Lezioni, Analisi matematica I

Ponendo √-1 = i (unità immaginaria) con i = -1 allora le soluzioni dell'equazione di

secondo grado con ∆ < 0 ha soluzioni del tipo:

In conclusione le radici dell'equazione di secondo grado con ∆ < 0 sono numeri di questo

tipo:

zx ± iy e sono chiamati numeri complessi con:

• x parte reale;

• y coefficiente immaginario

Considerando anche l'ultimo ampliamento dei numeri complessi C si ha:

+

N Z Z Q R C

∩ ∩ ∩ ∩ ∩

Rappresentazione grafica dei numeri reali

L'insieme R dei numeri reali gode di due proprietà quali:

• è ordinato infatti se si prendono due numeri reali a caso, si possono confrontare

stabilendo qual'è il più piccolo;

• é denso perché anche se scelgo due numeri reali molto vicini tra loro, c'è sempre un

terzo numero compreso tra i due scelti.

Queste due proprietà ci permettono il modello geometrico di R è la retta orientata ovvero

Rappresentazione grafica di C

L'insieme di C non è ne ordinato ne denso e se ne deduce che la sua rappresentazione

grafica è il piano cartesiano. Intervalli

Il modello geometrico dell'insieme R dei numeri reali è una retta orientata:

Tra i sottoinsiemi della retta R ci sono i ci sono i segmenti che in termini di R ( insieme n.

reali ) sono detti intervalli limitati e sono :

• ( a, b ) intervallo aperto dove x : a < x < b

• a, b intervallo chiuso dove x : a ≤ x ≤ b

• ( a, b intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra dove x : a ≤ x < b

• a, b ) intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra dove x : a < x ≤ b

Nella retta R ci sono anche le semirette ovvero :

che in R ( insieme n. reali ) sono dette intervalli illimitati e sono:

• ( a, +∞ ) intervallo illimitato a destra e limitato aperto a sinistra dove x : a > x

• a, +∞ ) intervallo illimitato a destra e limitato chiuso a sinistra dove x : a ≥ x

• ( -∞, a ) intervallo illimitato a sinistra e limitato aperto a destra dove x : a < x

• ( -∞, a intervallo illimitato a sinistra e limitato chiuso a destra dove x : a ≤ x

La retta R e l'insieme R dei numeri reali possono essere visti come un intervallo illimitato

sia a destra che a sinistra noto anche come ( -∞, +∞ ).

Intorni di un punto

f(x) = 1/x

• ogni intervallo che contenga lo 0 si dice

intorno di un punto:

• si notano che scelto un numero δ > 0 a

piacere ( x -δ, x +δ ) i punti

o o

x : x -δ < x <x +δ

o o

Nello studio della funzione può capitare che la funzione non si può calcolare in un punto x .

o

Per osservare il comportamento abbastanza vicino al punto x si considerano intervalli di

o

ampiezza ridotta che però contengono il punto x o.

Fattorizzazione dei polinomi

Spesso si devono studiare le funzioni razionali, cioè funzioni che sono il rapporto tra due

polinomi es. f(x) = P(x) / q(x).

Ricordando che un polinomio è la somma di più monomi può essere necessario ( es. per

trovare il M.C.D o il M.C.M ) trasformare la somma in un prodotto di fattori. Questo

procedimento si chiama fattorizzazione di un polinomio.

Tra le tecniche più usate ci sono:

• messa in evidenza dei fattori comuni

esempi

• fattorizzazione mediante i prodotti notevoli

Prodotti notevoli Sviluppo Risultato

2 2

(x -y) (x +y) Binomio

x -y

2 2 2 Trinomio

(x ± y) X ± 2xy +y

3 3 2 2 3 Quadrinomio

(x ± y) X +3xy ± 3x y ±y

Quindi avendo un binomio, un trinomio o un quadrinomio bisogna cercare di verificare se

sono uno dei prodotti notevoli.

Esempio n n

• fattorizzazione del binomio x - y

• n pari = differenza dei quadrati

• n dispari = il binomio è divisibile per (x -y) effettuata la divisione

n n

x -y = (x+y) quoziente 3 3 2 2

in particolare se n = 3 ho x -y = (x -y) ( x +xy +y )

n n

• fattorizzazione del binomio x + y

• n pari = non si può fattorizzare

• n dispari = il binomio è divisibile per (x +y); effettuata la divisione si avrà

n n

x + y = (x +y) quoziente 3 3 2 2

in particolare se n = 3 si avrà x +y = (x +y) (x -xy +y )

Esempi 3 3 3 2

• x -27 = x -3 = (x -3) ( x +3x +9 )

3 3 3 2

• 8x + 1000 = (2x) +10 = (2x + 10) ( 4x -20x +100)

I due casi precedenti si possono risolvere anche con la fattorizzazione mediante il teorema

del resto. n n-1

Sia P(x) = a x +a x +a x +a ( polinomio di grado n) si chiamano radici del

n n-1 1 o

polinomio P(x) le radici della precedente equazione.

Se x , x , x sono le radici, la fattorizzazione del polinomio è:

1 2 n

• P(x) = a (x -x ) (x -x ) (x -x )

n 1 2 n

Le radici del polinomio si trovano tra i divisori del termine noto ao oppure tra i quozienti dei

divisori del termione noto ao e i divisori del termine di grado massimo an.

Infatti il resto della divisione tra P(x) e il fattoer (x -x ) è data da:

1

reso zero P(x) divisibile per (x -x ) dove x è la radice

1 1

• R = P(x) = resto diverso da 0 P(x) non è divisibile per (x -x ) dove x non è la

1 1

radice di P(x) Equazioni razionali

Per le eqauzioni razionali si utilizzano i principi di equivalenza per le semplificazioni

ovvero:

• Si può aggiungere o sottrarre una stessa quantità ad entrambi i membri

dell'equazione, ottenendone una equivalente;

• Si può moltiplicare o dividere una stessa quantità ai due membri dell'equazione

ottenendone una equivalente.

In questo modo si trasforma l'equazione data in una forma più semplice alla quale applicare

la formula risolutiva. Equazioni di I grado

Una equazione di I grado si può sempre ricondurre alla sua forma base ovvero: ax +b +c = 0

utilizzando i principi di equivalenza sopra elencati.

Ci sono tre diverse soluzioni per l'equazione di I grado e sono :

• se a = 0 allora si avrà che se

• b = 0 → 0 = 0 Identità con infinite soluzioni;

• b ≠ 0 → b = 0 Impossibile;

• se a ≠ 0 → 1 e 1 sola soluzione x = -b/a

Equazioni di II grado

Applicando i principi di equivalenza ad una equazione di II grado si potrà sempre scivere

2

nella seguente forma canonica ax +bx +c = 0 con a ≠ 0, la cui formula risolutiva è:

2

x = -b ± √b -4ac

2a 2

La quantità ∆ = √b -4ac permette di riconoscere la natura delle radici ovvero:

• ∆ > 0 otterremo due radici reali e distinte;

• ∆ = 0 otterremo due radici reali ma coincidenti;

• ∆ < 0 otterremo due radici complesse coniugate ovvero:

2 2

x = -b ± √4ac -b = -b ± i√4ac -b

1,2

2a 2a

Le equazioni di secondo grado possono essere:

• Intere = l'incognita compare solo al Numeratore;

• Fratte = l'incognita compare anche al Denominatore.

A loro volta le equazioni intere e/o fratte possono essere:

• Numeriche = accanto a x ci sono solo numeri;

• Letterali = accanto a x ci sono anche parametri ( lettere ).

Equazioni abbassabili di grado

Equazioni biquadratiche che sono del tipo:

4 2 2 2

ax +bx +c = 0 dove metto x = t e sostituisco at +bt +c = 0 quindi

2

t = -b ± √ b -4ac

1,2 2a

2

• dove x = t quindi x = ± √t

1 1

2

• dove x = t quindi x = ± √t

2 2

Equazioni trinomie che sono del tipo:

2n n n 2

ax +bx +c = 0 dove metto x = t e sostituisco at +bt +c = 0 quindi

2

t = -b ± √ b -4ac

1,2 2a con n pari x =

n

• dove x = t quindi

1 con n dispari x =

con n pari x =

n

• dove x = t quindi

2 con n dispari x =

Le Disequazioni

Le disequazioni possono essere di varie tipologie quali:

• Disequazioni di I grado;

• Disequazioni di II grado;

• Sistemi di disequazioni;

• Disequazioni fratte;

• Disequazioni con il valore assoluto;

• Disequazioni esponenziali e logaritmiche;

• Disequazioni irrazionali. Disequazioni di I grado

Applicando alle disequazioni di I grado i proncipi di equivalenza le posso sempre ridurre

alla seguenti forme canoniche:

• ax > b; ax ≥ b con a ≠ 0

• ax < b; ax ≤ b con a ≠ 0

Facilmente si ricava:

• x > b/a; x ≥ b/a

• x < b/a; x ≤ b/a

Osservazione: nel secondo principio di equivalenza moltiplicando i due membri della

disequazione per un numero negativo la disuguaglianza cambia il verso ovvero:

• es. ( 3 < 4 ) -1 = -3 > -4

• es. ( -7 > -9 ) -1 = 7 < 9 Disequazioni di II grado

Utilizzando i principi di equivalenza si ottengono le seguanti forme canoniche:

2 2

• ax +bx +c > 0; ax +bx +c ≥ 0

2 2

• ax +bx +c < 0; ax +bx +c ≤ 0

2

Ricordando che y = ax +bx +c rappresenta nel piano cartesiano una parabola:

• rivolta verso l'alto se a > 0

• rivolta verso il basso se a < 0

Sia P(x,y) risolvere graficamente una disequazione di secondo grado significa:

2

• nel primo caso ax +bx +c > 0 trovare i punti della parabola con y > 0

2

• nel secondo caso ax +bx +c ≥ 0 trovare i punti della parabola con y ≥ 0

2

• nel terzo caso ax +bx +c < 0 trovare i punti della parabola con y < 0

2

• nel quarto caso ax +bx +c ≤ 0 trovare i punti della parabola con y ≤ 0

Analiticamente questo problrma geometrico si risolve trovando i punti di intersezione della

parabola con l'asse x ( y = 0 ). si tratta di risolvere il sistema :

Ci sono tre casi possibili di risoluzione e sono:

• ∆ > 0 l'equazione ha due radici reali e distinte

geometricamente la parabola interseca l'asse x in due ponti distinti

I punti della parabola con ascissa x < x1 e x > x2

hanno ordinata positiva.

I punti della parabola con ascissa x = x1 e x = x2

hanno ordinata nulla.

I punti della parabola con ascissa x1 < x < x2

hanno ordinata negativa.

• ∆ = 0 l'equazione ha due radici reali e coincidenti x1 = x2

graficamente la parabola è tangente all'asse x

Tutti i punti della parabola hanno ordinata positiva

eccette il punto di tangenza x = x1 = x2 il quale ha

ordinata nulla.

• ∆ < 0 l'equazione non ha radici reali

geometricamente la parabola non ha punti in comune con l'asse delle x

Tutti i punti della parabola hanno ordinata positiva.

In modo analogo si ragiona con una parabola rivolta verso il basso ( a < 0 )

• ∆ > 0 I punti con ascissa x : x1 < x < x2 hanno ordinata

positiva.

I punti con ascissa x = x