Le sottosuccessioni

Le sottosuccessioni

Teoremi sui limiti delle successioni

I teoremi che abbiamo dimostrato per i limiti delle funzioni sono validi, come casi particolari, anche per le successioni. Ricordiamo in particolare il teorema del confronto: date le successioni a_n, b_n, c_n tali che a_n ≤ b_n ≤ c_n, ∀ n ∈ N, se lim_n→+∞ a_n = lim_n→+∞ c_n = l, allora esiste anche il limite di b_n per n tendente a +∞ ed è uguale a l.

Date le successioni a_n, b_n tali che a_n ≤ b_n ∀ n ∈ N, se lim_n→+∞ a_n = +∞, anche b_n tende a +∞ per n tendente a +∞ e, analogamente, se lim_n→+∞ b_n = -∞, anche a_n tende a -∞ per n tendente a +∞.

Esempi di sottosuccessioni

Consideriamo la successione a_n = ¹/_{n + 2}, con n ∈ N, e prendiamo i termini che hanno come indice i multipli di 3 non nulli (cioè a₃, a₆, a₉, ...): ²/₅, ⁸/₁₁, ..., ^{3n - 1}/_{3n + 2}, ...

Abbiamo ottenuto un'altra successione detta sottosuccessione o successione estratta da quella data. Da una successione possiamo ricavare infinite sottosuccessioni. Diamo altri due esempi di sottosuccessioni della successione appena considerata: α_n = ^{2n - 1}/_{2n + 2}, β_n = ^{5n - 1}/_{5n + 2}.

Applicando la definizione di limite alla successione data possiamo verificare che lim_n→+∞ a_n = 1. In modo analogo è possibile verificare che le tre sottosuccessioni tendono tutte a 1 per n tendente a +∞. Questa è una proprietà generale delle successioni convergenti; infatti è possibile dimostrare il seguente teorema.