Lezione 10 11 Mercati finanziari

Il problema a questo punto è valutare l’opzione (letterale, B-C-D-E-F) per

arrivare ad avere il valore dell’opzione A;

Si parte quindi dalla valutazione dell’opzione ai nodi finali (sempre a ritroso),

che semplicemente si fa (Valore Azione – Prezzo Strike) es- E= 52-48= 4.

si nota che al di sopra di 52 (strike) il valore dell’opzione vale 0,0, ma

N.B 

perché la quotazione è al di sopra, quindi chiaramente non si esercita (essendo

una Put, e quindi ci si aspetta un ribasso);

Ma ci si chiede a questo punto negli stadi intermedi, come si calcola il valore

della Put in T-O Direttamente?

Semplicemente applicando le formule adatte al calcolo della Put che è:

è una formula che è coerente con il principio di valutazione

N.B. Questa

neutrale verso il rischio. Infatti le variabili p , 2p(1-p), (1-p) sono le probabilità

2 2

di raggiungere i nodi finali superiore, intermedio e inferiore. C’è da dire quindi

che il prezzo dell’opzione è uguale al suo valore atteso in un mondo neutrale

verso il rischio attualizzato al tasso risk-free.

In riferimento a quanto già visto con l’albero binomiale nel caso di una

N.B. 2 

Call, il valore dell’opzione si può calcolare semplicemente utilizzando

l’opportuna formula generale:

e dove poi per semplicità si illustra anche la Probabilità neutrale verso il rischio:

Iniziando:

con il calcolo in termini numerici della probabilità neutrale ci darà come

1. risultato: p= 0,6282 (e -0,8)/(1,2-0,8);

5%x1



Dopodiché si passa a determinare il valore dell’opzione negli stadi

2. intermedi (up-60, down-40): sapendo che nei movimenti Up-Up, Up-

Down, Down-Down il valore dell’opzione è determinato facendo una

semplicissima differenza fra lo strike ed il prezzo finale, sono (0,4,20);

Continuando utilizzando (per semplicità ed abitudine) la relazione del

3. 

N.B.2 ed “iterando” ogni passaggio si arriva al valore in T-O, infatti:

f f + (1­p) f

- si parte determinando e [p ] = 1,4147;

-rt



u uu ud

f e f + (1­p) f

­rt

- dopodiché naturalmente si determina [ p ] = 9,4636



d du dd

4. ed infine si arriva a determinare il valore dell’opzione in T-0:

e f + (1­p) f

­rt [p ] = 4,1923

f  u d

Ma dove quest’ultima del punto 4 si poteva fare direttamente saltando i

passaggi intermedi, ed utilizzando la relazione diretta sopra descritta nel N.B 1.

Tutte le Opzioni che si è considerati fino ad ora erano Europee, ma in questo

caso, conoscendo anche le Opzioni Americane, ci si chiede… Se la Put è

Americana??

In questo caso, avendo già una discreta conoscenza delle Opzioni americane, si

sa che esse consentono “l’esercizio anticipato”, cioè non si è costretti ad

arrivare alla scadenza del contratto, ma si può uscire “quando si vuole”

(naturalmente la scelta è legata dal fatto della convenienza); Ancora.. si può

si deve verificare

dire che se c’è convenienza ad effettuare

ad ogni nodo

l’esercizio anticipato;

Naturalmente i prezzi dell’azione e le rispettive probabilità non cambiano

rispetto all’albero binomiale di prima, ma per illustrare meglio il problema si va

a gradi:

1. non cambia il valore dell’opzione nei nodi finali;

prendendo in considerazione il nodo B, si nota che il valore dell’opzione

2. in quel nodo (precedentemente calcolato) è uguale a 1,4147; in questo

caso, in caso di esercizio anticipato , il valore dell’opzione sarebbe dato

tra (Strike – Prezzo intermedio 52­60) ­8.

dalla Tutto ciò ci fa

differenza  

capire come non sia conveniente esercitare anticipatamente perché si

subirebbe un’ulteriore perdita;

prendendo in considerazione il nodo C, si nota che il valore dell’opzione

3. in quel nodo (precedentemente sempre calcolato) è uguale a 9,4636, ma

effettuando l’esercizio anticipato, si può notare come si arriva ad una

certa “convenienza” nel farlo; infatti eseguendo sempre la tra

differenza

(strike – Prezzo intermedio 52 – 40) +12. Tutto ciò ci fa intuire una

 

certa convenienza nell’esercitare anticipatamente.

In questo caso, se si esercita anticipatamente per la convenienza nel

4. farlo, si altera il valore del Nodo A che fa riferimento al valore in T-0;

effettivamente andando a ripetere l’operazione di calcolo del valore

dell’opzione: e f + (1­p) f

­rt [p ] = 5, 0894

f 

 u d

Questo risultato è frutto del cambiamento del valore f ;

d

Mentre nel caso in cui si fa l’esercizio sarà pari a 2$ ( -Qc + Strike 52-

5. 

50, ), l’esercizio anticipato non conviene e il

considerato come valore intrinseco

valore dell’opzione quindi oggi è 5,0894.

parametro

A questo punto si presenta il utile come nella valutazione e

Delta,

copertura delle azioni.

“Il delta Δ quindi è il rapporto tra la variazione del prezzo dell’opzione e la

variazione del prezzo dell’azione sottostante.”

Esso rappresenta il numero di unità dell’azione che dobbiamo possedere per

ogni opzione venduta allo scoperto, per creare un Hedge privo di rischio. C’è da

Δ

dire che il valore di varia da nodo a nodo, e quindi tutto ciò implica che ad

ogni nodo bisogna “aggiustare” la quantità di azioni, per mantenere un Hedge

privo di rischio.

Δ

Il di una call è positivo, mentre il Δ di una put è negativo.

Per esempio, prendendo in riferimento il Modello Binomiale ad uno stadio che

avevamo fatto in precedenza, in quel caso si prendeva come riferimento delle

posizioni, una lunga in Δ azioni ed una corta su una call. In quel caso per

determinare il delta Δ, che ci serviva prettamente per determinare un valore

privo di rischio,

che rendeva il portafoglio il calcolo era semplice, bastava infatti

prendere le variazioni del prezzo dell’opzione (1,0) e rapportarle con le

variazioni di prezzo delle azioni (22,18) per ottenere un risultato (sicuramente

positivo), ma che corrispondeva anche alla durata del contratto stesso

(trimestrale).

Si passa ora a parlare della Valutazione delle Opzioni su Azioni secondo Black &

Scholes; senza

si presenta come una valutazione di opzioni (Call o Put) europee su titoli

dividendi.

I modelli di valutazione delle opzioni su azioni richiedono che si facciano ipotesi

sul modo in cui i prezzi delle azioni si evolvono nel tempo.

Variabili:

1)Prezzo azione (S0);

2)prezzo esercizio (Ke);

3)tasso interesse (r);

4)tempo (T);

5)volatilità (σ) :

i dati sono osservabili tranne la volatilità

• Volatilità dato da stimare: ma utilizzo la volatilità storica oppure quella

• implicita?

E quindi in rassegna si possono scrivere le formule di Black e Scholes:

Queste formule di Call e Put servono

per determinare il valore corretto

dell’opzione (fair per vedere se il

value),

mercato le sopravvaluta o le

sottovaluta. Sono modelli di pricing. C’è

da dire che se non c’è questo

valore d’equilibrio

allineamento con il

(fair value), c’è opportunità di arbitraggio

dove: