Lezioni, Analisi matematica I

Insiemi generici

Il concetto di insieme è un concetto primitivo; per insieme si intende una raccolta, un insieme di oggetti di natura qualunque, detti elementi dell'insieme.

Notazione: un insieme si contraddistingue con A, B, C, … mentre gli elementi dell'insieme con le lettere minuscole a, b, c, …. Se l'elemento a appartiene all'insieme A allora si nota a ∈ A; se l'elemento a non appartiene all'insieme A allora si nota a ∉ A.

Modi per specificare un insieme

Un insieme può essere specificato in tre modi diversi quali:

• Individuare una proprietà che è comune a tutti gli elementi dell'insieme. Si nota A = {x : x gode della proprietà P}. Esempio: se A è l'insieme dei numeri naturali che sono maggiori di 10 allora: A = {n : n > 10} dove n = numeri naturali.
• Elencare i primi elementi dell'insieme. Esempio: A = {11, 12, 13, 14, …}
• Metodo grafico con i diagrammi di Venn.

Operazioni e relazioni tra gli insiemi

Sia U l'insieme di tutti gli insiemi e A e B due elementi di U; gli insiemi A e B si possono comporre con le seguenti operazioni:

• Intersezione di due insiemi: Nota A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}. Quando B è sottoinsieme di A allora si nota che B ⊆ A.
• Unione di due insiemi: A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.
• Differenza di due insiemi: A - B = {x : x ∈ A e x ∉ B}. Nel caso in cui ci sono due insiemi complementari, allora A - B è detto complementare di B in A e si scrive come B^c.
• Prodotto cartesiano: A × B = {(a, b) / a ∈ A e b ∈ B}. Il prodotto cartesiano è l'insieme delle coppie ordinate il cui primo elemento appartiene ad A e il secondo appartiene all'insieme B.

Insiemi numerici

Si parte dall'insieme dei numeri naturali N = {1, 2, 3, 4, …}. Aggiungendo il numero 0 otteniamo l'insieme dei numeri relativi positivi Z⁺ quindi Z⁺ = {0, 1, 2, 3, …} con N ⊆ Z⁺. In Z⁺ è sempre possibile eseguire le operazioni dirette di addizione e moltiplicazione.

Per rendere sempre possibile la sottrazione bisogna ampliare Z⁺ in Z, che comprende anche i numeri relativi negativi: Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. Osservazione: nell'ampliamento le operazioni devono essere definite nello stesso modo e devono godere delle stesse proprietà.

Per rendere possibile anche le divisioni è necessario un ulteriore ampliamento definendo l'insieme dei numeri razionali Q = {a/b, a, b ∈ Z con b ≠ 0}. In Q non sono però presenti √2, √3, il π che esprime il rapporto tra la circonferenza e il diametro e il numero di Nepero e = 2,71... decimale illimitato non periodico.

Quindi è necessario un ulteriore ampliamento aggiungendo a Q l'insieme dei numeri irrazionali (cioè quei numeri che non si possono scrivere sotto forma di frazione). L'unione di Q con i numeri irrazionali è l'insieme dei numeri reali R.

Naturalmente R non è l'ultimo ampliamento possibile, infatti risolvendo un'equazione di secondo grado del tipo az² + bz + c = 0 si ottiene:

Il discriminante dell'equazione potrebbe anche essere negativo cioè Δ < 0. Nessun numero reale è tale che il suo quadrato sia una quantità negativa quindi in R non sempre è possibile risolvere un'equazione di secondo grado.

Sappiamo che la somma è z₁ + z₂ = e che il loro prodotto è z₁z₂ = 1. Se consideriamo una particolare equazione di secondo grado come:

• z² + 1 = 0 con a = 1, b = 0, c = 1; per questa equazione si ha che z₁ + z₂ = 0 mentre z₁z₂ = 1; ma in R non esistono numeri che soddisfano le due relazioni precedenti.