Lezione 5, Controlli Digitali

METODI PER LA Z‐ANTITRASFORMATA

1. Metodo della lunga divisione

E’ un metodo che può essere utilizzato quando antitrasformando la Z‐TRASFORMATA non interessa

conoscere tutta la sequenza x(k) ma solo un numero finito e relativamente piccolo di campioni (“…

tipicamente, vista la laboriosità, 3 o 4 campioni”).

Il punto di partenza è l’analisi delle possibili forme in cui si può presentare la Z‐TRASFORMATA :

2

0

Se realizzassimo la “divisione tra polinomi” allora otterremmo come risultato un ulteriore forma della Z‐

TRASFORMATA cioè la forma di un unico polinomio i cui termini sono genericamente

0,1,2, … ovvero coefficienti che, essendo , sono moltiplicati per “potenze ”

ad esponente nullo o negativo:

A questo punto confrontiamo la Z‐TRASFORMATA nella forma di sommatoria esplosa e la Z‐

TRASFORMATA nella forma di un unico polinomio:

0 2

Dall’uguaglianza di polinomi è evidente che i coefficienti sono proprio i campioni della sequenza x(k)

cercata con la Z‐ANTITRASFORMATA:

0 2 … 2

Lezione 5 15‐10‐2007

ESEMPIO: Metodo della lunga divisione

3 3

1 1 2

1 0.5 1 0.5

3

1 0.5 0.5 2

Ordiniamo il denominatore secondo potenze di z decrescenti e otteniamo la “forma z‐negative”

3

1 2.5 2 0.5

Portiamo in evidenza e otteniamo la “forma z‐positive”

3

2.5 2 0.5

Per trovare la sequenza associata alla Z‐TRASFORMATA assegnata, procediamo con il

“metodo della lunga divisione”:

3 2.5 2 0.5

3 7.5 6 1.5 3 7.5 12.75

0 7.5 6 1.5 0 3

7.5 18.75 15 3.75 1 7.5

2 12.75

0 12.75 13.5 3.75

Pertanto si reitera per calcolare i coefficienti a cui si è interessati della sequenza .

In generale dalla “divisione di polinomi”, a meno che il dividendo non sia multiplo o sottomultiplo del

divisore, si ottiene un polinomio, sempre rappresentativo della Z‐TRASFORMATA , che tipicamente

0,1,2, …

termini e che quindi può essere riscritto come sommatoria di termini

ha infiniti

laddove i coefficienti sono proprio i campioni della sequenza che stiamo cercando nota la

Z‐TRASFORMATA .

Osservazione: Nota la Z‐TRASFORMATA come conoscere il primo campione della

sequenza ?

E’ sufficiente applicare il teorema del valore iniziale! 3

Lezione 5 15‐10‐2007

2. Metodo computazionale

E’ il metodo che serve per individuare un algoritmo capace di calcolare in maniera ricorsiva i campioni

della sequenza ed in generale il k‐esimo campione in funzione dei campioni precedenti

Questa soluzione è indispensabile per programmare, con un efficiente algoritmo di controllo, un

microcontrollore PIC:

“in pratica ad ogni campione, il calcolatore si memorizza i campioni precedenti ed è in grado di

elaborare quello all’istante k”.

Di fatto il metodo ricorsivo non è altro che le “equazioni alle differenze” nell’analisi a tempo discreto,

cioè l’equivalente delle “equazioni differenziali” nell’analisi a tempo continuo, laddove si pone lo stato a

quel particolare momento ovvero (inteso come il singolo campione della sequenza

all’istante k) in funzione degli stati precedenti.

Supponiamo di disporre della Z‐TRASFORMATA nella forma razionale fratta:

Tale Z‐TRASFORMATA può essere riscritta come:

·

è Z‐TRASFORMATA dell’impulso unitario tempo discreto :

0 1, 0

0 0, 1,2,3 …

Portando al primo membro il polinomio al denominatore si riscrive la Z‐TRASFORMATA come:

· ·

Imponendo pari ad 1 e considerando l’operatore come ritardo unitario, la sequenza come la

Z‐ANTITRASFORMATA di e la sequenza come la Z‐ANTITRASFORMATA di , possiamo

riscrivere, antitrasformando, sotto forma di equazione alle differenze:

1 1

Da cui: 1 1 4

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ESEMPIO: Metodo computazionale 3

3

1 0.5 1 2 1 0.5

1 3

1 0.5 0.5 2

Ordiniamo il denominatore secondo potenze di z decrescenti e otteniamo la “forma z‐negative”

3

1 2.5 2 0.5

Tale Z‐TRASFORMATA può essere riscritta come

3 ·

1 2.5 2 0.5

Portando al primo membro il polinomio al denominatore si riscrive la Z‐TRASFORMATA come

1 2.5 2 0.5 · 3·

come ritardo unitario, ..., possiamo riscrivere, antitrasformando, sotto

Considerando l’operatore

forma di equazione alle differenze

2.5 1 2 2 0.5 3 3

Da cui 2.5 1 2 2 0.5 3 3

k 0

Nell’ipotesi che le condizioni iniziale per sono tali che

,

‐ e(k) = 0 0, 1,2,3 …

1 0

‐ 2 0

‐ 3 0

‐

Ricaviamo facilmente che:

k 0 x 0 3

k 1 x 1 2.5 0 7.5

k 2 x 2 2.5 1 2 0 12.75

k 3 x 3 2.5 2 2 1 0.5 0 18.375

…

Si ottengono dunque gli stessi risultati ottenuti con il precedente metodo della lunga divisione. 5

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3. Metodo della scomposizione in fratti semplici

Questa tecnica è l’analogo nel discreto della tecnica di scomposizione in fratti semplici utilizzata nel

continuo con le trasformate di Laplace.

Ipotizziamo una Z‐TRASFORMATA nella forma di rapporto di polinomi:

Poiché La Z‐TRASFORMATA è un operatore lineare è possibile scomporre la Z‐TRASFORMATA in

termini elementari che antitrasformati singolarmente e messi insieme ci permettono di ottenere la

sequenza cercata.

Prima di procedere, ricordiamo che siccome la Z‐TRASFORMATA delle funzioni elementari (rampa,

sinusoide,…) presenta sempre una z al numeratore allora risulta conveniente effettuare la Z‐

ANTITRASFORMATA di:

1 " "

I possibili casi che si possono presentare e che analizzeremo uno alla volta sono:

,

1. caso dei poli semplici (

1.1. reali distinti

1.2. complessi e coniugati ,

2. caso dei poli a molteplicità maggiore di 1 (

2.1. reali

2.2. complessi e coniugati 6

Lezione 5 15‐10‐2007

3. ESEMPIO: Caso dei poli semplici reali distinti

10

2 5

Risulta conveniente valutare la Z‐TRASFORMATA

10

2 5 2 5

Calcoliamo le costanti A, B, C

• A

Moltiplichiamo ambo i membri per z e valutiamo il limite per z che tende a 0

10

lim z lim z z

2 5 2 5

10

lim lim z z

2 5 2 5

10

2·5

• B 2

Moltiplichiamo ambo i membri per e valutiamo il limite per z che tende a ‐2

10

lim 2 lim 2 2

2

2 5 2 5

10

lim lim 2 2

5 5

2 10

2 2 5

• C 5

Moltiplichiamo ambo i membri per e valutiamo il limite per z che tende a ‐5

10

lim 5 lim 5 5 5

2 5 2 5

10

lim lim 5

5 2

2

5 10

5· 5 2

Di conseguenza possiamo riscrivere la Z‐TRASFORMATA come

1 2 1 2

2 5 2 5

1 2 2 5

Antitrasformando il risultato ottenuto si ha che la sequenza cercata è

2 2 5 7

Lezione 5 15‐10‐2007

4. ESEMPIO: Caso dei poli semplici complessi e coniugati

10

1 1

2

Risulta conveniente valutare la Z‐TRASFORMATA

10 10

1 1 1 1

1 1

2 2 2

Calcoliamo le costanti A, B, C

• A

Moltiplichiamo ambo i membri per e valutiamo il limite per che tende a

1 10 1 1

· lim

lim 1 1

2 2 2 1

1

2 2

10 1

lim lim

1 2 1

10

1 1 1

4 2

• B ∞

Moltiplichiamo ambo i membri per e valutiamo il limite per z che tende a

10

lim lim

1 1 1

1

2 2

0

• C

Valutiamo, ambo i membri, il limite per z che tende a 0

10

lim lim

1 1 1

1

2 2 80

20 2 2 20 20

7

Di conseguenza possiamo riscrivere la Z‐TRASFORMATA come

40 1 20 2 3

1

7 7 1

2

40 20 2 3

1

7 7 1

2 8

Lezione 5 15‐10‐2007

A meno della costante e della z moltiplicativa, il termine vorremmo scriverlo come

e per farlo calcoliamo le radici del polinomio al denominatore

1 4 1 √3

√1

1 0 , ,

2 2 2

Di conseguenza 2 3

2 3 1 1 √3

2 2

Al numeratore sostituiamo a z il termine

1 1 1 1 1

2 3 2 1 3 2 1 3 2 2

2 2 2 2 2

√3 √3 √3 √3

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2

2

2 1 √3 1 √3

2 2 2 2

A questo punto il solo termine vorremmo scriverlo come e per farlo lo

√

√

moltiplichiamo e dividiamo per √3 √3

2 2 4

2 2

2 √3 √3

1 √3 1 √3 1 √3

2 2 2

2 2 2

1 √3

4

2 2

2 √3

1 √3 1 √3

2 2

2 2

Per cui possiamo riscrivere la Z‐TRASFORMATA come

1 √3

40 20 4

2 2

2

1

7 7 √3

1 √3 1 √3

2 2 2

2 2

1 √3

40 20 4

2 2

2

1

7 7 √3

1 √3 1 √3

2 2 2 2 2 9

Lezione 5 15‐10‐2007

A questo punto possiamo caratterizzare la sinusoide e la cosinusoide, infatti:

1 3 1 " ."

4 4

√3

2

tan tan tan 60°

√3

1

2

Antitrasformando il risultato ottenuto si ha che la sequenza cercata è

40 1 20 4

2 cos 60 sin 60

7 2 7 √3

E’ evidente che questa soluzione seppur valida non è affatto adatta ad essere impiegata per

programmare un microcontrollore laddove invece resta inevitabilmente più efficiente la soluzione

computazione vista precedentemente. 10