Lezione 9 11 Mercati finanziari

Si introducono gli che rappresenta i possibili sentieri seguiti dal

Alberi Binomiali, random walk,

prezzo dell’azione (segue una passeggiata casuale cioè la storia

passata non influenza la storia futura), durante la vita dell’opzione;

uno stadio più

è un percorso che parte dal modello ad per arrivare a quello con

stadi;

Si passa così a parlare di un Semplice Modello Binomiale con un esempio:

- si ha un prezzo corrente dell’azione a 20$

- tra 3 mesi sarà pari a 22$ o 18$ (si fa una previsione)

fra 3 mesi = 22$

Prezzo azione 20$ fra 3 mesi = 18$

Il nostro obbiettivo è quello di andar a valutare una Call Europea che ha uno

strike di 21$ fra 3 mesi. Quindi l’obbiettivo non è quello di sapere quando vale

alla scadenza, ma quello di sapere quale sarà il valore corrente dell’opzione;

Sapendo quindi quali sono le caratteristiche dell’opzione, si può sapere quindi

con certezza quale sarà il valore finale dell’opzione, andando a fare (Qc – Pe),

ma sappiamo e ricordiamo che ci serve sapere non quando vale alla fine, ma

all’inizio, cioè alla stipula vera e propria del contratto; Facendo una serie di

considerazioni si può dire che: arbitraggio;

- Non esistono opportunità di

- Il portafoglio è formato da azioni e opzioni che ci sia un’incertezza

senza

sul valore finale a scadenza ( in questo caso i 3 mesi);

- un portafoglio rischioso, e quindi deve rendere come un tasso

Non è risk-

free;

- Sapendo questi punti, tutto ciò ci consente di determinare il costo di

costruzione del portafoglio e il prezzo dell’opzione;

- Dal momento che il portafoglio è formato da Titoli e Opzioni, quindi ci

saranno sempre Up e Down del portafoglio stesso;

- Questo portafoglio ( ) è formato da queste azioni e opzioni, ma in

risk free

Lunga di azioni, Corta in opzioni;

posizioni

Si considera a questo punto, sempre continuando il discorso, e

un’opzione Call,

quindi ricordando la Call europea con strike di 21$ fra 3 mesi, il suo valore

finale sarà (attraverso l’albero si fa un passaggio grafico, ma specificamente si

va a ritroso):

• Il valore finale della Call varrà -1$ se il prezzo finale dell’azione sarà 22$

( );

movimento up

• Il valore finale della Call varrà -0$ se il prezzo finale dell’azione sarà 18$

(movimento down) “l’opzione non vale”;



Ma ci si chiede, quanto vale oggi il prezzo dell’opzione? Sapendo e basandosi

sui dati appena raccolti;

Questo portafoglio sarà privo di rischio, dove si considera un portafoglio Lungo

Δ

di (variazione) di azioni e corto di 1 Call, il suo valore dopo 3 mesi sarà:

Δ

22$ x 1$

–

? Δ

18$ x – 0$

Come abbiamo detto in precedenza se vale sia per la parte Up che la parte

Down il portafoglio privo di rischio, cioè se la parte del 22$ x Δ -1$ ( valore call in

Δ

) = 18$ x – 0$, dove il Δ in questo caso sarà pari a 0,25 

caso di rialzo

¼( trimestrale);

Nella valutazione del portafoglio si parte per assurdo che il tasso risk – free sia

al 12% (in presenza di Up e Down vale allo stesso modo), questo è un

portafoglio Lungo di 0,25 azioni e corto su 1 Call;

Quindi se il valore dell’azione sale a 22$, il valore del portafoglio (azione) tra 3

mesi sarà pari a: 22$ x 0,25 -1 = 4,5$ ;

Nel caso in cui il valore dell’azione scende a 18$, il valore del portafoglio tra tre

mesi sarà pari a: 18$ x 0,25 -0 = 4,5$ ; sempre

Quindi il valore del portafoglio sarebbe pari a 4,5$ sia nel caso di Up e

Δ

Down, perché si è individuati il valore di che ci consente di rendere uguali i

due portafogli;

Quindi il sarebbe pari a 4,5e = 4,367$ (r=12%

-12%x0,25

valore del portafoglio OGGI,

e t=0,25);

Quindi questo valore di 4,367$ è un valore in T-0, ed è dato perché abbiamo

attualizzato il 4,5$ al tasso r di mercato per il tempo t (3 mesi);

f

dato il valore allora corrente di un’azione di 20$, e dato il prezzo dell’opzione,

il valore del portafoglio sarebbe pari a:

f f

- 0,25 x 20 – = 5 –

ma se sappiamo che 5-f è pari a 4,367$, ci si chiede quanto vale il valore

dell’opzione: f = 5­ 4,367$= 0,633$

- 5-f= 4,367$ segue che

Questa valutazione si ricorda che la si fa con un’assenza di opportunità di

arbitraggio; si fanno di seguito delle considerazioni circa il risultato di 0,633:

• maggiore

infatti se il valore della Call fosse di 0,633 il portafoglio di

conseguenza costerà di meno di 4,367$ e quindi renderà di più del tasso

risk –free. Se fosse inferiore a 0,633, la vendita allo scoperto del

portafoglio potrebbe consentire di prendere in prestito denaro a un tasso

inferiore del tasso risk – free.

Si entra in gioco attraverso una generalizzazione di una terminologia per

comprendere al meglio tutti i passaggi..

Si consideri un titolo che ha un prezzo corrente pari a S (prezzo azione al

0

f

tempo iniziale), e un’opzione con prezzo corrente ed una scadenza al tempo T

scritta su questo titolo;

si suppone ulteriormente che questo prezzo corrente possa avere un

movimento Up ed uno Down:

Ma questo portafoglio dev’essere formato (in assenza di arbitraggio),

fu

Δ -

S u

0

? fd

Δ -

S d

0

privo di rischio se la parte di sinistra = destra, ma tutto questo gioca sul fatto

che dev’essere formato da una posizione Lunga in azioni, ed una posizione

corta in opzioni; Ma quando dev’essere la posizione Lunga in azioni (domanda

per rammentare)? Δ.

 fu fd

È quindi il portafoglio sarà privo di rischio se : S u x Δ – = S d x Δ – e

0 0

Δ:

quindi la formula per trovare il

dove andando a sostituire i termini precedentemente descritti come

dati:

(fu – fd) (1-0), (s0u – s0d) (22 – 18) = 0,25

 

r

e quindi se è il tasso privo di rischio, è possibile determinare il valore attuale

del portafoglio al tempo T è: - r.t

S u Δ – fu Oggi invece (S u Δ – fu) x e (attualizzato nel continuo)

0 0

Un’altra espressione per il valore del portafoglio oggi

S f u fu)e S f

rT

è Δ- Pertanto (S Δ - = da cui



0 0 0

f S u e e

­rt rT

= Δ (1­ )+ fu

0 f:

se si va poi a sostituire si determina il valore di

f = e [ p fu + (1­p) fd]

­rt dove  f

e quindi succede che, se conosciamo la relazione di e conosciamo quanto vale

p, è chiaro che si può andare sempre a valutare il valore corrente dell’opzione;