Lezione 6, Controlli Digitali

Consideriamo il piano z e la circonferenza di raggio unitario:

Im La circonferenza individua 3 regioni:

una interna, una esterna e una

sulla circonferenza stessa.

1 Re

modi di evoluzione sono gli stessi sia che si parli di evoluzione libera che di

Come già detto i

evoluzione forzata. Tuttavia per esaltare un modo di evoluzione si parte da una condizione iniziale

unitaria in evoluzione libera, il che equivale a considerare una condizione iniziale di ampiezza pari

a 1 posizionata sull’autovettore corrispondente all’autovalore considerato. In questo modo si isola

una particolare dinamica del sistema rispetto alle altre. 4

Lezione 6 18/10/2007

Cominciamo col considerare i modi di evoluzione asintoticamente stabili e quindi vediamo i vari

punti interni alla circonferenza in cui può trovarsi un auto valore:

1. Autovalore reale positivo In questo caso si ha un autovalore reale

positivo, ρ, con modulo minore di 1:

| | 1

la cui evoluzione sarà:

che corrisponde ad un modo di

evoluzione convergente dovuto al

modulo minore di 1.

Ovviamente consideriamo l’andamento

discretizzato.

Nel tempo continuo ciò che determina la velocità con cui il sistema converge è la costante

di tempo: 1

Calcoliamo qualcosa di molto simile nel tempo discreto: 1

ln

Affinché la dinamica sia veloce, la costante di tempo di deve essere piccola, il che

corrisponde in evoluzione tempo continuo all’allontanarsi dall’asse immaginario. Ma

| | 1

vediamo cosa succede nel tempo discreto: per dinamiche convergenti si ha e

ln diventi positivo e questo va bene perché

quindi è una quantità negativa; ciò fa si che 5

Lezione 6 18/10/2007

7

deve avere

non

n ha senso parlare di un

u tempo negativo.

n Af

ffinché sia

a piccolo si e un valore

e

gra nde per e ciò si avrà quand

do sarà piccolo

p e te

enderà a 0.

. Riepilogan

ndo quindi,

,

qua

anto più tende

t a 0, ovvero qua

anto più l’au

utovalore s

i allontana dalla circo

nferenza di

i

rag

gio unitari o, tanto più

ù sarà picco

ola la costa

nte di temp

po e il mo

odo di evolu

uzione sarà

à

più veloce:

2. Au

tovalore nell’origin

n e Al decre

escere di si avrà il cas

so limite:

Tale con

ncetto nel t

tempo discr

reto è reale

e

ed esist

te, mentre non esiste nel tempo

o

continu esto caso corrisponde

c e

o dove que

ad aver

e un polo in

n .

In quest

to caso ris

sulterà esse

ere pari a 0,

,

il che vuol dire che il fen

nomeno si

i

erà istanta

aneamente.

.

estingue

L’evoluz

zione quind

di partirà da

a 1 e andrà

à

immedi atamente a 0,

,

indipen dentement

te dall’inter

rvallo tra 2

campio

ni e anche

e se quest

o è molto

o

piccolo.

. 6

Lezione 6 18/10/2007

3. Autovalore complesso e coniugato a parte reale positiva

Per studiare questo caso c’è bisogno di

conoscere modulo e fase e non parte

reale e parte immaginaria in quanto la

forma corrispondente a questo modo di

evoluzione è:

θ cos sin

Anche in questo caso la convergenza e

la velocità sono date dalla funzione

, per cui la costante di tempo

potenza

rimane la stessa, e ciò vuol

dire che quanto più l’autovalore è vicino

al centro, tanto più veloce è il

fenomeno.

4. Autovalore complesso e coniugato a parte reale nulla

In questo caso l’autovalore, essendo a

parte reale nulla è un immaginario puro.

Nel tempo continuo tale caso

corrisponde a modi costanti mentre nel

tempo discreto si hanno modi con fase

°

90

pari a . 7

Lezione 6 18/10/2007

Chiaramente il grafico del modo di

evoluzione sarà simile al precedente ma

°

90 farà si che vengano presi

la fase di

solo un campione positivo, uno nullo,

uno negativo, uno nullo e così via.

5. Autovalore reale negativo Questo caso è simile al caso 1. con la

differenza che l’autovalore è negativo:

Riscritto in questa forma:

1

non è nient’altro che il modo di

evoluzione a parte reale positiva, solo

che ora se è pari si ottiene un

campione positivo, se è dispari si

ottiene un campione negativo.

Nota: questo modo non è oscillatorio perché non ha una componente immaginaria che

determina l’oscillazione ma viene detto alternato perché ha un campione positivo e

180°.

uno negativo. Inoltre può essere visto come un modo periodico con 8

Lezione 6 18/10/2007

Anche questo modo non ha l’equivalente nel caso continuo. Ovviamente la costante

.

di tempo rimane sempre

90° 180°

Nota: per si combina un modo di evoluzione visto per l’autovalore

1

complesso e coniugato più il perché è

nella parte negativa.

Studiamo adesso i modi di evoluzione instabili. Tutti questi modi hanno matematicamente la

stessa forma dei precedenti con la differenza che ora il modulo di è maggiore di 1:

| | 1

6. Autovalore reale positivo il modo di evoluzione sarà sempre

ma il modulo maggiore di 1 lo farà

divergere. 9

Lezione 6 18/10/2007

La velocità con cui diverge dipende sempre dalla posizione dell’autovalore rispetto alla

circonferenza unitaria: più è vicino più diverge lentamente, più si allontana più diverge

velocemente. Si può continuare a parlare di costante di tempo ma perde di significato

| | 1 ln sarà negativo.

sistemistico, in quanto essendo il sarà positivo e

Tuttavia conserva il significato matematico in quanto se considerato in valore assoluto da

comunque l’idea di quanto velocemente diverge il sistema.

Nota: da un punto di vista del controlli sta non ha molto senso parlare di velocità di

divergenza in quanto se il sistema diverge comunque no va bene,

indipendentemente da quanto velocemente lo fa.

7. Autovalore complesso e coniugato a parte reale positiva

anche in questo caso l’espressione del

modo di evoluzione è: sin

L’andamento sarà pseudoperiodico.

8. Autovalore complesso e coniugato a parte reale nulla

Come nel caso stabile si avrà un

campione positivo e uno nullo. 10

Lezione 6 18/10/2007

In pratica la fase di 90˚ fa si che il

campionamento sia sincrono rispetto al

passaggio sull’asse dei tempi.

9. Autovalore reale negativo Anche in questo caso il modo non sarà

oscillatorio perché manca la parte

immaginaria ma sarà alternato perché la

forma matematica sarà comunque:

1

Quindi in base al valore di si avrà un

campione positivo e uno negativo. 11

Lezione 6 18/10/2007

Come ultima analisi consideriamo i casi in cui gli autovalori sono proprio sulla circonferenza

unitaria, che corrispondono a modi costanti in quanto vale sempre:

| | 1

10. Autovalore reale positivo Il modo di evoluzione rimane:

ma essendo:

| | 1

varrà sempre 1.

Nel caso continuo corrisponde al

gradino.

11. Autovalore complesso e coniugato a parte reale positiva

Ovviamente anche qui l’espressione del

modo è : sin

e il modulo unitario genererà

l’andamento costante. 12

Lezione 6 18/10/2007

Nota: abbiamo visto che sia per modi convergenti che divergenti e costanti la forma

matematica del modo è la stessa, per cui facendo la scomposizione in fratti semplici

non ci si accorge della differenza: tutti avranno una parte reale e una immaginaria.

Ciò che li differenzia è il modulo, per cui bisogna calcolarlo per capire di che modo i

tratta.

12. Autovalore complesso e coniugato a parte reale nulla

Anche in questo caso la fase di 90˚ farà

prendere un campione positivo, uno

nullo, uno negativo, uno nullo e così via.

13. Autovalore reale negativo Al variare di k si avrà un campione

positivo e uno nullo, dando luogo ad un

modo alternato. 13

Lezione 6 18/10/2007

Stabilità e guadagno statico

A questo punto possiamo dare un definizione più precisa di stabilità:

un punto di equilibrio appartenente ad un segnale è stabile se:

0 0 . . 0 0 ,

In pratica, se si parte da un condizione iniziale molto vicina al punto di equilibrio

l’evoluzione rimarrà in un intorno del punto di equilibrio. In tal caso il punto si dirà stabile.

Inoltre il sistema si dirà asintoticamente stabile se vale anche:

lim 0

ovvero se all’infinito la distanza tra l’evoluzione e il punto di equilibrio si annulla, cioè il sistema si

ferma proprio nel punto di equilibrio.

Esempio: immaginiamo che un carrellino abbia un andamento del tipo:

B

0 14

Lezione 6 18/10/2007

0

A 0

Nel caso A, partendo dalla condizione iniziale , si rimane nell’intorno del punto di

equilibrio anche se non c’è attrito. Se invece ci fosse attrito il carrello si fermerebbe

proprio sul punto di equilibrio il quale si direbbe asintoticamente stabile.

Nel caso B invece il punto di equilibrio è instabile perché se si parte da una condizione

0

iniziale anche vicina al punto di equilibrio, l’evoluzione non rimarrà mai nel suo

intorno.

Questa definizione di stabilità tradotta nel sistema dinamico, tempo discreto, lineare e tempo

invariante, significa dire che il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori

della matrice A hanno modulo minore di 1.

Viceversa, se c’è almeno un autovalore maggiore di 1, il sistema è instabile.

Il sistema invece si dirà marginalmente stabile se ha un solo polo, ovvero un modo di evoluzione,

sulla circonferenza unitaria. Se la molteplicità di questo polo è maggiore di 1 il sistema diventa

instabile. Tuttavia questo concetto di instabilità e diverso da quello legato al modulo maggiore di

1: questo perché se il modulo è maggiore di 1 si ha una instabilità legata alla funzione potenza

1

con e quindi molto veloce nel divergere, se invece un auto valore con modulo unitario ha

molteplicità pari a 2, l’instabilità sarà legata alla funzione rampa che diverge più lentamente della

funzione potenza. Se la molteplicità fosse pari a 3, l’instabilità sarebbe legata alla funzione

parabola, comunque più lenta della