Leggi fondamentali dei circuiti

LKC: nodi e pseudonodi

La LKC può essere formulata anche per superfici che comprendono più nodi: tali superfici non devono però mai tagliare la superficie limite (l'involucro) dei bipoli.

31 2 42 53iii i342 v5vv S 5321 vv 4 61 6v 4 ii 5 61 + + + =

Su S (include i nodi 2 e 5): i i i i 01 2 3 6

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LKC e legge di conservazione della carica

La LKC è una conseguenza della legge di conservazione della carica.

i2 La carica totale all'interno di una superficie chiusa è ii 31 costante. Σ Σ

La somma delle correnti entranti in deve in ogni istante essere uguale a quella delle correnti uscenti. + =

i i i1 2 3

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Legge di

Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKT)

Per ogni maglia la somma algebrica delle tensioni è, in ogni istante, uguale a zero.

Fissato un verso di percorrenza della maglia (ed il riferimento per la tensione su ogni bipolo), si considera con il segno la tensione che si incontra concordemente con il verso di percorrenza e con il segno incontra in verso opposto.

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Legge di Kirchhoff per le tensioni

13 22 4 253 vv v53 21v 44 6 v v6v 1 445 5- - + = - + =v v v v 0 v v v 04 3 5 6 4 2 1

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Legge di Kirchhoff per le tensioni

32 453+ + vv+ 53v4 6v4 6+5 - - + =v v v v 04 3 5 6

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Caratteristiche matematiche delle LK

Le LKC e LKT non dipendono dalla struttura interna dei componenti, ma solo dal modo in cui essi sono collegati (topologia del circuito).

Si tratta di equazioni lineari, algebriche ed a coefficienti costanti.

-i1 + i4 + i6 = 0

-v0 + v3 + v5 + v6 = 0

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Caratteristiche matematiche delle LK

Una equazione di un sistema si dice indipendente quando non contiene informazioni già contenute in altre equazioni del sistema.

x1 - x3 - x4 = 0

Sommando le due equazioni

x2 - x3 + x4 = 0

Equazione non indipendente

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Equazioni indipendenti

Condizione sufficiente per avere un sistema di equazioni linearmente indipendente

Un sistema è linearmente indipendente se ogni equazione di un sistema contiene una incognita in esclusiva.

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Leggi di Kirchhoff indipendenti

31 2 42 53

iii i

342 v5

vv 532

v1 v4 61 6v 4 ii 5 61

Legge di Kirchhoff per le correnti: se ne possono scrivere almeno tante quanti sono i nodi.

Legge di Kirchhoff per le tensioni: se ne possono scrivere tante quante sono le maglie.

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LKC indipendenti

31 2 42 53

iii i

342 v5

vv 532

1 vv 4 61 6v 4 ii 5 61 Non tutte le LKC sono indipendenti

− + + =i i i 0nodo 2: 1 3 4 Equazione non

− − =i i i 0nodo 5:

indipendente1 3 4

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LKC indipendenti– + + =i i i 0

nodo 2: 1 3 4– – =

nodo 5: i i i 01 3 4

L’equazione al nodo 5 coincide, a meno del segno, con quella scritta per il nodo 2. Pertanto, essa non fornisce alcuna informazione aggiuntiva rispetto alla prima equazione.

Il sistema delle due equazioni risulta linearmente dipendente

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1 2

Esempio IIR R3

11 3 R5

RE 4+ I JI I4 2 5

LKC 3– + + =I I I 0

Nodo 1 1 3 4– – =I I I 0

Nodo 2 2 3 5+ – + =I I I I 0

Nodo 3 1 2 4 5

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– + + =I I I 0

Nodo 1

1 3 4− − − =I I I 0Nodo 2 2 3 5+ − + =I I I I 0Nodo 3 1 2 4 5La LKC al nodo 3 coincide con la sommacambiata di segno (combinazione lineare) delleLKC ai nodi 1 e 2.Essa è una equazione dipendente in quanto nonfornisce alcuna informazione aggiuntiva.Il sistema di equazioni si dice linearmentedipendente.Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di SalernoCorso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/20051 2 Eliminandol’equazione alIIR R31 nodo 3 (o una1 3 R5R qualunque delleE 4 altre due) il+ I JI I4 2 sistema che si5 ottiene risulta3− + + = linearmenteI I I 0Nodo 1 indipendente.1 3 4− − =I I I 0Nodo 2 2 3 5+ − + =Nodo 3 I I I I 01 2 4 5Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di SalernoCorso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/20051 2 Nessuna equazionerisultaIIR R311 3 combinazioneR5RE lineare delle

altre4+ I equazioni.JI I4 2 53 Ogni equazione− + + = 0I I INodo 1 contiene almeno1 3 4− − − = una incognita0I I INodo 2 2 3 5 in esclusiva.

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Numero di LKC indipendenti

L’esempio consente di esprimere il principiogenerale:

In un circuito con n nodi si possono scriveren-1 indipendentiLKC .

Regola pratica:

Numerati i nodi da 1 a n si può eliminare laequazione LKC scritta per il nodo n-esimo.

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LKT indipendenti

Non tutte le LKT sono indipendenti

1 2++ + IIR R31 31 M2 R 5RE M1 4 ++ I JI I4 2 53 M2M1 − + + =− − − = V V V 0V V V 0 R J R3 4E R1 R 4

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IIR R311

R5RE

4+ I JM3M4 I I4 2 53- + =V V 0M3 j R 5- - - + =V V V V 0M4 E R1 R3 R5

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Raggruppando:

- - - =V V V 0M1 E R1 R 4- + + =V V V 0M2 R 3 J R 4- + =V V 0M3 J R 5- - - + =V V V V 0M4 E R R R1 3 5

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La LKT alla maglia M4 coincide con la somma (combinazione lineare) delle LKT alle magl