Lezioni: Appunti di Fluidodinamica

R

Il tensore rappresenta rotazioni rigide che non variano l’equilibrio termodinamico o,

ij σ

meglio, non ne impediscono il raggiungimento. Il tensore , dunque, dipenderà solo dalle

ij

S

deformazioni , attraverso un tensore di ordine quattro:!

ij

! σ κ

= S !

ij ijmm mn (2.29)!

!

σ

Poiché, nel caso di fluidi Newtoniani, deve essere simmetrico e isotropo (in modo da

ij κ

mantenere le stesse condizioni sul tensore degli sforzi) il tensore quadruplo deve

ijmn

essere combinazione lineare di tre coefficienti (dei quali due indipendenti). Un tensore

isotropo di ordine quattro, infatti, può sempre essere scritto come combinazione lineare

δ

del tensore doppio . In particolare, nel caso in questione, si ha:!

ij

! κ λδ δ µδ δ γδ δ

= + + !

ijmn ij mn im jn in jm (2.30)!

!

γ µ

=

Per ragioni di simmetria deve essere , pertanto sostituendo nella (2.29) si ricava:!

! ( )

σ λδ µδ δ γδ δ λδ µ

= + + = +

S S S 2 S !

ij ij mn im jn in jm mn ij mm ij (2.31a)!

!

che in notazione vettoriale si scrive come:!

! σ λ µ

= ∇ ⋅uI + ∇u

2 ! (2.31b)!

!

σ

Sostituendo l’espressione di nella (2.27) si ricava la relazione costitutiva dei fluidi

ij

Newtoniani:!

! τ δ µ λδ

= − + +

p 2 S S !

ij ij ij ij mm (2.32)!

!

9

µ λ

Il parametro è detto primo coefficiente di viscosità, mentre è il secondo coefficiente di

viscosità (meno rilevante del primo). Formulando l’ipotesi di Stokes è possibile legare i

=

i j

due coefficienti di viscosità. Considerando , la relazione costitutiva diventa:!

! ( )

τ µ λ

= −3p + +

2 3 S !

ii mm (2.33)!

!

1 τ

= −

p

Se il fluido è in quiete, il termine rappresenta la pressione meccanica. Dunque,

ii

3

sostituendo nella (2.33), si ha:!

! ( )

µ λ µ

− = Δp = + =

p p 2 3 S S !

mm V mm (2.34)!

!

µ

essendo la bulk viscosity. L’ipotesi di Stokes (corretta nel caso di gas mono-atomici)

V

consiste nel considerare nullo tale parametro, pertanto si ricava la relazione di Stokes:!

! 2

λ µ

= − !

3 (2.35)!

!

Infine, la (2.33) diventa:!

! ⎛ ⎞

2

τ δ µ δ

= − + −

⎜ ⎟

p 2S S !

⎝ ⎠

ij ij ij ij mm

3 (2.36)!

!

!

8. FLUIDI NON NEWTONIANI!

!

Nel caso di fluidi non Newtoniani la relazione costitutiva mostrata al paragrafo precedente

perde di validità. Sulla diagramma stress-shear rate, dove la curva relativa ai fluidi

Newtoniani ha andamento lineare e interseca l’origine, si distinguono due tipi di

comportamento: nel caso di curve al di sopra della retta dei fluidi Newtoniani (ossia per le

quali la viscosità diminuisce all’aumentare del rateo di deformazione) si parla di shear

thinning (assottigliamento al taglio), mentre nel caso di curve al di sotto (ossia nel caso la

viscosità aumenti all’aumentare del rateo di deformazione) si parla di shear thickening.!

La difficoltà nello studio del fluidi non Newtoniani, in ogni caso, sta nella loro varietà di

caratteristiche miste. Inoltre è spesso fuorviante formulare l’ipotesi di proprietà costanti.!

Alcune classi di fluidi non Newtoniani sono qui riportate:!

! Fluidi con sospensioni a forma di stringhe;!

• Fluidi con sospensioni di bolle;!

• Fluidi dotati di memoria (tissotropici).!

•

!

!

9. EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES!

!

Sostituendo la (2.36) nell’equazione di conservazione della quantità di moto si ricavano le

equazioni di Navier-Stokes che descrivono il moto di un fluido viscoso e comprimibile

indipendentemente dal regime di moto:!

! 10

⎡ ⎤

⎛ ⎞

⎛ ⎞

∂u ∂u ∂u

∂ ∂ ∂u ∂u

⎛ ⎞

p 2

ρ ρ µ µ µ δ

+ = − + + + + −

j j j

⎢ ⎥

i k

⎜ ⎟

u g !

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∂t ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

i j V ij

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

⎢ ⎥

⎣ ⎦

i j i i j k (2.37)!

!

Nel caso di fluido a proprietà costanti e incomprimibile (ricordando che la condizione di

∇ ⋅u = 0

incomprimibilità è ), si ha:!

! ∂u 1

( ) µ

+ ⋅∇ = − ∇p + + ∇ 2

u u g u !

ρ

∂t (2.38)!

!

Nel caso di fluido non viscoso, l’ultimo termine della (2.38) scompare e si ricavano le

equazioni di Eulero.!

!

!

10. TEOREMA DI BERNOULLI!

!

Il teorema di Bernoulli riguarda la ricerca di un integrale primo del moto, in questo caso un

legame tra velocità e pressione. Dalle equazioni di Eulero si può scrivere:!

! ∂u ( )

+ ⋅∇ + ∇P =

u u f !

∂t (2.39)!

!

dove si è formulata l’ipotesi di fluido barotropico, per il quale:!

! dp'

( ) p

∫

ρ

= → =

p p P !

( )

ρ p'

p

0 (2.40)!

!

essendo P un potenziale, poiché integrale di un differenziale esatto. Applicando l’identità

( ) ( ) ( ) ω

× ∇ × = ∇ ⋅u − ⋅∇ = ∇ ×

u u u u u u

vettoriale e definendo la vorticità come si ricava

l’equazione della quantità di moto nella forma del Crocco:!

! ∂u ( ) ω

+ ∇ ⋅u − × + ∇P =

u u f

∂t !

⎛ ⎞

∂u 2

u ω

+ ∇ + + × =

P u f

⎜ ⎟

∂t ⎝ ⎠

2 (2.41)!

!

A seconda del tipo di flusso sono possibili varie soluzioni integrali. Considerando la forza

f

di volume come la forza di gravità (inserendola quindi nel potenziale) e moltiplicando

l’equazione (2.41) scalarmente per la velocità o la vorticità si ha:!

⎧ ⎛ ⎞

2

u

⋅∇ + + =

⎪ u P gz 0

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎪ 2 2

u dp

∫

→ = + + =

⎨ B gz cost

Flusso stazionario: sulle linee di

ρ

⎛ ⎞ 2

2

⎪ u

- ω ⋅∇ + + =

P gz 0

⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

2

⎩

corrente e sulle linee vorticose;! 11

- Flusso irrotazionale e stazionario (ossia trascurando strato limite):

2

u dp

∫

= + + =

B gz cost in tutto il fluido;!

ρ

2 ϕ ϕ ϕ

∂ ∇ ⋅∇ dp

∫

+ + + =

gz cost

Flusso irrotazionale: , avendo espresso il potenziale della

- ρ

∂t 2

velocità.!

!

Il teorema di Bernoulli nella sua forma più conosciuta per flusso stazionario e irrotazionale

si scrive come:!

! 1 ρ ρ

+ + =

2

u p gz cost !

2 (2.42)!

!

!

!

11. CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA!

!

Attraverso la manipolazione arbitraria dell’equazione di conservazione della quantità di

moto è possibile ricavare l’equazione di conservazione dell’energia meccanica. Essa,

dunque, non è indipendente, ma è una scrittura alternativa della (2.23) ricavata dalla sua

moltiplicazione scalare per il vettore velocità:!

! ⎛ ⎞

Du

ρ ρ τ

⋅ → ⋅ − − ∇ ⋅ =

⎜ ⎟

u momentum equation u g 0

⎝ ⎠

Dt !

τ

∂

⎛ ⎞

D 1

ρ ρ

→ = + ij

⎜ ⎟

u u g u u

⎝ ⎠ ∂x

i i i i i

Dt 2 j (2.43)!

!

Il primo termine della (2.43) rappresenta la variazione di energia cinetica puntuale per

unità di volume, il secondo termine rappresenta il lavoro puntuale delle forze esterne per

unità di volume, mentre l’ultimo termine rappresenta il lavoro puntuale della risultante delle

forze di superficie per unità di volume. Sfruttando la scrittura dell’equazione di continuità

nella forma (2.17b) e sviluppando la derivata convettiva della (2.43) si ha:!

! ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ τ

∂

ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 1

ρ ρ ρ ρ

+ + + = + ij

2 2 2

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

u u u u u g u u

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂t ∂x ∂t ∂x ∂x

j j i i i

2 2 2

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

j j j

!

#####

"

#####

$ !

##

#

"

###

$ !

derivata convettiva eq. continuità τ

∂

∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1

ρ ρ ρ

+ = + ij

2 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

u u u g u u

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂t ∂x ∂x

j i i i

2 2

j j (2.44a)!

!

che si può scrivere in notazione vettoriale come:!

! ∂E ( ) ρ τ

+ ∇ ⋅ = ⋅ + ⋅∇ ⋅

Eu u g u !

∂t (2.44b)!

!

12

1 ρ

= 2

E u

avendo definito la quantità come l’energia meccanica del fluido.!

2

!

La (2.44a) si può ancora modificare studiando il contributo dovuto al lavoro degli sforzi. Si

nota, infatti, che nell’equazione non compare il lavoro totale, invece esprimibile come:!

! τ

∂

∂ ∂u

( )

τ τ

= + ij

i

u u !

∂x ∂x ∂x

i ij ij i

j j j (2.45)!

!

Il primo contributo della (2.45) alla destra dell’uguale rappresenta il lavoro di deformazione

del fluido, mentre il secondo contributo è quello che modifica l’energia cinetica. !

!

Per fluidi Newtoniani è possibile applicare la relazione costitutiva e scrivere:!

! τ τ

∂ ∂

∂u ∂u ∂u ∂u ∂u

⎛ ⎞

2

τ δ µ µ µ δ

+ = − + + − +

ij ij

i i i i i

⎜ ⎟

u p 2 S u

⎝ ⎠

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

ij i ij ij V ij i

3

j j j j i j j !

2

τ τ

∂ ∂

⎛ ⎞

∂u ∂u ∂u

⎛ ⎞

2

τ µ µ µ

→ + = − + + − +

ij ij

i i i

⎜ ⎟

u p 2 S S u

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∂x ∂x &pa