Le matrici

Le matrici

Una matrice di tipo (m,n) su un campo K è una tabella ad elementi in K di questo tipo:

n n . . . . n
1 2 a a . . . . a
m = numero di righe
11 12 1n 1 a a . . . . a
m n = numero di colonne
21 22 2n 2 | | |
i = indice di riga
a a . . . . a
m j = indice di colonna
m1 m2 m

La matrice si denota con una lettera “A”, mentre i suoi elementi vengono denotati da una lettera “a” ЄK_m,n.

Forma compatta

Per righe

A = (a_ij)
α β a a . . . . a
11 12 1n α β = (a β α a a . . . . a a . . . . a ×
21 22 2n 11 12 1n)α=| | | (a a . . . . a ) a a a
21 22 2n 11 12 1n× a a . . . . a × = (a a . . . . a a a am1 m2 m m1 m2 mm) 21 22 2n a a am1 m2 mn

Per colonne

La trasposta di una matrice A si ottiene scambiando le righe con le colonne.

Tipi di matrici

• Una matrice A si chiama quadrata se m=n.
• Se m ≠ n, una matrice AЄK si chiama rettangolare.

Matrici quadrate

• Sia A una matrice quadrata di ordine n, A si dice simmetrica quando: A=A ovvero a_ij = a_ji.
• Sia A una matrice quadrata di ordine n, A si dice antisimmetrica quando: A= -A ovvero a_ij = -a_ji.
• Sia A una matrice quadrata di ordine n, A si dice triangolare alto se al di sotto della diagonale principale vi sono tutti 0.
• Sia A una matrice quadrata di ordine n, A si dice triangolare basso se al di sopra della diagonale principale vi sono tutti 0.
• Sia A una matrice quadrata di ordine n, A si dice matrice diagonale quando le uniche cifre diverse da 0 si hanno solo sulla diagonale principale (coestistono sia triangolare alto che basso).
• Sia A una matrice quadrata di ordine n, A si dice scalare quando gli elementi della diagonale sono tutti uguali tra loro.
• Sia A una matrice quadrata di ordine n, A si dice matrice nulla quando tutti i suoi elementi sono nulli.

Operazioni elementari per righe e colonne

Sia K un campo, e sia A una matrice m × n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

• Scambio di due righe di A.
• Moltiplicazione di una riga di A per uno scalare non nullo.
• Sostituzione di una riga di A con la somma della riga stessa e di un multiplo di un’altra riga.

Determinante

In algebra lineare, il determinante di una matrice quadrata è un numero che descrive alcune proprietà algebriche e geometriche della matrice. Esso viene generalmente indicato con A e a volte con |A|.

Ordine n=2

Per il calcolo del determinante di matrici di ordine n = 3 si utilizza la regola di Sarrus.