Lezione 4, Controlli Digitali

Lezione 4 - 10-10-2007

Funzione sinusoidale smorzata - convergente

Consideriamo la funzione:

sin 0 sin 00 0 0 0

In particolare abbiamo già visto nel dettaglio che: sin sin

Ponendo e sin

Chiaramente, la funzione, nel tempo discreto k, è una funzione smorzata quando 1 sin risulta ed è l’equivalente, nel tempo continuo t, della funzione in cui 0 indicava la convergenza. sin

Praticamente, è lo stesso modo di evoluzione del tempo continuo t sin ma campionato e portato nel tempo discreto k! 0 1 0

Si noti che essendo allora proprio quando ed in tal caso il moto di evoluzione è convergente sia nel continuo che nel discreto! sin

Valutiamo la Z-trasformata

sin sin

Se ponessimo

Dalla proprietà di moltiplicazione per sappiamo che la Z-TRASFORMATA sarà sicuramente pari a! sin

Dalla “formula di Eulero” al numeratore abbiamo 12 sin

Dalla proprietà di linearità possiamo riscrivere la Z-TRASFORMATA come 1 12 2

Ordiniamo meglio i termini nelle rispettive sommatorie 1 12 2 1

Si ha che noto che la Z-TRASFORMATA è 1 11 1 1 12 21 1 1 11 1 1

Facciamo il m.c.m. e riscriviamo 1 112 1

Sia al numeratore che al denominatore ordiniamo e evidenziamo i termini della famiglia 12 1 sin

Dalla “formula di Eulero” al numeratore abbiamo mentre al denominatore cos 2 cos abbiamo che per cui riscriviamo sin 1 2 cos

In termini di “z positive”, al denominatore portiamo in evidenza sin 2 cos

Nel nostro caso di una funzione seno smorzata - convergente, ipotizzando di essere all’interno della 0 1, circonferenza trigonometrica ovvero per le relazioni per effettuare il “cambio di rappresentazione” restano cos sin sin

Di conseguenza possiamo esprimere nel modo seguente la Z-TRASFORMATA 2 sin

Ordiniamo in modo da avere una forma della Z-TRASFORMATA che visivamente ci ricordi la trasformata di Laplace della funzione seno (smorzata) 2

Funzione cosinusoidale smorzata - convergente

Consideriamo la funzione:

cos 0 cos 00 0 0 0

In particolare abbiamo già visto nel dettaglio che: cos cos

Ponendo e cos

Chiaramente, la funzione, nel tempo discreto k, è una funzione smorzata quando 1 cos risulta ed è l’equivalente, nel tempo continuo t, della funzione in cui 0 indicava la convergenza. cos

Praticamente, è lo stesso modo di evoluzione del tempo continuo t cos ma campionato e portato nel tempo discreto k!