, soggetto a leggi fisiche note, in una configurazione geometrico-cinematica specifica.

Il fluido è una sostanza materiale e, come tale, può essere descritta in termini dei suoi costituenti elementari: atomi e molecole. In generale, un fluido è descrivibile con due approcci fondamentali:

• Meccanicistico (ogni molecola è pensata come un corpo rigido dotato di un suo moto);
• Continuo deformabile (si tratta di un approccio macroscopico dove si valutano le proprietà).

Vista l’impossibilità di usare in termini concreti l’approccio meccanicistico, il fluido è considerato una sostanza che si deforma in modo continuo sotto l’azione di uno sforzo tangenziale, non importa quanto esso sia piccolo. L’incapacità di reggere sforzi di taglio, infatti, è la caratteristica principe di un fluido ed è ciò che lo differenzia da un corpo solido. Un fluido, infatti, non ha “memoria” (a patto di escludere alcuni fluidi con caratteristiche viscoelastiche).

2. Proprietà fondamentali dei fluidi

Di seguito sono presentate alcune proprietà fondamentali dei fluidi.

Densità

La densità è definita come:

Δm ⎛ ⎞ρ = ⎜ ⎟lim ⎝ ⎠ΔVεΔV → 3 (1.1)

Essa è definita su una scala di grandezza che le permette di avere valore costante. Scrivendo la massa come la somma delle masse di n molecole, infatti, si ricava:

n m n mρ = n n Δx 3V (1.2)

La regione 1 corrisponde a scale di grandezza confortevoli con il libero cammino medio, la regione 2 corrisponde a scale di grandezza dove è possibile la descrizione delle proprietà del fluido tramite campi scalari e vettoriali, infine nella regione 3 le variazioni sono macroscopiche.

Viscosità

La viscosità di un fluido dipende da vari parametri, tra i quali la temperatura svolge un ruolo dominante, essendo il concetto di viscosità legato ad aspetti inter-molecolari. In particolare:

• Nei liquidi le forze di coesione molecolare sono dominanti e poiché esse diminuiscono con l’aumentare della temperatura, anche la viscosità dinamica diminuisce con la temperatura;
• Nei gas l’agitazione termica è dominante e poiché essa aumenta con la temperatura, anche la viscosità dinamica aumenta con la temperatura.

Si può dare una definizione operativa della viscosità dinamica considerando la rappresentazione empirica della legge costitutiva di un fluido Newtoniano (che indica il legame tra lo sforzo di taglio e la velocità in un fluido):

UA Uτ μ ∝ → =F d d (1.3)

Osservando un elemento di fluido si comprende ancora di più il ruolo della viscosità come costante di proporzionalità tra lo sforzo di taglio e la velocità di deformazione:

θ∼ΔU τ μ μ μθ∼= = = Δtd (1.4)

⎡ ⎤∂u dt du du( ) ( ) θ∼ θ∼= + − = → =d u y dy u y dt ⎢ ⎥∂y⎣ ⎦ dy dy dy (1.5)

duτ μ= dy (1.6)

È comoda la definizione della viscosità cinematica, che rappresenta il coefficiente di diffusione della quantità di moto e compare spesso nelle equazioni di bilancio:

μυ = ρ (1.7)

La viscosità si misura in vari modi. Uno di questi è il viscosimetro di Couette: il fluido è contenuto in un’intercapedine tra due cilindri, quando il cilindro interno viene messo in rotazione da un peso esso oppone una resistenza di tipo viscoso.

Tensione superficiale

La tensione superficiale è lo sforzo presente all’interfaccia tra fluidi con diverse densità, ad esempio sulla superficie del pelo libero dell’acqua. Essa, infatti, si comporta come una membrana tesa. Al concetto di tensione superficiale si lega il concetto di bagnabilità. In questo senso le superfici possono essere idrofobe o idrofile.

Pressione

La pressione può essere intesa come:

• Pressione meccanica (forza per unità di superficie);
• Pressione termodinamica (legge di stato dei gas).

I due significati si legano mediante la teoria cinetica dei gas che sfrutta un approccio microscopico. Considerando molecole di sforma sferica che interagiscono con una parete, l’urto elastico provoca una variazione di quantità di moto:

Δq ∝ 2mu_T (1.8)

dove u_T è la velocità di agitazione termica.

Per la seconda legge di Newton, la forza totale scambiata sarà proporzionale al numero di urti nell’unità di tempo e alla variazione di quantità di moto:

= Δq Δq!F M ANu_T (1.9)

Pertanto si ha:

F ρ ρ ρ= ∝ = ∝ → =2 2p mNu u T p RT !T TA (1.10)

La pressione che il fluido esercita sulla parete, quindi, è uguale alla pressione che un elemento di fluido sente.

Si noti che la pressione è una quantità scalare, ossia essa varia nello spazio ma non dipende dalla direzione. Ciò è evidente dalla seguente dimostrazione. Scrivendo l’equazione di equilibrio del volume mostrato in figura:

θ∼⎧ − = − = → =⎪ x : p dy p dnsin p dy p dy 0 p p_x n x n⎨ !θ∼− = − = → =⎪ y : p dx p dn cos p dx p dx 0 p p⎩ y n y n y n (1.11)

Fenomeni di trasporto

Per un fluido si possono scrivere leggi di trasporto per la quantità di moto in forma tensoriale. Infatti, analogamente a quanto si fa per la diffusione della concentrazione (legge di Fick) o per la diffusione del calore (legge di Fourier), anche per la quantità di moto si definisce il concetto di trasporto. In particolare, in assenza di motivi per cui un profilo di velocità non sia costante, tale profilo tende ad uniformarsi, pertanto avviene una vera e propria diffusione di quantità di moto. Si noti che le leggi di diffusione sono lineari: ciò si spiega con il fatto che la scala di grandezza considerata è molecolare, per la quale le curvature non sono apprezzabili.

Capitolo 2 - Leggi di conservazione

Notazioni vettoriali e tensoriali sono volutamente spesso scambiate reciprocamente.

3. Statica dei fluidi

La statica dei fluidi studia lo stato di quiete, per il quale la componente tangenziale dell’azione interna superficiale dell’elemento di fluido è nulla. L’azione interna superficiale dell’elemento di fluido, pertanto, è diretta come la normale locale e, indipendentemente dalla direzione, si avrà sempre:

!=df df ' (2.1)

Tale azione interna superficiale dipende dalla pressione locale (che agisce normalmente alla superficie). Definite forza di volume e forza di superficie come:

( ) ( )∫ ρ=F x, y, z b x, y, z dΩ !V Ω (2.2)

( )∫ ∫σ= ∂Ω = − ∂Ω! !F d p x, y, z nd !S ∂Ω ∂Ω (2.3)

si ricava l’equazione di equilibrio di un elemento di fluido:

( )∫ ρ+ = → − ∇p =F F 0 b dΩ 0 !V S Ω (2.4)

dove si è utilizzato il teorema della divergenza sulla normale.

Esprimendo in forma differenziale:

ρ − ∇p =b 0 (2.5)

Applicando l’operatore di rotore alla (2.5) è facile ricavare la condizione di conservatività sul campo di forze di volume b. Sfruttando tale condizione si ricava:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1 1 1∇ × −∇p + = ∇ × −∇p → ∇ × ∇p + ∇ × ∇p =b 0⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ρ ρ ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ !ρ∇ ρ→ × ∇p = → ∇ × ∇p =0 0ρ 2 (2.6)

Si nota, dunque, che i campi di pressione e densità non variano indipendentemente.

= −gzb Rifacendosi al caso terrestre il campo di forze di volume vale, considerando variazioni di pressione solamente lungo la verticale, la (2.5) si può integrare ricavando così la legge di Stevino:

( ) ρ= −p z p gz !0 (2.7)

Nel caso terrestre è possibile ricavare anche il principio di Archimede dalle equazioni della statica. Si consideri un corpo immerso in un volume di fluido. Se il fluido è in quiete esso non è alterato dal corpo solido, pertanto quest’ultimo può essere virtualmente rimosso e sostituito con dell’altro fluido al quale è possibile applicare le equazioni della statica. La forza superficiale all’interfaccia tra il fluido vero e il fluido virtuale è:

∫ ∫= − = −! ! "F pn dS p n dS !C S SC C (2.8)

dove p è la pressione del fluido virtuale. Per l’equazione della statica si ha:

∫ ρ ρ= → =!F gzdΩ F gV !C CΩ C (2.9)

Pertanto la spinta verso l’alto è uguale al peso del volume spostato.

4. Approccio Lagrangiano ed Euleriano

Gli approcci Lagrangiano ed Euleriano sono due diversi modi per interpretare il moto. L’approccio Lagrangiano consiste nell’identificare una massa di fluido che ad un certo istante iniziale occupa un volume Ω delimitato dalla superficie Σ e seguirla durante il suo moto. Le variabili indipendenti sono il tempo e la posizione iniziale. Nella filosofia Lagrangiana, la derivata della velocità rappresenta l’accelerazione. Vista la difficoltà dell’applicazione dell’approccio Lagrangiano dovuta al continuo variare del volume Ω, spesso si utilizza un approccio Euleriano. Esso consiste nel considerare un volume di controllo fisso nello spazio e nel tempo di forma arbitraria e nello scrivere le leggi che descrivono le variazioni delle proprietà del fluido in tale volume:

• Variazione di una grandezza nel tempo;
• Variazione dovuta al flusso netto attraverso la superficie chiusa che delimita il volume di controllo.

Nella filosofia Euleriana, le variabili indipendenti sono la posizione istantanea e il tempo. Poiché utilizzare l’approccio Euleriano significa “scattare un’istantanea” della situazione, la derivata della velocità non è l’accelerazione.

I due approcci descritti sono legati dal concetto di derivata convettiva (o materiale):

∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂FDF= + = + → = +dF dt dx dt u dt u !∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂xi i iDti i i (2.10)

Essa indica la variazione in senso Lagrangiano della quantità F e si legge in senso Euleriano come somma di due contributi che non dipendono dalle condizioni iniziali. La (2.10) è espressa in notazione tensoriale, volendo esprimerla in notazione vettoriale si ha:

∂FDF ( )= + ·∇u F !∂tDt (2.11)

In senso lato, i due approcci sono legati dal teorema del trasporto di Reynolds (RTT):

∂Fd ( )∫ ∫ ∫= + ·!F x,t dV dV Fc n dA !∂t( )dt V t V A (2.12)

dove c è la velocità del contorno.

( ) =V t V Il teorema si può dimostrare facilmente. Supponendo che ad un certo istante, il primo termine della (2.12) si può scrivere come il limite del rapporto incrementale:

( )d 1( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫= + Δt −F x,t dV lim F x,t F x,tΔt +ΔVΔt→0dt V V V( ) ( )∂F ∂F⎛ ⎞x,t x,t1 ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫+ + Δt + Δt −! lim F x,t dV F x,t dV dV dV F x,t dV !⎜ ⎟⎝ ⎠Δt ∂t ∂tΔV ΔVΔt→0 V V V( )∂F⎛ ⎞x,t1 ( )∫ ∫+ Δt! lim F x,t dV dV⎜ ⎟⎝ ⎠Δt ∂tΔVΔt→0 V (2.13)

Essendo:

( ) ( )∫ ∫ Δtc ·!F x,t dV F x,t n dA !ΔV A (2.14)

Si ricava la formulazione del teorema (2.12).

Si noti che il teorema del trasporto di Reynolds è una pura descrizione cinematica.

5. Conservazione della massa

Il principio di conservazione della massa stabilisce che la massa del fluido non può essere né creata né distrutta. Identificando un volume materiale che evolve nel tempo (punto di vista Lagrangiano) si ha:

d ( )∫ ρ =x,t dv 0 !( )dt v t (2.15)

È possibile passare all’approccio Euleriano applicando il teorema del trasporto di Reynolds (si considera fermo il volume di controllo):

( )ρ∂ x,t ( ) ( )∫ ∫ ρ+ · =!dV x,t u x,t n dA 0 !∂tV A (2.16)

Il primo termine della (2.16) indica l’instazionarietà nel volume, mentre il secondo indica il flusso attraverso il contorno. La relazione scritta vale anche se la funzione densità ρ(x,t) è discontinua, poiché è una relazione integrale. Ipotizzando la funzione densità continua e differenziabile e applicando il teorema della divergenza, si ricava la formulazione differenziale della (2.16):

( )ρ∂ x,t ( )ρ+ ∇ · =u 0 !∂t (2.17a)

ρ∂ ∂ ( )ρ+ =u 0 !∂t ∂x jj (2.17b)

È possibile anche la scrittura in forma convettiva:

ρ ρ∂ Dρ ρ ρ+ ∇ ·u + ∇ ·u = → + ∇ ·u =0 0 !∂t Dt (2.17c)

Se il fluido è incomprimibile la sua derivata materiale è nulla (anche se il flusso è non stazionario), pertanto si ricava un vincolo cinematico sulla velocità che deve essere un campo solenoidale:

∇ ·u = 0 (2.18)

6. Conservazione della quantità di moto

Il principio di conservazione della quantità di moto (seconda legge di Newton) si scrive come:

d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ρ ρ= + !x,t u x,t dv x,t g x,t dv f x,n,t dA !dt v v A (2.19)

dove g è la forza di volume e f la forza di superficie. Applicando il teorema della divergenza ad una scrittura Euleriana della (2.19) si ha:

( )ρ∂ u ( )∫ ∫ ∫ ∫ρ ρ τ+ ∇ · = + ∇ ·dV uu dV g dV dV !∂tV V V V (2.20)

Il secondo termine della (2.20) è non lineare e corrisponde alla divergenza di un tensore di ordine due (che è un tensore di ordine uno, ossia un vettore composto dalla divergenza delle righe del tensore doppio). L’ultimo termine della (2.20) è l’integrale della divergenza del tensore di sforzo τ, che corrisponde al tensore pI se il fluido non è viscoso.

Sfruttando l’arbitrarietà dei volumi si ricava l’equazione di conservazione della quantità di moto in forma differenziale:

( )ρ∂ u ( )ρ ρ τ+ ∇ · − − ∇ · =uu g 0 !∂t (2.21)

Applicando le identità vettoriali e l’equazione di continuità nella forma (2.17a):

( ) ( ) ( )ρ ρ ρ∇ · = ∇ · + ·∇⎧ uu u u u u⎪ ( )⎨ ρ∂ ρ∂ ∂u ∂u !u ( )ρ ρ ρ= + = − ∇ ·⎪ u u u∂t ∂t ∂t ∂t⎩ (2.22)

Si può quindi ricavare l’equazione di conservazione della quantità di moto in forma convettiva:

Duρ ρ τ= + ∇ ·g !Dt (2.23)

Dalla formulazione (2.23) risulta chiaro che l’accelerazione del fluido è dovuta da forze di volume e sforzi interni scambiati dalla particella di fluido.

7. Tensore degli sforzi e legge costitutiva

Al fine di descrivere le forze viscose è necessario ricavare una legge costitutiva per il tensore degli sforzi del tipo:

( )τ τ= M ! (2.24)

dove M è un tensore doppio simmetrico. Poiché densità ed energia non sono tensori doppi ρ e il tensore di quantità di moto uu non permette di applicare trasformazioni invariati, il tensore degli sforzi sarà funzione del solo gradiente di velocità (che rappresenta quindi la deformazione):

( )τ τ= ∇u ! (2.25)

Come già