Lezioni: Appunti di Automazione sistemi

Automazione dei sistemi

Pierluigi Giangrande

Indice

• Generalità sui sistemi ................................................................................. 5
  • Modelli dinamici TC ...................................................................................... 5
  • Modelli dinamici TD .................................................................................... 5
  • Scomposizione della risposta ...................................................................... 6
    • Risposta libera .................................................................................... 6
    • Risposta forzata ................................................................................. 7
  • Risposta al gradino .................................................................................... 8
  • Esempi di sistemi ......................................................................................... 8
    • Sistema SISO .................................................................................... 8
    • Sistema del primo ordine ................................................................. 8
    • Sistema del secondo ordine .............................................................. 9
  • Introduzione al controllo ........................................................................... 10
• Retroazione di stato .............................................................................. 13
  • Pole placement ......................................................................................... 14
    • Metodo per ispezione diretta ........................................................... 15
    • Metodo di Ackermann ...................................................................... 15
  • Il feedforward ............................................................................................. 16
  • La controllabilità ........................................................................................ 17
    • La controllabilità per un sistema diagonalizzato ............................. 18
  • L'osservabilità ........................................................................................... 19
    • Osservatore di Luenberger .............................................................. 21
  • La linearizzazione ..................................................................................... 23
• Controllo in retroazione di uscita .......................................................... 25
  • Azione proporzionale .................................................................................. 26
  • Azione integrale ......................................................................................... 26
  • Azione derivativa ....................................................................................... 27
  • Metodo di Ziegler-Nichols ........................................................................ 28
  • Relazione con lo state feedback ................................................................. 28
• Il controllo ottimo .................................................................................. 31
  • Esempi di funzioni di costo ......................................................................... 31
    • Controllo a tempo minimo ............................................................... 31
    • Controllo terminale .......................................................................... 32
    • Controllo a minimo sforzo ............................................................... 32
    • Tracking .......................................................................................... 32
  • Metodi di minimizzazione del funzionale di costo in presenza di un vincolo 32
    • Metodo della programmazione dinamica .......................................... 33
    • Metodo di Pontryagin ...................................................................... 40
  • Minimizzazione di un funzionale con vincoli .............................................. 45
    • Metodo dei moltiplicatori di Lagrange .............................................. 45
    • Applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange al caso di funzionali 46
    • Metodo di Pontryagin per il controllo ottimo ..................................... 47
    • Il regolatore LQ in tempo continuo ................................................... 52
  • Il controllo ottimo BANG-BANG ................................................................. 53
    • Esempio di controllo ottimo BANG-BANG ......................................... 54
• Identificazione di modelli LTI ............................................................... 57
  • Il modello ARMAX ..................................................................................... 59
  • Problema dell’identificazione ......................................................................... 59
    • Identificazione di un modello ARX ..................................................... 62
  • Identificabilità sperimentale e strutturale ..................................................... 64
    • Identificabilità sperimentale .............................................................. 64
    • Identificabilità strutturale ................................................................. 68
  • Motivi di non identificabilità ......................................................................... 69

Generalità sui sistemi

Un sistema è un’entità che riceve alcune grandezze in ingresso, eroga alcune grandezze in uscita ed è caratterizzato da alcune variabili di stato. In questo capitolo verrà fatta una ricapitolazione riguardo i modelli dinamici dei sistemi tempo continuo e tempo discreto. Nel corso della trattazione le grandezze vettoriali verranno scritte in grassetto con la lettera minuscola, le matrici in grassetto con la lettera maiuscola, gli scalari con la lettera minuscola e non in grassetto. Tuttavia, talvolta le grandezze vettoriali (in particolare il vettore degli stati) verranno scritte senza il grassetto; quando si parlerà di scalari verrà quindi specificato.

Modelli dinamici TC

Sia dato un sistema dinamico che riceve ingressi, eroga uscite ed è caratterizzato da stati; le relazioni tra queste grandezze sono date da:

x'(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

dove sono le matrici caratteristiche del sistema e sono i vettori.

Modelli dinamici TD

Sia dato un sistema dinamico tempo discreto che riceve ingressi, eroga uscite ed è caratterizzato da stati; le relazioni tra queste grandezze sono date da:

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k) + Du(k)

dove il discorso riguardo la dimensione delle matrici e la lunghezza dei vettori è lo stesso fatto per il caso TC.

Scomposizione della risposta

Una delle proprietà di un sistema LTI (lineare tempo invariante) è la linearità, ossia dati ingressi ed uscite si ha che:

y(t) = ∑(ciyi(t)) se u(t) = ∑(ciui(t))

ovviamente ciò vale anche nel caso più generale del vettore di ingressi e del vettore di uscite. Quanto detto indica la possibilità di scindere la risposta del sistema in due parti:

• Risposta libera: è la risposta associata ad uno stato iniziale x₀ ≠ 0 e ad un ingresso nullo;
• Risposta forzata: è la risposta associata ad uno stato iniziale x₀ = 0 e ad un forzamento in ingresso non nullo.

Si può scrivere allora:

y(t) = yl(t) + yf(t)

Risposta libera

La risposta libera del sistema è data dalla seguente coppia di equazioni:

x'(t) = Ax(t)

y(t) = Cx(t)

con x(0) = x0. Si otterrà come soluzione:

x(t) = eAtx0

da cui si ricava per sostituzione anche l’uscita del sistema. La quantità eAt è pari a eΛ t; se Λ è una matrice diagonale si ha:

eΛt = diag(eλ1t, eλ2t, ...)

Si noti che è possibile ricondursi al caso calcolando la quantità . Si noti allora come, se Λ è una matrice diagonale, l’esponenziale diventa:

eΛt = diag(eλ1t, eλ2t, ...)

e . Se λi < 0, la risposta transiente tende a zero. I λ_i possono anche essere complessi coniugati; in tal caso il sistema si dice stabile se Re(λi) < 0.

Nel caso TD, invece, la soluzione delle equazioni è:

x(k) = Akx0

e il sistema è stabile se |λi| < 1.

Un sistema può essere diagonalizzato, ossia è possibile effettuare un cambio di variabile così da rendere la matrice diagonale. La difficoltà in ciò sta nello stabilire quali sono gli elementi della matrice: tali elementi saranno gli autovettori della matrice. Infatti:

PΛP-1 = A

dove P contiene gli autovettori e Λ contiene gli autovalori.

Data una matrice A:

[u1, u2, ...] = P

si ottiene:

Λ = diag(λ1, λ2, ...)

tutto ciò è valido assunto che la matrice P sia invertibile. Si ottiene quindi che:

P-1AP = Λ

In tal modo è possibile costruire la risposta libera a partire dagli autovalori e dagli autovettori:

xl(t) = ∑(cieλitvi)

Risposta forzata

Nel caso della risposta forzata le equazioni da risolvere sono le seguenti:

x'(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

in cui si considera x(0) = 0. Per risolvere la prima equazione si moltiplicano ambo i membri per e-At, ottenendo così:

(e-Atx(t))' = e-AtBu(t)

Integrando ambo i membri tra 0 e t, si ottiene:

xf(t) = eAt∫e-AτBu(τ)dτ

Si ottiene, in conclusione, che:

x(t) = eAtx0 + eAt∫e-AτBu(τ)dτ

Risposta al gradino

La risposta al gradino è la risposta del sistema al segnale in ingresso:

u(t) = 1(t)

ed offre informazioni riguardo le dinamiche del sistema. Andando a sostituire nella equazione dell’ingresso, si ottiene:

x(t) = eAt(x0 - A-1B) + A-1B

in cui si nota che, se il sistema è stabile, per t → +∞, e-At → 0. La quantità appena scritta rappresenta il guadagno a regime del sistema. Se A-1 → 0 si ha:

y(t) → C per t → ∞.

Esempi di sistemi

Sistema SISO

Un sistema SISO (single input single output) è caratterizzato dal fatto che l’ingresso u(t) e l’uscita y(t) sono degli scalari. Per tale motivo, se x(t) è uno scalare, le matrici A, B, C, D sono tali che A è n × n, B è n × 1, C è 1 × n, D è uno scalare.

Sistema del primo ordine

Un sistema del primo ordine è caratterizzato da una caratteristica del tipo:

x'(t) = ax(t) + bu(t)

in cui a e b sono degli scalari. A tale sistema corrisponde una risposta al gradino:

x(t) = x0eat + (b/a)(1 - eat)

Da cui si ricava x(∞) = -b/a, con a < 0 per la stabilità del sistema. L’andamento temporale dello stato è il seguente:

Risposta al gradino di un sistema del primo ordine

Si noti l’andamento asintotico dello stato verso il valore -b/a. Si definisce tempo di assestamento il tempo necessario affinché il sistema giunga ad uno stato che differisce dallo stato a regime per meno dell’1%. In tal caso si ha che la dinamica è descritta solo da eat per cui ts ∼ 5/|a|.

Sistema del secondo ordine

Un sistema del secondo ordine è caratterizzato dal fatto che A è una matrice 2 × 2, caratterizzata da due autovalori λ1 e λ2 che possono essere:

• Reali e distinti: in tal caso la risposta del sistema è la stessa del caso precedente, con la differenza che c’è un flesso in crescita della funzione e la costante di tempo è pari al massimo tra |λ1| e |λ2|.
• Complessi e coniugati: in tal caso la risposta del sistema è un andamento a regime secondo un andamento sinusoidale smorzato. La costante di tempo è 1/|Re(λ) | e la frequenza delle oscillazioni dipende da ωd = |Im(λ)|.

È molto importante un parametro chiamato percentuale di sovraelongazione pari a:

%OS = 100*e-(ζπ)/(√(1-ζ2))

Introduzione al controllo

Abbiamo finora visto che un sistema forzato dall’esterno tenderà a portarsi ad uno stato a regime x∞ al quale corrisponde un’uscita a regime y∞, e tale meccanismo avviene con una dinamica che dipende dalla matrice A del sistema. Lo studio della dinamica di un sistema avviene a ciclo aperto, e si articola nelle fasi di:

• Osservazione della realtà;
• Modellistica; creazione del modello mediante la
• Analisi del modello rappresentante il circuito.

Mediante l’ultima fase è possibile quindi valutare a ciclo aperto quale sarà il funzionamento a regime del sistema quando viene forzato dall’esterno ed in quanto tempo esso si porterà a regime. L’analisi a ciclo aperto può essere effettuata andando a calcolare le soluzioni del polinomio caratteristico del sistema come soluzioni della seguente equazione:

det(λI - A) = 0

dalla quale si avranno n soluzioni, dove n è pari all’ordine del sistema. Ad ognuna di queste soluzioni è associata una risposta transiente con costante di tempo τi = 1/|λi|; la risposta transiente si considera terminata quando è trascorso un tempo di assestamento pari a 5*max(τi).

Un problema che si presenta spesso è associato al fatto che, siccome la dinamica del sistema dipende esclusivamente dalla matrice A, risulta impossibile modificarla mediante un meccanismo a ciclo aperto.