Le Funzioni

LE FUNZIONI

Una funzione è una legge definita da

un certo insieme in un altro insieme che associa una

x ad una y

• INETTIVA :
• BIETTIVA :
• SURIETTIVA :

f : D_f ⊆ ℝ → ℝ

x ∈ D_f ⟶ f(x) ∈ ℝ

D_f = dominio della funzione

Im_f = { y ∈ ℝ | y = f(x), x ∈ D_f } = immagine della funzione

(tutti i valori che possono essere

assunti dalla funzione)

G_f = grafico della funzione

G_f = ℝ × ℝ = ℝ² (coppie ordinate di numeri reali)

G_f = { (x, y) ∈ ℝ² | x ∈ D_f, y = f(x) }

ESEMPIO:

f(x) = x   x ∈ ℝ

ad ogni x assoc_io se stesso

f^˜(x) = x   x ∈ [-1, 1]

stessa legge ma

diverso dominio

SONO DUE FUNZIONI

DIVERSE (la seconda è una restrizione della prima).

LE FUNZIONI

Una funzione è una legge definita da un certo insieme in un altro insieme che associa una x ad una y.

f: D_f ⊆ R → R

x ∈ D_f → f(x) ∈ R

• INIECTIVA
• BIETTIVA
• SURIETTIVA

D_f = dominio della funzione

Im_f = { y ∈ R | y = f(x), x ∈ D_f } = immagine della funzione (tutti i valori che possono essere assunti dalla funzione)

G_f = grafico della funzione

G_f ⊆ R × R = R² (coppie ordinate di numeri reali)

G_f = { (x,y) ∈ R² | x ∈ D_f, y = f(x) }

ESEMPIO:

f(x) = x   x ∈ R

ad ogni x associo se stesso

f(x) = x   x ∈ [-1,1]

stessa legge ma diverso dominio

SONO DUE FUNZIONI DIVERSE (la seconda è una restrizione della prima).

f(x) = √x x ≥ 0

D_f : { x ∈ ℝ | x ≥ 0 }

Il dominio è insieme naturale di definizione e il più grande

insieme nel quale posso definire la mia legge (funzione)

È un sottoinsieme di ℝ o ℝ stesso.

f : ℕ ⊂ ℝ → ℝ

n ↦ a_n = f(n)

Posso pensare ogni successione come una funzione definita

da ℕ ⊂ ℝ.

LIMITE DI UNA FUNZIONE

f : D_f ⊂ ℝ → ℝ

x₀ ∈ ℝ

mi devo "poter avvicinare" ad x₀ essendo

delle x ∈ D_f, sarà necessario che x₀ ∈ D_f.

lim_x→x₀ f(x) = ℓ

∀ε > 0 ∃δ_ε | x - x₀ | < δ_ε ⇒ | f(x) - ℓ | < ε

Geometricamente

abbiamo :

ℓ ed ε sono DATI. (ε è arbitrario)

comunque

scelga uno x

in quest'intervallo mi

ritrovo nella "striscia"

individuata da ℓ+ε e ℓ-ε.

** Df = (0; 1)

lim_x→x0 f(x)

l e' il PUNTO DI ACCUMULAZIONE

(se piu' valori maggiori di zero) (devo poter tendere a questo valore)

Comunque scelgo un intervallo, trovo sempre un elemento

nell'insieme di definizione contenuto in esso.

Il limite, se esiste e' unico?

Supponiamo che: lim_x→x0 f(x) = l

f(x) = l

l l l

l - l > 0 e' la distanza tra i due

|l-f(x)|+|f(x)-l| ≤ |l-f(x)|+|f(x)-l|

δ_l |x-x₀| < δ_l

e verificato

scelgo te minimum tra i S_l:

min (δ_l; δ_l) = δ_l (per questo valore sono verificato entrambe)

|l-f(x)| + |f(x)-l| < 2ε = q. ¹/_2m = 1/_m

pongo ε = ¹/_2m

ho allora

0 < |l-l| < 1/_m

percio' a < x a+1/_m −−−−> x−a

risulta che

|l-l| =0 −−−−> l = l

allora se il limite ESISTE e' UNICO

Ciò è osservabile anche graficamente: Ipot.

Se ℓ ≠ ℓ¯ e ε < |ℓ - ℓ¯|, i d.d.v. della x non potrebbero trovarsi da entrambe le parti → ASSURDO.

Dunque il limite, se esiste, è unico (ℓ = ℓ¯).

ESISTE UN LEGAME TRA IL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE E IL LIMITE DI UNA FUNZIONE

Teorema:

lim_{x → x0} f(x) = ℓ ⟺ ∀ {x_m} | x_m → x₀ → lim_{n → ∞} f(x_m) = ℓ(Definizione successionale di limite).

Dimostrazione:

Hp: lim_x