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Lezioni: Appunti di Fluidodinamica

Appunti di Fluidodinamica per l’esame del professor Quadrio. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la caratterizzazione del fluido, la descrizione del fluido, le proprietà fondamentali del fluido, la pressione che il fluido esercita sulla parete, le leggi di conservazione.

Esame di Fluidodinamica docente Prof. M. Quadrio

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ESTRATTO DOCUMENTO

Nel caso di flusso viscoso in moto, nell’ipotesi di quasi equilibrio termodinamico, si ha:!

! τ δ σ

= − +

p !

ij ij ij (2.27)!

!

⎛ ⎞

∂u

σ σ σ

= i

con . Vista la simmetria del tensore degli sforzi, anche il tensore dovrà

⎜ ⎟

∂x

ij ij ij

⎝ ⎠

j

essere simmetrico. Il gradiente della velocità si può scomporre nella somma di due tensori,

uno diagonale e l’altro anti-diagonale, come segue:!

! ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂u ∂u

∂u ∂u ∂u

1 1 1

= + + − = +

j j

i i i S R !

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij ij

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2

j j i j i (2.28)!

!

R

Il tensore rappresenta rotazioni rigide che non variano l’equilibrio termodinamico o,

ij σ

meglio, non ne impediscono il raggiungimento. Il tensore , dunque, dipenderà solo dalle

ij

S

deformazioni , attraverso un tensore di ordine quattro:!

ij

! σ κ

= S !

ij ijmm mn (2.29)!

!

σ

Poiché, nel caso di fluidi Newtoniani, deve essere simmetrico e isotropo (in modo da

ij κ

mantenere le stesse condizioni sul tensore degli sforzi) il tensore quadruplo deve

ijmn

essere combinazione lineare di tre coefficienti (dei quali due indipendenti). Un tensore

isotropo di ordine quattro, infatti, può sempre essere scritto come combinazione lineare

δ

del tensore doppio . In particolare, nel caso in questione, si ha:!

ij

! κ λδ δ µδ δ γδ δ

= + + !

ijmn ij mn im jn in jm (2.30)!

!

γ µ

=

Per ragioni di simmetria deve essere , pertanto sostituendo nella (2.29) si ricava:!

! ( )

σ λδ µδ δ γδ δ λδ µ

= + + = +

S S S 2 S !

ij ij mn im jn in jm mn ij mm ij (2.31a)!

!

che in notazione vettoriale si scrive come:!

! σ λ µ

= ∇ ⋅uI + ∇u

2 ! (2.31b)!

!

σ

Sostituendo l’espressione di nella (2.27) si ricava la relazione costitutiva dei fluidi

ij

Newtoniani:!

! τ δ µ λδ

= − + +

p 2 S S !

ij ij ij ij mm (2.32)!

!

9

µ λ

Il parametro è detto primo coefficiente di viscosità, mentre è il secondo coefficiente di

viscosità (meno rilevante del primo). Formulando l’ipotesi di Stokes è possibile legare i

=

i j

due coefficienti di viscosità. Considerando , la relazione costitutiva diventa:!

! ( )

τ µ λ

= −3p + +

2 3 S !

ii mm (2.33)!

!

1 τ

= −

p

Se il fluido è in quiete, il termine rappresenta la pressione meccanica. Dunque,

ii

3

sostituendo nella (2.33), si ha:!

! ( )

µ λ µ

− = Δp = + =

p p 2 3 S S !

mm V mm (2.34)!

!

µ

essendo la bulk viscosity. L’ipotesi di Stokes (corretta nel caso di gas mono-atomici)

V

consiste nel considerare nullo tale parametro, pertanto si ricava la relazione di Stokes:!

! 2

λ µ

= − !

3 (2.35)!

!

Infine, la (2.33) diventa:!

! ⎛ ⎞

2

τ δ µ δ

= − + −

⎜ ⎟

p 2S S !

⎝ ⎠

ij ij ij ij mm

3 (2.36)!

!

!

8. FLUIDI NON NEWTONIANI!

!

Nel caso di fluidi non Newtoniani la relazione costitutiva mostrata al paragrafo precedente

perde di validità. Sulla diagramma stress-shear rate, dove la curva relativa ai fluidi

Newtoniani ha andamento lineare e interseca l’origine, si distinguono due tipi di

comportamento: nel caso di curve al di sopra della retta dei fluidi Newtoniani (ossia per le

quali la viscosità diminuisce all’aumentare del rateo di deformazione) si parla di shear

thinning (assottigliamento al taglio), mentre nel caso di curve al di sotto (ossia nel caso la

viscosità aumenti all’aumentare del rateo di deformazione) si parla di shear thickening.!

La difficoltà nello studio del fluidi non Newtoniani, in ogni caso, sta nella loro varietà di

caratteristiche miste. Inoltre è spesso fuorviante formulare l’ipotesi di proprietà costanti.!

Alcune classi di fluidi non Newtoniani sono qui riportate:!

! Fluidi con sospensioni a forma di stringhe;!

• Fluidi con sospensioni di bolle;!

• Fluidi dotati di memoria (tissotropici).!

!

!

9. EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES!

!

Sostituendo la (2.36) nell’equazione di conservazione della quantità di moto si ricavano le

equazioni di Navier-Stokes che descrivono il moto di un fluido viscoso e comprimibile

indipendentemente dal regime di moto:!

! 10

⎡ ⎤

⎛ ⎞

⎛ ⎞

∂u ∂u ∂u

∂ ∂ ∂u ∂u

⎛ ⎞

p 2

ρ ρ µ µ µ δ

+ = − + + + + −

j j j

⎢ ⎥

i k

⎜ ⎟

u g !

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∂t ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

i j V ij

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

⎢ ⎥

⎣ ⎦

i j i i j k (2.37)!

!

Nel caso di fluido a proprietà costanti e incomprimibile (ricordando che la condizione di

∇ ⋅u = 0

incomprimibilità è ), si ha:!

! ∂u 1

( ) µ

+ ⋅∇ = − ∇p + + ∇ 2

u u g u !

ρ

∂t (2.38)!

!

Nel caso di fluido non viscoso, l’ultimo termine della (2.38) scompare e si ricavano le

equazioni di Eulero.!

!

!

10. TEOREMA DI BERNOULLI!

!

Il teorema di Bernoulli riguarda la ricerca di un integrale primo del moto, in questo caso un

legame tra velocità e pressione. Dalle equazioni di Eulero si può scrivere:!

! ∂u ( )

+ ⋅∇ + ∇P =

u u f !

∂t (2.39)!

!

dove si è formulata l’ipotesi di fluido barotropico, per il quale:!

! dp'

( ) p

ρ

= → =

p p P !

( )

ρ p'

p

0 (2.40)!

!

essendo P un potenziale, poiché integrale di un differenziale esatto. Applicando l’identità

( ) ( ) ( ) ω

× ∇ × = ∇ ⋅u − ⋅∇ = ∇ ×

u u u u u u

vettoriale e definendo la vorticità come si ricava

l’equazione della quantità di moto nella forma del Crocco:!

! ∂u ( ) ω

+ ∇ ⋅u − × + ∇P =

u u f

∂t !

⎛ ⎞

∂u 2

u ω

+ ∇ + + × =

P u f

⎜ ⎟

∂t ⎝ ⎠

2 (2.41)!

!

A seconda del tipo di flusso sono possibili varie soluzioni integrali. Considerando la forza

f

di volume come la forza di gravità (inserendola quindi nel potenziale) e moltiplicando

l’equazione (2.41) scalarmente per la velocità o la vorticità si ha:!

⎧ ⎛ ⎞

2

u

⋅∇ + + =

⎪ u P gz 0

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎪ 2 2

u dp

→ = + + =

⎨ B gz cost

Flusso stazionario: sulle linee di

ρ

⎛ ⎞ 2

2

⎪ u

- ω ⋅∇ + + =

P gz 0

⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

2

corrente e sulle linee vorticose;! 11

- Flusso irrotazionale e stazionario (ossia trascurando strato limite):

2

u dp

= + + =

B gz cost in tutto il fluido;!

ρ

2 ϕ ϕ ϕ

∂ ∇ ⋅∇ dp

+ + + =

gz cost

Flusso irrotazionale: , avendo espresso il potenziale della

- ρ

∂t 2

velocità.!

!

Il teorema di Bernoulli nella sua forma più conosciuta per flusso stazionario e irrotazionale

si scrive come:!

! 1 ρ ρ

+ + =

2

u p gz cost !

2 (2.42)!

!

!

!

11. CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA!

!

Attraverso la manipolazione arbitraria dell’equazione di conservazione della quantità di

moto è possibile ricavare l’equazione di conservazione dell’energia meccanica. Essa,

dunque, non è indipendente, ma è una scrittura alternativa della (2.23) ricavata dalla sua

moltiplicazione scalare per il vettore velocità:!

! ⎛ ⎞

Du

ρ ρ τ

⋅ → ⋅ − − ∇ ⋅ =

⎜ ⎟

u momentum equation u g 0

⎝ ⎠

Dt !

τ

⎛ ⎞

D 1

ρ ρ

→ = + ij

⎜ ⎟

u u g u u

⎝ ⎠ ∂x

i i i i i

Dt 2 j (2.43)!

!

Il primo termine della (2.43) rappresenta la variazione di energia cinetica puntuale per

unità di volume, il secondo termine rappresenta il lavoro puntuale delle forze esterne per

unità di volume, mentre l’ultimo termine rappresenta il lavoro puntuale della risultante delle

forze di superficie per unità di volume. Sfruttando la scrittura dell’equazione di continuità

nella forma (2.17b) e sviluppando la derivata convettiva della (2.43) si ha:!

! ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ τ

ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 1

ρ ρ ρ ρ

+ + + = + ij

2 2 2

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

u u u u u g u u

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂t ∂x ∂t ∂x ∂x

j j i i i

2 2 2

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

j j j

!

#####

"

#####

$ !

##

#

"

###

$ !

derivata convettiva eq. continuità τ

∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1

ρ ρ ρ

+ = + ij

2 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

u u u g u u

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂t ∂x ∂x

j i i i

2 2

j j (2.44a)!

!

che si può scrivere in notazione vettoriale come:!

! ∂E ( ) ρ τ

+ ∇ ⋅ = ⋅ + ⋅∇ ⋅

Eu u g u !

∂t (2.44b)!

!

12

1 ρ

= 2

E u

avendo definito la quantità come l’energia meccanica del fluido.!

2

!

La (2.44a) si può ancora modificare studiando il contributo dovuto al lavoro degli sforzi. Si

nota, infatti, che nell’equazione non compare il lavoro totale, invece esprimibile come:!

! τ

∂ ∂u

( )

τ τ

= + ij

i

u u !

∂x ∂x ∂x

i ij ij i

j j j (2.45)!

!

Il primo contributo della (2.45) alla destra dell’uguale rappresenta il lavoro di deformazione

del fluido, mentre il secondo contributo è quello che modifica l’energia cinetica. !

!

Per fluidi Newtoniani è possibile applicare la relazione costitutiva e scrivere:!

! τ τ

∂ ∂

∂u ∂u ∂u ∂u ∂u

⎛ ⎞

2

τ δ µ µ µ δ

+ = − + + − +

ij ij

i i i i i

⎜ ⎟

u p 2 S u

⎝ ⎠

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

ij i ij ij V ij i

3

j j j j i j j !

2

τ τ

∂ ∂

⎛ ⎞

∂u ∂u ∂u

⎛ ⎞

2

τ µ µ µ

→ + = − + + − +

ij ij

i i i

⎜ ⎟

u p 2 S S u

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

⎝ ⎠

ij i ij ij V i

3

j j i i j (2.46)!

!

2 τ

⎛ ⎞

∂u

⎛ ⎞

2

φ µ µ µ

= + − + ij

i

⎜ ⎟

2 S S u

Definendo il contributo (sempre positivo per

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ∂x ∂x

⎝ ⎠

ij ij V i

3 i j

definizione) relativo alla parte di lavoro dissipativo dei contributi viscosi, la (2.40b) si

riscrive come:!

! ⎛ ⎞ ( )

D 1

ρ ρ τ φ

= ⋅u + ∇ ⋅ ⋅u + ⋅u −

2

⎜ ⎟

u g p∇ !

⎝ ⎠

Dt 2 (2.47)!

!

⋅u

p∇

essendo il contributo il lavoro reversibile legato alla compressione e dilatazione del

fluido.!

!

!

12. CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA TOTALE!

!

La conservazione dell’energia totale è un’equazione indipendente che considera l’energia

del sistema nel suo complesso (comprendendo sia quella cinetica che quella interna).

Essa si scrive in forma integrale così come segue:!

! ⎛ ⎞

d 1

∫ ∫ ∫ ∫

ρ ρ

+ = ⋅u + ⋅u − ⋅

2

⎜ ⎟

e u dv g dv f dA q n dA !

⎝ ⎠

( )

dt 2

v t v A A (2.48)!

! = −K∇T

q

dove è il flusso di calore. Scrivendo la relazione in forma differenziale:!

! ∂ ∂ ∂ ∂q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1

ρ ρ ρ τ

+ + + = + −

2 2 i

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

e u e u u g u u !

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂t ∂x ∂x ∂x

i i i ij i

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2

i j i

13 (2.49)!

Considerando il fluido non viscoso, non conduttivo e trascurando le forze di volume si ha:!

! ∂ ∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1

ρ ρ

+ + + =

2 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

e u e u u 0

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂t ∂x i

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2

i

ρ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2

( ) ( )

u u u u !

ρ ρ ρ

+ + + + + + + + =

e e e u u e pu 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂t ∂t ∂x ∂x

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i i i

2 2 2 2 x

!

#

"

#

$

i i i

( )

∂ ∂u ∂ p

τ = +u

i

u p

i ij i

∂ ∂ ∂

x x x

j i i (2.50)!

!

Utilizzando l’equazione di continuità si ha:!

! ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ ∂ ∂

2 2 ( )

u u

ρ ρ

+ + + + =

e u e pu 0 !

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂t ∂x

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i i

2 2 x

i i (2.51)!

!

A questo punto sfruttando la conservazione dell’energia meccanica nella forma (2.43) si

ha:!

! ∂e ∂e ∂u

ρ ρ

+ + =

i

u p 0 !

∂t ∂x ∂x

i i i (2.52a)!

!

che in termini vettoriali si scrive come:!

! ∂e

ρ ρ

+ ⋅∇e + ⋅u =

u p∇ 0 !

∂t (2.52b)!

!

Adattando la (2.52b) nella forma convettiva, utilizzando l’equazione di continuità e

⎛ ⎞

1

= +

Tds de pd

applicando il primo principio della termodinamica nella forma , si ricava:!

⎜ ⎟

ρ

⎝ ⎠

! ρ

De p D Ds

− = =

T 0 !

ρ 2

dt Dt Dt (2.53)!

!

Dal punto di vista Lagrangiano, dunque, l’entropia di un fluido non viscoso, non conduttivo

sul quale non agiscono forze di volume è costante. L’entropia è dunque costante sulle

linee di corrente.!

!

!

13. CONDIZIONI AL CONTORNO E BILANCIO EQUAZIONI-INCOGNITE!

!

Per risolvere le equazioni differenziali mostrate fino ad ora è necessario disporre di

condizioni al contorno e di condizioni iniziali. Il contorno, in un problema di fluidodinamica,

può essere una parate solida o un getto. Sono possibili anche contorni più sofisticati come

le pareti nano-strutturate. Le condizioni cardine della fluidodinamica sono:!

! 14

Condizione di non penetrazione (la velocità perpendicolare alla parete è nulla);!

• Condizione di no-slip (la velocità parallela del fluido a contatto su una parete è uguale

• alla velocità della parete stessa).!

!

Si noti che, mentre la prima condizione è sempre imponibile per ogni tipo di flusso

considerato, la seconda è arbitraria ed è possibile inserirla solo se il fluido è viscoso.!

!

Attraverso le condizioni al contorno è possibile, in linea teorica, procedere alla soluzione

del sistema:!

! ρ

⎧ ( )

ρ

+ ∇ ⋅ =

u 0

⎪ ∂t

⎪ ( )

ρ

⎪ u ( ) ( )

ρ ρ τ

+ ∇ ⋅ + ∇p = + ∇ ⋅ diss

⎨ uu g !

∂t

⎪ ( )

ρ

⎪ ∂ e ( ) ( ) ( )

ρ φ ρ

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅u = ∇ ⋅ + + ⋅u

eu p K∇T g

⎪ ∂t

⎩ !

Essendo presenti sette incognite (densità, velocità, energia, pressione e temperatura) ed

essendo disponibili sette equazioni (cinque equazioni di conservazione e due equazioni di

stato), il problema è ben posto. Tuttavia è possibile ricavare poche soluzioni per geometrie

semplificate solo con tecniche numeriche avanzate (DNS) molto dispendiose dal punto di

vista computazionale.!

!

!

14. EQUAZIONI IN FORMA A-DIMENSIONALE E CONCETTO DI SIMILITUDINE!

!

Rendendo a-dimensionali le equazioni ricavate fino ad ora è possibile ottenere alcuni

parametri, detti numeri a-dimensionali, che risultano molto utili per l’analisi dei problemi.

Inoltre, utilizzando i parametri a-dimensionali, è possibile sfruttare il concetto di

similitudine dinamica. Essa si riferisce a due campi di fluido, che risultano essere

dinamicamente simili quando i loro parametri a-dimensionali coincidono e le loro

dimensioni sono simili a meno di un fattore di scala (per la similitudine dinamica devono

essere verificate quella geometrica e quella cinematica).!

!

Volendo a-dimensionalizzare l’equazione di Navier-Stokes si definiscono:!

! x u

= = = Ω

* * *

i i

x u t t !

i i

L U

! ! frequenza

caratteristica

lunghezza velocità di

fisica riferimento !

p f

= =

* * i

p f

ρ ρ i

* 2

U g

!

!"

# #

$

0 acc. gravità

pressione dinamica

!

Applicando le trasformazioni indicate si ricava:!

! ∂u ( ) ( )

* 2 2 ( )

U U U 2

µ

ΩU + ⋅∇ = − ∇ + ∇ +

* * * * * *

* *

u u p u g f

ρ

∂t * 2

L L L !

µ

⎡ ⎤

ΩL ∂u ( ) ( )

*

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

( ) gL

2

+ ⋅∇ = −∇ + ∇ +

* * * * * *

* *

u u p u f

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

ρ

∂t

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

* 2

⎣ ⎦

U UL U

15 (2.54)!

Le quantità tra le parentesi quadre sono tre numeri a-dimensionali: il numero di Strouhal

ΩL

=

St (importante per i fenomeni vorticosi, rappresenta il rapporto di importanza tra

U µ

1 =

l’instazionarietà e i fenomeni convettivi); il ben noto numero di Reynolds ρ

Re UL

(rappresenta il rapporto tra le forze d’inerzia e le forze viscose) ed infine il numero di

1 gL

=

Froude (rappresenta il rapporto tra le forze d’inerzia e la forza di gravità).!

2 2

Fr U

!

Agendo nello stesso modo con l’equazione di continuità (limitandosi all’osservazione del

caso iso-entropico) si ricava:!

! ρ * 3 *

U 1 U D U 1 Dp

∇ ⋅u = − = −

* * ρ ρ ρ

* * 2 * *

L L Dt c L Dt

0 !

⎡ ⎤

2 *

U 1 Dp

→ ∇ ⋅u = −

* * ⎢ ⎥ ρ

2 *

⎣ ⎦

c Dt (2.55)!

!

U

=

M

La quantità nella parentesi quadra è il numero di Mach , che rappresenta il

c

rapporto tra le forze d’inerzia e le forze di comprimibilità.!

!

I parametri a-dimensionali possono essere ricavati anche in un modo alternativo sfruttando

il teorema di Buckingham. Tale teorema prevede quanto segue: se un fenomeno è

descritto da n variabili indipendenti e k dimensioni fondamentali, è possibile ricavare n-k

coefficienti a-dimensionali che lo descrivono.!

Si prenda ad esempio una sfera di raggio d, investita da un flusso di corrente uniforme di

velocità U. Per bassi numeri di Reynolds la densità del fluido conta poco, poiché sono

basse le forze d’inerzia, dunque si ha:!

! µ d 1

[ ] [ ]

( )

µ

= ⎯ ⎯⎯⎯

un gruppo ad. ∼ ∼

D D d,U, ; L , T c !

!"

# #

$ !"

# #

$ D 1 Re

ρ

US

3 variabili 2 dimensioni 2 (2.56)!

!

Per alti numeri di Reynolds, invece, la viscosità conta poco poiché le forze d’inerzia sono

molto alte, dunque:!

! D

( ) [ ] [ ]

ρ

= ⎯ ⎯⎯⎯

→ =

un gruppo ad. ∼

D D d,U, ; L , T c cost !

!"

# #

$

!"

# #

$ ρ

D 2 2

U d

2 dimensioni

3 variabili (2.57)!

!

Il problema, nella sua completezza, conta di quattro variabili indipendenti e due dimensioni

fondamentali. Esso è dunque descritto dal coefficiente di resistenza e il numero di

Reynolds. Con l’approccio eseguito è stato inoltre possibile determinare l’andamento del

coefficiente di resistenza in funzione del numero di Reynolds stesso.!

!

!

!

! 16

CAPITOLO 3 - SOLUZIONI ESATTE!

!

15. FLUSSO PARALLELO DI POISEUILLE!

!

Tra le soluzioni ricavabili analiticamente dalle equazione di Navier-Stokes, quella del

flusso parallelo tra due pareti indefinite è la più famosa. Per questo studio si considerano

situazioni per le quali gli effetti di bordo siano trascurabili.!

Supponendo il flusso laminare, stazionario e incomprimibile e supponendo inoltre che il

flusso sia bi-dimensionale (non abbia componente trasversale w) le equazioni si

semplificano come segue:!

! ⎧ ∂u ∂v

+ =

⎪ 0

∂x ∂y

→ ∇ ⋅u =

⎧ cont 0 ⎪⎪ ⎛ ⎞

∂u ∂u ∂ ∂ ∂

⎪ 2 2

1 p u u

υ

→ + = − + +

⎨ ⎨ u v

1 !

⎜ ⎟

( ) υ

→ ⋅∇ = − ∇p + ∇ ρ

∂x ∂y ∂x ∂x ∂y

⎝ ⎠

2 2 2

NS u u u

⎪ ⎪

ρ

⎩ ⎪ ⎛ ⎞

∂v ∂v ∂ ∂ ∂

2 2

1 p v v

⎪ υ

+ = − + +

u v ⎜ ⎟

ρ

∂x ∂y ∂y ∂x ∂y

⎝ ⎠

2 2

⎩ (3.1)!

!

Poiché le pareti sono indefinite la velocità non dipende dalla coordinata x, pertanto si ha:!

! ⎧ ∂v = → =

⎪ 0 v cost

∂y

⎪⎪ ⎛ ⎞

∂u ∂ ∂ 2

1 p u

υ

= − +

⎨ v !

⎜ ⎟

ρ

∂y ∂x ∂y

⎝ ⎠

2

⎪ ⎛ ⎞

∂v ∂ ∂ 2

1 p v

⎪ υ

= − +

v ⎜ ⎟

ρ

∂y ∂y ∂y

⎝ ⎠

2

⎩ (3.2)!

!

Essendo il fluido viscoso è possibile applicare la no-slip condition e la condizione di non

penetrazione, che prevedono:!

! = → = =

y 0 u v 0 !

= → = =

y h u v 0 (3.3)!

!

Dall’equazione di continuità si ricava dunque:!

! =

v 0 ! (3.4)!

!

Pertanto dall’equazione NS in direzione y si ricava:!

! ∂ p ( )

= → =

0 p p x !

∂y (3.5)!

!

17

La pressione, dunque, varia solo lungo la direzione x. Dalla seconda delle (3.2), si può

ricavare il profilo di velocità:!

! ⎛ ⎞

∂ ∂ Π Πh

2

1 p u ( )

υ

= → = −

2

u y y y !

⎜ ⎟

ρ µ µ

∂x ∂y

⎝ ⎠

2 2 2 (3.6)!

!

essendo ∏ il gradiente della pressione lungo la direzione x. Si noti che tale gradiente è

una costante: la (3.6), infatti, eguaglia due quantità che dipendono da variabili diverse,

dunque affinché la pressione non dipenda anche da y è necessario che le due quantità

indicate a destra e sinistra dell’uguale siano costanti. Inoltre, ∏ ha valore negativo, poiché

la pressione diminuisce nella direzione della velocità.!

Si noti che la soluzione trovata è esatta e non sfrutta le approssimazioni tipiche utilizzate

nella trattazione dei problemi aerodinamici dei corpi portanti e dei problemi di strato limite.

In realtà, questa soluzione ha un limite di validità legato al valore del numero di Reynolds.

In particolare, la soluzione è valida nel caso di flusso laminare che, tuttavia, risulta essere

una soluzione instabile.!

!

Si identificano ora alcune quantità notevoli del flusso piano di Poiseuille:!

! Π

⎛ ⎞

h

= = − 2

⎜ ⎟

U u u

Velocità massima: ;!

⎝ ⎠ µ

max

• 2 8 Π

( )

h

= = − 3

Q u y dy h

Portata volumetrica: ;!

µ

V

• 12

0 Π

Q

= = − 2

U h

Velocità media (bulk velocity): ;!

µ

b

• h 12

⎧ U h

→ = max

Riferito alla velocità massima Re

⎪⎪ υ

max

Numero di Reynolds: .!

U h

⎪ → =

• b

Riferito alla velocità media Re

⎪ υ

⎩ b

!

!

16. FLUSSO PARALLELO DI COUETTE!

!

Il flusso parallelo di Couette studia la corrente tra due pareti parallele indefinite (come nel

caso di Poiseuille) con gradiente di pressione nullo e una delle due pareti in movimento.

La semplificazione delle equazioni di continuità e di Navier-Stokes avviene nello stesso

modo mostrato al paragrafo precedente. In questo, caso, però cambiano le condizioni al

contorno:!

! = → = =

y 0 u v 0 !

= → = =

y h u U,v 0 (3.7)!

!

Si ricava, dunque:!

! ∂ 2 u U

( )

υ = → =

0 u y y !

∂y 2 h (3.8)!

!

18

È possibile studiare il caso generale nel quale siano presenti sia un gradiente di pressione

che una velocità non nulla della parete superiore. Sfruttando le condizioni al contorno (3.7)

si ricava il profilo completo:!

! ⎛ ⎞

Π Πh

U

( ) = + −

2

u y y y !

⎜ ⎟

µ µ

⎝ ⎠

2 h 2 (3.9)!

!

!

!

17. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE E COORDINATE CILINDRICHE!

!

Visto che soluzioni analitiche delle equazioni di Navier-Stokes in coordinate cilindriche

sono possibili così come nel caso visto di coordinate cartesiane, è necessario poter

esprimere i principali operatori differenziali (e quindi le equazioni di Navier-Stokes) nel

caso cilindrico.!

In generale, date due terne, è possibile definire il punto Q sulla terna (u,v,w) come il punto

P sulla terna (x,y,z) con la trasformazione biunivoca:!

! ( )

⎧ ⎫

x u,v,w

⎪ ⎪

( )

= ⎨ ⎬

r y u,v,w !

⎪ ⎪

( )

z u,v,w

⎩ ⎭ (3.10)!

!

= = =

u u ,v v ,w w

Ponendosi nel sistema di riferimento (x,y,z) e fissando le superfici è

0 0 0

possibile determinare la posizione del punto P come l’intersezioni di tali superfici. Inoltre,

si avrà:!

! ⎧

⎪ ∂r

! ( )

1

=

⎪ u u ,v ,w

∂r ∂u 0 0 0

⎪ ∂u

⎪⎪ ∂r

! ( )

1

=

⎨ v u ,v ,w !

∂r ∂v 0 0 0

⎪ ∂v

⎪ ∂r

! ( )

1

⎪ =

w u ,v ,w

∂r ∂w 0 0 0

⎪ ∂w

⎩ (3.11)!

!

! 19

!

I termini:!

! ∂r ∂r ∂r

= = =

h h h !

∂u ∂v ∂w

u v w (3.12)!

!

sono i fattori di scala.!

! ( ) ( )

!

f x, y, z f u,v,w

Dato un campo vettoriale e volendolo scrivere come , definendo la

coordinata curvilinea s, si può agire nel seguente modo:!

! ∂ ∂ ∂ ∂

∂u ∂v ∂w

f f f f τ

= + + = ∇ ⋅

f !

∂s ∂u ∂s ∂v ∂s ∂w ∂s (3.13)!

!

essendo!

! ! ! !

⎧ ∇ = + +

f F u F v F w

⎪ u v w

⎨ ∂r ∂u ∂v ∂w !

! ! !

τ = = + +

⎪ h u h v h w

∂s ∂s ∂s ∂s

⎩ u v w (3.14)!

!

Si avrà dunque:!

! ∂ ∂ ∂

f f f

1 1 1

= = =

F F F !

∂u ∂v ∂w

u v w

h h h

u v w (3.15)!

!

Per quanto riguarda le coordinate cilindriche è possibile scrivere:!

! ∂

⎧ f

=

F

⎪ ∂R

R

⎧ =

ϑ

= ⎪

⎧ h 1

x R cos R ∂

⎪ ⎪ f

1

ϑ

= = → = → =

⎨ ⎨ ⎨

r y Rsin h R F !

ϑ ϑ ϑ

R

⎪ ⎪ ⎪

= =

z z

⎩ h 1

⎩ ∂

⎪ f

z =

F

⎪ ∂z

z

⎩ (3.16)!

!

∂ ∂ ∂

!

! !

f f f

1 ϑ

⋅ → ∇ = + +

Gradiente f R z

ϑ

∂R ∂ ∂z

R

⎡ ⎤ ∂F

∂ ∂F ∂ ∂F ∂F

( ) ( )

1 F 1

⋅ → ∇ ⋅ = + + = + + +

ϑ z

R R R

Divergenza f RF F R !

⎢ ⎥

ϑ ϑ

∂R ∂ ∂z ∂R ∂ ∂z

R z

⎣ ⎦

R R R

∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2

( ) f 1 f 1 f f

⋅ → ∇ = ∇ ⋅ ∇ = + + +

2 scal scal

Laplaciano f f ϑ

∂R ∂R ∂ ∂z

scal scal 2 2 2 2

R R

!

!

20 !

! !

ϑ

R R z

∂ ∂ ∂

1

⋅ → ∇ × =

Rotore F !

ϑ

∂R ∂ ∂z

R F RF F

ϑ

R z (3.17)!

!

Per completezza si riportano le equazioni di Navier-Stokes in coordinate cilindriche:!

! ⎧ ⎡ ⎤

∂u ∂u ∂u ∂u ∂ ∂u

u 1 p u 2

υ

+ + + = − + ∇ − −

ϑ ϑ

2

R R R R R

⎪ u u u

⎢ ⎥

ϑ ρ ϑ

∂t ∂R ∂ ∂z ∂R ∂

R z R 2 2

⎣ ⎦

R R R

⎪⎪ ⎡ ⎤

∂u ∂u ∂u ∂u ∂ ∂u

u u u 1 p u 2

υ

+ + + + = − + ∇ − +

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

2

⎨ R R

u u u !

⎢ ⎥

ϑ

ϑ ρ ϑ ϑ

∂t ∂R ∂ ∂z ∂ ∂

R z 2 2

⎣ ⎦

R R R R R

⎪ ∂u ∂u ∂u ∂u ∂

u 1 p υ

⎪ + + + = − + ∇

ϑ 2

z z z z

u u u

ϑ ρ

∂t ∂R ∂ ∂z ∂z

R z z

⎪ R

⎩ (3.18)!

!

!

18. FLUSSO CIRCOLARE DI POISEUILLE!

!

Si tratta di studiare il flusso all’interno di un cilindro. Formulando l’ipotesi di flusso

laminare, incomprimibile e stazionario; sfruttando inoltre la assial-simmetria (la velocità

ϑ

non varia con la coordinata e non ha componente in tale direzione) e trascurando gli

effetti di bordo (la velocità non dipende dalla direzione z poiché si considerano entrata e

uscita del bordo molto lontane) dalla equazione di continuità scritta per le coordinate

cilindriche si ha:!

! ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 cost

ρ ρ ρ

+ + + = → = → =

R u u u 0 Ru 0 u !

ϑ

ϑ

∂t ∂R ∂ ∂z ∂R

R z R R

R R R (3.19)!

!

Poiché sulla parete (ossia alla distanza a pari al raggio del cilindro) la velocità radiale

deve essere nulla per la condizione di non penetrazione si ha:!

! =

u 0 !

R (3.20)!

!

Limitandosi al caso non centrifugo per il quale la pressione non dipende dal raggio e

ricavando dalla seconda equazione delle (3.18) che essa non dipende nemmeno dalla

ϑ

coordinata , si ricava che:!

! ( )

=

p p z ! (3.21)!

!

La terza equazione delle (3.18) pertanto è integrabile. In particolare:!

! ⎡ ⎤ ⎛ ⎞

µ

∂ ∂u ∂u

∂ Π

2 u

dp 1 ( ) ( )

µ

= + = → = + +

2

z z z

R u R R A ln R B

⎢ ⎥ !

⎜ ⎟ µ

∂R ∂R ∂R ∂R

⎝ ⎠ z

2

⎣ ⎦

dz R R 4 (3.22)!

21

Per evitare discontinuità A deve essere nullo, mentre dalla condizione di no-slip sulla

superficie si ricava la costante B. Risulta dunque:!

! Π ( )

( ) = −

2 2

u R R a !

µ

z 4 (3.23)!

!

Anche in questo caso si riportano alcune quantità notevoli:!

! π 4

a

( )

a

∫ π

= = −Π

Q u R 2 R dR

Portata volumetrica: ;!

µ

V z

• 8

0 Π

( )

= = − 2

U u 0 a

Velocità media: .!

µ

b z

• 4

!

!

19. PRIMO PROBLEMA DI STOKES!

!

Si consideri una corrente bidimensionale e il suo moto a seguito dell’avvio impulsivo di

una parete all’istante t=0. Il problema presentato è non stazionario. Poiché la parete posta

lungo la direzione x si muove con velocità U, la velocità del flusso non dipende dalla

direzione x. Dunque, dall’equazione di continuità correlata con la condizione di non

penetrazione, si ricava che la componente y della velocità è nulla.!

→ −∞, → ∞

x x

Poiché per la pressione è costante, il gradiente di pressione lungo la

direzione x sarà nullo. Dall’equazione di Navier-Stokes lungo y:!

! ∂ p = → =

0 p cost !

∂y (3.24)!

!

Dall’equazione NS lungo x si ricava:!

! ∂u ∂ 2 u

υ

= !

∂t ∂y 2 (3.25)!

!

Si nota che la (3.25) ha la forma dell’equazione della diffusione omogenea. Per la sua

integrazione sono necessarie due condizioni al contorno e una condizione iniziale:!

! ( ) =

⎧ u y,0 0

⎪ ( ) = >

⎨ u 0,t U t 0 !

⎪ ( )

→ ∞,t = >

u y 0 t 0

⎩ (3.26)!

!

Il primo problema di Stokes non ha ne scale di lunghezza (poiché si considera una sola

parete) e ne scala di tempo (poiché non esiste una legge oraria con cui varia la velocità).

( )

=

u u y,t

La soluzione , pertanto, non può avere le variabili y,t indipendenti tra loro. La

u ( ) ( )

υ η

= = =

u ' u ' f t, y, F

soluzione, dunque, si trova per similarità. Definendo , si ha che ,

U

y

η =

essendo la variabile di similitudine.!

υ

2 t 22

Svolgendo le derivate della (3.25) si ha:!

! ⎧ η

∂u ∂F ∂ UF

η η

= = = −

⎪ U UF

η

∂t ∂t ∂t

⎪ 2t

⎨ !

∂F

η

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ ∂ ∂u ∂ ∂

2 u U U

⎪ η

= = = =

UF F

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎪ η ηη

υ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y

υ

2 4 t

⎩ 2 t (3.27)!

!

Sostituendo nella (3.25) si ricava:!

! UF

U η η η

+ = → + =

F 0 F 2 F 0 !

ηη ηη η

υ

4 t 2t (3.28)!

!

Volendo trovare la soluzione per similarità, le tre condizioni (3.26) diventano due:!

! ( ) ( )

= → =

⎪ u 0,t U F 0 1

⎨ !

( ) ( )

∞,t = → ∞ =

⎩⎪ u 0 F 0 (3.29)!

!

Integrando per parti la (3.28) risulta:!

! ( )

dF

η η

η η η − 2

−2 = → = − + → =

2

d ln F cost F Ae

η η

F

η η

∫ σ σ

− 2

= +

F A e d B !

0

2 η ( )

∫ σ σ η

− 2

= =

F 1− e d erfc

π 0 (3.30)!

!

Si nota dunque che le variabili y e t non sono

indipendenti e la soluzione dipende da un

loro rapporto. Man mano che il tempo passa

la soluzione si allontana dalla parete per

diventare poi costante. La scala di diffusione

υ t

viscosa è .!

!

!

!

!

!

!

!

!

20. SECONDO PROBLEMA DI STOKES!

!

Il secondo problema di Stokes rappresenta una variante del primo. In questo caso si studia

la corrente a regime dovuta ad un movimento armonico della parete. L’equazione

risolvente è uguale alla (3.25) del caso precedente, ma le condizioni al contorno in questo

caso sono:! 23

( ) =

⎧ u y,0 0

⎪ ( ) ( )

ω

=

⎨ u 0,t U cos t !

⎪ ( )

∞,t =

u 0

⎩ (3.31)!

!

In questo caso, essendoci una scala temporale legata al periodo di oscillazione della

parete, non sono più possibili soluzioni per similarità. Si ipotizza, dunque, una soluzione

del tipo:!

! ( )

ω

⎡⎣ ⎤⎦

= i t

u Re e f y ! (3.32)!

!

Sostituendo la (3.32) nella (3.25) si ricava:!

! ω 2

i d f

=

f !

υ 2

dy (3.33)!

! = ky

f e

Sostituendo nella (3.33) la soluzione che si ipotizza per f, si ha:!

! ω ω

+

i i 1

= → =±

2

k k !

υ υ

2 (3.34)!

!

da cui:!

! ω

( )

( ) 1+i y

= υ

2

f y Ae ! (3.35)!

!

Sostituendo la soluzione (3.35) nella soluzione sulla velocità (3.32) utilizzando le

condizioni al contorno si ha:!

! ⎡ ⎤

ω ω ⎛ ⎞

ω

( )

− −

( ) 1+i y y

ω ω

= = −

υ υ

⎢ ⎥

i t 2 2

u y,t Re Ue e U e cos t y !

! ⎜ ⎟

υ

⎝ ⎠

⎢ ⎥ 2

⎣ ⎦ inviluppo !

##

#

"

###

$

oscillazione sfasata (3.36)!

!

Si nota che, non avendo potuto cercare la soluzione per similarità, il profilo di velocità

dipendente indipendentemente dalle variabili y e t. Ciò comporta che siano possibili tutte

le soluzioni.!

Aumentando la frequenza di oscillazione o diminuendo la viscosità, l’ampiezza dello strato

di fluido che oscilla significativamente diminuisce. Si noti, comunque, che il problema

rimane un problema di diffusione e non di propagazione delle onde.!

!

!

!

!

!

! 24

CAPITOLO 4 - MOTI VORTICOSI E APPROSSIMAZIONE

AERODINAMICA!

!

21. VORTICITÀ E CONDIZIONE DI IRROTAZIONALITÀ!

! ω = ∇ × u

La vorticità, precedentemente definita come , è legata al tensore delle rotazioni

(che rappresenta le componenti extra-diagonali del gradiente della velocità).!

!

Considerando un volume

di fluido che si sposta in

un tempo dt, è possibile

calcolare le variazioni

temporali degli angoli

α β

, che identificano le

rotazioni del volume:!

!

!

⎧ ∂u δ δ

1 x t

⎪ α ∂u

∂x 2

D 1

⎪ = = 1

2

lim δ ∂x ∂x

⎪ δ

Dt t

t→0 2 2

⎨ !

∂u

⎪ δ δ

2 x t

⎪ β ∂u

∂x 1

D 1

= = 2

1

⎪ lim δ ∂x ∂x

δ

Dt t

⎩ t→0 1 1 (4.1)!

!

Essendo interessanti alla rotazione media:!

! ⎛ ⎞

∂u ∂u

1 D 1 1

( )

α β ω

− + = − =

2 1 !

⎜ ⎟

∂x ∂x

⎝ ⎠ 3

2 Dt 2 2

1 2 (4.2)!

!

ω

dove è la terza componente del vettore vorticità. La vorticità, dunque, identifica la metà

3

della rotazione media del fluido. La condizione di irrotazionalità, per la quale l’angolo tra

due componenti di velocità si mantiene uguale durante la rotazione, è:!

! ω = 0 ! (4.3)!

!

!

22. MOTI VORTICOSI!

!

Un moto vorticoso è presente quando le linee di corrente sono circolari. Si noti che perché

vi sia vorticità non è necessario che le linee di corrente abbiano tale forma e viceversa.!

!

Il caso di moto piano in un cilindro (con distribuzione di vorticità normale al piano e di

ω

modulo ) è detto solid body rotation. In questo caso la rotazione è rigida e l’elemento di

z

fluido non si modifica ruotando. La vorticità, in questo esempio, è il doppio della velocità

angolare.!

! 25

Le componenti della velocità, descritta in coordinate cilindriche, valgono:!

! ⎧ =

⎪ u 0

R

⎨ !

ω

=

⎩⎪ u R

ϑ 0 (4.4)!

!

Da cui la vorticità:!

! ⎡ ⎤

∂ ∂u

( )

1 1 1

ω ω ω

= − = + =

R

Ru u R 2 !

⎢ ⎥

ϑ ϑ

ϑ

∂R ∂

z 0 0

⎣ ⎦

R R R (4.5)!

!

La circolazione, definita come l’integrale di linea della velocità lungo una linea chiusa,

vale:!

! π

2

∫ ∫ ω ϑ π ω

Γ = ⋅t = =

! 2 2

u dl R d 2 R !

0 0

0 (4.6)!

!

Nel caso in cui la vorticità sia concentrata in r=0 si parla di vortice puntiforme. In questo

caso, l’elemento di fluido si deforma ruotando (pur non essendoci vorticità distribuita c’è

deformazione). Le componenti della velocità valgono:!

! ⎧ A

=

⎪ u

ϑ

⎨ R !

⎪ =

u 0

⎩ R (4.7)!

!

Da cui la vorticità:!

! ⎡ ⎤

∂ ∂u

( )

1 A A

ω = − = − =

R

Ru 0 !

⎢ ⎥

ϑ ϑ

∂R ∂

z 2 2

⎣ ⎦

R R R (4.8)!

!

dove la (4.8) vale in tutti i punti del dominio tranne che nell’origine.!

La circolazione, in questo caso, vale:!

! A

π

2

∫ ∫ ϑ π

Γ = ⋅tdl = = =

! u R d 2 A cost !

R

0 (4.9)!

!

Essa, dunque, è costante per tutte le linee che contengono l’origine e nulla per linee

chiuse che non contengono l’origine. L’origine, dunque, rappresenta un punto con vorticità

non nulla (singolare) e circolazione finita (integrale finito), per cui è a tutti gli effetti una

delta di Dirach.!

!

Combinando la solid body rotation e il vortice puntiforme si ricava l’espressione del vortice

di Rankine che è un buon modello per l’approssimazione dei vortici.!

!

! 26

In particolare, definendo la distanza a come il raggio di

Rankine, le componenti della velocità valgono:!

! ⎧ =

u 0

R

⎪ ω

⎧ <

R r a

⎨ ⎪ 0 !

= ⎨ ω

u

⎪ 2

a

ϑ >

0

⎪ r a

⎪ ⎩

⎩ R (4.10)!

!

!

!

23. TEOREMA DI KELVIN!

! dx dy dz

= =

Definendo una linea di corrente come una linea che soddisfa la condizione e

u v w

dx dy dz

= =

una linea vorticosa come una linea che soddisfa la condizione , è possibile

ω ω ω

x y z

definire la circolazione come:!

! ∫ ∫ ω

Γ = ⋅t = ⋅

! u dl n dA ! (4.11)!

!

Il teorema di Kelvin afferma che: preso un fluido non viscoso, barotropico, soggetto a forze

conservative e immerso in un sistema inerziale, la circolazione attorno a linee chiuse che

si muovono nel fluido rimane costante nel tempo. La circolazione, dunque, è costante:!

! DΓ = 0 !

Dt (4.12)!

!

È possibile dare agilmente una dimostrazione del teorema:!

! DΓ Du D dp

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

= + ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯

→ = − + =

! ! ! ! !

eq. quantità di moto

i dx u dx g dx u du 0

ρ

i i i i i i i

Dt Dt Dt !

⎛ ⎞

2

u

∫ − + =

! dV dP d 0 (poiché potenziali conservativi)

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 (4.13)!

!

Si forniscono, inoltre, alcuni teoremi (teoremi di Helmholtz) che descrivono il

comportamento delle linee vorticose:!

! Le linee vorticose si muovono con il fluido;!

• La forza di un tubo vorticoso (che equivale alla sua circolazione) è costante lungo la sua

• lunghezza;!

Un tubo vorticoso non può estinguersi in un flusso (termina su un contorno solido o con

• un anello);!

La forza di un tubo vorticoso è costante nel tempo.!

!

! 27

23. EQUAZIONE DELLA VORITICITÀ!

!

Elaborando l’equazione della quantità di moto scritta nella forma del Crocco e applicando

l’operatore di rotore è possibile ricavare l’equazione della vorticità:!

! ⎛ ⎞

∂u 2

u ω υ

+ ∇ + + + × = ∇ 2

P V u u

⎜ ⎟

∂t ⎝ ⎠

2

⎛ ⎞

∂ 2

u

( ) ω υ

∇ × + ∇ × ∇ + + + ∇ × × = ∇ × ∇ 2

u P V u u !

⎜ ⎟

∂t ⎝ ⎠

2

!

###

"

###

$

=0 poiché pot. conservativi

ω

∂ ω υ ω

+ ∇ × × = ∇ 2

u

∂t (4.14)!

!

Essendo:!

! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ω ω ω ω ω

∇ × × = ∇ ⋅u + ⋅∇ − ∇ ⋅ − ⋅∇

u u u u !

!"#

ω

=0 poiché

è solenoidale

per definizione (4.15)!

!

e ipotizzando campo incomprimibile, si ricava:!

! ω

D ( )

ω υ ω

= ⋅∇ + ∇ 2

u !

Dt (4.16)!

!

La (4.16) è l’equazione della vorticità che descrive la sua variazione nel tempo come

somma di un termine di diffusione e di un termine che descrive il processo dinamico

ω ∂u

D ω

=

S S

essenziale di vortex stretching and tilting (in particolare rappresenta lo

∂s

Dt

stretching lungo una linea vorticosa). Quest’ultimo termine, in due dimensioni, è nullo. !

!

Si noti che avendo arbitrariamente applicato l’operatore di rotore all’equazione della

quantità di moto nella forma del Crocco si sono inserite soluzioni spurie. In particolare

l’effettiva presenza di tali soluzioni dipende dal dominio che si considera: nel caso di

domini multi-connessi, dove vi sono cammini irriducibili, si possono avere soluzioni non

vere.!

!

L’equazione della vorticità si risolve in maniera relativamente facile in coordinate

Lagrangiane. Tale soluzione indica che la vorticità viene trasportata come fosse un

ω

segmento materiale (come suggeriscono i teoremi di Helmholtz). In pratica, ha lo

stesso movimento di un segmento tra due particelle di fluido. La soluzione, infatti, dipende

solo dalle condizioni iniziali:!

! ∂x

( )

ω ω

= 0 h !

ξ

h i i (4.17) !

! 28

∂x h

dove è lo Jacobiano. La soluzione, pertanto, implica che se all’infinito il moto è

ξ

∂ i ω = 0

uniforme ( ) allora la vorticità si mantiene nulla in tutto il campo di moto (più

precisamente in tutti i punti raggiungibili nel dominio della soluzione).!

!

Quest’importante soluzione è alla base dell’approssimazione aerodinamica che sfrutta tra

varie ipotesi anche quella di flusso irrotazionale.!

!

!

24. APPROSSIMAZIONE AERODINAMICA!

!

Nella trattazione del problema aerodinamico si formulano tre ipotesi fondamentali:!

! Flusso incomprimibile: l’ipotesi regge per numeri di Mach inferiori a 0.6 a patto di inserire

• un fattore di scala;!

Flusso non viscoso: l’effetto preponderante della viscosità è lo strato limite che diventa

• sempre più stretto quando più piccolo è il valore di viscosità. Trascurando lo strato limite

non si modifica la determinazione della portanza, ma si perde la possibilità di studiare la

resistenza d’attrito e di forma;! ω = 0

Flusso irrotazionale: considerando all’infinito dove il campo di moto è uniforme,

• essa si può considerare nulla in tutto il dominio raggiungibile (al fine di rendere valida

quest’ipotesi si considera la scia dietro il corpo infinitesima).!

!

Queste approssimazioni portano all’assurdo di non ricavare nella soluzione la forza di

resistenza d’attrito e di scia anche nel caso di corpi non aerodinamici. Tuttavia, la

descrizione della forza portante è estremamente corretta.!

Considerando le approssimazioni fatte è possibile sfruttare le equazioni di Eulero (si porrà

dunque la condizione di non penetrazione, ma non la condizione di no-slip: ciò è diretta

conseguenza di trascurare lo strato limite).!

!

!

25. EQUAZIONE DI LAPLACE!

!

Una corrente ideale (incomprimibile e non viscosa) e irraziotazionale definisce un campo

di velocità contemporaneamente conservativo e solenoidale:!

! ∇ ⋅u =

⎧ 0

⎨ !

∇ × =

u 0

⎩ (4.18)!

!

Nel caso di dominio mono-connesso, sfruttando la condizione di irrotazionalità si ha:!

! ( )

( ) P

∫ ∫

ϕ ϕ

⋅t = → = + ⋅t

! u dl 0 P P u dl !

1 P

1 (4.19)!

! ϕ ϕ

∇ = u

dove essendo la funzione potenziale di velocità (definito a meno di una

costante).!

!

!

!

! 29 ψ

Sfruttando la condizione di incomprimibilità, è possibile definire la funzione di corrente

per la quale l’equazione di continuità risulta soddisfatta:!

! ψ ψ

∂ ∂

= = −

u ,v !

∂y ∂x (4.20)!

(dove la validità è limitata al caso bi-dimensionale).!

! ϕ ψ ϕ ψ

∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ψ

= = − ∇ = ∇

2 2

,

Notando che (condizioni di Cauchy-Riemann) e pertanto ,

∂x ∂y ∂y ∂x

scrivendo la prima delle (4.18) si ha:!

! ϕ

∇ ⋅u = ∇ ⋅∇ = 0 !

ϕ ψ

→ ∇ = =

2 2

0,∇ 0 (4.21)!

!

ϕ

∇ =

2 0

L’equazione è l’equazione di Laplace: essa è un’equazione lineare ed ellittica, le

cui soluzioni sono funzioni armoniche (garantite continue) e dipendono dalla topologia del

dominio.!

!

Si fornisce una dimostrazione dell’unicità della soluzione dell’equazione di Laplace.!

! n

Nel caso di dominio mono-connesso, considerando un volume interno di normale , si ha

che:!

! ( )

ϕ ϕ ϕ ϕ

∇ ⋅ = ∇ ⋅u + ⋅∇ = ⋅∇

u u u !

( )

∫ ∫ ∫

ϕ ϕ

→ ⋅u = ∇ ⋅ = ⋅

!

u dV u dV u n dS

V V S (4.22)!

!

dove si è utilizzato il teorema della divergenza sfruttando il fatto che il dominio è mono-

connesso (quindi il potenziale è una funzione monodroma).!

!

Poiché l’equazione di Laplace è lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

u ,u u u

Pertanto, se sono soluzioni, allora anche la quantità è soluzione. Pertanto,

1 2 1 2

scrivendo la (4.22) per questo caso:!

! ( ) ( ) ( )

( )

∫ ∫ ϕ ϕ

− ⋅ − = − − ⋅

!

u u u u dV u u n dS !

1 2 1 2 1 2

1 2

V S (4.23)!

!

=

u u

Affinché la soluzione sia unica e quindi , è necessario che l’integrale sul contorno

1 2

sia nullo, quindi è necessario possedere di condizioni al contorno tali per cui:!

! ϕ ϕ

⎧ = (condizione di Dirichlet)

⎪ 1 2

⎨ !

ϕ ϕ

= → ∇ = ∇

u u (condizione di Neumann)

⎩⎪ 1 2 1 2

n n n n (4.24)!

!

30

Pertanto anche condizioni al contorno miste sono sufficienti a garantire l’unicità della

soluzione. L’unicità è verificata anche nel caso di volume esterno.!

!

Nel caso di dominio bi-connesso (dove persistono dei cammini irriducibili) la funzione

potenziale è polidroma, pertanto non è sempre possibile applicare il teorema della

divergenza.!

Si avrà:!

! ⎧ 0 se l riducibile

∫ ⋅t =

! ⎨⎩

u dl !

nΓ se l irriducibile

l (4.25)!

!

dove n è la molteplicità. Visto che la circolazione rappresenta la portanza, se il profilo

considerato non è portante la soluzione di Laplace è unica, mentre se la circolazione non

è nulla sono possibili infinite soluzioni. Si nota come all’equazione di Laplace manchi

un’informazione: ciò deriva dall’aver azzerato la viscosità.!

!

!

26. RICERCA DI SOLUZIONI ELEMENTARI!

!

In questo paragrafo si presentano varie soluzioni elementari che, se opportunamente

combinate, sono utili alla descrizione dei problemi aerodinamici portanti.!

!

Corrente uniforme!

!

È interessante verificare a quali risultati porta una soluzione a variabili separate

dell’equazione di Laplace. Ipotizzando:!

! ( ) ( ) ( )

ϕ =

x, y F x G y ! (4.26)!

!

si sviluppa:!

! F '' G ''

ϕ

∇ = + = → = − =

2 F ''G FG '' 0 cost !

F G (4.27)!

!

poiché sono state eguagliate due espressioni che dipendono da variabili diverse.!

!

Integrando si ricava:!

! ( ) ( ) ( )

⎧ ∝ = + =

iKx

⎪ F x e , F x C C x per K 0 ( ) ( )

ϕ ϕ

±iKx ±

→ ∝ = + +

0 1 2 iKy

⎨ x, y e e , x, y C C x C y !

( ) ( ) ( ) 0 2 4

∝ = + =

iKy

⎩⎪ G y e ,G y C C y per K 0

0 3 4 (4.28)!

!

( )

ϕ =

x, y U x

Prendendo, ad esempio, la soluzione si nota come essa rappresenti un

campo di moto uniforme senza contorni. All’interno di tale campo di moto è possibile

inserire una parete solida parallela alle linee di corrente senza che la soluzione ne risenta.!

!

!

!

! 31


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52

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2015-2016

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher pietromolesini di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fluidodinamica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Quadrio Maurizio.

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