Lezione 4, Controlli Digitali

Lezione 4 10‐10‐2007

7. FUNZIONE SINUSOIDALE SMORZATA ‐ CONVERGENTE

Consideriamo la funzione:

sin 0 sin 0

0 0 0 0

In particolare abbiamo già visto nel dettaglio che:

sin sin

Ponendo e sin

Chiaramente, la funzione , nel tempo discreto k, è una funzione smorzata quando

1 sin

risulta ed è l’equivalente, nel tempo continuo t, della funzione in cui

0 indicava la convergenza.

sin

Praticamente, è lo stesso modo di evoluzione del tempo continuo t

sin ma campionato e portato nel tempo discreto k!

0 1 0

Si noti che essendo allora proprio quando ed in tal caso il moto di

evoluzione è convergente sia nel continuo che nel discreto!

sin

Valutiamo la Z‐TRASFORMATA

sin sin

Se ponessimo

Dalla proprietà di MOLTIPLICAZIONE PER sappiamo che la Z‐TRASFORMATA sarà

sicuramente pari a ! sin

Dalla “formula di Eulero” al numeratore abbiamo

1

2 sin

Dalla proprietà di LINEARITA’ possiamo riscrivere la Z‐TRASFORMATA come

1 1

2 2

Ordiniamo meglio i termini nelle rispettive sommatorie

1 1

2 2 1

Lezione 4 10‐10‐2007

si ha che

Noto che la Z‐TRASFORMATA è 1 1

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

1 1 1

Facciamo il m.c.m. e

riscriviamo

1 1

1

2 1

Sia al numeratore che al denominatore ordiniamo e evidenziamo i termini della famiglia

1

2 1 sin

Dalla “formula di Eulero” al numeratore abbiamo mentre al denominatore

cos 2cos

abbiamo che per cui riscriviamo

sin

1 2 cos

In termini di “z positive”, al denominatore portiamo in evidenza

sin

2 cos

Nel nostro caso di una funzione seno smorzata ‐ convergete, ipotizzando di essere all’interno della

0 1,

circonferenza trigonometrica ovvero per le relazioni per effettuare il “cambio di

rappresentazione” restano

cos

sin sin

Di conseguenza possiamo esprimere nel modo seguente la Z‐TRASFORMATA

2 sin

Ordiniamo in modo da avere una forma della Z‐TRASFORMATA che visivamente ci ricordi

la trasformata di Laplace della funzione seno (smorzata) 2

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8. FUNZIONE COSINUSOIDALE SMORZATA ‐ CONVERGENTE

Consideriamo la funzione:

cos 0 cos 0

0 0 0 0

In particolare abbiamo già visto nel dettaglio che:

cos cos

Ponendo e cos

Chiaramente, la funzione , nel tempo discreto k, è una funzione smorzata quando

1 cos

risulta ed è l’equivalente, nel tempo continuo t, della funzione in cui

0 indicava la convergenza.

cos

Praticamente, è lo stesso modo di evoluzione del tempo continuo t

cos ma campionato e portato nel tempo discreto k!

0 1 0

Si noti che essendo allora proprio quando ed in tal caso il moto di

evoluzione è convergente sia nel continuo che nel discreto!

cos

Valutiamo la Z‐TRASFORMATA rapidamente considerando la Z‐TRASFORMATA

cos

definita come Z‐TRASFORMATA la cui espressione è già nota

1 cos

cos 2cos

1

Chiaramente la Z‐TRASFORMATA definita come Z‐TRASFORMATA

cos , dalla proprietà di MOLTIPLICAZIONE PER , coincide con la

Z‐TRASFORMATA ottenuta a sua volta dalla Z‐TRASFORMATA sostituendo a il

termine cioè (… è equivalente a sostituire a il termine qualora la

Z‐TRASFORMATA si in termini di “z positive”)

cos ρ cos

1

1 2 cos

In termini di “z positive”, al denominatore portiamo in evidenza

ρ cos

2 cos

Nel nostro caso di una funzione coseno smorzata ‐ convergete, ipotizzando di essere all’interno

0 1,

della circonferenza trigonometrica ovvero per le relazioni per effettuare il “cambio di

rappresentazione” restano

cos 3