Lezioni: Appunti di Automazione sistemi

A

x f

pieno è anche raggiungibile.

Si consideri un sistema SISO TD, con

+= + (2.12)

x ( k 1) Ax ( k ) Bu ( k ) =

e si provi a portarlo a in passi. Si ha

con condizione iniziale = x 0

x (0) x n

0 = +

x (1) Ax Bu (0)

0

= + = + +

2

x (2) Ax (1) Bu (1) A x ABu (0) Bu (1)

0 (2.13)

= + + +

3 2

x (3) A x A Bu (0) ABu (1) Bu (2)

0 

− −

= + + + + − =

n n n

1 2

x ( n ) A x A Bu ( 0) A Bu (1) ... B u ( n 1) 0

0

L’ultima equazione può essere scritta come 17

Pierluigi Giangrande

Automazione dei Sistemi −

 

u n

( 1)

  (2.14)

 

−

− =  

n 2 n 1

A x B AB A B A B

   



0  

 

u (0)



in cui la matrice è chiamata matrice di controllabilità ed ha righe (in quanto è ) e

 n× 1

n B

colonne (in quanto è formata da matrici di colonna). Se si riesce ad invertire la matrice di

1

n n

controllabilità si ottiene −

 

( 1)

u n

  (2.15)

−

= −

  1 n

A x

  0

 

 

(0)

u

che ci consente di calcolare gli ingressi che annullano lo stato dopo passi.

n

Si ottiene allora che condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema sia

controllabile è che la matrice di controllabilità sia invertibile, ossia di rango pieno.

È possibile calcolare la matrice di controllabilità in Matlab mediante il comando e

ctrb,

calcolare il rango mediante il comando È possibile inoltre calcolare gli autovalori mediante il

rank.

comando eig.

2.3.1 La controllabilità per un sistema diagonalizzato

Abbiamo parlato in precedenza della diagonalizzazione dei sistemi, ossia della possibilità di

= =

dove è la matrice

rendere un sistema diagonale effettuando la sostituzione x Tz T [ v v ...

v ]

1 2 n

degli autovettori.

Consideriamo ora un sistema SISO sul quale è effettuata la diagonalizzazione; si ha

 − −

= +

1 1

z ' T ATz T Bu (2.16)

 =

 y CTz

(si ricordi che lo scopo della sostituzione è di rendere la matrice

in cui si sostituisce − =

1

T AT D

dinamica del sistema una matrice diagonale), =

, . La matrice di controllabilità

− =

1 CT C

T B B T

T

diventa quindi (2.17)

−

=

 n 1

[ B DB ... D B ]

D T T T

e è la matrice diagonale degli autovalori. Si ha allora

dove β β β

= T D

[ ... ]

B 1 2

T n β

β λ β λ β λ λ

   

− −



 

 

n 1 n 1

0 0 1

1

1 1 1 1 1 1 1

   

 

β

β λ β λ β λ λ

− −



 

n 1 n 1

0 0 1

   

  β (2.18)

= = =

 2

2 2 2 2 2 2 2 W

   

 

   

       

D    

 

β

β λ β λ β λ λ

− −



 

   

n n

1 1

 

0 0

   

1

n

n n n n n n n

18 Pierluigi Giangrande

Automazione dei Sistemi

Vander Monde

dove è la matrice di ed è invertibile se gli autovalori sono distinti. Si ha allora

W

che β

= (2.19)



det ( ) det ( ) det (

W )

D β β

≠ ≠

se gli autovalori sono distinti, e se i sono tutti non nulli. Se

dove det (

W ) 0 det ( ) 0 i

≠ e quindi la matrice di controllabilità è invertibile,

avvengono entrambe le cose si ha 

det ( ) 0

per cui il sistema è controllabile.

Se osserviamo l’andamento dello stato del sistema si ha

t

∫ τ τ τ (2.20)

−

= + ( )

Dt D t

z (

t ) e z e B u ( ) d

T

0 0

che può essere scritta, scomponendo le componenti dello stato, come la somma di due matrici

diagonali  

t

∫ λ τ β τ τ

− 

( )

t

λ

  e u d

( ) 0

 1

t  

e z (0) 0

1 1

0

1

    (2.21)

= +

     

z t

( )    

 

λ

 t  

t

∫

e z

0 (0) λ τ β τ τ

−

 

n  ( )

t

e u d

0 ( )

n

n  

n

0

da cui t

∫

λ λ τ β τ τ (2.22)

−

= + ( )

t t

z (

t ) e z (0) e u ( ) d

i i

i i i

0

λ

dove indica l’ modo del sistema. Allora si noti come la controllabilità del sistema, che

−

i esimo

i β ≠ , indichi la possibilità di influire su tutti i modi del sistema.

è associata a dei 0

i

2.4 L’O SSERVABILITÀ

Abbiamo finora parlato della retroazione di stato dando per scontata la possibilità di

leggere tutti gli stati del sistema. Nella realtà ciò non è sempre possibile, ma si ricavano tali

grandezze dagli ingressi e dalle uscite del sistema, le quali sono effettivamente misurabili.

D . L’osservabilità è la proprietà di un sistema di fornire le informazioni su tutti gli stati

EFINIZIONE

a partire dall’osservazione degli ingressi e delle uscite.

Il concetto di osservabilità può essere rappresentato come segue: 19

Pierluigi Giangrande

Automazione dei Sistemi Figura 2.4

D . Un sistema si dice completamente osservabile se tale che, noti e in

∀ ∃

EFINIZIONE x y

T u

0

, è possibile stimare .

[0, T ] x

0

Sia dato il sistema SISO descritto dalle equazioni

+= +

 x ( k 1) Ax ( k ) Bu ( k ) (2.23)

 =

 y ( k ) Cx ( k )

sulla base delle osservazioni di e di negli istanti

Bisogna stimare =

x (0) x y

x

0

− ; siccome è di ordine , sono sufficienti osservazioni per determinare lo stato

0,..., n 1 x n n

0

iniziale. − tutti

Si consideri per semplicità una serie di ingressi negli istanti indicati u (0),..., u ( n 1)

che ; tale equazione tuttavia presenta variabili, per cui

nulli: si avrà all’istante =

0 y (0) Cx n

0

non è risolvibile. Per tale motivo si cerca di risolvere il sistema

=

 y (0) Cx

0

 = = + =

 y (1) Cx (1) CAx B 0 CAx (2.24)

0 0

 



 −

− = − = 1

n

 y ( n 1) Cx ( n 1) CA x

0

che può essere scritto anche come

   

y (0) C

   

y (1) CA

    (2.25)

−

= = =

→

  1

x x

x y

   

  0 0 0

   

−

− n 1

   

y ( n 1) C A

20 Pierluigi Giangrande

Automazione dei Sistemi

dove è la matrice di osservabilità ed è composta da matrici di ordine , per cui è di

×

 p n

n

× . Si desume allora che condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema sia

ordine ( np ) n

osservabile è che la matrice di osservabilità sia invertibile, ossia di rango pieno.

Così come nel caso della controllabilità, si consideri anche nel caso dell’osservabilità un

sistema diagonalizzato. Si osservi il sistema = +

 x ' Ax Bu (2.26)

 =

 y Cx

= , dove è la matrice degli autovettori. Il sistema

sul quale viene effettuata la sostituzione x Tz T

così diventa  − −

= +

1 1

z ' T ATz T Bu (2.27)

 =

 y CT z

, , . Si può scrivere allora , dove

dove = γ γ

− −

= = =

1 1 T

CT C

T AT D T B B y [ ,..., ][ z ,..., z ]

T 1 1

T n n

γ γ . La matrice di osservabilità così diventa

= C

[ ,..., ]

n T

1 γ γ γ γ

  

     

  1 1 1 0 0

C 1 2 n 1

T      

  (2.28)

γλ γ λ γ λ λ λ λ γ

  

0 0

C D      

 

= = = =

 1 1 2 2 n n 1 2 n 2

T T

W C

    

             

 T

    

  γ λ γ λ γ λ λ λ λ γ

− − − − − −

−  

1 1 1 1 1 1

n n n n n n

1

n

       

0 0 0

C D 1 1 2 2 1 2

n n n n

T Vander Monde

dove si nota la presenza della trasposta della matrice di . Si ha allora che

dove il primo determinante è non nullo se gli autovalori sono distinti,

=

 T

det det W det C

( ) ( ) ( )

T γ sono tutti non nulli. Si noti allora come quest’ultima condizione

ed il secondo è non nullo se i i

si traduce nel fatto che un sistema diagonalizzato è osservabile se tutti i modi del sistema

contribuiscono all’uscita.

2.4.1 Osservatore di Luenberger

L’obiettivo è quello di costruire un sistema dinamico chiamato osservatore che riesca a

stimare lo stato del sistema in base all’osservazione dell’ingresso e dell’uscita. In altre parole, il

e e deve fornire in uscita . L’obiettivo è

sistema da sintetizzare deve ricevere in ingresso x̂

y u = Ψ che garantisca

quindi quello di selezionare una opportuna legge di osservazione ˆ

x (

u , y ) (2.29)

− =

ˆ

x t x t

lim | ( ) ( ) | 0

→∞

t ≠

e , con . In generale, la quantità

a partire da qualsiasi condizione iniziale ˆ ˆ

x (0)

x (0) x (0) x (0)

= − è chiamata errore di stima.

ˆ

e (

t ) x (

t ) x (

t )

Sappiamo che lo stato del sistema segue l’evoluzione descritta dal modello:

x 21

Pierluigi Giangrande

Automazione dei Sistemi = +

 x ' Ax Bu (2.30)

=

 x (0) x

=