Le Funzioni

LE FUNZIONI

Una funzione è una legge definita da un certo insieme in un altro insieme che assegna una x ad una y.

INIEZIVA:

f: D_f ⊆ R → R

     x ∈ D_f → f(x) ∈ R

BIEZIVA:

SURIEZIVA:

D_f: dominio della funzione

Imf = { y ∈ R | y = f(x), x ∈ D_f } = immagine della funzione (tutti i valori che possono essere assunti dalla funzione)

G_f = grafico della funzione

G_f ∈ R × R = R² (coppie ordinate di numeri reali)

G_f = { (x, y) ∈ R² | x ∈ D_f, y = f(x) }

ESEMPIO:

f(x) = x     x ∈ R       ad ogni x assegna se stesso

y ↑

Imf = R

x →

f²(x) = x     x ∈ [-1, 1]

stessa legge, ma diverso dominio

↓

SONO DUE FUNZIONI DIVERSE (la seconda è una restrizione della prima).

f(x) = √x x ≥ 0

D_f = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}

Il dominio o insieme naturale di definizione è il più grande insieme nel quale posso definire la mia legge (funzione). È un sottoinsieme di ℝ o ℝ stesso.

f : ℕ ⊂ ℝ → ℝ   m   ⟼   a_n = f(m)

Posso pensare ogni successione come una funzione definita da ℕ ⊂ ℝ.

LIMITI DI UNA FUNZIONE

f : D_f ⊂ ℝ → ℝ     x₀ ∈ ℝ ma devo poter arrivare ad x₀ esterno delle x ∈ D_f, non è necessario che x₀ ∈ D_f.

lim_x→x0 f(x) = ℓ

∀ε > 0     ∃δ_ε   | x - x₀ | < δ_ε ⟹ | f(x) - ℓ | < ε

Geometricamente abbiamo :

l ed ε sono DATI. (ε è arbitrario)

comunque scelga uno x in questo intervallo x è ritrovo nello "stretto" (individuato da ℓ+ε e ℓ-ε).

CALCOLO DIRETTO DEI LIMITI:

f(x) = √x   Df: x ≥ 0

lim_x→0⁺ f(x) = 0   ∀ε > 0   ∃δ_ε | ∀x ∈ Df | x | < δ_ε

| x - 0 | < ε

• | x | < ε
• x < ε
• x < ε²

ma allora scelgo δ_ε = ε²   ⇒ x < ε²   Il limite è verificato.

lim_x→0⁺ sen x = 0

0 ≤ sen x ≤ x   (per x piccolo)

∀ε > 0   ∃δ_ε | x < δ_ε ⇒ sen x < ε

se pongo δ_ε = ε ⇒ x < ε ma allora sen x ≤ x < ε

dunque il limite è verificato.

• se x è negativo   sen(x) = - sen(-x)
• sen(-x) < (-x)
• -sen(-x) > x

TUTTI I TEOREMI PER I LIMITI DI SUCCESSIONI VALGONO ANCHE PER I LIMITI DI FUNZIONI:

(algebra dei limiti, unione, confronto, quoziente, prodotto).

lim_x→0 cos x = 1

ottenuto già osservato che   1 - cos x = 2sen² x / 2

ma   sen² x / x va a 0 così che sen x per x → 0⁺

dunque   1 - cos x → 0   ⇒   cos x → 1

ASSOLUTA CONVERGENZA

K = 0 ∑ a_k a_k ∈ ℝ

diciamo che la serie converge ASSOLUTAMENTE se converge K = 0 ∑ |a_k|. Se converge assolutamente allora converge anche semplicemente.

Teorema

Se Σa_k conv. ASS. ⇒ Σa_k conv. (SEMPLICEMENTE)

Le proprietà commutative della somma vale per la serie solo quando è assolutamente convergente o a termini NON NEGATIVI (o NON POSITIVI mettendo il - in evidenza).

Dimostrazione

Costruiamo una nuova serie di termine generico b_k

b_k = a_k+ |a_k| / 2

a_k ≥ 0

a_k = |a_k|

b_k = a_k|a_k| = |a_k|

a_k < 0

b_k = 0

dunque ∑b_k 0 ≤ b_k ≤ |a_k|

per il teorema del confronto ∑b_k converge perché 0 ed f_x converge.

S_n = ∑ m = 0 n (2b_k−|a_k|)

-2 ∑ b_k + −∑ a_k

Limite destro e limite sinistro

lim x→x₀ f(x) = ℓ

∀ε > 0 ∃δε |x - x₀| < δε ⇒ |f(x) - ℓ| < ε

Supponiamo che f: (a, b) cioè la funzione è definita nell'intervallo a, b con a non incluso e b incluso.

Per ora iniziamo ad a potrà utilizzare solo valori maggiori di a.

lim x→a⁺ f

lim x→x₀ f(x) = ℓ ∀ε > 0 ∃δε |x - x₀| < δε ⇒ |f(x) - ℓ| < ε

Considerando la funzione precedente, per ora consideriamo b potrà utilizzare solo valori minori:

lim x→b⁻ f

Supponiamo che (a, x₀) ∪ (x₀, b)

lim x→x₀⁻ f(x) = lim x→x₀⁺ f(x) = ℓ ⇒ lim x→x₀ f(x) = ℓ

Verificato per ε ≤ min(δε, δε)

Se il limite destro e sinistro esistono, e coincidono, la funzione ammette limite per x → x₀.

Il limite lim x→c f(x) = ℓ esiste se e solo se esistono e sono entrambi uguali fra loro i limiti destro e sinistro: lim x→c⁺ f(x) e lim x→c⁻ f(x). Tuttavia può accadere che i limiti destro e sinistro, estano ma siano diversi tra loro oppure uno solo dei due esista: in questi casi lim x→c f(x) non esiste.

Esercizi:

lim_x→0 ^senx/_x = ^sen0/₀ = ⁰/₀ F.I.

lim_x→0 ^sen(2x)/_3x = ²/₃

sen(α+β) = senα.cosβ + cosα.senβ

lim_x→1 ^senπ(x-1)/_x-1 = ⁰/₀ F.I.

introduco t(x) = x-1 per x→1 t→0

lim_x→0 ^senπ(1+t)/_t = lim_t→0 sen(π+t) = lim_t→0 ^{senπt(π + senπ)}/_t

lim_x→π ^{|1+senx - √(1-senx)|}/_sen²x = ^1-1/₀ = 0 F.I.

lim_x→π [(√(t+senx)) - (√(t-senx))] = lim_x→π ^{[√(senx) + √(senx)]}

lim_x→π [(t+senx)] - ^lim/_x→π senx

x→0 | il limite da |

destra è diverso

da quello da |

sinistra, dunque |

questo limite non esiste.

(∞ e -∞)

lim_x→0 ^{x² + senx²}/_{x² + senx²}

lim_x→0 ^{x(1 + senx²)}/_x = ²/₂ = 1

Dimostrazione

Sia f una funzione monotona strettamente crescente → f^-1 è monotona strettamente crescente.

y₁ < y₂ ⇔ f(y₁) < f(y₂)          ⇓        ⇓      x₁    x₂

f(f^-1(y₁)) = f(x₁) < f(x₂) per Hp f(f^-1(y₂))   { (non utile alla dimostrazione)

Quindi p.a. f^-1(y₁) > f^-1(y₂) ⇔ y₁ < y₂

         ⇓       ⇓       x₁       x₂

x₁ > x₂ ⇔ y > y₂  (ma ciò negherebbe l'Hp quindi è lui assurdo)

Se abbiamo una f monotona strettamente crescente continua anche questo carattere si mantiene (analogo discorso per le decrescenti).

Una funzione continua e invertibile se e solo se è strettamente monotona. Le funzioni monotone non sono necessariamente continue.

Funzioni inverse delle funzioni elementari

f(x) = sen(x)

         P(x;y)               è una funzione periodica          sen(x + 2π) = sen(x)          sen(x + 2kπ) = sen(x)

(vedi seguito)