Leggi di Newton

P P P

In componenti: ma = F , ma = F , ma = F .

x x y y z z

2

• Unità: kg·m/s , che nel sistema SI è chiamato newton (N).

Forza peso

• La forza peso è dovuta all’attrazione

gravitazionale che la terra esercita su

tutti i corpi

• Vicino alla superficie terrestre, un

corpo di massa m risente di una forza

~

peso P diretta verso il centro della

terra: ~

P = m~g

L’accelerazione dovuta alla gravità è indipendente dalla massa del corpo

(vedere la II Legge di Newton)

Massa e peso

La massa e quello che chiamiamo “peso” sono due quantità differenti!

• Il peso è uguale alla grandezza della forza gravitazionale esercitata su

di un oggetto

• Il peso varia da luogo a luogo

• La massa di un oggetto è sempre la stessa dappertutto

Sono invece uguali la massa gravitazionale e la massa inerziale

(ovvero: la massa che appare nell’espressione della forza di gravità è

uguale alla massa che appare nella seconda legge di Newton)

Forza normale (o reazione vincolare)

• Quando due corpi entrano a contatto essi esercitano l’uno sull’altro

forze di contatto

• Se le superfici dei corpi sono prive di attrito, le forze di contatto sono

dirette sempre normalmente (=perpendicolarmente) ad esse

Oggetti in Equilibrio

• Se l’accelerazione di un oggetto, modellizzato come una particella, o

come punto materiale, è nulla, si dice che l’oggetto è in equilibrio.

• Matematicamente: la forza totale agente su di un oggetto in equilibrio

è nulla, quindi X ~

m~a = F = 0

ovvero X X X

F = F = F

x y z

• Siamo in presenza di un problema di Statica.

Terza Legge di Newton

Se il corpo 1 esercita sul corpo 2 una

~

forza F , il corpo 2 esercita sul corpo 1

12

una forza di modulo e direzione uguale

e verso opposto:

~ ~

−

F = F

21 12

~ ~

F e F formano una coppia di azione e reazione. Il significato profondo

12 21

della terza legge è che le forze sono dovute ad interazioni fra i corpi:

– Le forze sono sempre presenti a coppie

– Una forza singola isolata non può esistere

– Le forze di azione e di reazione agiscono su oggetti differenti

Esempio di coppie di Azione e Reazione

La forza che il martello esercita sul chiodo

è uguale e contraria alla forza che il chiodo

esercita sul martello; lo stesso vale per la

forza che il chiodo esercita sul muro e

viceversa

• La forza normale (tavola sul monitor)

è la reazione alla forza che il monitor

esercita sul tavolo

• La forza (di azione) che la Terra

esercita sul monitor è uguale in

grandezza e opposta in direzione alla

forza (di reazione) che il monitor

esercita sulla Terra)

Applicazioni delle Leggi di Newton

Assunzioni:

• Gli oggetti possono essere modellizzati come particelle

• Fili e corde hanno comportamento ideale

• Consideriamo (per ora) superfici senza attrito

Fili e corde: Tensione

• Una corda tesa è in grado di trasmettere una forza al corpo al quale

viene fissata: tale forza è detta tensione

• La tensione è sempre diretta come la corda ed è applicata al punto di

attacco della corda stessa

• Una corda ideale ha massa trascurabile ed è inestensibile

• In una corda ideale, la tensione viene trasmessa inalterata da punto a

punto della corda stessa

Come risolvere problemi di dinamica

• Schematizzare il problema – fare un diagramma

• Analizzare e classificare il problema:

~ ~

– Equilibrio (Σ F = 0) o Seconda Legge di Newton (Σ

F = m~a )?

• Disegnare diagrammi di corpo libero per ogni oggetto, includendo

tutte e sole le forze che agiscono su quell’oggetto!

• Scegliere un sistema di coordinate appropriato;

assicurarsi che le unità siano consistenti;

applicare la o le equazioni appropriate in forma di componenti;

risolvere per la o le incognite.

• Verificare la consistenza dei risultati con i diagrammi di corpo libero;

verificare i casi limite.

Diagramma di Corpo Libero

In un diagramma di corpo libero, si raffigurano solo le forze che agiscono

su di un particolare oggetto.

Esempio: la forza normale e la forza di

gravità sono le sole forze che agiscono

sul monitor. Tutte le altre forze in

gioco agiscono su altri oggetti

Esercizio: equilibrio

Semaforo di peso 122N; i cavi 1

e 2 si rompono se la forza eccede

100N: si romperanno?

• Schematizziamo il semaforo

• Classifichiamo come problema

di equilibrio (nessun moto,

accelerazione nulla)

• Analizziamo il problema:

servono due diagrammi di

corpo libero, uno per il

semaforo e uno per il nodo

Esercizio: equilibrio (2)

• Equazione di equilibrio per il

semaforo: T = F = 122 N

3 g

• Applichiamo l’equazione di

~ ~ ~

equilibrio: T + T + T = 0 al

1 2 3

nodo, ovvero, in componenti:

◦ ◦

−T cos(37 ) + T cos(53 ) = 0

1 2

◦ ◦

T sin(37 ) + T sin(53 ) = T

1 2 3

• Risolviamo: ◦

cos(37 ) ◦ ◦

T = T = 1.33T ; T (sin(37 ) + 1.33 sin(53 )) = 122 N;

2 1 1 1

◦

cos(53 )

T = 73.4 N, T = 97.4 N

1 2

Oggetti sottoposti ad una forza totale non nulla

• Se un oggetto subisce un’accelerazione, ci deve essere una forza totale

non nulla che agisce su di esso

• Disegnate un diagramma di corpo libero

• Applicate la Seconda Legge di Newton a tutte le componenti vettoriali

Disco di massa m = 0.30 kg: accelerazione?

F + F

1x 2x 2

a = = 29 m/s

x m

F + F

1y 2y 2

a = = 17 m/s

y m a

y ◦

2

|~a

| = 34 m/s , θ = arctan = 30

a

x

Esempio (senza attrito)

• Forze agenti sull’oggetto:

~

– La tensione T della corda,

~

– La forza gravitazionale, F

g

– La forza normale, ~n

, esercitata dal

pavimento

• Applicare la seconda legge di Newton

alle componenti, risolvere

X

ma = F = T

x x

X − →

0= F = n F n = F

y g g

~

Se T è costante, anche ~a è costante e il moto è uniformemente accelerato

Esempio: macchina di Atwood

• Forze agenti sugli oggetti:

~

– Tensione T (la stessa per i due

oggetti: un solo filo)

– Forza gravitazionale

• Ogni oggetto ha la stessa

accelerazione in quanto connesso

dal filo all’altro

• Soluzione: Disegnare il diagramma di corpo libero, applicare legge di

Newton, risolvere per le incognite.

Esempio: macchina di Atwood (2)

• −

Oggetto 1: m a = T m g

1 y 1

• −

Oggetto 2: m a = m g T

2 y 2

• Sommiamo le due equazioni:

−m

m a + m a = g + m g,

1 y 2 y 1 2

da cui

−

m m

2 1

a = g

y m + m

1 2

2m m

1 2

• g

Sostituendo l’ultima equazione nella prima: T = m + m

1 2

Esempio 2: Oggetti multipli

• Consideriamo per prima cosa

il sistema nel suo insieme:

X

m a = F

tot x x

• Applichiamo la Legge di

Newton ai singoli blocchi

• Risolviamo le incognite

~ ~

−

Verifica: P = P (è una coppia azione-reazione)

21 12

Esempio 2: Oggetti multipli (2)

Per il sistema nel suo insieme: F

a =

x m + m

1 2

(come per un blocco unico di massa m + m )

1 2

Per il blocco 2: m a = P ,

2 x 12

da cui

m 2

P = F

12 m + m

1 2

Per il blocco 1: −

m a = F P

1 x 21

da cui P = P

21 12