Lezione 10 11 Mercati finanziari

Lezione 10/11/2015 mercati finanziari

Introduzione agli alberi binomiali

Continuando il discorso, si passa ad esaminare il caso in alberi binomiali, con riferimento a una put (chiaramente di tipo europeo). Si considera una put con strike di 52$, scritta su un'azione il cui prezzo corrente è di 50$. Si suppone che ci siano due intervalli temporali di 1 anno, e che in ciascun arco temporale il prezzo dell'azione salga in misura pari al 20% o scenda in misura sempre del 20%, e si ha quindi un movimento Up = 1,2 (60 x 20%) e Down = 0,8 (40 x 20%).

Analisi del movimento dell'opzione

Considerando questo albero binomiale, ragioniamo in senso opposto rispetto al tasso risk-free del 5%; all'esempio di una call. Infatti, in questo caso l'opzione si valuta come nel caso della call, anche qui si ragiona a "ritroso". Analizzando i movimenti, è normale stabilire che (prendendo in considerazione uno strike di 52$), distinguiamo i seguenti "movimenti":

• Movimento Up = 60
• Movimento Up-Up = 60 x 1,2 = 72
• Movimento Up-Down = 60 x 0,8 = 48
• Movimento Down = 40
• Movimento Down-Up = 40 x 1,2 = 48
• Movimento Down-Down = 40 x 0,8 = 32

Il problema a questo punto è valutare l'opzione (letterale, B-C-D-E-F) per arrivare ad avere il valore dell'opzione A. Si parte quindi dalla valutazione dell'opzione ai nodi finali (sempre a ritroso), che semplicemente si fa (Valore Azione – Prezzo Strike) es- E = 52-48 = 4.

Si nota che al di sopra di 52 (strike) il valore dell'opzione vale 0, perché la quotazione è al di sopra, quindi chiaramente non si esercita (essendo una put, e quindi ci si aspetta un ribasso). Ma ci si chiede a questo punto, negli stadi intermedi, come si calcola il valore della put in T-O direttamente?

Calcolo del valore della put

Semplicemente applicando le formule adatte al calcolo della put che è coerente con il principio di valutazione neutrale verso il rischio. Infatti le variabili p, 2p(1-p), (1-p) sono le probabilità di raggiungere i nodi finali superiore, intermedio e inferiore. C'è da dire quindi che il prezzo dell'opzione è uguale al suo valore atteso in un mondo neutrale verso il rischio attualizzato al tasso risk-free.

Confronto con il calcolo dell'opzione call

In riferimento a quanto già visto con l'albero binomiale nel caso di una call, il valore dell'opzione si può calcolare semplicemente utilizzando l'opportuna formula generale. Per semplicità si illustra anche la probabilità neutrale verso il rischio iniziando con il calcolo in termini numerici della probabilità neutrale.