Lezione 9, Controlli Digitali

Lezione 9 29‐10‐2007

OSSERVAZIONE: sviluppato in serie di Fourier

il treno di impulsi

Abbiamo visto che il treno di impulsi è funzione periodica di periodo che può essere

sviluppata in serie di Fourier utilizzando la formula a coefficienti complessi

1 2

,

C 0, T 0 ,

Analizzando il termine possiamo dire che nel singolo periodo tra (in realtà tra )

δ t t 0.

esiste un solo impulso per Inoltre, dalle proprietà dell’impulso di Dirac si ha che

moltiplicando per una funzione si ha come risultato il valore della funzione nel punto di

0,

applicazione dell’impulso. Di conseguenza nel nostro caso, poiché l’impulso cade per

0

quell’integrale è pari al valore della funzione esponenziale per cioè proprio 1

1 1

La sequenza di impulsi di Dirac di aria unitaria si può quindi riscrivere come

1

Breve riepilogo sulla lezione precedente

Il concetto chiave di tutto il corso sta nell’analisi del seguente sistema nel tempo discreto k

1. Esiste un segnale nel dominio del tempo continuo t;

2. Il segnale originario , attraverso il convertitore analogico‐digitale (ADC), viene convertito

nella sequenza ;

3. La sequenza , attraverso il convertitore digitale‐analogico (DAC), viene convertita nel

segnale ricostruito .

In pratica vediamo cosa succede al segnale originario nell’attraversare la serie di sistemi

costituita dai due convertitori:

“idealmente si vorrebbe che segnale ricostruito coincidesse esattamente con segnale

”.

originario ovvero

Ovviamente la corrispondenza non può essere vera perché se si campiona

inevitabilmente si perde parte del segnale originario tra un campione e l’altro. 1

Lezione 9 29‐10‐2007

Quindi in realtà il nostro obiettivo si riduce nel cercare di riprodurre un segnale che sia

quanto più fedele al segnale originario o che contenga almeno quelle informazioni necessarie

affinché il processo da controllare funzioni ancora correttamente!

Infatti abbiamo visto che, facendo delle semplici considerazioni, usando un semplice ricostruttore

come segue

di ordine zero (ZOH) lo schema precedente può essere visto nel tempo continuo t

1. Esiste un segnale nel dominio del tempo continuo t;

2. Il segnale originario , attraverso il convertitore analogico‐digitale (ADC) modellato come

un treno campionatore d’impulsi , viene convertito nel segnale campionato ;

3. Il segnale campionato , attraverso il convertitore digitale‐analogico (DAC) modellato

come un sistema la cui funzione di trasferimento è , viene convertito nel segnale

.

ricostruito

Nel fare questo passaggio da uno schema all’altro abbiamo considerato la seguente relazione

1 ln

Questa è una importante relazione tra la variabile z del piano complesso, del sistema tempo

discreto k e la variabile s del sistema tempo continuo t.

del segnale campionato

Abbiamo poi analizzato lo spettro supponendo di

campionare idealmente con il treno campionatore di impulsi

1

Abbiamo quindi ottenuto uno spettro che rispetto allo

del segnale campionato

spettro del segnale originario si presenta con una attenuazione di e una sommatoria

di infinite repliche dello spettro del segnale originario traslate di dove è la

pulsazione di campionamento. 0

| | 2

Lezione 9 29‐10‐2007

Da questo siamo arrivati al Teorema di Shannon:

“detta la banda passante del segnale originario , intesa come la massima componente in

frequenza oltre la quale si possono ritenere trascurabili le componenti armoniche, se si verifica

che la condizione allora lo spettro del segnale campionato è dato da una

somma di infinite repliche dello spettro del segnale originario che non si

sovrappongono tra loro ovvero non si verifica il fenomeno dell’aliasing”.

Questa è una importante conclusione perché ci dice che al bisogna semplicemente recuperare la

spettro del segnale campionato

replica fondamentale, quella nell’origine, dello

annullando tutte le altre per poter ricostruire il segnale originario ed avere

.

IL FILTRO IDEALE

Alla fine è palese che il segnale originario è completamente definito nella sua banda cioè

nel suo spettro che guarda caso coincide proprio con replica fondamentale dello spettro

del segnale campionato mentre le componenti complementari in alta frequenza non

sono nient’altro che una replica spettro del segnale e dunque senza nessun’altra

informazione significativa!

In definitiva prendere la replica centrale dello spettro del segnale cam