Leggi di Newton

Componenti di forza

P P PIn componenti: ma = F, ma = F, ma = F.

Unità

Unità: kg·m/s², che nel sistema SI è chiamato newton (N).

Forza peso

La forza peso è dovuta all'attrazione gravitazionale che la terra esercita su tutti i corpi.

Vicino alla superficie terrestre, un corpo di massa m risente di una forza peso P diretta verso il centro della terra: P = mg.

L'accelerazione dovuta alla gravità è indipendente dalla massa del corpo (vedere la II Legge di Newton).

Massa e peso

La massa e quello che chiamiamo "peso" sono due quantità differenti!

• Il peso è uguale alla grandezza della forza gravitazionale esercitata su di un oggetto.
• Il peso varia da luogo a luogo.
• La massa di un oggetto è sempre la stessa dappertutto.

Sono invece uguali la massa gravitazionale e la massa inerziale (ovvero: la massa che appare nell'espressione della forza di gravità è uguale alla massa che appare nella seconda legge di Newton).

Forza normale (o reazione vincolare)

Quando due corpi entrano a contatto essi esercitano l'uno sull'altro forze di contatto.

Se le superfici dei corpi sono prive di attrito, le forze di contatto sono dirette sempre normalmente (perpendicolarmente) ad esse.

Oggetti in equilibrio

Se l'accelerazione di un oggetto, modellizzato come una particella, o come punto materiale, è nulla, si dice che l'oggetto è in equilibrio.

Matematicamente: la forza totale agente su di un oggetto in equilibrio è nulla, quindi X ma = F = 0 ovvero X X XF = F = F.

Siamo in presenza di un problema di Statica.

Terza legge di Newton

Se il corpo 1 esercita sul corpo 2 una forza F, il corpo 2 esercita sul corpo 1 una forza di modulo e direzione uguale e verso opposto: -F = F.

Le forze F e -F formano una coppia di azione e reazione. Il significato profondo della terza legge è che le forze sono dovute ad interazioni fra i corpi:

• Le forze sono sempre presenti a coppie.
• Una forza singola isolata non può esistere.
• Le forze di azione e di reazione agiscono su oggetti differenti.

Esempio di coppie di azione e reazione

La forza che il martello esercita sul chiodo è uguale e contraria alla forza che il chiodo esercita sul martello; lo stesso vale per la forza che il chiodo esercita sul muro e viceversa.

• La forza normale (tavola sul monitor) è la reazione alla forza che il monitor esercita sul tavolo.
• La forza (di azione) che la Terra esercita sul monitor è uguale in grandezza e opposta in direzione alla forza (di reazione) che il monitor esercita sulla Terra.

Applicazioni delle leggi di Newton

Assunzioni

• Gli oggetti possono essere modellizzati come particelle.
• Fili e corde hanno comportamento ideale.
• Consideriamo (per ora) superfici senza attrito.

Fili e corde: Tensione

• Una corda tesa è in grado di trasmettere una forza al corpo al quale viene fissata: tale forza è detta tensione.
• La tensione è sempre diretta come la corda ed è applicata al punto di attacco della corda stessa.
• Una corda ideale ha massa trascurabile ed è inestensibile.
• In una corda ideale, la tensione viene trasmessa inalterata da punto a punto della corda stessa.

Come risolvere problemi di dinamica

• Schematizzare il problema – fare un diagramma.
• Analizzare e classificare il problema: Equilibrio (Σ F = 0) o Seconda Legge di Newton (ΣF = ma)?
• Disegnare diagrammi di corpo libero per ogni oggetto, includendo tutte e sole le forze che agiscono su quell'oggetto.
• Scegliere un sistema di coordinate appropriato; assicurarsi che le unità siano consistenti; applicare la o le equazioni appropriate in forma di componenti; risolvere per la o le incognite.
• Verificare la consistenza dei risultati con i diagrammi di corpo libero; verificare i casi limite.

Diagramma di corpo libero

In un diagramma di corpo libero, si raffigurano solo le forze che agiscono su di un particolare oggetto.

Esempio: la forza normale e la forza di gravità sono le sole forze che agiscono sul monitor. Tutte le altre forze in gioco agiscono su altri oggetti.

Esercizio: equilibrio

Semaforo di peso 122N; i cavi 1 e 2 si rompono se la forza eccede 100N: si romperanno?

• Schematizziamo il semaforo.
• Classifichiamo come problema di equilibrio (nessun moto, accelerazione nulla).
• Analizziamo il problema: servono due diagrammi di corpo libero, uno per il semaforo e uno per il nodo.

Esercizio: equilibrio (2)

• Equazione di equilibrio per il semaforo: T = F = 122 N
• Applichiamo l’equazione di equilibrio: T + T + T = 0 al nodo, ovvero, in componenti:
  • -T₁cos(37°) + T₂cos(53°) = 0
  • T₁sin(37°) + T₂sin(53°) = T₃
• Risolviamo:
  • T₂ = T₁cos(37°)/cos(53°); T₁(sin(37°) + 1.33 sin(53°)) = 122 N
  • T₁ = 73.4 N, T₂ = 97.4 N

Oggetti sottoposti ad una forza totale non nulla

• Se un oggetto subisce un'accelerazione, ci deve essere una forza totale non nulla che agisce su di esso.
• Disegnate un diagramma di corpo libero.
• Applicate la Seconda Legge di Newton a tutte le componenti vettoriali.

Disco di massa m = 0.30 kg: accelerazione?

a_x = (F_1x + F_2x)/m = 29 m/s²

a_y = (F_1y + F_2y)/m = 17 m/s²

|a| = 34 m/s², θ = arctan(a_y/a_x) = 30°

Esempio (senza attrito)

• Forze agenti sull’oggetto:
  • La tensione T della corda,
  • La forza gravitazionale, F_g
  • La forza normale, n, esercitata dal pavimento
• Applicare la seconda legge di Newton alle componenti, risolvere
  • Σma_x = F_x = T_x
  • 0 = F_y = n - F_g, n = F_g

Se T è costante, anche a è costante e il moto è uniformemente accelerato.

Esempio: macchina di Atwood

• Forze agenti sugli oggetti:
  • Tensione T (la stessa per i due oggetti: un solo filo)
  • Forza gravitazionale
• Ogni oggetto ha la stessa accelerazione in quanto connesso dal filo all'altro.
• Soluzione: Disegnare il diagramma di corpo libero, applicare legge di Newton, risolvere per le incognite.

Esempio: macchina di Atwood (2)

• -m₁a_y = T - m₁g
• -m₂a_y = m₂g - T
• Sommiamo le due equazioni:
  • m₁a_y + m₂a_y = m₂g - m₁g
  • a_y = (m₂ - m₁)g / (m₁ + m₂)
• Sostituendo l'ultima equazione nella prima: T = (2m₁m₂)g / (m₁ + m₂)

Esempio 2: Oggetti multipli

• Consideriamo per prima cosa il sistema nel suo insieme: Σma_x = F_tot,x
• Applichiamo la Legge di Newton ai singoli blocchi
• Risolviamo le incognite
• Verifica: P₂₁ = P₁₂ (è una coppia azione-reazione)

Esempio 2: Oggetti multipli (2)

Per il sistema nel suo insieme: F_x = a (m₁ + m₂) (come per un blocco unico di massa m₁ + m₂).

Per il blocco 2: m₂a_x = P₁₂, da cui P₁₂ = F m₂ / (m₁ + m₂).

Per il blocco 1: -m₁a_x = F - P₂₁, da cui P₂₁ = P₁₂.