Le operazioni con le successioni

Le operazioni con le successioni

È possibile definire anche con le successioni le quattro operazioni.

Date le successioni a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ... e b₀, b₁, b₂, ..., b_n, ... definiamo le seguenti operazioni.

Addizione

Si chiama somma delle due successioni la successione:

a₀ + b₀, a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., a_n + b_n, ...

Sottrazione

Si chiama differenza delle due successioni la successione:

a₀ – b₀, a₁ – b₁, a₂ – b₂, ..., a_n – b_n, ...

Moltiplicazione

Si chiama prodotto delle due successioni la successione:

a₀ · b₀, a₁ · b₁, a₂ · b₂, ..., a_n · b_n, ...

Divisione

Se b_n ≠ 0, ∀n ∈ ℕ, si chiama quoziente delle due successioni la successione:

a₀/_b0, a₁/_b1, a₂/_b2, ..., a_n/_bn, ...

I teoremi sulle operazioni con i limiti per le successioni

Se _{lim n→+∞} a_n = l e _{lim n→+∞} b_n = l', allora sono validi i seguenti teoremi.

Teorema della somma dei limiti

_{lim n→+∞} (a_n + b_n) = l + l'.

Teorema della differenza dei limiti

_{lim n→+∞} (a_n – b_n) = l – l'.

Teorema del prodotto dei limiti

_{lim n→+∞} (a_n b_n) = l · l'.

Teorema del quoziente dei limiti

Se b_n≠0 ∀n∈ℕ e l'≠0, allora _{lim n→+∞} ^a_n/_bn = ^l/_l'.

I teoremi sui limiti delle successioni sono alla base del calcolo dei limiti, analogamente a quanto avviene per le funzioni. Affronteremo il calcolo dei limiti negli esercizi. Questi teoremi sono analoghi a quelli studiati per le funzioni per x→±∞. Analoghi sono anche i teoremi validi quando si presentano una o più successioni divergenti. Per esempio, se _{lim n→+∞} a_n = -∞ e _{lim n→+∞} b_n = -∞, allora _{lim n→+∞} (a_n + b_n) = -∞.