Lezione 9, Controlli Digitali

IL FILTRO IDEALE

Alla fine è palese che il segnale originario è completamente definito nella sua banda cioè

nel suo spettro che guarda caso coincide proprio con replica fondamentale dello spettro

del segnale campionato mentre le componenti complementari in alta frequenza non

sono nient’altro che una replica spettro del segnale e dunque senza nessun’altra

informazione significativa!

In definitiva prendere la replica centrale dello spettro del segnale campionato però

vuol dire filtrarlo con un filtro passa ‐ basso avente il seguente spettro

| | 0

Il filtro deve: , , in modo da compensare la precedente attenuazione di ,

‐ valere T nell’ intervallo

‐ essere nullo al di fuori dell’intervallo.

Se si riuscisse ad avere un filtro in questa maniera si otterrebbe il segnale originario dal

segnale campionato ovvero graficamente

Ovviamente ciò non è possibile perché è un filtro ideale e non fisicamente realizzabile. 3

Lezione 9 29‐10‐2007

DIMOSTRAZIONE: Filtro ideale e non fisicamente realizzabile

Per dimostrare che il filtro è ideale calcoliamone la risposta impulsiva .

Siccome coincide con la risposta impulsiva nel dominio della frequenza , calcoliamo la

risposta impulsiva nel dominio del tempo facendone semplicemente l’antitrasformata di

secondo Fourier )

(… perché partiamo dal dominio della frequenza per arrivare nel dominio del tempo t!

1

2 ;

Siccome la funzione vale quando appartiene all’intervallo ed è nulla

altrove, possiamo riscrivere

1

2

Portiamo T fuori dall’integrale poiché non dipende da

2

Risolviamo l’integrale

2

2 sin

Dalla “formula di Eulero” riconosciamo

sin 2 2

Ponendo

2 sin 2

2 sin 2

Ordiniamo meglio il risultato ottenuto

sin 2

2 sinc

Riconosciamo la forma della funzione per definizione proprio pari a

sinc 2 4

Lezione 9 29‐10‐2007

Graficamente dunque risposta impulsiva è pari a La funzione varrà:

0;

‐ 1 per

‐ si annullerà in

ossia in .

Analizziamo la risposta impulsiva . applicando un

Tipicamente se avessimo un sistema con una funzione di trasferimento

impulso nell’origine il sistema evolve in evoluzione forzata e la risposta impulsiva prima dello

vale sempre 0! Nel nostro caso invece l’andamento di ci fa vedere come il sistema sia

predittivo o anticausale in quanto è come se il filtro si prepari a ricevere l’impulso prima che

questo arrivi:“il filtro è ideale e non fisicamente realizzabile in quanto prevede il futuro”!

Per non essere anticausale dovrebbe essere nullo prima dell’origine! 5

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TIPICI DI RICOSTRUTTORE DI SEGNALE

Per ottenere il segnale originario dal segnale campionato non ci resta che cercare dei

ricostruttori reali che meglio approssimano il filtro ideale!

In particolare vedremo i ricostruttori che si ottengono dall’espansione in serie di Taylor del segnale

originario nell’intorno del punto 2!

In realtà questa è una approssimazione del segnale originario nell’intorno del punto

perché ci si limita a considerare qualche termine ma se li considerassimo tutti sarebbe una vera e

propria uguaglianza!Il numero di termini derivativi presi in considerazione nell’espansione è detto

ordine del ricostruttore e ovviamente quanti più termini sono considerati tanto più sarà complesso

e preciso il ricostruttore: “si parla quindi di ricostruttori di ordine zero o di ordine uno e così via”.

Come sempre la scelta migliore è quella che fornisce un giusto compromesso tra precisione della

ricostruzione e costo sostenuto! Il nostro obiettivo resta quello di ricostruire il segnale originario

con le informazioni in nostro possesso ovvero solo i valori campionati .

Di conseguenza le derivate del segnale nel punto possiamo solo approssimarle, giacché

, con il rapporto incrementale

sono in nostro possesso solo valori campionati

1

1 1 2

2 1 2

… 6

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Astrazione matematica

Il ricostruttore è un sistema ibrido ( dispositivo di interfaccia tra sistemi tempo‐discreti o controllore digitale e

) perché formato da una parte tempo‐continua (il segnale campionato

sistemi tempo‐continui o processo

in ingresso) e una tempo‐discreta (segnale ricostruito in uscita) per cui non si

potrebbe modellarlo nella realtà con una funzione di trasferimento.

Tuttavia con l’ipotesi di un campionamento ideale ad opera impulsi di Dirac anche il segnale

campionato è tempo‐continuo e il ricostruttore può essere descritto da una funzione di

trasferimento!

In definitiva se si continua a mantenere l’ipotesi di

lavoro non sulla sequenza di campioni ma sul

(

segnale campionato ottenuto moltiplicando il segnale

) allora si può

originario per il treno campionatore

vedere il convertitore DAC ovvero un qualsiasi che appunto relaziona il

ricostruttore di ordine n come una funzione di trasferimento

segnale ricostruito con il segnale campionato ! 7

Lezione 9 29‐10‐2007

Ricostruttore di ordine zero dell’espansione in

Il ricostruttore di ordine zero o ZOH prende in considerazione solo il primo termine

serie di Taylor del segnale originario nell’intorno del punto .

Il legame ingresso‐uscita è il seguente 1

Graficamente t

k k+1

In pratica con lo ZOH viene mantenuto costante il valore tra due campioni successivi!

Nell’ipotesi di astrazione matematica presentata in precedenza, possiamo anche calcolare la

funzione di trasferimento del ricostruttore di ordine zero facendo la trasformata di Laplace

della risposta impulsiva e cioè di una funzione costante di ampiezza unitaria solo all’interno

0,

dell’intervallo δ

La risposta impulsiva è la risposta del ricostruttore ad un impulso applicato nell’origine.

Il ricostruttore di ordine zero manterrà costante il valore nell’origine fino al campione successivo e

quindi la risposta varrà 1 fino all’istante T dopodiché fino all’istante successivo 2T avrà

δ

valore pari a quello nell’istante T ovvero 0 perché l’impulso vale 1 nell’origine e 0 in tutti gli

è quindi una finestra rettangolare di ampiezza

altri istanti! In definitiva la risposta impulsiva

0,

unitaria nell’intervallo la cui trasformata di Laplace è

1 1

È il risultato che già conoscevamo ma lo abbiamo ottenuto in maniera più formale! 8

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Ricostruttore di ordine uno

Il ricostruttore di ordine uno approssima il segnale originario nell’intorno del punto

con l’espansione in serie di Taylor del primo ordine cioè arrestata al secondo termine.

1

In particolare nell’intervallo di tempo il ricostruttore fornisce in uscita un

segnale tempo continuo che dipende non solo dal campione ricevuto all’istante

1 1

ma anche dal campione ricevuto all’istante precedente .

Il legame ingresso‐uscita è quindi 1 1

Vediamo cosa succede graficamente t

(k‐1)T kT (k+1)T

In un istante compreso dobbiamo approssimare in qualche modo il segnale

di cui non conosciamo ancora il valore nell’istante .

Essendo un ricostruttore del primo ordine tra due campioni successivi ci sarà una funzione del

primo ordine cioè una retta di pendenza pari al rapporto incrementale tra il campione e quello

precedente: “consideriamo il campione in ricevuto all’istante e

manteniamo l’inclinazione già presente per anche per ”.

Nel caso specifico riportato nel sopra purtroppo l’approssimazione è peggiorata rispetto a quella

campione ricevuto nell’istante

ottenuta con un ricostruttore di ordine zero ma se il

fosse stato più su del campione ricevuto nell’istante allora

l’approssimazione sarebbe stata migliore! In generale se tra due campioni si mantiene lo stesso

andamento, crescente o decrescente, l’approssimazione è migliore del caso costante ma se invece

c’è inversione di pendenza si ha un peggioramento!

Tuttavia si può “correre il rischio” in quanto tra due campioni successivi le inversioni di pendenza

sono meno frequente dei casi in cui si mantiene la stessa pendenza soprattutto se si campiona in

maniera molto fitta e uniforme rispettando il Teorema di Shannon cioè si campiona più

velocemente di quanto varia il segnale. In definitiva, il metodo è più laborioso ma più preciso!

Nell’ipotesi di astrazione matematica presentata in precedenza, possiamo anche calcolare la

funzione di trasferimento del ricostruttore di ordine uno facendo la trasformata di Laplace

della risposta impulsiva 0

1 2

1

0 2 9

Lezione 9 29‐10‐2007

δ

Anche qui diamo in ingresso un impulso che vale 1 nell’origine e 0 altrove. 0

Nell’intervallo l’unica informazione disponibile è che nell’istante ( ) il

con

1 0 ) il

campione ricevuto vale 1 mentre nell’istante precedente ( con

campione vale 0.

Di conseguenza noto legame ingresso‐uscita del ricostruttore abbiamo inizialmente

Nell’intervallo abbiamo quindi una retta che parte da 1 con pendenza 1

Nell’intervallo l’unica informazione disponibile è che nell’istante ( ) il

con

1 1

campione ricevuto vale 0 mentre nell’istante precedente ( ) il

con

campione vale 1.

Di conseguenza noto legame ingresso‐uscita del ricostruttore abbiamo che

Nell’intervallo abbiamo quindi una retta che parte da 1 con pendenza

Nell’intervallo l’unica informazione disponibile è che nell’istante ( con

2 1

) il campione ricevuto vale 0 e anche nell’istante precedente ( con

1

) il campione vale 0!

Di conseguenza noto legame ingresso‐uscita del ricostruttore abbiamo che

Nell’intervallo abbiamo quindi una retta che parte da 0 con pendenza nulla

Una volta ottenuta la risposta impulsiva complessiva cioè una combinazione tra gradini e

ovvero la funzione di trasferimento

rampe calcoliamone la trasformata di Laplace

del ricostruttore di ordine

Consideriamo un pezzo alla volta noto che è la funzione gradino e è la funzione rampa

• Il termine è pari ad 1 mentre gli altri sono nulli

1

1 1

1 10

Lezione 9 29‐10‐2007

• 2

Il termine e sono pari ad 1 mentre è nullo

1

1 1

1 1

1

1 1

1 1

2

Tuttavia questa forma di così non va ancora bene perché deve essere una combinazione

di funzioni in e non in t cosicché si possano trasformare direttamente secondo Laplace