Lezione 3, Controlli Digitali

La Z‐TRASFORMATA indicata con è per definizione

Applichiamo la proprietà di DERIVAZIONE COMPLESSA e quindi deriviamo ambo i membri

Portiamo il ‘‐’ fuori dalla sommatoria e riscriviamo come

Portiamo fuori dalla sommatoria perché non dipende da ∑

La Z‐TRASFORMATA indicata con è per definizione

∞

Integriamo ambo i membri rispetto a da a e contemporaneamente a secondo membro

effettuiamo un cambio di variabile ponendo giacché è anche estremo di integrazione 9

Lezione 3 08‐10‐2007

Portiamo il ‘‐’ fuori dalla integrale ∞

Chiaramente è per definizione anche pari a e riscriviamo

∞

Ricaviamo quindi come

∞ ∞

Al secondo membro applichiamo il TEOREMA DEL VALORE INIZIALE per riscrivere

lim

Questa importante relazione indica che se nel dominio del tempo discreto k dividiamo per la

sequenza allora nel dominio della variabile complessa z stiamo integrando opportunamente

la Z‐TRASFORMATA .

In pratica è esattamente ciò che a suo tempo accadeva nel dominio del tempo continuo t in

rapporto al dominio della variabile complessa s laddove a corrispondeva l’integrazione della

. 10

Lezione 3 08‐10‐2007

8. TRASFORMAZIONE DI UNA SEQUENZA PERIODICA

Data una sequenza , periodica di periodo p, vogliamo calcolarne la Z‐TRASFORMATA

.

Per fare questo, consideriamo la sequenza come successione di campioni relativi al primo

periodo della sequenza , cioè

0

0

Di conseguenza, possiamo riscrivere la sequenza nella forma estesa cioè come la somma di

tante sequenze ognuna delle quali è opportunamente traslata di un periodo p

2 3

Possiamo vedere la stessa osservazione anche graficamente:

x (k) x(k+n)T

p x(k) x(k) , i=1 x(k) , i=2 x(k) , i=3

Ricordiamo che la Z‐TRASFORMATA la chiamiamo anche ovvero

è per definizione

La Z‐TRASFORMATA

Riscriviamo la sequenza periodica nella sua forma estesa ∑ ∑ …

Per la proprietà di linearità della sommatoria possiamo scrivere

∑

Il termine è per definizione la Z‐TRASFORMATA 11

Lezione 3 08‐10‐2007

Per il TEOREMA DELLA TRASLAZIONE NEL TEMPO ed in particolare del RITARDO riscriviamo

come

Portiamo fuori dalla sommatoria poiché non dipende da i

| | ∑

1 1

Se e quindi allora la sommatoria è una successione di potenze

convergente a ovvero una serie geometrica di ragione

1

1

In conclusione questa relazione ci dice che la Z‐TRASFORMATA della sequenza ,

periodica di periodo p, è semplicemente il prodotto della Z‐TRASFORMATA della sequenza

nel singolo periodo moltiplicata per la quantità ! 12

Lezione 3 08‐10‐2007

LA Z‐TRASFORMATA DI FUNZIONI ELEMENTARI

1. IMPULSO DISCRETO UNITARIO

Sia dato l’impulso discreto unitario così di seguito definito

1 0

0 0

La Z‐TRASFORMATA dell’impulso discreto unitario è

0 0

La funzione è per definizione nulla per ed è pari ad 1 solo per per cui

1 0 0 0

∑ 0

Della sommatoria l’unico contributo lo si ha e vale proprio 1

1

2. GRADINO DISCRETO UNITARIO

Sia dato il gradino discreto unitario così di seguito definito

1 0

0 0

La Z‐TRASFORMATA del gradino unitario discreto unitario è ∑

0,

La funzione è per definizione è pari ad 1 per quindi nella sommatoria

possiamo sostituire ad il suo valore 1

| | ∑

1 1

Se e quindi allora la sommatoria è una successione di potenze convergente

a ovvero una serie geometrica di ragione

1

1

In termini di “z positive” moltiplichiamo e dividiamo per (o portiamo il evidenza )

1 13

Lezione 3 08‐10‐2007

3. RAMPA DISCRETA UNITARIO

Sia dato la rampa discreta unitaria così di seguito definita

0

0 0

Chiaramente possiamo riscrivere la funzione in termini di un gradino discreto di ampiezza

·

La Z‐TRASFORMATA della rampa discreta unitaria è

·

Portiamo fuori dalla sommatoria poiché non dipende da k

Dalla proprietà di DERIVAZIONE se nel dominio del tempo discreto k moltiplichiamo per la

sequenza allora nel dominio della variabile complessa z stiamo derivando la Z‐TRASFORMATA

o

la Z‐TRASFORMATA o è per definizione pari a

1

1 1

1

In termini di “z negative” al denominatore portiamo in evidenza

1

OSSERVAZIONE: PARABOLA, CUBICA E COSI’ VIA

Per ottenere la Z‐TRASFORMATA di una funzione parabola o cubica e così via, è sufficiente

applicare l’operatore alla funzione precedente e cioè rispettivamente alla funzione

gradino, rampa, parabola e così via! 14

Lezione 3 08‐10‐2007

4. FUNZIONE POTENZA

Sia dato la funzione potenza così di seguito definita

0

0 0

Chiaramente possiamo riscrivere la funzione in termini di un gradino discreto per

La Z‐TRASFORMATA della funzione potenza è

Noto che la Z‐TRASFORMATA cioè è anche pari a , applicando la proprietà di

si ha che la Z‐TRASFORMATA coincide con Z‐TRASFORMATA

MOLTIPLICAZIONE PER

ottenuta a sua volta dalla Z‐TRASFORMATA sostituendo a il termine

cioè (… è equivalente a sostituire a il termine qualora la Z‐TRASFORMATA

)

cioè sia pari a

1

1 | | | |

La Z‐TRASFORMATA è una serie geometrica che converge se cioè per i punti del

| |

piano complesso z esterni alla circonferenza di raggio e centrata nell’origine.

In termini di “z positive” al denominatore portiamo in evidenza

OSSERVAZIONE: Cosa accade se a è pari ad 1? coincide esattamente

Se a è pari ad 1 allora la Z‐TRASFORMATA della funzione potenza

con la Z‐TRASFORMATA della funzione gradino discreto unitario ! 15

Lezione 3 08‐10‐2007

5. FUNZIONE ESPONENZIALE

Sia dato la funzione esponenziale così di seguito definita

0

0 0

Chiaramente, essendo una costante che chiamiamo , possiamo riscrivere la funzione

con pari

in termini di una funzione potenza 0

0 0

Quindi se a tempo continuo t abbiamo una funzione esponenziale e la campioniamo

con un certo tempo di campionamento T allora passando al tempo discreto k è evidente che

la cui Z‐TRASFORMATA la si ottiene

ricompare una funzione potenza

semplicemente sostituendo ad il valore cioè nella Z‐TRASFORMATA già nota e per

definizione

In conclusione La Z‐TRASFORMATA della funzione esponenziale è

1

1 | |

La Z‐TRASFORMATA è una serie geometrica che converge se .

In termini di “z positive” al denominatore portiamo in evidenza

Grazie all’importante proprietà che è emersa possiamo trattare agevolmente anche le funzioni

sinusoidali che, per la “formula di Eulero”, possiamo sempre esprimere in termini di esponenziali. 16

Lezione 3 08‐10‐2007

6. FUNZIONE SINUSOIDALE NON SMORZATA ‐ COSTANTE

Sia dato la sinusoide così di seguito definita

sin 0 sin 0

0 0 0 0

Dalla “formula di Eulero” è noto che la sinusoide può essere espressa tramite esponezioni

sin sin

2 2

Pertanto la Z‐TRASFORMATA della funzione sinusoide è

sin 2

Dalla proprietà di LINEARITA’ possiamo riscrivere la Z‐TRASFORMATA come

1

2

Noto che la Z‐TRASFORMATA è si ha che

1 1 1

2 1 1

1 1 1

Facciamo il m.c.m. e riscriviamo

1 1 1

2 1

Sia al numeratore che al denominatore ordiniamo e evidenziamo i termini che appartengono alla

famiglia

1

2 1 sin

Dalla “formula di Eulero” al numeratore abbiamo mentre al denominatore

2cos

cos per cui riscriviamo

abbiamo che

sin

1 2cos

In termini di “z positive”, al denominatore portiamo in evidenza

sin

2 cos 1

A questo punto, per fare delle considerazioni e ottenere una forma della Z‐TRASFORMATA

sin più facile da ricordare, passiamo dalla rappresentazione polare “in modulo e fase ”

alla rappresentazione cartesiana “in parte reale e parte immaginaria ”. 17

Lezione 3 08‐10‐2007

Supponendo il seguente piano complesso Im

ω ρ α Re

Chiaramente, nell’esprimere un numero complesso sul piano esistono delle relazioni tra la

rappresentazione polare “in modulo e fase ” e quella cartesiana “in parte reale e parte

immaginaria ”:

cos

sin cos sin cos sin

Nel nostro caso di una funzione seno non smorzata, ipotizzando di essere esattamente sulla

1,

circonferenza trigonometrica ovvero per le suddette relazioni si semplificano

ulteriormente:

cos

sin 1

Di conseguenza sulla base delle suddette relazioni possiamo esprimere nel modo seguente la

sin

Z‐TRASFORMATA

2 sin

Ordiniamo in modo da avere una forma della Z‐TRASFORMATA che visivamente ci ricordi

la trasformata di Laplace della funzione seno (smorzata) 18

Lezione 3 08‐10‐2007

7. FUNZIONE COSINUSOIDALE NON SMORZATA ‐ COSTANTE

Sia dato la sinusoide così di seguito definita

cos 0 cos 0

0 0 0 0

Dalla “formula di Eulero” è noto che la cosinusoide può essere espressa tramite esponezioni

cos cos

2 2

Pertanto la Z‐TRASFORMATA della funzione sinusoide è

sin 2

Dalla proprietà di LINEARITA’ possiamo riscrivere la Z‐TRASFORMATA come

1

2

Noto che la Z‐TRASFORMATA si ha che

è

1 1 1

2 1 1

1 1 1

Facciamo il m.c.m. e riscriviamo

1 1 1

2 1

Sia al numeratore che al denominatore ordiniamo e evidenziamo i termini che appartengono alla

famiglia

1 2

2 1

Al numeratore dividiamo per 2

2 1

2 2 2

1 1 cos

Dalla “formula di Eulero” al numeratore abbiamo mentre al denominatore

cos 2cos

abbiamo che per cui riscriviamo

1 cos

1 2cos

In termini di “z positive”, al denominatore portiamo in evidenza 19

Lezione 3 08‐10‐2007

z cos

2 cos 1

Nel nostro caso di una funzione coseno non smorzata ‐ costante, ipotizzando di essere

1,

esattamente sulla circonferenza trigonometrica ovvero per le relazioni per effettuare il

“cambio di rappresentazione” restano

cos

sin 1 cos

Di conseguenza possiamo esprimere nel modo seguente la Z‐TRASFORMATA

z

2 cos

Ordiniamo in modo da avere una forma della Z‐TRASFORMATA che visivamente ci

ricordi la trasformata di Laplace della funzione coseno (smorzata)

z 20

Lezione 3 08‐10‐2007

COME CAPIRE SE LA FUNZIONE E’

NON SMORZATA ‐ COSTANTE, NON SMORZATA ‐ DIVERGENTE O SMORZATA ‐ CONVERGENTE

DOMINIO DEL TEMPO CONTINUO t e DOMINIO DELLA VARIBILE COMPLESSA s

0)

1. Funzione non sm