Lezione 2, Controlli Digitali

Lezione 2 04-10-2007

Generalità sull'anello di controllo digitale

A differenza del caso analogico, nell'anello di controllo digitale, di cui nella figura sotto si riporta il classico schema in retroazione, coesistono segnali di diversa natura appartenenti cioè sia al dominio del tempo discreto (imputabili appunto al controllore digitale) che al dominio del tempo continuo (tipici del processo da controllare).

P(s)

Elementi comuni del caso analogico e digitale

L'uscita o variabile da controllare y(t) del processo viene misurata attraverso un sensore per il quale utilizzeremo l'approssimazione di sensore ideale:

“Il sensore per noi è caratterizzato da dinamiche talmente veloci rispetto a quelle del processo da poterlo considerare, commettendo così un errore trascurabile rispetto alle dinamiche del sistema a ciclo chiuso, come istantaneo. In pratica ciò vuol dire che, nell’ambito del luogo delle radici, se il nostro sensore fosse un sistema lineare modellato con una funzione di trasferimento, i poli si dovrebbero trovare molto a sinistra dell’asse immaginario cosicché le costanti di tempo associate siano trascurabili rispetto alle altre.”

Ricorrendo ad una retroazione negativa per ovvi motivi di stabilità, dal confronto tra la misura dell’uscita y(t) e il riferimento otteniamo il segnale analogico di errore.

Elementi esclusivi del caso digitale, le novità

Detto T tempo di campionamento o tempo di attivazione del controllore digitale introdotte dal controllo digitale sono sostanzialmente due:

• In ingresso al controllore digitale troviamo un segnale discreto o sequenza di campioni ottenuta campionando il segnale analogico d’errore con un dispositivo di interfacciamento o convertitore analogico/digitale (ADC);
• In uscita al controllore digitale troviamo ancora una volta un segnale discreto o sequenza di campioni che, per essere applicata ad un processo tipicamente appartenente al dominio del tempo continuo, viene convertita in un segnale di controllo analogico con un dispositivo di interfacciamento o convertitore digitale/analogico (DAC).

In definitiva lo schema di controllo digitale rispetto a quello analogico non cambia dal punto di vista degli organi di controllo ma per utilizzare il controllore digitale c’è evidente necessità di utilizzare dei dispositivi che facciano da interfaccia tra il mondo analogico e quello digitale.

Purtroppo il convertitore analogico/digitale (ADC) e il convertitore digitale/analogico (DAC) hanno delle dinamiche tutt’altro che trascurabili ovverosia in sostanza introducono nell’anello di controllo digitale dei pericolosi ritardi di tempo.

“Il nostro obiettivo è di studiare le nuove dinamiche per tenerne conto durante la fase di progettazione del controllore digitale affinché il controllo resti almeno efficace.”

Lezione 2 04-10-2007

Strumenti matematici per l'analisi dei sistemi discreti

Il controllore da progettare è digitale per cui dobbiamo trovare una relazione tra il segnale discreto d’uscita e il segnale discreto d’ingresso.

Dunque, la domanda a cui troveremo insieme una risposta è:

“Come descrivere il legame tra la sequenza di campioni prodotta dal controllore digitale e la sequenza di campioni generata dal convertitore analogico/digitale (ADC)?”

Dominio del tempo continuo

Il legame tra il segnale d’uscita e il segnale d’ingresso al controllore equivalente è descritto da equazioni differenziali che come sappiamo descrivono la dinamica del sistema.

In particolare la descrizione del sistema dinamico a tempo continuo di ordine è fatta con una relazione I/O detta equazione differenziale di ordine n oppure con la seguente coppia di equazioni:

Noto che f e g sono due opportune funzioni vettoriali, si ha che:

• La prima equazione è un sistema di n equazioni differenziali di primo ordine che consente di definire l’andamento dello stato del sistema continuo ed è per questo motivo detta sinteticamente equazione di stato;
• La seconda equazione è detta trasformazione d’uscita e consente di determinare l’uscita del sistema continuo ad uno certo istante di tempo noti lo stato e l’ingresso allo stesso istante.

Dominio del tempo discreto

Dobbiamo trovare gli strumenti matematici necessari.