Lezione 2, Controlli Digitali

CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI DINAMICI

I sistemi dinamici descritti dalla precedente coppia di equazioni possono essere classificati come:

• SISO O MIMO

Un sistema dinamico si dice SISO (Single Input – Single Output) se ad una sola variabile d’ingresso

e ad una sola variabile d’uscita altrimenti si dice MIMO (Multi Input – Multi Output).

• STRETTAMENTE PROPRIO O PROPRIO

Se la funzione g non dipende dall’ingresso cioè se la trasformazione di uscita si può scrivere come

,

y(k) allora il sistema dinamico si dice strettamente proprio perché l’uscita dipende

dall’ingresso solo attraverso lo stato. Ciò equivale a dire che la funzione di trasferimento

associata del sistema ha un numero di poli pari al numero di zeri (n = m).

Viceversa se la funzione g non dipende dallo stato cioè se la trasformazione di uscita si può

,

scrivere come y(k) (legame ingresso‐uscita istantaneo) allora il sistema non più

perché l’uscita dipende solo dall’ingresso. Ciò equivale a dire che la

dinamico si dice proprio

funzione di trasferimento del sistema ha un numero di poli pari al numero di zeri (n = m).

• TEMPO VARIANTE O INVARIANTE

Se le funzioni f e g non dipendono esplicitamente dal tempo k o equivalentemente se la dinamica

del sistema non dipende da quando è cominciata ma dipende da quanto tempo è avviata allora il

sistema si dice tempo invariante (o stazionario) altrimenti tempo variante.

• LINEARI TEMPO INVARIANTE

Se le funzioni f e g non dipendono dal tempo e sono lineari allora siamo nel caso di sistemi

lineari tempo invarianti descritti semplificando la precedente coppia di equazioni in:

1

y(k)

con le matrici , , , indipendenti dal tempo discreto .

(n = numero variabili stato, m = numero ingressi, p = numero uscite)

In particolare sulla base delle definizioni fornite è evidente che: 6

Lezione 2 04‐10‐2007

‐ per i sistemi lineari tempo invarianti e strettamente propri la matrice è nulla;

‐ per i sistemi lineari tempo invarianti SISO la matrice si riduce ad un vettore colonna

(m = 1) mentre la matrice si riduce ad un vettore riga (p = 1);

EQUILIBRIO DI UN SISTEMA DISCRETO

Il punto di equilibrio è quel punto nel quale se vi si porta il sistema,in assenza di perturbazioni,

esso stesso vi permane indefinitamente.

In pratica è quel particolare punto in cui non c’è dinamica e: ad annullare

‐ nel dominio del tempo continuo , ciò equivale da un punto di vista matematico

le equazioni differenziali;

‐ nel dominio del tempo discreto , ciò equivale a dire che lo stato del sistema discreto non

varia all’aumentare del tempo o più semplicemente che il sistema discreto è apparentemente

1

fermo” cioè .

Come nel caso continuo per si fissa un ingresso costante e la rappresentazione ingresso‐

stato‐uscita del sistema tempo discreto si riduce a:

,

,

Se l’equazione di stato ha soluzione allora essa sarà il punto di equilibrio corrispondente al

, ,

forzamento costante in ingresso. In definitiva il punto o i punti di equilibrio sono

sinteticamente lo stato del sistema discreto all’equilibrio.

LINEARIZZAZIONE

Consideriamo un sistema discreto siso non lineare e tempo invariante così descritto:

1 ,

,

y(k) , ,

Noto almeno un punto di equilibrio possiamo ottenere un’approssimazione

linearizzata del nostro sistema non lineare discreto nell’intorno dello stesso punto.

Anzitutto, definiamo quindi le variazioni dello stato , dell’ingresso e dell’uscita

rispetto al punto di equilibrio P:

‐

‐

‐

La coppia di equazioni che descrivono il sistema discreto messe in funzione delle variazioni ,

, appena introdotte diventano

1 ,

1 , , ,

Sviluppiando in serie di Taylor le funzioni e g intorno al punto di equilibrio avremo

che: 7

Lezione 2 04‐10‐2007

, ,

, , · · ,

, ,

, , · · ,

Chiaramente, poiché le funzioni e non dipendono dal tempo continuo , possiamo dire che:

,

‐ lo Jacobiano è pari alla matrice costante ;

,

‐ lo Jacobiano è pari al vettore colonna costante ;

,

‐ lo Jacobiano è pari al vettore riga costante ;

,

‐ lo Jacobiano è pari alla matrice ; ,

Inoltre e importante notare che l’infinitesimo di ordine superiore al primo tende a

zero per e che tendono a zero (ovvero nell’ipotesi di movimento nella stretta vicinanza del

, , ).

punto di equilibrio

Mettendo insieme queste informazioni possiamo quindi in definitiva riscrivere dapprima:

, ,

, ,

Di conseguenza ritornando alla coppia di equazioni che descrivono il sistema discreto in funzione

delle variazioni , ,

1 ,

1 ,

Noti gli approssimanti di Taylor delle funzioni e si ha

1 ,

1 , , ,

Siccome per definizione e tali quantità opposte si annullano

reciprocamente per cui resta

1

1

Questa è proprio l’espressione cercata del sistema discreto linearizzato attorno al punto di

, ,

equilibrio . 8