Lezione 6, Controlli Digitali

Sistemi lineari tempo invarianti

Riportiamo l'attenzione sui sistemi lineari tempo invarianti nella forma:

1, , , dove sono matrici costanti perché il sistema è tempo invariante ed in particolare il vettore è il vettore degli stati di dimensioni N, con N ordine del sistema dinamico. Il sistema ha scalari. La matrice un ingresso e una uscita e ciò vuol dire che e sono degli scalari o funzioni invece ha dimensione NxN, la matrice ha dimensione Nx1, la ha dimensione 1xN e la matrice ha dimensione 1x1 quindi è uno scalare.

Z-trasformata nei sistemi dinamici

Applichiamo la z-trasformata al sistema dinamico, tempo discreto, lineare, tempo invariante definendo in questo modo le trasformate dello stato, dell'ingresso e dell'uscita:

• Ovviamente manterrà le stesse dimensioni di , cioè un vettore di dimensione N.

Cominciamo col considerare la prima equazione del sistema:

1 Tenendo conto delle proprietà della z-trasformata già viste, in particolare della traslazione all'indietro si ottiene: 0 chiaramente c'è bisogno delle condizioni iniziali altrimenti si avrebbero infinite soluzioni. Mettendo in ordine si ottiene: 0 Mettendo in evidenza a destra tenendo conto che è una matrice e che quindi dovrà moltiplicare la matrice identità: 0

A questo punto si può notare come siamo passati da un sistema di equazioni alle differenze 1 …)( ad un sistema puramente algebrico in , così come accadeva nel tempo continuo passando al dominio della . Per ricavare bisogno tenere conto che è una matrice NxN e che può essere invertita, che è uno scalare e può essere tenuto a sinistra e che 0 è un vettore e deve andare necessariamente a destra: 0 1

Seconda equazione e z-trasformata

Ora si può considerare la seconda equazione e applicare la z-trasformata sfruttando le opportune proprietà:

• Infine si sostituisce l'espressione di in ottenendo il seguente sistema: 00

Questa espressione finale è l'analoga di quella che si otteneva nel tempo continuo con la al posto della . La è composta da 2 termini che rappresentano i contributi all'evoluzione del sistema: 0

Evoluzione del sistema

Evoluzione libera - Evoluzione forzata 0

L'evoluzione libera esprime l'andamento del sistema che parte da una condizione iniziale ed evolve senza forzamenti, liberamente. Si pensi ad esempio ad un pendolo che parte da una sua posizione inclinata e poi evolve, estinguendo la sua dinamica liberamente.

Diversamente, l'evoluzione forzata parte da condizioni iniziali nulle e descrive l'andamento del sistema sotto un forzamento, cioè l'ingresso.

Nota

Non bisogna dimenticare che stiamo trattando matrici e vettori per cui il termine dell'evoluzione libera rappresenta l'evoluzione libera delle N componenti dello stato a partire dalle condizioni iniziali mentre quello dell'evoluzione forzata rappresenta l'evoluzione delle N componenti dello stato forzate dall'ingresso .

Funzione di trasferimento

Si consideri il solo termine dell'evoluzione forzata:

La parte evidenziata è detta funzione di trasferimento (f.d.t.) e lega l'uscita di un sistema al suo ingresso in evoluzione forzata. La f.d.t. riguarda solo la risposta forzata perché parte da condizioni iniziali nulle. Ciò vuol dire che se c'è bisogno dell'evoluzione libera non occorre la f.d.t. ma le condizioni iniziali .

In entrambi i termini di compare lo stesso termine:

Che è l'inverso di una matrice, ovvero il rapporto tra la matrice dei cofattori trasposta e il determinante di . Ma il determinante di non è nient'altro che il polinomio caratteristico le cui soluzioni sono gli autovalori della matrice . Ma tali autovalori sono gli stessi che, nella scomposizione in fratti semplici vista in precedenza determinavano i modi di evoluzione del sistema. Risulta quindi chiaro che i modi di evoluzione del sistema dipendono dai valori della matrice . Tali osservazioni valgono sia per l'evoluzione libera che per quella forzata in quanto il termine è lo stesso, la differenza sta nel fatto che essendo un forzamento aggiunge delle dinamiche all'evoluzione forzata.

Puntualizzazione

Bisogna però fare una puntualizzazione: in realtà i 2 termini potrebbero evolvere alla stessa maniera ma non necessariamente lo fanno. Questo perché può verificarsi il fenomeno della cancellazione: consideriamo il termine dell'evoluzione libera: 0 Sappiamo