Lezione 8, Controlli Digitali

Lezione 8 25‐10‐2007

Schema di controllo digitale

In uno schema di controllo digitale per interfacciare il controllore digitale (o parte discreta) con il

processo (o parte tipicamente continua) c’è bisogno di:

‐ un campionatore o convertitore analogico/digitale (ADC);

‐ un mantenitore o convertitore digitale/analogico o (DAC).

Campionamento e ricostruzione del segnale

Consideriamo un generico segnale di x(t) in ingresso alla cascata ADC e DAC

x t

Idealmente, si vorrebbe che l’uscita sia un segnale ricostruito identico al segnale in ingresso

x t x t x t

ovvero . t

x con lo stesso contenuto

Nella realtà invece si ottiene in uscita un segnale ricostruito

x t

informativo del segnale originario .

Quindi si è disposti a sopportare una perdita di informazioni, inevitabile durante l’operazione di

1 x t

, purché il segnale ricostruito contenga le informazioni necessarie ad

campionamento x t

approssimare il segnale di ingresso in maniera sufficientemente accurata e tale da permettere

che il sistema possa essere controllato!

Campionatore o convertitore analogico/digitale (ADC)

Tipicamente il convertitore analogico/digitale è un semplice campionatore che fornisce in uscita la

e kT e t

sequenza di campioni associata al segnale tempo continuo .

Per il campionatore è possibile individuare alcuni parametri fondamentali ed in particolare:

sec

‐ tempo di campionamento T o che indica di quanto è distanziato nel tempo un

campione da quello successivo. Hz

‐ frequenza di campionamento ;

2

‐ pulsazione di campionamento .

1 x t T

Il campionatore cattura dei campioni del segnale di ingresso con un intervallo di tempo , opportunamente

x t

scelto, per cui è evidente che questa operazione fa perdere delle informazioni sul segnale originario cioè tutte le

informazioni presenti tra un campione e l’altro! 1

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Mantenitore o convertitore digitale/analogico o (DAC)

Tipicamente il convertitore digitale/analogico è comunemente chiamato ricostruttore ed ha il

u kT

compito si trasformare il segnale a tempo discreto nel segnale tempo continuo u(t).

Ne esistono di vari tipi da quelli più semplici (a basse prestazioni) a quelli più complessi (a

prestazioni decisamente migliori). Come al solito bisogna trovare un compromesso tra la

complessità degli strumenti che si utilizzano e le prestazioni richieste.

Anche per il mantenitore è possibile individuare alcuni parametri fondamentali ed in particolare:

sec

‐ il tempo di mantenimento T o ;

1 Hz

frequenza di mantenimento ;

‐ 2

‐ pulsazione di mantenimento .

Il ricostruttore di ordine zero

Il ricostruttore di ordine zero o ZOH è il più semplice ricostruttore possibile ed è così chiamato

kT

perché approssima l’andamento del segnale tra un campione ( ) e l’altro (

all’istante all’istante

k 1 T

) con una funzione lineare di ordine zero (ovvero una costante).

x kT

Consideriamo sequenza di campioni a lato.

x kT

Purtroppo dalla sola sequenza di campioni

non siamo in grado di stabilire cosa ci sia tra un

kT

campione ( ) e l’altro (

all’istante all’istante

k 1 T

): in generale potrebbero esserci

x t

infinite funzioni associate alla stessa sequenza

x kT

di campioni !

Nell’incertezza il comportamento più semplice che

si può attuare consiste nel mantenere l’uscita per

k 1 T al valore del campione ricevuto

kT.

all’istante

Di conseguenza, come mostrato a lato, il risultato

dello ZOH è una sommatoria di gradini tale per cui il

t

segnale ricostruito si può riscrivere come:

1

0

dove

• è la funzione gradino ritardata di ;

• 1 1

è la successiva funzione gradino ritardata di ;

• 1 è la finestra unitaria descritta come differenza di due gradini o

1

che si attiva nell’istante e termina nell’istante .

anche come un gradino

x kT

• è l’ampiezza di ciascuna finestra appena definita.

In termini di schema a blocchi l’operazione di

x t

ricostruzione del segnale può essere tradotta con lo

schema reale a lato 2

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Ritorniamo alla relazione fondamentale 1

0

Valutandone la trasformata di Laplace o si ottiene una combinazione lineare di

e 1

trasformate di Laplace del gradino traslato

laddove i coefficienti moltiplicativi restano ancora i campioni

0

Ordiniamo mettendo il evidenza il termine

1

0

Si noti che il termine

‐ coincide proprio con la trasformata di Laplace della prima finestra unitaria (quella tra 0 e T)

cioè che è la parte comune e traslata per ogni campione !

‐ è indipendente da , per cui può essere portata fuori dal segno di sommatoria.

1 0

La trasformata di Laplace del segnale continuo può essere espressa come prodotto tra le

e così definite:

funzioni

‐ cioè la trasformata di Laplace della prima finestra...;

∑ cioè una combinazione lineare di infiniti termini esponenziali in

‐ a sua volta funzione della

funzione di s pari alla trasformata di Laplace di un segnale

sequenza di campioni !

Questa importante relazione ci dice che nell’ipotesi in

cui il DAC sia un sistema dinamico la cui funzione di

trasferimento è allora lo schema reale

x t

di ricostruzione del segnale lo si può interpretare

come un schema equivalente in s laddove è il

segnale di uscita ed è il segnale in ingresso.

Antitrasformando il segnale otteniamo il segnale a tempo continuo associato al

segnale campionato .

Questo risultato è molto importante perché permette di non lavorare nel tempo discreto k o nel

dominio di transizione z bensì di lavorare nel continuo t e dunque nel dominio di transizione s. 3

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Notiamo che la funzione di trasferimento dello ZOH oltre ad avere una sua dinamica, dovuta alla

presenza del polo nell’origine, presenta anche un ritardo che incide sulla catena di andata e che è

quindi uno degli aspetti più importanti dei controlli digitali!

In pratica accade che riusciamo a ricostruire con una certa approssimazione il segnale originario

ma inseriamo inevitabilmente un ritardo tanto più elevato quanto più gra