Lezione 8, Controlli Digitali

Spettro del segnale campionato

Valutiamo ora nel dettaglio:

‐ il legame tra la trasformata di Laplace del segnale campionato e la trasformata di

Laplace del segnale originario .

‐ lo spettro del segnale campionato che si ottiene sostituendo nella trasformata di

Laplace e usando come strumento di rappresentazione i diagrammi di Bode o una scala

naturale poiché del tutto equivalenti!

Abbiamo visto che il segnale campionato può essere scritto come prodotto tra il segnale

∑

e la sequenza di impulsi di Dirac di area unitaria cioè

∞

0 0

Supposto il segnale nullo per possiamo riscrivere il segnale campionato come

prodotto tra il segnale e la sequenza di impulsi di Dirac di area unitaria

∑

cioè estesa anche a tutto l’asse del tempo t!

La sequenza di impulsi di Dirac di aria unitaria è una funzione periodica di periodo che

possiamo sviluppare in serie di Fourier utilizzando la formula a coefficienti complessi

1 2

,

C 0, T 0 ,

Analizzando il termine possiamo dire che nel singolo periodo tra (in realtà tra )

δ t t 0.

esiste un solo impulso per Inoltre, dalle proprietà dell’impulso di Dirac si ha che

moltiplicando per una funzione si ha come risultato il valore della funzione nel punto di

0,

applicazione dell’impulso. Di conseguenza nel nostro caso, poiché l’impulso cade per

0

quell’integrale è pari al valore della funzione esponenziale per cioè proprio 1

1 1

La sequenza di impulsi di Dirac di aria unitaria si può quindi riscrivere come

1 1 6

Lezione 8 25‐10‐2007

Ordiniamo portando il termine fuori e il segnale dentro la sommatoria poiché non

dipendono da n

1

A partire da questa nuova espressione del segnale campionato calcoliamone lo spettro.

Passiamo quindi dapprima nel dominio della s applicando la trasformata di Laplace e utilizzando, a

secondo membro, la proprietà di linearità ( la trasformata di Laplace di una combinazione lineare di funzioni è

) e di traslazione (

pari alla combinazione lineare delle trasformate delle singole funzioni la trasformata di Laplace di

una generica funzione moltiplicata per un esponenziale è pari alla trasformata della stessa funzione ma

)

opportunamente traslata

1

Passiamo ora nel dominio della frequenza sostituendo nella trasformata di Laplace

1

Questa relazione ci dice che l’andamento spettrale del segnale campionato si ottiene

a partire dallo spettro del segnale originario più una sommatoria di infinite repliche

∈ ∞, ∞

dello stesso spettro ma traslato di con ovvero .

|

| la suddetta relazione si traduce in

In termini di 1

| | |

| | |

a) Segnale originario avente uno spettro “a banda limitata”

Per comprendere bene il processo di campionamento anche dal punto di vista frequenziale,

| |

prendiamo ora in considerazione il segnale originario avente uno spettro “a banda

0

| |

limitata” come mostrato nel grafico in scala naturale e rapportato al guadagno statico

OSSERVAZIONE: Cosa indica ?

| | In questo caso non rappresenta

0 |

| la pulsazione di attraversamento

dell’asse delle nel diagramma di

Bode del modulo ma è la pulsazione

oltre la quale il generico segnale

non ha più componenti

armoniche:

“proprio perché è un indicatore

della banda passante del segnale

e la chiameremo ”. 7

Lezione 8 25‐10‐2007

OSSERVAZIONE: Scala naturale e scala logaritmica

Scala naturale | | ) in scala

Nella figura precedente è riportato (

o modulo dello spettro del segnale originario

| |

naturale. Poiché in scala naturale il è sempre positivo allora assume valori nell’intervallo

0, ∞ | |

. Inoltre notiamo che il è una funzione pari per cui essendo simmetrica rispetto

0, ∞

all’asse delle ordinata è sufficiente calcolarne i valori per e per simmetria ricavarne i

∞, 0

valori per .

Scala logaritmica | |

Se si fosse utilizzata una scala logaritmica, come avviene nei diagrammi di Bode, allora il

∞, ∞

assumerebbe valori nell’intervallo . Inoltre nei diagrammi di Bode praticamente

0, ∞

| |

calcoliamo i valori del per .

Riprendiamo e supponiamo idealmente che lo spettro del segnale originario (ovvero quello

che vorrei riottenere!) abbia esattamente l’andamento presentato nella figura precedente. 2

Supponiamo inoltre che il segnale sia a banda rigorosamente limitata, cioè vada a zero ed

indichiamo con quel valore di oltre la quale il segnale non ha più componenti frequenziali.

del segnale campionato

Ebbene, come già accennato lo spettro sarà composto da

| | | |

infinite repliche dello spettro del segnale originario cioè sarà il segnale

sull’asse .

traslato della quantità 2

Tracciamo dunque, nel caso in cui , il grafico del in scala naturale e rapportato

0 3

al guadagno statico 0

| |

Nello spettro frequenziale : | |

‐ per abbiamo la replica primaria o fondamentale che coincide, a meno di , con lo

| |

spettro frequenziale del segnale originario .

| |

‐ per abbiamo le componenti complementari

In definitiva, come già accennato lo spettro frequenziale del segnale campionato

sarà composto dalla replica primaria con l’aggiunta di tutte le altre repliche complementari.

In particolare nell’ipotesi in cui la pulsazione di campionamento ( la quale indica di quanto stiamo

è maggiore di ( ) allora le

traslando le repliche) due volte la banda passante del segnale originario

repliche non si sovrappongono!

2 Questo è il caso ideale perché la banda non andrà mai esattamente a zero ma avrà una sua coda. Basti pensare al fatto che spesso

ω→+∞.

nei diagrammi di Bode abbiamo andamenti che vanno a ‐20dB, ‐40dB o quello che sarà, ma andranno sempre a ‐∞ per

3 *

In questo modo otteniamo il grafico normalizzato di |X (jω)| cioè con lo stesso andamento ma con ampiezza massima pari ad 1,

ma questo è evidente perché abbiamo diviso per il guadagno statico (è solo una convenzione). 8

Lezione 8 25‐10‐2007

Teorema di Shannon

La precedente osservazione deriva proprio dal Teorema di Shannon il quale afferma che:

2

“Sia la pulsazione di campionamento, e sia la più alta componente spettrale del

segnale a tempo continuo x(t), allora il segnale originario è completamente ricostruibile a

partire dal segnale campionato se e solo se la pulsazione di campionamento è maggiore

2

del doppio della pulsazione ” ovvero per .

Quando tale condizione viene rispettata ovvero si utilizza un tempo di campionamento

4

sufficientemente piccolo ( o analogamente, essendo pulsazione e tempo di campionamento inversamente

2 ) le repliche

proporzionali, la pulsazione di campionamento è sufficientemente grande da verificare

sono distanziate l’una dall’altra e non si sovrappongono e solo in questo caso posso recuperare,

5 | |

applicando un filtro ideale che mi isoli la sola replica fondamentale, lo spettro del segnale

originario !

Se la condizione di Shannon non è verificata ovvero per :

‐ inevitabilmente si hanno delle sovrapposizione tra le repliche: questo il fenomeno viene

chiamato aliasing.

‐ la replica fondamentale è parzialmente sovrapposta alle componenti complementari ragion

per cui mediante filtraggio non è più possibile isolare la replica fondamentale e quindi il

segnale originario a partire dal segnale campionato .

0

| |

In particolare più le repliche si sovrappongo, ovvero quanto più ci discostiamo dalla condizione del

Teorema di Shannon tanto maggiore è la quantità di informazioni sul segnale originario che

stiamo perdendo:

“i campioni sono troppo distanti l’uno dall’altro e non si può recuperare il segnale originario ”.

Inoltre la banda passante è legata alla prontezza del segnale e quindi al tempo di risposta

“più grande è la banda passante del segnale ”e più il tempo di risposta è veloce”.

Quindi affinché sia possibile recuperare tutto il contenuto informativo del segnale originario ,

dobbiamo campionare più velocemente ovvero più fittamente di quanto il segnale stesso vari:

“in questo modo siamo sicuri che tra i due campioni non c’è nulla”!

4 Il che intuitivamente significa dire che sto campionando abbastanza fittamente da non perdere informazioni tra un campione e

l’altro.

5 L

o tratteremo nella prossima lezione. 9

Lezione 8 25‐10‐2007

| |

b) Segnale originario avente uno spettro “a banda illimitata”

Fin’ora abbiamo considerato un segnale originario “a banda rigorosamente limitata”.

Lo spettro del segnale campionato non è più limitato bensì presenta in alta

frequenza delle componenti armoniche, da non confondere con i disturbi ad alta frequenza, che

nel segnale originario non si avevano. | |

Di seguito è riportato il diagramma di Bode dell’andamento spettrale del segnale

originario

| |

|

| 0

La curva in nero è il caso ideale e corrisponde al diagramma, già visto in passato, in scala lineare

| |

del con banda rigorosamente limitata.

Nella realtà la banda del segnale non è rigorosamente limitata ed il grafico è più simile alla

curva tracciata in rosso.

In definitiva per scegliere la banda passante del generico segnale , dobbiamo considerare

alle specifiche di progetto, si ritengono trascurabili le

quella frequenza oltre la quale, in base

ulteriori componenti armoniche che non saranno mai nulle:

“ci saranno sempre delle code che magari saranno molto piccole o scenderanno asintoticamente a

zero ma comunque saranno presenti”!

Ovviamente anche nel caso reale esiste un compromesso, perché più è piccolo il valore che ritengo sia trascurabile più

elevo le prestazioni del mio sistema il che in termini economici significa pagare di più e non sempre ne vale la pena.

Tipicamente possiamo ritenere trascurabili i valori di inferiori a ‐40dB ovvero riteniamo

trascurabili quelle componenti armoniche la cui ampiezza è più piccola di 1/100 oppure a ‐60dB

cioè 1/1000 e così via.

Quindi in definitiva è il valore in frequenza oltre il quale riteniamo trascurabili le componenti

armoniche del segnale originario .

Ritornando allo spettro del segnale campionato , quando andiamo a fare la sommatoria delle

infinite repliche queste code si sovrapporranno sempre. Di conseguenza più è buona la vo